INTRODUCCIÓN ORGANIZACIÓN DE CONTENIDOS

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1 INTRODUCCIÓN El estudio de la probabilidad juega u papel importate detro del apredizaje y la eseñaza de las matemáticas, ya que se aborda alguos problemas a través de la eploració empírica de situacioes aleatorias, formular hipótesis, cotrastar sus epectativas co los resultados que se preseta eperimetalmete, producir y discutir sus propias eplicacioes. Las eplicacioes ayuda al desarrollo de las ocioes matemáticas y e todo caso costituye ua fuete de ispiració para que el profesor eriquezca sus actividades de eseñaza. Mediate el estudio de la predicció y el azar, se utilizará la comuicació verbal y escrita para epresar ideas y pesamietos probabilísticos. El usar los coocimietos probabilísticos y procedimietos aalíticos como herramietas que permita verificar, comprobar y poer de maifiesto la veracidad o o de las hipótesis y cojeturas realizadas para iterpretar y eplicar ua situació maipulativa o metal. E este coteto, los estudiates debería llegar a valorar más el propio proceso de pesamieto que los resultados imediatos. Idetificar situacioes y aplicacioes diversas del coocimieto probabilístico e distitos ámbitos de la actividad humaa (social, cietífica, tecológica, estética, etc., percibiedo el papel que juega como leguaje e istrumeto e situacioes muy diversas. Cabe señalar que por parte de los estudiates, se hará la apreciació de las situacioes del azar e la realidad a través de los campos de aplicació de la probabilidad: el hombre y su mudo biológico, físico, social y político. Recoocer las relacioes e itercoeioes que eiste detro de las propias matemáticas, además de recoocer la realidad como diversa y susceptible de ser eplicada desde putos de vista cotrapuestos y complemetarios. E particular y e los casos que os ocupa, difereciar los feómeos determiistas y aleatorios. Desarrollar pequeñas ivestigacioes que supoe la realizació, e alguas actividades, de u estudio co deteimieto, y que potecialmete tiee el valor agregado de favorecer e los estudiates el desarrollo de cualidades persoales como la perseveracia y la dedicació sosteida e el empeño. Actuar, e situacioes tato refleivas como maipulativas, de acuerdo co los modos propios de la actividad matemática. ORGANIZACIÓN DE CONTENIDOS Para la cosecució de los propósitos diseñados para el curso, los coteidos está orgaizados e cuatro grades bloques temáticos. El primero, tratará lo referete al azar, como: los juegos de azar y la diferecia etre los feómeos aleatorios y determiistas. Tiee la prioridad de icursioar e el aálisis combiatorio a partir de los juegos de azar, su leguaje, los feómeos aleatorios y determiistas, así como las formas de orgaizació de iformació; e este primer bloque temático se abordará actividades secillas, pero que por su secillez, la compresió del mismo será meos abrupta. E el segudo bloque se verá e detalle las técicas de coteo como so: a Diagramas de árbol. b Arreglos rectagulares. c Permutacioes. d Combiacioes. Así mismo, las propiedades y aplicació e el cálculo de probabilidades como: a Triágulo de Pascal. b Teorema del biomio. Los diferetes tipos de probabilidad, sus propiedades y características, forma parte de la estructura del Bloque No. 3. Las refleioes que se platea sitúa el éfasis e la diferecia etre la probabilidad clásica y la de frecuecias; por otro lado, es sabido que gra parte de los problemas cotidiaos -si bie o so ta simples- tambié está codicioados, estos cae detro de las probabilidades codicioadas, que tambié forma parte del acervo cultural del curso de La predicció y el Azar.

2 La estructura del bloque No. 4 referecia a las fucioes de distribució. El propósito de este apartado del programa tiee que ver co las variables aleatorias, la distribució Beroulli, biomial, epoecial y ormal; estos cuatro aspectos redirá cueta de las pricipales fucioes de probabilidad y las variables aleatorias. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS E el caso de esta asigatura, se sugiere desarrollarla e forma de taller, co actividades que se puede distribuir e sesioes de ua a dos horas cada ua, segú lo platee el orgaigrama geeral del currículum de la Liceciatura. E geeral, cuado se platea u problema y se resuelva e forma idividual o e equipo, se requiere resaltar los aspectos pricipales que se trata y cofrotar las posibles diferecias e la iterpretació y los diferetes plateamietos de solució; así mismo, se sugiere que las coclusioes a las que se haya llegado de maera idividual o grupal, sea puestas e la mesa de la discusió co el firme propósito de eriquecer la cultura del aálisis combiatorio, que por su riqueza, ride cueta a los comportamietos de la sociedad e geeral y, por otro lado, permite modelar los patroes que de maera recurrete aparece e la ecoomía, la física, la química, por citar alguos. E las actividades dode se sugiere resolver problemas, es fudametal que la búsqueda de procedimietos de solució recaiga e los estudiates; e tato el profesor será e la orgaizació de los putos e comú, fometar la cofrotació etre ellos y profudizar e los coceptos e los casos que sea ecesario. Es coveiete que e las actividades maipulativas, los estudiates lleve u registro de los resultados, los compare y aalice. El hacer la actividad acompañádola de ua refleió llevará, si duda, a los estudiates, a compreder mucho mejor los coceptos probabilísticos. Se sugiere que el profesor resposable de la materia aplique este tipo de actividades, pese a la cultura que muchos profesores teemos e el setido de evitarlas bajo el argumeto de ocupar mucho tiempo. Auque los estudiates tega eperiecias cotidiaas de feómeos aleatorios y maeje de maera atural la probabilidad, éstas por sí solas o basta; es ecesario repetir alguas eperiecias, de maera crítica y refleiva, haciedo prediccioes y viedo si se satisface o o, más aú, es recomedable que se traslade al terreo de las aalogías, hoy por hoy mejor coocidas como patroes; por otro lado, ecotrar patroes e los comportamietos de las ciecias eriquece la cultura de las matemáticas, favorece la articulació de las mismas y fialmete cotribuye al alcace del perfil que supoe el Pla 99 por parte de la Liceciatura de Matemáticas. Además, coviee que las actividades recurra a ua gra diversidad de materiales posibles: los juegos clásicos de ruletas, uras, dados, volados, barajas, etc., so eficaces e la medida que se discuta como parte del acervo crítico y refleivo. Los ejercicios múltiples, frecuetes y diversos, permitirá al estudiate ir aprehediedo los coceptos ada triviales de azar y probabilidad, cabe decir, que la multiplicidad, diversidad y frecuecia de los ejercicios o se ecuetra sugeridos e la forma clásica, es decir, eplicitar u cocepto para luego sacioarlo a través de ua serie secueciada de casos similares, sio como ua forma recurrete de aálisis combiatorio e la búsqueda de patroes. Los coceptos de probabilidad sólo puede ser apredidos si se realiza muchos eperimetos y se va haciedo refleioes respecto de los resultados obteidos. PROPÓSITOS GENERALES Al térmio de las actividades propuestas e cada bloque temático, los profesores estudiates será capaces de:. Utilizar los coocimietos probabilísticos como herramieta para dar solució a problemas de carácter social, cietífico o tecológico.. Utilizar co precisió el leguaje de la probabilidad.

3 3. Dar ua eplicació sistemática de alterativas e el plateamieto de problemas. 4. Cotar co la fleibilidad para modificar el puto de vista o la perseveracia e la búsqueda de solucioes. 5. Fometar la curiosidad e imagiació. 6. Desarrollar las habilidades de iferir, geeralizar y comuicar los coocimietos de probabilidad. 7. Relacioar las iferecias y geeralizacioes co los temas que se aborda e ocioes de probabilidad e secudaria. PROPÓSITO: BLOQUE I EL AZAR Al térmio de las actividades propuestas, el profesor estudiate será capaz de: Costruir el cocepto de azar e forma ituitiva a partir del aálisis de juegos de azar, e particular los tradicioales de su comuidad y situacioes de la vida cotidiaa, formalizado su leguaje matemático y probabilística. TEMAS:. Los juegos de azar.. El leguaje del azar. 3. Feómeos aleatorios y determiistas. 4. Formas de registro. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Itroducció a la probabilidad. A. Ruiz Mocayo. Fodo de Cultura Ecoómica. Espacios probabilizables. Samuel Escarela Corejo. Serie: otas de clase No , publicacioes de matemáticas, Departameto de Matemáticas de la Facultad de Ciecias de la U.N.A.M. Libro para el maestro matemáticas, secudaria. SEP, seguda edició (00. Fichero de actividades didácticas, matemáticas, secudaria. SEP, seguda edició (000. ACTIVIDADES SUGERIDAS: Se propoe la actividad para dos sesioes. El grupo se orgaizará por equipos. E la primera sesió, el profesor escribirá e el pizarró ua lista de juegos como: Máquias tragamoedas. Loterías. Cartas: póker, 7½, co los que se podrá realizar alguos juegos como: coquiá, burro castigado, caasta, etcétera Moedas: para el registro de evetos que icluya volados, disparejos, etcétera Dados: uo o varios Domió. Ruleta, Bigo, Serpietes y escaleras, etcétera 3

4 El profesor llevará alguos juegos de la lista, pedirá a cada equipo que elija u juego y documete las reglas del mismo -la documetació debe teer la mayor claridad e el seguimieto-; luego, respoda cuestioes como: a Cuáles so los objetos para jugar? b Cómo se juega? c Cuátos jugadores iterviee? d Qué hay que hacer para gaar? Después de jugar y haber aalizado el comportamieto del juego, respoda alguas cuestioes como: a Hay estrategias que permita gaar? b Hay vetaja e alguo o alguos de los jugadores? c Cuáles so esas vetajas? Cada equipo epodrá su trabajo. El profesor fometará la discusió para cofrotar los distitos putos de vista sobre las características de cada juego. E la seguda sesió, los equipos estará coformados de la misma maera que la sesió aterior y el profesor pedirá que coteste alguas cuestioes como: a Cuál es el úmero de jugadores posibles? b Cuáles y cuátos so los posibles resultados que se puede dar? c Cuátas jugadas so favorables a u determiado jugador? d Qué probabilidad hay de gaar? e Qué probabilidad de gaar tiee cada uo de los jugadores? Cada equipo epodrá su trabajo. El profesor fometará la discusió para cofrotar los distitos putos de vista que pueda haber. Tambié es coveiete discutir que e los juegos de azar eiste la icertidumbre e el jugador y para determiar o cuatificar se requiere del cálculo de las probabilidades. Como resultado de la actividad, es coveiete platear la siguiete preguta: Qué es el azar? A medida que los estudiates epresa sus opiioes, el profesor registrará e el pizarró los aspectos epuestos, de los cuales, coviee destacar los que se ajuste al propósito de la actividad; después cofrotará las distitas opiioes de los estudiates, a fi de llegar a defiir las características pricipales del azar. Posteriormete, leerá la lectura la oció de azar que forma parte del material de apoyo para el estudio de los coteidos temáticos del bloque (págias 335 y 336 del Libro para el maestro, realizar la actividad el leguaje del azar propuesta e la págia 336 del mismo documeto. Ate el grupo y retomado la actividad, el profesor plateará: Todos los juegos so de azar? Posiblemete todos o gra parte de los estudiates dirá que sí, pero uo o varios dirá que o e forma dudosa. A los que diga que o pregutarles por qué? Qué juego o es de azar o es determiista? El profesor iducirá a la cofrotació y plateará si el ajedrez es u juego de azar o o. Orgaizados e equipos, el profesor pedirá que: describa 3 eperimetos aleatorios y 3 eperimetos determiistas de la vida cotidiaa y/o escolar. Cada equipo epodrá sus resultados procurado que los eperimetos sea diferetes, ate el grupo se aalizara y se determiará las características pricipales y diferecias etre los dos tipos de feómeos. Como éstas, el profesor puede diseñar otras actividades similares, cuidado que las mismas cotribuya, como se describe e el apartado de las orietacioes didácticas, co la aplicació e el plateamieto y resolució del problema, o meos importate es recalcar que la aalogía forma parte importate de este apartado, pues este cocepto cotribuye a eriquecer el sigificado del aálisis combiatorio. 4

5 BLOQUE II TÉCNICAS DE CONTEO (ANÁLISIS COMBINATORIO PROPÓSITO: Al térmio de las actividades del bloque, los profesores estudiates será capaces de: Desarrollar la habilidad para aplicar las técicas de coteo e resolució de situacioes problemáticas que se le presete e la vida cotidiaa y/o escolar. TEMAS:. Diagramas de árbol y arreglos rectagulares.. Pricipio de coteo. 3. Permutacioes. 4. Combiacioes. a Propiedades. b Triágulo de Pascal. c Teorema del biomio. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Estadística iferecial básica. Castillo Padilla Juaa y Gómez Arias Jorge. Ed. Iberoamérica. (998. Wisiewski P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas. (998. Probabilidad y Estadística para igeieros y ciecias. Medehall William y Sicich Terry. Ed. Pretice Hall. Pearso Educació. (997. Wisiewski P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas. (998. ACTIVIDADES SUGERIDAS: Orgaizado el grupo e equipos, el profesor propoe el siguiete problema: Vamos a ua cafetería que vede tortas. Las tortas las da sólo co jamó, piera, y pollo. Uo debe de prepararse su torta a su gusto y u aucio os dice: Co los igredietes lechuga, jitomate, aguacate y cebolla, prepare su torta e ua de 6 formas posibles. El profesor pregutará: Está el aucio e lo correcto? El profesor hará éfasis e que justifique su respuesta. Cada equipo eplicará la forma e que resolvió el problema; posiblemete, alguos estudiates haga ua tabla o arreglo rectagular, u diagrama de árbol o haga las combiacioes e arreglos de las letras iiciales de los igredietes por ejemplo: (l, j, a, c, (_, j, a, c, etcétera. El profesor plateará a los estudiates la siguiete refleió: Notaro algú patró para costruir el árbol, tabla u arreglo? Si los estudiates o ecuetra igua relació, el profesor cuestioará y fometará que descubra: poerle o o igredietes a la torta, es decisió persoal, icluso iterviee e esta, el gusto por la composició de los alimetos; si embargo, se sugiere destacar que e la composició o eiste igua restricció, luego etoces, las respuestas queda codicioadas o al gusto por el alimeto, sio a la combiació si restriccioes. Es recomedable hacer u cartel mostrado las diferetes formas e que puede preparase ua torta, luego de discutir e grupo cuál sería la más recomedable de presetar. Discutir e el grupo qué ocurriría si tuviéramos más igredietes e la elaboració de la torta, por ejemplo 0, habría ecesariamete que eumerarlas todas para saber de cuátas formas puede prepararse ua torta, o e su defecto, qué tal si os iteresara saber cuátas cajas distitas puede fabricarse si cada ua tiee impreso u úmero de 5 dígitos. Qué ocurre al costruir el árbol, u arreglo o tabla? 5

6 El profesor fometara la discusió sobre cuál es más coveiete de utilizar. Pida a los profesores estudiates ua propuesta para las placas de los automóviles que tega u úmero compuesto por seis dígitos, e lugar de la combiació de letras y úmeros. Cuatas placas se tiee que fabricar? Platee a los profesores estudiates el ombramieto de ua persoa supersticiosa para dirigir el Departameto de Obras Públicas. Por cosiderarlo de mala suerte, establece que los dígitos e las placas o puede repetirse, cuátas placas distitas se puede hacer ahora? Ua vez resueltos los problemas propuestos, aalizar los procedimietos utilizados por los profesores estudiates, ecotrar ua forma comú para resolverlos y defiir las diferecias etre las permutacioes y combiacioes. El profesor propodrá el siguiete problema que resolverá por equipo: Cuátas maeras hay de seleccioar u comité de 5 persoas cuado teemos u grupo de 7 mujeres y 5 hombres? De cuátas maeras podemos seleccioar u comité de 5 persoas, si ese comité debe teer 3 mujeres y hombres? De cuátas maeras podemos seleccioar u comité de 5 persoas, si ese comité debe teer 3 mujeres y hombres y hay dos mujeres que o puede servir jutas? De las tres pregutas, e la tercera habrá ciertas diferecias; tal vez alguos o etieda el problema y el profesor tedrá que recalcar que dos de las mujeres o puede estar jutas y o sabemos cuáles so. El profesor debe estar al pediete de cada uo de los equipos, guiádolos y aclarado sus dudas, como: Si quitamos a ua de las dos mujeres el problema está resuelto? Se puede quitar a las dos mujeres coflictivas? So combiacioes o permutacioes? Si ua se llama X y la otra Y, a cuál quitamos? PROPÓSITOS: BLOQUE III PROBABILIDAD Al térmio de las actividades propuestas, los profesores estudiates será capaces de: a Utilizar la comuicació verbal y escrita para epresar sus ideas y pesamietos sobre la historia y coocimieto de la probabilidad y sus diversas aplicacioes e la actividad humaa. b Utilizar el coocimieto de la probabilidad e la solució de problemas cotidiaos. c Adquirir el cocepto de probabilidad clásica a partir del cocepto de la probabilidad frecuecial. d Distiguir las características de la probabilidad clásica y la correspodiete a la frecuecial. e Establecer la relació etre ambas probabilidades. f Compreder, iterpretar y eplicar las reglas de la suma y el producto de la probabilidad, así como la probabilidad codicioada. TEMAS:. Historia.. Probabilidad de frecuecia relativa. 3. Probabilidad clásica. 5. La regla de la suma y del producto. 6. Probabilidades codicioadas. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Probabilidad y Estadística para igeieros y ciecias. Medehall, William y Sicich, Terry. Ed. Pretice Hall. Pearso Educació. (997. Wisiewski, P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas (998. 6

7 Probabilidad y Estadística, coceptos, modelos, aplicacioes e Ecel. Paulo Afoso Lopes. Ed. Pretice Hall. Pearso Educació. Matemáticas co la hoja electróica de cálculo. EMAT. SEP (000. La estadística e cómic. Goick L. Ed. Zedrera Zariquiey. (999. Las probabilidades y la vida. Colecció qué sé? Nª 55. Borel Emile. Ed. Oikos-tau. (Pág ACTIVIDADES SUGERIDAS: Platee el problema de Galileo del teto Problemas de azar que ha hecho historia. Los estudiates trabajará e equipo y se aalizará ate el grupo; posteriormete, el profesor dará a cada equipo uo de los problemas restates a fi de que lo aalice y discuta etre ellos. El profesor les ayudará e la compresió del problema y e ua posible solució, o es ecesario que de ua solució precisa, sio que se de cueta que estos problemas ha ayudado e el desarrollo de la probabilidad. Orgaizado el grupo e equipos, el profesor les idicará que idetifique evetos de su alrededor e los que pueda predecir co certidumbre el resultado que ocurrirá. Mecioe varias situacioes dode use el térmio probabilidad y qué sigificado tiee para ellos? Los equipos epodrá sus trabajos, el profesor fometará la cofrotació y discusió etre los estudiates. El profesor se ecotrará que los estudiates mecioa frases como es probable que hoy llueva, es poco probable que pueda ir a la fiesta de mañaa o es posible que pueda gaar el primer premio de la lotería. El profesor pregutará: So estas frases equivaletes? Qué queremos decir co ellas? Si u suceso es posible, es tambié probable? Si u suceso es probable, es tambié posible? Haga ver a los estudiates la ecesidad de utilizar u leguaje co u poco más de formalidad y que cuado decimos probabilidad os referimos a la medida e que creemos que u eveto o suceso particular ocurra. Pida a los alumos resolver el siguiete problema: Queremos ver si es fácil aprobar u eame de diez pregutas de selecció múltiple. Cada ua de estas pregutas tiee cuatro alterativas, de las cuales sólo ua es correcta. Para aprobar este eame es ecesario obteer siete aciertos, cuál es la probabilidad de que u alumo los obtega? INSTRUCCIONES: Escribe detro del parétesis de la derecha, la letra que coteste correctamete cada uo de los plateamietos... Aselmo compra dos plumas por $.0 cada ua Cuál es el error de estimació para la compra si truca los cetavos del costo de cada pluma? ( a cetavos b 4 cetavos c 0 cetavos d 40 cetavos. Cuál de las siguietes series ordeadas o es ua fució? ( d (0,, (,, (,, (3, e (0, 0, (,, (,, (3, 3 f (0, 0, (0,, (0,, (0, 3 g (0,, (, 0, (, 3, (3, 3. Cuál de las siguietes fucioes tiee por gráfica la recta más icliada? ( h y 4 i y 3 j y 0. k y 4. Do Mauel teía u terreo rectagular de A metros de frete y B metros de fodo, pero cedió 0 m de fodo para urbaizació. El muicipio le compesó co 5 m de frete Cuál es la superficie actual del terreo de Do Mauel? ( l AB - 5 m AB + 5A - 0B AB + 0B - 5A - 5O o AB + 5B - 0A - 5O 5. Cosidera la ecuació - 9 Cuál es su factorizació? ( p ( q 3( r ( s 3(

8 6. Para que u sistema de dos o más ecuacioes simultáeas lieales tega solució, qué codició debe cumplir? ( t Que tega la misma icliació. u Que tega la misma ordeada e el orige. v Que al meos ua de ellas pase por el orige. w Que tega u puto e comú. 7. Rosalba dibujó u triágulo iscrito e ua circuferecia dode uo de los lados era el diámetro Cuál de las siguietes características correspode al triágulo dibujado ( U triágulo equilátero. y U triágulo isósceles dode los lados iguales so mayores que el desigual. z U triágulo escaleo obtuságulo. a U triágulo rectágulo. 8. Observa la siguiete figura: El cetro de ua circuferecia se ecuetra e el puto (, 3 y la circuferecia pasa por el puto (5, 7 Cuáto mide el radio? ( b 3 c 4 d 5 e 7 9. Si tiee dos triágulos semejates cuyas áreas so de 4 cm y 36 cm respectivamete Cuál es la razó de semejaza de las figuras? ( f 3 g 9 h 6 i 8 0. Cuál es la altura de u árbol que proyecta ua sombra de 8 m si e ese mometo el águlo de elevació es de 68 º? ( j.96 m k 3.0 m l 9.8 m m 0 m El profesor dice que hoy hará u eame sorpresa de acuerdo co las idicacioes ateriores, que so 0 pregutas y es de opció múltiple y lo cotestará al azar; él sólo mecioara el úmero de la preguta y úicamete aotará la letra que crea que es la correcta; pero primero se calificará, aotado e la esquia derecha lo que espera sacar de calificació. Aplica el eame y para calificarlo, el profesor da las respuestas correctas, las cuales está dadas e forma aleatoria, y está dadas por medio de ua ura co cuatro caicas de distitos colores. Posteriormete, se costruye las tablas: Calificació esperada qw qww qww qww qww qww qww qww Calificació obteida Calificació qw qww qww qww qww Qww qww Qww qww Frecuecia Por ejemplo, al aplicar el eame e u grupo de 3 estudiates, se obtuviero los siguietes resultados: Calificació esperada 0 Calificació obteida 8

9 Calificació Frecuecia Que el profesor platee problemas similares a los siguietes, de acuerdo co los datos obteidos del eame aplicado ateriormete: Actividades que tiee que ver co el proceso de evaluació resulta atractivas para el cálculo de las probabilidades; tal es el caso de revisar la probabilidad frecuecial de las respuestas de u istrumeto. E tal caso, es coveiete que los profesores estudiates orgaice la iformació que arroja u eame, como la que a cotiuació se muestra, y poga e práctica los coceptos hasta aquí revisados. Por razoes aturales se omite el logotipo REPORTE DE EVALUACIÓN GLOBAL DE CENTROS Sistema de Evaluació y Clasificació de Reactivos GRADO: MATERIA: TEMA: NÚMEROS NATURALES Y SUS OPERACIONES RESULTADOS OBTENIDOS REACTIVO VALOR REACTIVO VALOR REACTIVO VALOR REACTIVO VALOR OBSERVACIONES

10 El rago seleccioado para elaborar esta clasificació fue del 50 % El úmero de seleccioados tomados aleatoriariamete fue de 640 a De u grupo de 3 estudiates, se elige a uo al azar. Si el estudiate esperaba sacar más de 3. Cuál es la probabilidad de que lo haya logrado? b E u grupo estudioso de probabilidad, se escoge ua calificació al azar, de los resultados obteidos e el eame. Si la suma de la calificació esperada y obteida es 4, cuál es la probabilidad de que la calificació esperada y la calificació obteida sea iguales? c Dado que la calificació esperada es < 5 Cuál es la probabilidad que la calificació real sea igual a la esperada? d De u grupo de 3 estudiates, se elige tres al azar, si uo de ellos obtuvo de calificació 3, cuál es la probabilidad de que los otros dos haya obteido de calificació 4 cada uo? Los problemas se discute ate el grupo y motivado a los estudiates a que se dé ua cofrotació de los métodos utilizados para resolverlos. Dar a cada estudiate u dado y que haga ua serie de 4 lazamietos, registrado el úmero de veces que sale cada cara. Ates de iiciar los lazamietos del dado, el profesor pedirá que escriba el úmero de veces que espera que salga cada ua de las seis caras y registrar los datos e la tabla. 0

11 Caras Número de veces esperado Número de veces obteido Razó del úmero obteido Caras Número de veces esperado Número de veces obteido Razó del úmero obteido Razó Después, hacer el registro de todo el grupo. El profesor pedirá que cada estudiate lea co ateció el teto la ruleta rusa ; trabajado e equipo, cotestar a la cuestió del fial. El problema tiee varias solucioes, depediedo de cómo se iterprete el juego de la ruleta rusa, si se cosidera que ates de jalar el gatillo se gira el tambor o cilidro giratorio siedo cada eveto idepediete, puede tambié cosiderar a los dos primeros tiros idepedietes y los dos últimos e serie o cosiderar los cuatro tiros cosecutivos si girar el tambor. Orgaizado el grupo e equipos. El profesor tedrá tres uras: la primera co 3 bolas blacas y egras, la seguda co bolas blacas y 4 egras, y la tercera co bolas blacas y 6 egras. El profesor pedirá a u estudiate, pase y etraiga ua bola de ua ura elegida al azar y resulta ser blaca. (Al hacer el eperimeto la bola es blaca o egra, depediedo del color de la bola que se saca, el profesor cambiará el color, e lugar de blaco poer egro Cuál es la probabilidad de que se haya etraído de la seguda ura? E caso de que los estudiates tega dificultades para resolver el problema, el profesor plateará alguas de las siguietes pregutas para orietarlos: a Cuáles so los evetos que se tiee? b Qué probabilidad es la que debemos calcular? c E la ura dos, cuál es la probabilidad de que sea bola blaca? d Cuál es el total de casos de que sea bola blaca? e Cuáles so los casos favorables? Alguos estudiates lo podrá resolver de maera diferete, utilizado técicas de coteo, diagramas de árbol, etcétera. Los equipos epodrá sus resultados y el profesor fometará la cofrotació y la guiará a determiar la probabilidad codicioal. Se orgaiza el grupo e equipos y se platea el siguiete problema: E el aeropuerto de ua ciudad, el 30% de los días hay iebla. La probabilidad de que se produzca u accidete e u día co iebla es de 0.00; si o hay iebla, la probabilidad baja a Cierto día ocurrió u accidete Cuál es la probabilidad de que fuera u día co iebla? Para ayudar a los estudiates, el profesor plateará pregutas similares a las de la actividad aterior.

12 BLOQUE IV FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN PROPÓSITOS: Al térmio de las actividades propuestas, el profesor estudiate será capaz de: a Difereciar las características de las variables aleatorias. b Calculará, co ayuda de las fucioes de distribució biomial, ormal (DeMoivre-Laplace- Gauss, Beroulli y epoecial, alguas probabilidades e coteo. TEMAS:. Variables aleatorias.. Distribució Beroulli. 3. Distribució Biomial (DeMoivre-Laplace-Gauss. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Probabilidad y Estadística para igeieros y ciecias. Medehall William y Sicich Terry. Ed. Pretice Hall. Pearso Educació. (997. Wisiewski P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas. (998. Probabilidad y Estadística, coceptos, modelos, aplicacioes e Ecel. Paulo Afoso Lopes. Ed. Pretice Hall. Pearso Educació. La estadística e cómic. Goick L. Ed. Zedrera Zariquiey. (999. Acerca del tratamieto didáctico de la probabilidad. Alatorre Silvia. Correo del maestro No. 6, Julio 998. ACTIVIDADES SUGERIDAS: Orgaizados por equipos y utilizado los datos del eame del bloque aterior, calcular la probabilidad de aprobar el eame; es decir, sacar por lo meos seis. Para respoder el problema, tal vez alguos lo resuelva por medio de u diagrama de árbol, otros calcule la probabilidad del úmero de aciertos, si cosiderar la probabilidad de elegir ua de las cuatro opcioes de cada preguta, otros llegue a resolverlo por medio de la fórmula de la fució de probabilidad biomial y graficado los datos. Fialmete, aalizar y discutir los distitos procedimietos. Para hacer esta actividad, se requiere cotar co ua computadora co Ecel o co ua calculadora Casio Modelo 9950G o Teas Modelo TI 84/9PLUS. E el caso del trabajo co ordeador y paquete Ecel, se recomieda que trabaje por grupos de tres estudiates por máquia. El profesor plateará el siguiete problema: Sea u eame co 5 pregutas del tipo verdaderofalso y sea la variable aleatoria X el úmero de respuestas equivocadas. La probabilidad de que u estudiate acierte, al azar, ua opció de respuesta e ua preguta es de 0.5. El profesor cuestioará ate el grupo de cómo se distribuye la variable aleatoria X y por qué? Es recomedable que el profesor registre e el pizarró las participacioes, destacado aquellas que orieta hacia el propósito de la actividad, es decir, e la distribució biomial y el igreso de datos e Ecel. Utilice la fució DISTR.BINOM que les ayudará a resolver el problema. Se recomieda que al itroducir los datos de la fució, se oriete a los profesores estudiates e las formas de itroducció, para que sea compredida la fució DISTR.BINOM da la probabilidad de éitos de la distribució biomial, o la suma acumulada de probabilidades desde 0 hasta u valor estipulado. DISTR.BINOM(úm_éitos, esayos, prob_éitos, acumulado Dode: úm_éitos es el úmero de éitos que se desea. esayos es el úmero de repeticioes.

13 prob_éito es la probabilidad de éito e cada repetició. Acumulado es u valor lógico: si es VERDADERO, etoces la fució da el valor de la probabilidad de que eista máimo éitos. Si es FALSO, calcula la probabilidad de eactamete éitos. Dejar que los estudiates practique, haciedo simulacioes, variado el úmero de esayos y llevado u registro de las probabilidades; fialmete, hacer u aálisis de los resultados obteidos de las simulacioes. Después, propoer que se resuelva el siguiete problema, utilizado Ecel. U eame tiee 50 pregutas. Calcular la probabilidad de que u estudiate, marcado al azar las respuestas, obtega ua calificació mayor o igual a 6, e los siguietes casos: a tiee 4 opcioes; b tiee 5 opcioes. El propósito es el de impedir que u estudiate totalmete igorate de la materia obtega ua calificació mayor que 6 cuado marca al azar. Etre todo el grupo se aalizará los resultados y se podrá a discusió: es ecesario colocar 4 ó 5 opcioes? E ambos casos, la probabilidad es casi cero y fialmete, el profesor cuestioará será ecesario colocar 4 opcioes? Mietras los estudiates da sus justificacioes, el profesor escribirá e el pizarró lo más relevate, se aalizará y se decidirá que es lo más coveiete e este caso. Trabajado e equipos, el profesor propodrá a los estudiates el siguiete problema: La distribució de la demada (u úmero de uidades por uidad de tiempo de u producto, a meudo puede aproimarse co ua distribució de probabilidad ormal. Por ejemplo, ua compañía de comuicació por cable ha determiado que el úmero de iterruptores termiales de botó solicitados diariamete tiee ua distribució ormal co ua media de 00 y ua desviació estádar de 50. a E qué porcetaje de los días, la demada será meos de 90 iterruptores? b E qué porcetaje de los días, la demada estará etre 5 y 75 iterruptores? Co base e cosideracioes de costos, la compañía ha determiado que su mejor estrategia cosiste e producir ua catidad de iterruptores suficiete para ateder pleamete la demada e 94% de todos los días. Cuátos iterruptores termiales deberá producir la compañía cada día? El profesor dará la idicació de que deberá utilizar las tablas de valores de la distribució ormal y les idicará que debe estadarizar la distribució ormal: que tega media igual a 0 (µ 0 y desviació típica igual a (σ. 3

14 4

15 MATERIAL DE APOYO 5

16 6

17 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CONCEPTOS. MODELOS. APLICACIONES CON EXCEL Alfoso López Paulo PROBABILIDADES: UNA INTRODUCCIÓN Popularmete, a la palabra estadística se le da el úico sigificado de datos uméricos sobre determiado asuto. Es comú oir hablar de estadísticas sobre iflació, estadísticas sobre el campeoato de fútbol, etre otros. Pero, como vimos e el capítulo, la estadística o es simplemete ua técica de recolecció y presetació de datos, sio ua ciecia co la cual se iteta sacar coclusioes a partir de datos uméricos origiados e obvervacioes. Comprobamos que el objetivo de la estadística es deducir iferecias respecto de ua població, partiedo de ua muestra de esa població, como istrumeto auiliar e la toma de decisioes e codicioes de icertidumbre. E este capítulo, veremos que el objetivo tambié es prever lo descoocido, cuatificádolo adicioalmete para determiar el error e u estimativo (de algo tambié descoocido, de ua població. E resume, ua preocupació por prever los hechos a partir de iformacioes eistetes, El futuro a Dios perteece, el presetimieto a osotros Hablar después del juego, cometar al fial de la temporada so cosas fáciles. Dar la cara para covecer co presetimietos es lo que ellos sabe. Muchos prefiere o arriesgarse e tal empresa, pero el bue croista deportivo está obligado a ser ua especie de videte. O ecoomista. Él tambié tiee que itetar prever los hechos. La teoría del cálculo de probabilidades comezó co ua correspodecia etre dos matemáticos fraceses, Blaise Pascal (63-66 y Pierre Fermat (60-665, e 654, co respecto a dos problemas formulados por u jugador compulsivo, el Chevalier de Méré (título del Baró A. G. Méré, A partir de ese mometo se realiza estudios de modelos matemáticos co ejemplos, esecialmete de juegos de azar (fialmete esa era la motivació de la época. Por desgracia, tal efoque se propagó hasta uestros dias, collevado a que los libros de probabilidad traiga ua serie de ejemplos que se refiere a los juegos de azar, a la etracció de bolas de las uras, a las jugadas co moedas (llamadas hoestas, como si la mayoría o lo fuese, e el lazamieto de los dados y e la aparició de determiadas cartas de la baraja, e especial, los ases y los reyes. Además, al aparecer la eseñaza de la teoría de cojutos e las escuelas brasileñas e la década de 960, se hizo éfasis e la asociació etre los coceptos probabilísticos y los de tal teoría, co la iteció estadística a partir de otros modelos aparetemete más estructurados y de coocimieto geeral. De todos modos, los dos efoques tuviero su importacia hasta la década de 980, y sus seguidores estaba preocupadpos por proporcioar ua mejor compresió de los coceptos téoricos por medio de estructuras que, a su eteder, facilitaría la compresio de los modelos eistetes. E uestros dias, tal visió asociativa ya o es válida, especialmete por la variedad de aplicacioes (o solamete e los juegos de azar y por la absoluta ecesidad de que las persoas compreda como utilizar los coceptos estadísticos e la vida diaria. Ejercicio - ejemplo 3. Se tiee 00 tarjetas umeradas del al 00. Se retira 3 al azar. Determie la porbabilidad de que : a Las tres tarjetas tega úmeros cosecutivos. b Aparezca dos úmeros cosecutivos (pero o tres. c De que o aparezca úmeros cosecutivos. Idetifique cuádo este problema que, co euciado semejate, es ecotrado e los libros de Estadística actuales - fue formulado por primera vez: a 950 b 900 c 850 d 800 e igua de las respuestas ateriores El estudio de la relació eistete etre los datos por medio de modelos probabilísticos se llama estadística matemática. Si etrar e discusioes filosóficas co respecto al determiismo o o de uestra vida, diremos que las variacioes de los feómeos se debe a u gra úmero de causas que o 7

18 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA podemos cotrolar y a las cuales el estadístico llama, secillamete, el azar. El segudo (Stéphae Mallarmé, poeta estupedo, creó el verso que debiera ser el lema permaete de cualquier apuesta ecoómica. U lace de dados jamás abolirá el azar. El resultado de ua eperiecia geeralmete se preseta por azar; pero si ésta se repite ua gra catidad de veces, puede costruirse u modelo probabilístico y tomar decisioes co referecia al proceso eperimetal, co sólo sus características, si ecesidad de volver a repetir la eperiecia. La práctica eseña que muchas eperiecias so relizadas como si ocurriera e situacioes estables, y las aplicacioes e los diferetes campos de la ciecia y de la idustria se comporta de maera idética. E tales circustacias, usualmete es posible costruir u modelo matemático satisfactorio y emplearlo e el estudio de propiedades y e la obteció de coclusioes. El modelo matemático que u estadístico usualmete seleccioa es capaz de posibilitar prediccioes sobre frecuecia de los resultados que se espera se presete cuado la eperiecia es repetida. Por ejemplo, cotrolado la calidad de los compoetes producidos e ua fábrica podemos prever el porcetaje de compoetes defectuosos esperados e el proceso de fabricació. E virtud de la aturaleza de los modelos y de los datos estadísticos, es atural que la probabilidad sea la seguda herramieta de la teoría estadística (la estadística descriptiva es la primera El estadístico ve e las probabilidades, el ideal de la proporció de veces que determiado resultado aparecerá e las repeticioes de u eperimeto, y u modelo probabilístico es u istrumeto matemático que prevé la frecuecia de la ocurrecia de u resultado posible si que sea ecesario repetir el eperimeto. Debido al hecho de que la probabilidad es ua herramieta importate e los métodos estadísticos teóricos y prácticos, ua itroducció al cálculo de las probabilidades es, siempre, estudiada ates que la iferecia estadística. Emplear modelos matemáticos e la solució de situacioes de la vida real es comú e varias ciecias. Por ejemplo, e el estudio del movimieto de u cohete, ua secilla ley sumiistra u modelo satisfactorio, a pesar de la complejidad del problema. Cuato más complejo es el trabajo, más elaborado es el modelo y, ua vez que u modelo costituya solamete ua represetació de la situació actual, las coclusioes obteidas depede del grado de adecuació del modelo e relació co la situació que se estudia. Idepedietemete de la dificultad del problema, es fudametal coocer el campo de aplicació para garatizar que los modelos teóricos sea adecuados a la realidad. Reio de la fatasía. E las estadísticas, el Brasil de las ovelas es u país de otro plaeta. E el terreo frío de las estadísticas, hay u abismo etre la ficció y la realidad, más profudo que el eistete etre la cualidad de los autores de hoy y el virtuosismo de la fallecida Jaet Clair. No es que los autores evada la miseria. La úica ovela que hasta hoy se atrevió a mostrarla e todos sus matices, Brasileños y Brasileñas, ehibidas por el caal SBT e 990, fue u retumbate fracaso de audiecia E los métodos estadísticos se formula hipótesis, se coduce eperiecias y se verifica si las hipótesis iiciales cocuerda (o o co los datos eperimetales. Auque los métodos estadísticos sea empleados e todas las ramas de las ciecias, hay diferecias etre los problemas de las ciecias biológicas y sociales que icluye variables ideseables que o puede ser cotroladas - y los problemas de las ciecias físicas, e las cuales las variables puede ser cotroladas satisfactoriamete e el laboratorio. El efoque dado al estudio de las probabilidades, depede del área e el cual será aplicado. El estadístico puro prefiere tratar el asuto desde el puto de vista aiomático, e el cual alguas afirmacioes se hace si demostració. Quie emplea la estadistica aplicada prefiere pesar e la probabilidad como el úmero de veces e las que se presetará determiada situació si ua eperiecia fuera repetida idefiidademete e situacioes de aturaleza repetitiva que pudiera cocebirse de esa maera. Eperiecias como cotar el úmero de elemetos defecutosos de u empaque, o la lectura diaria de ua temperatura e u termómetro so ejemplos de eperiecias simples. Por otro lado, u Aioma: e la lógica aristotélica, es el puto de partida de u raciociio, cociderado como evidete, y es la base de las demostracioes de ua teoría 8

19 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA eperimeto e el cual varias cobayas so alimetadas diariamete co diferetes clases de alimetos, sólo puede realizarse ua vez co el mismo aimal; a pesar de esto, tal eperimeto puede ser imagiado como el primero de ua serie ilimitada de eperimetos y, por esta razó, ser cosiderado tambié como repetitivo. 9

20 LO QUE EL PASADO NOS ENSEÑA LO QUE EL PASADO NOS ENSEÑA Y PREVIENDO UN POCO: LAS POSIBILIDADES DE QUE LOS HECHOS OCURRAN Todos coocemos, por ituició, el cocepto de probabilidad, o chace, de que algo ocurra. E geeral, se epresa e térmios de porcetaje y so comues las frases del siguiete tipo: La probabilidad de que Cobas se recupere es del 80%. Adicioalmete, se sabe que la probabilidad de que lo imposible suceda tiee u 0% y la probabilidad de que lo seguro suceda tiee u 00%. La probabilidad de que el equipo falle es del 40 %, tambié es ua afirmació que cuatifica el setimieto co respecto a la probabilidad de que el equipo falle. Todas estas probabilidades so cuatificadas por medio de u úmero que está e el itervalo etre 0 y, dode los valores idica el resultado que tiee mayor probabilidad de ocurrir. El 0 (cero idica que el resultado de iterés uca ocurrirá, y el (uo idica que el hecho, co certeza ocurrirá. Estos pesamietos aturales so el fruto de la eperiecia pasada, de la observació de los de la vida, codificados y resumidos por la estadística descriptiva para su posterior cosulta. E la vida diaria, el térmio probable se refiere a la magitud del porcetaje de lo que es favorable a lo que se desea e relació co todos los resultados. Acostumbramos a estimar las probabilidades de que lleva, o de coseguir u puesto e el teatro, o de que u equipo de futbol gae u partido. Es difícil, e estos casos, obteer ua media eacta de las probabilidades, y podemos cojeturar apeas tetativas ituitivas e la obteció de los resultados probables; dicho ésto, a veces es preciso teer e cueta u factor que varía co el tiempo, tal como la mejoría e el desempeño de u equipo o el defecto de las mutacioes sociales. El episodio hace recordar la historia de u suizo que, despavorido co la ameaza de ua guerra e Europa, decidió aislarse de todo y de todos. Después de deceas de estudios, el persoaje (... pegó u mapamudio e la pared y dijo: Es aquí, aputado hacia Guadalcaal. Mudóse para allá u poco ates de que comezara ua de las más sagrietas batallas de la Seguda Guerra Mudial Para perfeccioar ese coocimieto, se ecesita obteer matemáticamete ua media umérica de la probabilidad. Cuado o se tiee algua iformació, se puede eumerar los resultados posibles y describirlos como igualmete probables (equiprobables. Por ejemplo, ecotrar vetaillas vacías e ua oficia pública co cico vetaillas puede resultar e cualquiera de los úmeros 0,,, 3, 4 y 5. Nuestros motivos para defiirlos como equiprobables se basa e el hecho de que cada vetailla es (casi eactamete simétrica y las codicioes de llegada a esa oficia supuestamete o favorece a ua más que a otra. Cuado tales codicioes de simetría da u sigificado razoable a la epresió igualmete probable, podemos decir que siempre que ua eperiecia cosiste e resultados posibles e igualmete probables, la probabilidad de cada resultado es ; auque útil, esa iformació es circular (lo defiido aparece como defiició. Así, cuado fuero eumerados todos los resultados posibles co la hipótesis de ua supuesta igualdad, la probabilidad de determiada situació es el cociete del úmero de sucesos favorables a la situació y el úmero total de resultados. La probabilidad así defiida se llama probabilidad a priori; e el ejemplo, la probabilidad de ecotrar ua vetailla vacía es de 6. Carreras equilibradas. Se cofirmaro carreras, alguas umerosas y equilibradas... Ese detalle va ciertamete a causar dificultades a los apostadores de la Quiieacta, de los cuales ecesita acertar e los cico pares eactos de las últimas cico carreras. La probabilidad tambié puede ser obteida a partir de ua relació etre los sucesos favorables y los desfavorables (o viceversa. Podemos decir que ua razó a favor de cierta situació es a 7, queriedo decir co esto que la probabilidad de que suceda es de 9. Estas cosideracioes da como resultado el llamado pricipio básico de la probabilidad, el cual es el resultado de dividir el úmero de 0

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