CAPITULO II SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS

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1 SISTEMA DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS

2 CAPITULO II SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS CÓDIGO Un código es un grupo de símbolos que representan algún tipo de información reconocible. En los sistemas digitales, los códigos se emplean para manipular datos y representar números, letras, signos y otros caracteres en forma binaria, es decir como una combinación equivalente de niveles altos (1 s) y bajos (0 s). SISTEMA DECIMAL El sistema decimal tiene la base 10, debido a que usa diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y que los coeficientes son multiplicados por potencias de diez. 1) El número decimal se puede representar de la siguiente manera: = (6x10 3 ) + (4x10 2 ) + (5x10 1 ) +(8x10 0 ) = (6x1000) + (4x100) + (5x10) + (8x1) = = ) El número decimal se representa de la siguiente manera: = (9x10 4 ) + (4x10 3 ) + (5x10 2 ) + (2x10 1 ) + (3x10 0 ) = (9x10000) + (4x1000) + (5x100) + (2x10) + (3x1) = = ) El número decimal se representa de la siguiente manera: = (3x10-1 ) + (5x10-2 ) + (6x10-3 ) = (3x0.1) + (5x0.01) + (6x0.001) = = ) El número decimal queda de la siguiente manera: SISTEMA BINARIO = (3x10 2 ) + (4x10 1 ) + (5x10 0 ) + (7x10-1 ) + (9x10-2 ) = (3x100) + (4x10) + (5x1) + (7x0.1) + (9x0.01) = = El sistema binario es un sistema que solamente emplea dos dígitos que son el 1 y el 0. 1) El equivalente decimal del número binario es: = (1x2 4 ) + (1x2 3 ) + (0x2 2 ) + (1x2 1 ) + (0x2 0 ) = (1x16) + (1x8) + (0x4) + (1x2) + (0x1) = =

3 2) El equivalente del siguiente número binario es: = (1x2 3 ) = (1x8) = 8 10 Observar que al convertir el número a decimal, los números ceros ya no los representamos puesto que cualquier cantidad multiplicada por cero es igual a cero, pero si hay que tomarlos en cuenta en lo que a posiciones se refiere. 3) El equivalente decimal del número binario es: = (1x2-1 ) + (1x2-2 ) = (1x0.5) + (1x0.25) = = ) El equivalente decimal del número binario es: SISTEMA OCTAL = (1X2 3 ) + (1X2 2 ) + (1X2 1 ) + (1X2 0 ) + (1X2-2 ) + (1X2-3 ) = (1x8) + (1x4) + (1x2) + (1x1) + (1x0.25) + (1x0.125) = = El sistema octal tiene la base o raíz 8. Solamente se emplean los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7. 1) El equivalente decimal del número octal es: = (5x8 2 ) + (6x8 1 ) + (7x8 0 ) = (5x64) + (6x8) + (7x1) = = ) El equivalente decimal del número octal es: = (7x8 3 ) + (3x8 2 ) + (1x8 1 ) + (5x8 0 ) = (7x512) + (3x64) + (1x8) + (5x1) = = SISTEMA HEXADECIMAL. Este sistema tiene base 16, y emplea el 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Las letras representan los siguientes números: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. 1) El equivalente decimal del número hexadecimal FE7 H es: FE7 H = (Fx16 2 ) + (Ex16 1 ) + (7X16 0 ) FE7 H = (15x16 2 ) + (14x16 1 ) + (7X16 0 ) FE7 H = (15x256) + (14x16) + (7x1) 10

4 FE7 H = FE7 H = ) El equivalente decimal del número hexadecimal A3B7 H es: A3B7 H = (Ax16 3 ) + (3x16 2 ) + (Bx16 1 ) + (7x16 0 ) A3B7 H = (10x16 3 ) + (3x16 2 ) + (11x16 1 ) + (7x16 0 ) A3B7 H = (10x4096) + (3x256) + (11x16) + (7x1) A3B7 H = A3B7 H = ) El equivalente decimal del número hexadecimal DEA H es: SISTEMA BCD. DEA H = (Dx16 2 ) + (Ex16 1 ) + (Ax16 0 ) DEA H = (13x16 2 ) + (14x16 1 ) + (10x16 0 ) DEA H = (13x256) + (14x16) + (10x1) DEA H = DEA H = En los instrumentos electrónicos digitales, en las calculadores modernas, en los juegos electrónicos y en muchos equipos digitales similares, se emplea para la entrada y salida de información la notación decimal. Los circuitos digitales como contadores, decodificadores y demás implementan este tipo de entrada y salida con la ayuda de un código binario especial llamado BCD. En el código BCD (Binary Coded Decimal: decimal codificado en binario), cada dígito decimal se convierte en su correspondiente número binario de cuatro bits. Estos bits toman su valor o peso según la columna o posición que ocupan. El bit LSB toma el valor de 1, los dos siguientes hacia la izquierda, toman los valores de 2 y 4 respectivamente y el bit MSB el valor de 8. Por la razón anterior, al código BCD se le llama código BCD DECIMAL Tabla 2.1 Equivalencia entre el sistema decimal y BCD. 1) El equivalente en BCD del número decimal 4657 es: = BCD 2) El equivalente en BCD del número decimal 5148 es: = BCD 11

5 CONVERSIÓN ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS NUMERICOS. Entre los diferentes sistemas numéricos se pueden realizar conversiones, es decir, podemos representar un número de cierto sistema en otro sistema. Algunas conversiones se pueden realizar de manera directa y otras no. DECIMAL A BINARIO El procedimiento para convertir un número decimal entero a binario es: 1. Dividir el número decimal entre dos, y el residuo será el número binario menos significativo. 2. El cociente obtenido se divide nuevamente entre dos, y el residuo será el siguiente número binario. 3. Se repite el paso dos, hasta que el cociente tenga valor de cero. 4. Los números binarios se acomodan a partir del menos significativo hacia la izquierda. 1) Representar el número en sistema binario. RESIDUO = Se puede ver que del residuo tomando los números de abajo hacia arriba obtenemos el número binario. El procedimiento para convertir un número decimal fraccionario es el siguiente: 1. Se multiplica la parte fraccionaria por dos. 2. El producto obtenido, la parte entera obtenida (1 ó 0) es la que forma el número binario, y la parte fraccionaria se vuelve a multiplicar por dos. 3. Se repite el paso dos hasta que la parte fraccionaria sea cero o cuando uno crea conveniente. 4. El número binario se va tomando tal y como se obtiene la parte entera y se acomodan de izquierda a derecha. 1) Representar el número en binario..875 X X X

6 El número binario se obtiene tomando directamente la parte entera del producto = ) Obtener el equivalente en binario del número X X X X X X X DECIMAL A OCTAL = El procedimiento para convertir un número decimal a octal, es el mismo que para el sistema binario, con la excepción que se divide el número decimal entre ocho. 1) Convertir el número al sistema octal. RESIDUO El resultado de la conversión es: = DECIMAL A HEXADECIMAL El procedimiento para convertir un número decimal a hexadecimal, es el mismo que para el binario y octal, solo que ahora se divide entre 16, es muy importante recordar que: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. 1) Convertir el número a sistema hexadecimal. RESIDUO

7 BINARIO A OCTAL Recordar que 15=F y 14=E. El número en hexadecimal es: E10F H = E10F H 0 Para convertir de binario a octal, solo basta agrupar al número binario en grupos de tres dígitos empezando del bit menos significativo hacia el bit más significativo. En la siguiente tabla, se muestra la equivalencia entre el binario y el octal. BINARIO OCTAL Tabla 2.2 Equivalencia entre el sistema binario y octal. 1) Convertir el siguiente número binario a octal = ) Convertir el siguiente número binario a octal Se observa que al agrupar los números, queda el primer número solo, solo basta agregarle dos ceros (001 = 1) o simplemente ya con la práctica sabemos que su equivalente octal es =

8 BINARIO A HEXADECIMAL Para convertir de binario a hexadecimal solo basta agrupar a los dígitos del número binario de cuatro en cuatro del menos significativo al más significativo. La siguiente tabla muestra la equivalencia entre el sistema binario y el hexadecimal. BINARIO HEXADECIMAL A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Tabla 2.3 Equivalencia entre el sistema binario y el hexadecimal. 1) Convertir el siguiente número binario a hexadecimal se agregan dos ceros para completar los cuatro dígitos A 2 A = 3A2A H OCTAL A BINARIO Para realizar la conversión solo hay que representar cada número octal en su equivalente binario de acuerdo a la tabla de equivalencia entre el sistema binario y octal. (ver tabla 2.2 ). 1) Convertir el siguiente número octal a binario =

9 OCTAL A HEXADECIMAL Los pasos para realizar la conversión son: 1. Convertir el número octal a binario. 2. Convertir el número binario a hexadecimal. 1) Convertir el siguiente número octal a hexadecimal = A C = 3AC H HEXADECIMAL A BINARIO Para convertir un número hexadecimal a binario solo basta representar de manera directa cada dígito hexadecimal en binario (ver tabla 2.3). 1) Representar el siguiente número hexadecimal a binario. 9A4C H 9 A 4 C A4C H = HEXADECIMAL A OCTAL Para realizar la conversión hay que seguir los siguientes pasos: 1. Convertir el número hexadecimal a binario de manera directa. 2. Convertir el número binario a octal. 1) Representar el número hexadecimal en octal. F0CA H F 0 C A F0CA H =

10 EJERCICIOS PROPUESTOS Convertir los siguientes números a sistema decimal BA H BCD FO10 H BCD Convertir los siguientes números a sistema binario BD H BCD 5. BACO H BCD ABC H Convertir los siguientes números a sistema octal H BCD 5. FFFF H BCD Convertir los siguientes números a sistema hexadecimal BCD BCD 17

11 Convertir los siguientes números al código BCD FB H H

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a octal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 1- Convertir el número 34731 a octal 34731 3 4341 5 542 6 67 3 0 1 34731 =3653 2- Expresar el número 01F033 en coma flotante-simple precisión, utilizando la 127 e irá en los bits del 23 al 30 y el 31 contendrá

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