Cifrado de imágenes usando autómatas celulares con memoria

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1 Cfrado de mágenes usando autómatas celulares con memora L. Hernández Encnas 1, A. Hernández Encnas 2, S. Hoya Whte 2, A. Martín del Rey 3, G. Rodríguez Sánchez 4 1 Insttuto de Físca Aplcada, CSIC, C/Serrano 144, Madrd, España, E-mal: 2 Dpto. de Matemátca Aplcada, E.T.S.I.I., Unversdad de Salamanca Avda. Fernández Ballesteros 2, Béar, España, E-mals: {ascen, 3 Dpto. de Matemátca Aplcada, E.P.S., Unversdad de Salamanca, C/Santo Tomás s/n Ávla, España, E-mal: 4 Dpto de Matemátca Aplcada, E.P.S., Unversdad de Salamanca, Avda. Requeo 33, Zamora, España, E-mal: Resumen: En este artículo se presenta un nuevo crptosstema gráfco para cfrar mágenes basado en autómatas celulares reversbles con memora. Su prncpal característca es que las mágenes orgnal y cfrada están defndas por la msma paleta de colores y que la magen recuperada es déntca a la magen orgnal, es decr, no hay pérdda de resolucón n de defncón en todo el protocolo, al contraro de lo que ocurre en la mayor parte de los crptosstemas gráfcos presentados hasta la fecha. Además, el crptosstema propuesto es seguro frente a ataques por fuerza bruta, estadístcos y al texto claro elegdo. Palabras Clave: Autómatas Celulares. Crptosstemas Gráfcos. Tratamento de Imágenes. 1. Introduccón En el dseño de crptosstemas se han usado frecuentemente sstemas dnámcos (véase [4]). No obstante, no han sdo muchos los protocolos basados en sstemas dnámcos que se han propuesto específcamente para el cfrado de mágenes (véase [2]). El prncpal problema que presentan es que son dfícles de mplementar computaconalmente debdo a la dferenca entre la artmétca caótca defnda por el sstema dnámco usado y la artmétca dscreta del ordenador. Además, la magen descfrada suele presentar una pérdda de resolucón que, aunque la hace reconocble, no es exactamente gual a la orgnal.

2 Recentemente se ha propuesto el uso de autómatas celulares en protocolos crptográfcos para mágenes (ver, por eemplo [1, 3]), cuya prncpal característca es que se recupera la magen orgnal sn pérdda alguna de resolucón. En este artículo se propone el uso de un autómata celular reversble con memora para el dseño de un crptosstema smétrco gráfco. Medante este nuevo método se cfran mágenes defndas por cualquer número de colores, sendo sus característcas fundamentales que la magen cfrada es del msmo tamaño y está defnda por la msma paleta de colores que la magen orgnal, y que la magen descfrada es gual a la orgnal. El resto del artículo está organzado como sgue: En la Seccón 2 se presentan los conceptos báscos relaconados con los autómatas celulares con memora. En la Seccón 3 se ntroduce el nuevo crptosstema para mágenes, y se prueba la segurdad del protocolo propuesto. En la Seccón 4 se muestra un eemplo y, fnalmente, en la Seccón 5 se presentan las conclusones y las líneas futuras de trabao. 2. Autómatas celulares con memora Un Autómata Celular (AC) es un sstema dnámco dscreto formado por un número fnto o nfnto de obetos déntcos llamados células, cada una de las cuales está dotada de un estado que va cambando con el paso dscreto del tempo según una regla determnsta. De forma más precsa, todo AC se puede defnr como un conunto A = (C, S, V, f), donde C es el espaco celular formado por n células, denotándose cada una de ellas por < >, 0 n- 1. S es el conunto de estados, es decr, todos los posbles valores que puede tomar cada célula. En este trabao supondremos que S es fnto con S = k, por lo que tomaremos S = Z k. El conunto de índces de C es el subconunto fnto ordenado V Z, V = m, tal que para cada celda < > C, su vecndad, V, es el conunto ordenado de m células dado por:

3 V = { + α,, + α, con α }. Además, la funcón de transcón local, f : S m S, es 1 m V la funcón que determna la evolucón del AC a lo largo del tempo, es decr, los cambos de estado de cada célula tenendo en cuenta sus vecndades. Así, s a t ( ) S representa el estado de la célula < > en el nstante t, y (t) V es el conunto de estados de la vecndad de la célula < > en ese nstante t, el sguente estado de la célula vene dado por: a ( t+ ( V ) = f ( a,, a ). = f +α + α 1 m Como el espaco celular es fnto, se deben establecer condcones de contorno para asegurar que está ben defnda la evolucón del AC. En este trabao se consderan condcones de contorno peródcas, es decr s ( modn) entonces a = a. El conunto de estados de todas las células en el nstante t se denomna confguracón en el n nstante t y se representa por el vector (,, ). C = a0 an 1 S En partcular, C (0) es la confguracón ncal. S denotamos por C al conunto de todas las confguracones posbles del AC, se denomna funcón de transcón global del AC a la transformacón lneal Φ : C C, ( t+ C C, que asgna a cada confguracón su evolucón en el tempo. S Φ es byectva entonces exste otro autómata celular, llamado nverso, cuya funcón global es Φ -1. Cuando exste este AC nverso, se dce que el autómata celular es reversble y su evolucón haca atrás en el tempo es posble. Hasta el momento hemos supuesto que la evolucón del AC consdera que el estado de cada célula en el nstante de tempo t+1 depende del estado de las células vecnas en el nstante t, V. Sn embargo, se puede consderar que esta evolucón tambén depende del estado de (t) otras células en nstantes de tempo anterores: t-1, t-2, etc. En este caso, la funcón de

4 ( t+ ( t h) ( t h) transcón para cada célula será de la sguente forma: a = f ( V ), donde cada f (t-h) es una funcón de transcón local específca. A este tpo de AC se les denomna autómatas celulares con memora. 3. Crptosstema para mágenes Sea I una magen defnda por n = r s 128 pxels y una paleta de c colores. Dcha magen puede ser representada como una matrz, M, de orden n = r s, con coefcentes en Z c, donde c = 2 b y b = 1, 8, 24, para mágenes en blanco y negro, escala de grses y en color, respectvamente. El coefcente (, ) de la matrz M representa el color que posee el pxel (, ) de la magen I. Esta representacón matrcal da lugar, s concatenamos las sucesvas flas de la matrz M, a una secuenca de n enteros P = (p 0,...,p n-1 ), que denomnaremos representacón secuencal de la magen I. El crptosstema propuesto consta de tres fases. En la prmera (fase de ncalzacón) los dos usuaros (el emsor y el receptor) se ponen de acuerdo en la clave que van a compartr para cfrar la magen que van a ntercambar y se defne el AC que van a usar. En la segunda fase (fase de cfrado), el emsor cfra la magen secreta para mandársela al receptor. Fnalmente, en la tercera fase (fase de descfrado), el receptor usa el AC nverso al usado por el emsor en la prmera fase y descfra la magen recbda. Fase de ncalzacón. Antes de cfrar propamente la magen I, el emsor y el receptor se ponen de acuerdo en usar una semlla de 1024 bts, K, que hará las veces de clave del crptosstema, medante la cual el emsor generará una secuenca pseudoaleatora de 2n + 2 bts usando el generador de bts pseudoaleatoros crptográfcamente seguro BBS. Así se (0) (0) ( ( obtendrán dos secuencas de n + 1 bts cada una: K = ( b b ) y K ( b b ) k h= 0 0 0,, n 1 0,, n =. Posterormente el emsor construye la representacón secuencal P de la magen I, y

5 medante el uso de un generador de números aleatoro construye una secuenca de n enteros en Z c, Z { z, z }. Fnalmente se construye el AC reversble con memora, A = (C, S, = 0, n 1 V, f), para ser usado en el crptosstema, cuyas característcas son las sguentes: el espaco celular C, es una secuenca de n = r s células; el conunto de estados vene dado por S = Z c ; las vecndades están defndas por V = {-n/2,...,n/2}; y fnalmente, la funcón de transcón es: n / 2 ( t+ ( t (mod 2)) ( t a = bn / 2+ a+ + a (modc), 0 n 1. ( = n / 2 Obsérvese que el AC con memora así defndo es reversble, sendo la funcón de transcón del AC nverso la dada por: n / 2 ( t+ ( t (mod 2)) ( t a = bn / 2+ a+ + a (modc), 0 n 1. (2) = n / 2 Obsérvese que estamos suponendo que n =r s es par. S en la magen orgnal no fuera así, añadríamos un últmo entero adconal para que fuera par. Fase de cfrado. En esta fase el emsor defne las prmeras confguracones del AC: C (0) = P, C ( = Z, y aplca la funcón de transcón dada por (, calculando así las confguracones C (2) y C (3). La magen cfrada a envar, J, está formada por la concatenacón de las mágenes, J 1 y J 2, cuyas representacones secuencales son las confguracones C (2) y C (3). Esta concatenacón se hace como una únca magen con doble número de columnas que la magen orgnal: J 2 se pondría debao de J 1 formando una magen de tamaño 2n = (2r) s. La confguracón C ( debe ser dferente para cada magen, y puede ser destruda una vez aplcado el protocolo. El número máxmo de colores de la magen cfrada, J, es, por construccón, de nuevo c; por tanto, I y J son mágenes defndas por la msma paleta de colores.

6 Fase de descfrado. Para descfrar una magen cfrada, J, el receptor calcula, a partr de la representacón secuencal de J, las dos confguracones (0) (3) C = C y ( (2) C = C, y aplca el AC nverso defndo por (2) dos veces, obtenendo (3) C = P, que es la representacón secuencal de la magen orgnalmente envada. Obsérvese que la magen recuperada es déntca a la orgnal debdo a las propedades de reversbldad del AC usado. Obsérvese que s el número de píxeles de la magen orgnal es n = r s, donde 16 n 127, el anteror protocolo funcona correctamente en vrtud de las condcones de contorno peródcas establecdas. El crptosstema propuesto es seguro frente a ataques por fuerza bruta dada la longtud de la clave: 1024 bts. Por otra parte, el crptosstema está a salvo del ataque estadístco. Ello es debdo a que la confguracón del autómata celular, C (, se obtene en el protocolo de cfrado medante un generador de números aleatoros, y a que el generador de bts utlzado es el BBS. Además, el crptosstema propuesto es seguro frente a ataques al texto claro elegdo. Así, s un posble atacante qusera cfrar una magen convenentemente elegda, (0) por eemplo, una magen homogénea de un msmo color: a = p Z, 0 n 1, entonces para obtener las secuencas de bts usadas, K 0 y K 1, habría de resolver el sstema c de 2n ecuacones no lneales con 3n+2 ncógntas, b, b, a = z, con 0 n, (0) ( ( k k 0 k n 1, dado por las ecuacones a (2) = n / 2 n / 2 (0) ( (2) ( (2) ( bn / 2+ a+ + p (modc), a = bn / 2+ a+ + a (modc), 0 n = n / 2 = n / Eemplo La magen (a) de la Fgura 1 es una magen defnda en tonos de grs y con un tamaño de píxeles. Su magen cfrada medante el protocolo anteror es la magen (b) de la

7 msma fgura. Como se comentó anterormente está formada por la concatenacón de las dos confguracones obtendas después de aplcar el autómata celular. Su tamaño es píxeles y está defnda por 256 tonos de grses. Fgura 1. (a) Imagen orgnal (b) Imagen cfrada 5. Conclusones y futuras líneas de nvestgacón En este trabao se ha presentado un nuevo algortmo para el cfrado de mágenes basado en el uso de autómatas celulares reversbles con memora. Su prncpal característca es que no se produce nnguna pérdda de resolucón en la magen recuperada, sendo por tanto ésta, exactamente gual a la orgnal. Además, dcho crptosstema es seguro frente a ataques por fuerza bruta, ataques de carácter estadístco y ataques al texto claro eleggo. Es, tambén, fáclmente mplementable en una computadora debdo a las propedades ntrínsecas de los autómatas celulares. Como futura línea de nvestgacón, nos centraremos en tratar de reducr el tamaño de la magen cfrada que, en este modelo, es el doble de la magen orgnal. Agradecmentos

8 Los autores queren agradecer a L. Hernández Encnas y a G. Álvarez Marañon sus valosas sugerencas. Este trabao ha sdo subvenconado por la Conseería de Educacón y Cultura de la Junta de Castlla y León, bao el proyecto SA052/03. Referencas [1] Álvarez Marañón, G., Hernández Encnas, L., Hernández Encnas, A., Martín del Rey, A., Rodríguez Sánchez, G., Graphc cryptography wth pseudorandom bt generators and cellular automata. Lect. Notes Artf. Intell (2003) [2] Frdrch, J., Symmetrc cphers based on two-dmensonal chaotc maps. Internat. J. Bfur. Chaos 8 (1998) [3] Hernández Encnas, L., Martín del Rey, A., Hernández Encnas, A., Encrypton of mages wth 2-dmensonal cellular automata, n Proceedngs of 6-th Multconference on Systemcs, Cybernetcs and Informatcs, Vol. I: Informaton Systems Development, Orlando, 2002, pp [4] Schmtz, R., Use of chaotc dynamcal systems n cryptography. J. Frankln Inst. 338 ( Lus Hernández Encnas es doctor en Cencas Matemátcas por la Unversdad de Salamanca (1992), e nvestgador centífco del CSIC. Sus líneas de nvestgacón ncluyen el procesamento de mágenes, los autómatas celulares y la crptografía. Ascensón Hernández Encnas es doctora en Cencas Físcas por la Unversdad de Salamanca (1990) y profesora ttular del departamento de Matemátca Aplcada de la Unversdad de Salamanca. Sus líneas de nvestgacón ncluyen la clmatología dnámca, el procesamento de mágenes, los autómatas celulares y la crptografía.

9 Sara Hoya Whte es ttulada en Ingenería Industral por la Unversdad de Salamanca (1999) y profesora asocada del departamento de Matemátca Aplcada de la Unversdad de Salamanca. Actualmente está realzando su tess doctoral. Sus líneas de nvestgacón ncluyen el procesamento de mágenes, los autómatas celulares y la crptografía. Angel Martín del Rey es doctor en Cencas Matemátcas por la UNED (2000), y profesor ttular del departamento de Matemátca Aplcada de la Unversdad de Salamanca. Sus líneas de nvestgacón ncluyen los autómatas celulares y la crptografía. Gerardo Rodríguez Sánchez es doctor en Cencas Matemátcas por la Unversdad de Salamanca (1996) y Catedrátco de Escuela Unverstara del departamento de Matemátca Aplcada de la Unversdad de Salamanca. Sus actuales líneas de nvestgacón ncluyen los autómatas celulares y la crptografía.

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