Tema 6. Difracción. A.1 Apéndice. Integral de difracción.

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1 Tma 6. Diracción 6.1. Introducción 6. Princiio d Hugns-Frsnl Aroimación d Fraunhor 6.3 Diracción d Fraunhor or abrturas Abrtura rctangular Abrtura circular Abrtura sinusoidal. 6.4 Podr d rsolución d los instrumntos óticos Critrio d Raligh 6.5 Rds d diracción. A.1 Aéndic. Intgral d diracción. 1

2 6.1. Introducción S conoc como diracción la tndncia d una onda a dsviars d la roagación rctilína mintras s roaga o asa a través d un obstáculo u artura. En la igura odmos vr cómo alrddor d los bords d los ddos aarcn ranjas d diracción más claramnt, n la sgunda otograía s mustra la lu diractada or la structura mtálica d un circuito imrso. Por jmlo, si mandamos un ha lasr a través d un oriicio circular d unas décimas d milímtro, obsrvarmos qu, ljos d roducir una sombra nítida sobr una antalla, tal como rdic una roagación rctilína, aarc sin mbargo una distribución d lu como la qu s mustra n la igura, s dcir, una sri d anillos d lu sombra qu sr ritn con una cirta riodicidad. Aunqu la distribución d irradiancia n la antalla rsnta un máimo n l cntro, l disco cntral d lu no s corrsond con l tamaño qu s sraría d una roagación rctilína, así como tamoco srían licabls las ranjas riódicas d lu-oscuridad. Lo mismo ocurr si mandamos l mismo ha d lu sobr una rndija. En st caso, aarc una sri d máimos mínimos n torno al cntro d la antalla dond sraríamos una distribución d lu arcida a la rndija. Esta aarición d ranjas riódicas d lu sombra nos indica qu n sncia, la diracción s un roblma d naturala intrrncial. En la maoría d los casos stas distribucions d lu son diícils d obsrvar n la vida diaria, dado qu la saración ntr las rgions d lu sombra sul sr mu quña, ro tinn una inluncia undamntal n la calidad d la imagn qu roorcionan los instrumntos óticos n la caacidad d éstos ara rsolvr dtalls d la imagn qu roorcionan d un objto. Por llo, l studio d la diracción s d norm imortancia.

3 La diracción tin conscuncias mu imortants ara la ormación d la imagn or sistmas óticos. En cto, éstos stán ormados or lnts d tamaño inito or diaragmas, normalmnt circulars, or jmlo, n l caso dl ojo s l iris, l lmnto qu más limita la artura dl sistma comlto. Así, cuando un ha d lu incid sobr l sistma, suusto libr d abrracions, la imagn d un unto objto no s un unto, como rdic la ótica gométrica, sino una mancha d diracción. diracción La conscuncia inmdiata s qu la imagn d dos untos objto sarados una cirta distancia n sacio objto, udn aarcr juntos n l sacio imagn tal como s v n la igura. Esto quir dcir qu la diracción imon un límit a la caacidad d rsolución d los sistmas óticos. Más adlant dmostrarmos qu l ángulo mínimo d rsolución d un sistma ótico d artura D, iluminado or una radiación d longitud d onda vin dado or 1. snθ D En la igura s udn vr trs situacions: a la iquirda las imágns d los untos aarcn rsultas; n l cntro stán n l límit d rsolución, mintras qu n la imagn d la drcha, los untos aarcn conundidos n una sola máncha d diracción l sistma s incaa d rsolvrlos. 3

4 Por otro lado, la diracción roorciona la bas d instrumntos d gran imortancia n l análisis d las roidads d las unts d radiación. Un caso d norm transcndncia lo constitun las rds d diracción. El caso más sncillo s la una rd ormada or un conjunto d rndijas mu strchas quisaciadas ntr si una distancia mu quña, comarada con la longitud d onda mdia d la radiación qu incid sobr la rd. Si sobr tal structura nviamos un ha d radiación olicromática, al otro lado d la rd, la radiación aarc dscomusta n sus radiacions monocromáticas, lo qu rmit mdir su contnido sctral. En la oto d la drcha s mustra l sctro d una lámara d Hg roducido con una rd d diracción d 6 linas/mm. Un nómno amiliar d dscomosición cromática roducida or diracción s la qu aarc cuando incid lu blanca sobr la surici d un disco comacto o un DVD. La surici dl CD rsnta una distribución d almnas qu actúan como las rndijas d una rd d diracción. Como vrmos más adlant, no ist una stricta distinción conctual ntr intrrncia diracción. En muchos casos ésta s ud vr como roducida or la intrrncia d ininitas unts lmntals. Una toría d la diracción ha d artir d las cuacions d Mawll su studio riguroso s mu comljo. Aquí nos acrcarmos al nómno d la diracción a artir dl rinciio d Hugns-Frsnl qu n muchos casos suministra rsultados más qu suicints. Por otro lado tinn la vntaja d qu, n cirto modo, s una gnraliación d los nómnos intrrncials qu vnimos tratando n los caítulos antriors. 4

5 6. Princiio d Hugns-Frsnl D acurdo con st rinciio, cada unto d un rnt d onda s ud suonr como cntro scundario d rturbación qu mit ondas séricas. Por otra art, la rturbación total qu llga a otro unto arbitrario ostrior s l rsultado d la intrrncia d todas las onditas scundarias cohrnts originadas n l rnt d onda considrado. Por jmlo, considérs l caso rsntado n la igura n l qu un rnt d onda sérico corrsondint a una onda monocromática qu incid sobr una artura Σ. Sa la amlitud d la onda incidnt n un unto d la artura srá E r E La onda scundaria rocdnt dl unto n torno al lmnto d surici dσ, contribuirá a la rturbación total n P d orma roorcional a la amlitud n E al ára dl lmnto dσ qu s toma como lmnto misor scundario. ikr Q,, r dσ O s P,, Por lo tanto, l camo lmntal qu llga a P dbido a la onda scundaria radiada or dσ s odrá onr como de P iks E ikr dσ r s dond hmos incluido l actor iks qu tin n cunta la roagación d la onda scundaria dsd Σ hasta l unto P. La rturbación total n P dbido a todos los untos dl rnt d onda qu llnan la artura s obtndrá sumando todas stas ondas, s dcir E ik r s EP dσ Σ rs En 188 Kirchho dio una justiicación tórica sólida a sta rsión a artir d la cuación d ondas scalar. Nosotros artirmos d st rsultado qu como s v, s basa n l concto intrrncial. La intgral no rrsnta otra cosa qu una surosición d ininitas ondas, cada una con su amlitud as corrsondint. 5

6 6 6.3 Diracción d Fraunhor La intgral antrior s mu diícil d valuar n gnral. Pro n dtrminadas situacions ísicas d intrés odmos llvar acabo algunas simliicacions qu nos rmitirán raliar cálculos analíticos. En cto, d la igura, alicando l torma d Pitágoras, s tin Si las condicions rimntals son tals qu las dimnsions d la artura diractora son mu quñas comaradas con r s s odrán raliar algunas aroimacions, los valors d r s n l dnominador, s odrán substituir or, rsctivamnt, or lo qu Por otra art, los valors d r s n las onncials vinn dados or Por lo tanto, l onnt dl intgrando s odrá scribir como S ud obsrvar qu l rimr término no dnd d las variabls d intgración or lo qu odrá salir ura d la intgral. Por otra art, l sgundo término s cuadrático n las variabls si la ona d intgración s mu quña comarado con, odrmos dsrciar su contribución. Por lo tanto, la intgral d diracción quda rducida a s r s r 1 1 rs 1 1 s r 1 1 Σ dσ E C E ik P,,

7 Dond hmos nglobado n l actor C todos los términos qu no dndn d la variabl d intgración cuo conociminto no s ncsario n muchos casos d intrés dond starmos intrsados or asctos sacials d la rdistribución d la irradiancia osicions d máimos mínimos, tc. Si rnombramos como q a las cantidads q l camo diractado or la artura n l unto P val ik q EP, C E, Σ dd Podmos concluir qu l camo n P s roorcional a la transormada d Fourir d la unción E, qu nos da la distribución d amlitud dl camo incidnt n l lano d la artura. En l caso d qu la artura s rsnta una cirta transmitancia, t,, obviamnt, l camo indiatamnt dsués d lla srá t,e,, or lo qu la intgral d dracción s odrá onr d una manra gnral como ik q EP, C T, Σ sindo T, t,e, la unción transmitancia d la artura articular. dd 7

8 6.4 Diracción d Fraunhor. Abrtura rctangular θ sn θ Podríamos alicar a sta situación ísica los rsultados dl aartado antrior. Pro nos arc instructivo raliar d nuvo los cálculos artindo dl rinciio d Hugns-Frsnl a qu nos rmitirá vr l signiicado d la intgral d Fraunhor d las aroimacions raliadas ara llgar a lla. En cto, suongamos qu la lu rocdnt d una unt untual s colima mdiant una lnt L, d tal manra qu la onda lana rsultant incid sobr una rndija d anchura a longitud L>>a. sobr una rndija. Qurmos calcular la irradiancia n l unto P d la antalla. Sgún l rinciio d Hugns, cada unto dl rnt d onda sobr la rndija d s convirt n misor d ondas scundarias. Podmos dividir la rndija n rctángulos ininitsimals d anchura d longitud L tal como s mustra n la igura. La amlitud dl camo mitido or cada rndija lmntal srá roorcional al ára d la L rndija, s dcir, dec Ld. Por lo tanto, l camo radiado or la rndija cntral dec n la dircción hacia l unto P qu orma un ángulo θ con l j ótico s odrá onr como vr igura CL d i kr ω t dec r Por otro lado, l camo radiado n la misma dircción or otra rndija lmntal situada a la distancia dl cntro s odrá scribir d manra análoga: CL d i k r de r ω t 8

9 La única dirncia ntr las dos rsions radica n l hcho d qu sta última rsión rlja l hcho d qu la onda corrsondint rcorr un camino ótico hasta P qu s mnor n la cantidad. Esta cantidad dnd d la osición d la rndija rscto dl cntro val snθ Si la dimnsión transvrsal d la rndija s quña odrmos onr qu r- r n l dnominador. Nóts qu n la onncial no odríamos hacr sta aroimación a qu allí, basta un quño cambio n l valor d la as ara qu s altr l valor d la intrrncia d sta onda con las dmás. Por todo llo, l camo total n P srá la suma d las contribucions d todas las rndijas lmntals: E CL r Si dinimos la unción transmitancia d la artura como 1 a a T, a El camo diractado dado or la rsión d más arriba s odrá onr como E i Si s comara sta rsión con la rsión gnral obtnida n la scción 5., s vrá qu s la misma si tnmos n cunta qu n la situación rimntal analiada ahora s tin qu qu s corrsond con l hcho d qu la onda qu incid sobr la rndija vin dl ininito. Así us, l camo diractado n la antalla vin dtrminado or la transormada d Fourir d la unción transmitancia d la rndija. En st caso, la intgral s obtin ácilmnt, arroja l siguint rsultado: CLa E r kr ω t i k snθ d sn ka snθ / ka snθ / i kr ω t El rsultado d la surosición s una onda d la misma rcuncia qu la incidnt ro con una amlitud dada or la cantidad contnida n l corcht. La irradiancia d la onda srá roorcional al cuadrado d sta amlitud da lugar a una dndncia d la irradiancia con l ángulo d obsrvación tal como s mustra n la igura. a / a / ik CL i kr ω t T, r d I θ I sn ka snθ / ka snθ / 9

10 I I sn ka snθ / ka snθ / Como s ud arciar, la distribución d la irradiancia sobr l lano d la antalla mu aljada d la rndija no s uniorma sino qu rsnta un máimo cntral dond s concntra gran art d la nrgía. Por otra art aarcn mínimos nulos cua osición s ud obtnr a artir d la rsión d la irradiancia. En cto, la irradiancia srá nula cuando sn ka snθ / ka snθ / Esto s obtin n los untos d la antalla cua osición angular ka snθ / m m ± 1,, 3... m snθ m ±1,, 3... a Si, como hmos suusto n l cálculo, la rndija stá mu aljada d la antalla obsrvamos n rgions dond <<D, s tndrá qu sn θ tan θ /D, los mínimos aarcrán n las osicions dadas or D m m a El ascto dl diagrama diraccional s mustra dbajo ara dos rndijas d anchuras dirnts. Cuanto más quña s la anchura d la rndija más ancho s l máimo cntral más s saran ntr si los máimos o mínimos ntr sí. 1

11 6.5 Diracción d Fraunhor. Abrtura circular El studio d la diracción a través d una rndija circular s d articular imortancia dado qu, n gnral, los sistmas óticos ormadors d imagn stán comustos d lnts diaragmas circulars. Para calcular la irradiancia n un lano mu aljado d la abrtura o n l lano ocal d una lnt, alicarmos l mismo raonaminto qu n l caso d una rndija. La única dirncia aarc dbida a la simtría articular d la abrtura. En cto, considrmos l sistma d la igura n l qu la onda lana roducida or la lnt L, ilumina la abrtura circular d diámtro D. s sn θ Podmos dividir la abrtura n rndijas ininitsimals d ssor d longitud. Por lo tanto, l ára d una d stas rndijas srá dad. Admás, las coordnadas stán rlacionadas Z mdiant la cuación d la circunrncia D 4 Por lo tanto, l lmnto d ára s odrá scribir como D Al igual qu n l caso d la rndija, l camo radiado or la subrndija cntral s odrá onr como de CLdA r r ω t Por otra art, l camo radiado or la rndija situada a la distancia dl cntro srá de i dond s ha tnido n cunta l rtraso d onda scundaria rscto d la onda cntral. El camo total n P dbido a las contribucions d todas ls rndijas ininitsimals srá k CLd i k r r D da 4 ω t d E D / CL i kr ω t D iksnθ d r 4 D / 11

12 Esta intgral no s tan sncilla como n l caso d la rndija. Si hacmos l cambio D D u d du Por lo qu la intgral d diracción s ud onr como sigu 1 D LD ik usn i kr t θ E ω 1 u du r 1 Esta intgral no admit una unción rimitiva ro su valor s ud rsar n términos d las uncions d Bssl. En cto, la unción d Bssl d rimra sci val 1 α J u i u 1 α 1 α du 1 Tnindo n cunta sta dinición, l camo total n P s ud scribir como Finalmnt la irradiancia val LD E r J1 kd / snθ I I kd / snθ θ 1 J1 kd / snθ kd / snθ i kr ω t kd/sn θ 3.86 Obsérvs qu la orma d la unción s arcida a laqu obtuvimos ara la rndija salvo qu sta unción tin simtría radial. Los mínimos no s obtinn a una distancia angular riódica. El rimr mínimo tinn lugar ara D k snθ 3.86 o lo qu s lo mismo, ara osicions untos n la antalla cua osición angular rscto dl cntro d la artura vinn dada or 1. snθ D

13 Est s uno d los rsultados más imortants d st tma. En articular, ara los sistmas ormadors d imágns qu stán ormados or lnts arturas circulars, st rsultado stablc qu la imagn d un unto s una mancha d diracción ormada or anillos concéntricos, dnominada mancha d Air. D toda la nrgía, aroimadamnt l 9 or cinto s concntra n l máimo cntral. L Las imágns d abajo mustran l diagrama d diracción roducido or un oriicio circular a or la lu diractada or un glóbulo rojo b a b 13

14 Es ácil dars cunta qu la imagn d d un objto tnso rdrá dinición or l hcho d qu, d cada uno d los untos dl objto, l sistma ótico ormará una mancha d Air qu s surondrán con otras manchas róimas, lo qu imdirá distinguir dtalls inos, s dcir, untos mu róimos ntr sí. Vrmos st unto a continuación. 6.6 Diracción odr d rsolución El odr d rsolución d un instrumnto ótico s una mdida d su caacidad ara sarar las imágns d dos objtos qu s ncuntra mu juntos n l sacio objto. Por jmlo, cuando miramos al cilo nocturno a ojo dsnudo, vmos strllas qu arc sr strllas simls. Pro miramos a través d un tlscoio muchas d sas strllas aarcn como strllas dobls. Para ntndr st comortaminto, considrmos dos untos objto S1 S qu s ncuntran mu róimos. Cada uno d llos s va a rrsntar n l lano imagn como una mancha d Air con cntro n la imagn gométrica S 1 S, rsctivamnt. Aunqu las imágns no san untuals, si stán suicintmnt saradas s ud dcir sin ambigüdad qu corrsondn a dos objtos dirnts tal como s arcia n la igura a. Pro si los untos objtos s acrcan lo suicint, sus manchas d Air solaan, las intnsidads s suman l rsultado s qu no odmos distinguir un unto d otro, lo cual ocurrirá cuando la distancia ntr las imágns sa mnor qu l radio dl disco cntral d una d las manchas. En la imagn d más abajo s ud arciar lo qu dcimos. Todo llo nos llva a lantar un critrio d rsolución qu stablca la situación límit a artir d la cual los dos untos djan d vrs sarados. El critrio s db a Lord Raligh stablc qu dos imágns stán justamnt rsultas cuando la distancia ntr los cntros d las manchas d Air s igual al radio dl disco cntral. Esto ocurr cuando 1. snθ m D 14

15 Por lo tanto, cuanto maor sa l diámtro d la artura más quño srá l ángulo mínimo d rsolución. Así, or jmlo, ara l caso dl ojo, s l tamaño d la uila l qu dtrmina su odr d rsolución, ignorando las abrracions. Para un tamaño mdio d uila d 3 mm ara una radiación d longitud d onda 5 nm, l ángulo mínimo s snθm Est ángulo corrsond a una saración angular d.69 minutos d arco. En la igura inrior s mustran las manchas d diracción o manchas d Air roducidas or la diracción n l ojo n ausncia d abrracions, ara dirnts diámtros uilars. rad D 1 mm D mm D 3 mm D 4 mm La volución dl ángulo mínimo d diracción n unción dl diámtro uilar s mustra n la gráica inrior Diámtro uilar mm 15

16 Podmos comarar st rsultado con l ángulo mínimo d rsolución d un tlscoio comrcial cuo objtivo s d unos 5 mm d diámtro, s tin qu corrsond a.8 minuto d arco, s dcir, una obsrvación dl cilo nocturno con l tlscoio tndría una rsolución angular dl ordn d 8 vcs maor qu obsrvando a ojo dsnudo. Sin mbargo, θm la distorsión qu introduc la atmósra mobrc la imagn disminundo con llo l odr d rsolución ctivo. En st sntido, la ótica adatativa ha dsarrollado sistmas ara mjorar l rndiminto d los tlscoios trrstrs Aquí s mustra un jmlo d cómo la corrcción d las abrracions introducidas or la turbulncia d la atmósra rmitn rsolvr una strlla binaria dsd la tirra. S trata d la imagn obtnida sin con corrcción or l tlscoio d 3.5 m d Starir Otical Rang qu ora n l inrarrojo n torno a 9 nm. La rsolución tórica s θ a 3.5 s dcir, unas 1 vcs maor qu la dl ojo. 9 min.64 sconds o arc 16

17 En l caso dl tlscoio Hubbl, qu orbita ura d la atmósra trrstr, s ud dcir qu trabaja n l límit d diracción. Su sjo rimario tin un diámtro d.5 m, or lo qu l ángulo mínimo d rsolución s rad.5 snθ m 5 Si s obsrva un objto stlar a L1 años lu km, s odría distinguir dtalls sarados ntr sí al mnos Lθm.31 9 km, qu s dl ordn d la distancia Sol- Urano. Gracias a st lvado odr d rsolución, a la gran cantidad d lu qu rcog l sjo rimario d Hubbl, s han odido dtctar varios lantas orbitando alrddor d sus strllas. 17

18 En l caso d un microscoio iluminación incohrnt, también odmos alicar l critrio d Raligh ara stablcr la saración mínima qu s caa d rsolvr. En st caso, l objtivo orma una imagn ral d dos untos róimos situados mu crca dl oco objto. La imagn son dos manchas d Air qu can n oco imagn dl ocular. En la imagn d la drcha s mustran las iguras d Air d cada unto dl objto n l lano imagn dl objtivo D σ θ σ m s s La distancia mínima ntr los cntros d las imágns srá s snθ.61 m s s D n D n snσ Tnindo n cunta qu n un microscoio bin corrgido d abrracions s cuml la condición dl sno d Abb n snσ n snσ la saración mínima ntr dos untos objto qu ud rsolvr l microscoio n iluminación incohrnt s nsnσ A. N sindo A.N n sn σ la artura numérica dl objtivo. Normalmnt l objto s ncuntra n air, s dcir, n1, l ángulo subtndido or l bord dl objtivo toma valors tals σ << 9, d modo qu como máimo n sn σ 1. Por lo tanto, ara 5 nm, s tin min3 nm. Si s usa un objtivo d inmrsión n acit n 1.5 s llga hasta nm. En l caso dl obsrvación a ojo dsnudo, a una distancia d 5 mm, l tamaño mínimo qu ud rsolvr l ojo s d µm, casi trs órdns d magnitud mnos. En la tabla inrior s da la rsolución n micras ara trs tios d objtivos d dirnts aumntos arturas numéricas. Artura numérica 18

19 Magniication N.A. Rsolution &microm Objctiv T Plan Achromat Plan Fluorit Plan Aochromat N.A. Rsolution Rsolution N.A. &microm &microm N.A. Numrical Artur Como s dsrnd d las cuacions, la longitud d onda d la lu utiliada s un actor imortant n la rsolución d un microscoio. Cuanto más corta s la longitud d onda maor rsolución s alcana. El maor odr d rsolución s alcana n l ultraviolta crcano, qu rrsnta la longitud d onda más corta ara microscoía ótica. En gnral, los microscoios usan lu rocdnt d una lámara d tunsgtno ara iluminar los scimns, la cual mit cntrada n torno a 55 nm, qu s la longitud d onda ara la cual l ojo tin una rsusta otométrica maor. Los valors dados n la tabla antrior stán calculados ara sta longitud d onda. El cto d la longitud d onda s da n la tabla siguint dond s ha ijado la artura numérica al valor A.N..95. Rsolución vrsus longitud d onda Wavlngth Nanomtrs Rsolution Micromtrs La rsión qu nos da la rsolución n un microscoio obtnida antriormnt sugir qu ara obtnr maors rsolucions dbríamos trabajar con longituds d onda lo más cortas osibls. En un rinciio s hiciron intntos con lu ultraviolta o raos X, ro las diicultads ara ocaliar stas radiacions imidiron llgar a rsultados útils. El rsultado más intrsant vino d la mano d la mcánica cuántica. En cto, sgún sta toría las artículas como l rotón o l lctrón s udn comortar como ondas cua longitud d onda dnd d la cantidad d moviminto a través d la cuación d L. d Brogli h mv sindo h J.s s la constant d Planck mv la cantidad d moviminto d la artícula. Para l caso d lctrons aclrados mdiant un otncial d unos 5 KV, la vlocidad qu adquir un lctrón s ud obtnr igualando la nrgía otncial V a la nrgía cinética ganada or l lctrón n l sno d s otncial: 1 V m v 19

20 Por lo tanto, la longitud d la onda asociada srá h m v h mv 3 51 nm Si comaramos la rsolución obtnibl con microscoio qu orm imágns ocaliando lctrons n lugar d otons, la rsolución rlativa qu s alcanaría sría 3 51 nm Es dcir un microscoio lctrónico rsnta una rsolución cin mil vcs maor qu uno ótico: En la igura d la iquirda s mustra una micrograía or microscoía lctrónica d un cort histológico dl stroma cornal dond s udn arciar las ibrillas d colágno cuo diámtro s d aroimadamnt 5-3 nm. La igura d d la iquirda mustra una imagn rsulta d conos bastons d la rtina.

21 6.7 Rds d diracción. Esctroscoía En sta scción vamos a analiar los nómnos d diracción qu s roducn cuando la lu asa a través d varias abrturas situadas n una antalla. En articular nos cntrarmos n l studio d structuras ormadas or abrturas idénticas situadas d orma riódica. El caso más sncillo s l constituido or una rd d N rndijas d anchura a saradas ntr sí una distancia d, qu dnominarmos aso d la rd. Estas structuras s udn obtnr or mdios mcánicos u óticos ud tnr cntnars d línas or milímtro. Lo más intrsant s qu cuando son iluminadas or un ha monocromático, roducn urts nómnos d intrrncia n l sntido d qu sólo mrg lu n unas dirccions bin dinidas, anulándos n todas las dmás, tal como s v n la igura d la iquirda, n la qu una ha lasr d H-N incid sobr una rd roducint n la antalla d nrnt una sri d máimos d diracción d Si sobr la rd incid lu olicromática, cada color roducirá órdns d diracción con dirnt ángulo, con lo qu la rd rmit dscomonr cromáticamnt l ha incidnt vntualmnt, sr analiado. Esta s la alicación más imortant d las rds d diracción. Por jmlo, n la imagn inrior s mustra la radiación qu mrg d una lámara d dscarga qu contin vaor d hidrógno. Obsérvs qu la radiación latral qu no asa or la rd s blanca mintras qu la lámara a través d rd odmos vr los dirnts colors n qu s dscomon l rimr ordn d diracción. En lo qu sigu analiarmos con dtall stos nómnos stablcrmos rlacions cuantitativas qu nos rmitan caractriar l uncionaminto d una rd d diracción. 1

22 6.7.1 Ecuación d la rd Ants d raliar un cálculo haustivo d la rsusta d una rd d diracción a una onda lana incidnt sobr lla, vamos a obtnr, utiliando argumntos d intrrncia, algunas caractrísticas imortant d la misma. Para mar, suongamos la situación d la igura. Una onda lana incid sobr una rd comusta d N rndijas d anchura a saradas una distancia d. D cada rndija mrgrán ondas qu s dirign hacia dlant. Suongamos qu stamos intrsados n sabr si ist alguna dircción dada or l ángulo θ dond todas las ondas intriran constructivamnt. En cto, llo s osibl si la dirncia d camino ntr dos ondas conscutivas s un múltilo ntro d la longitud d onda, s dcir d θ d snθ m Por lo tanto, habrá máimos n la dirccions dadas or snθ m m, ± 1, ±... d Así us, ara m, aarcrá un máimo n la dircción dada or θ, s dcir, n la roia dircción dl ha. Dando valors a m obtnmos las dirnts dirccions n las qu s roducn máimos imortants a qu intrirn constructivamnt todas las ondas. radiación Ha d monocromática lu blanca Rd d diracción Ordn Ordn 1 Ordn Ordn -1 Ordn - Por jmlo, ara l caso d un lasr d H-N d 63 nm una rd d 6 línas/mm, los ángulos d los máimos vinn dados or snθ m 1/ 6 s dcir, θ.38m, ±.3 ± 49.3 m, ± 1, ±... Para m3, l sno dl ángulo s maor qu la unidad, or lo qu sólo aarcrán stos órdns.

23 Si iluminamos la rd con lu blanca, cada radiación monocromática, dntro d un mismo ordn, mrgrá d la rd con un ángulo dirnt. Por llo, cada ordn aarcrá dscomusto n radiacions monocromáticas, sindo l ángulo más quño ara la radiación d mnor longitud d onda. En l caso dl visibl, l violta srá l color diractado con l mnor ángulo l rojo con l maor, tal como s mustra n la igura. Rd d diracción Ordn Ha d lu blanca Ordn 1 Ordn Ordn -1 Ordn - Nos odmos rguntar si un ángulo dirnt. Por llo, cada ordn aarcrá dscomusto n radiacions monocromáticas, sindo l ángulo más quño ara la radiación d mnor longitud d onda. En l caso dl visibl, l violta srá l color diractado con l mnor ángulo l rojo con l maor, tal como s mustra n la igura. Est comortaminto d la rd tin imortants alicacions n l camo d la sctroscoía a qu nos rmit analiar l sctro d la radiación mitida or las unts d lu, sa una lámara d dscarga, la lu dl sol o la radiación rovnint d una galaia. Pro así como la diracción imonía un límit a la caacidad d rsolución sacial d los sistmas óticos, también aquí la diracción a través d las rndijas va a imonr un límit al odr sarador d la rd. Para valuarlo dbrmos calcular la onda transmitida or toda la structura vrmos cómo la anchura d la rndija l númro d llas dtrminará la caacidad d la rd ara discriminar ntr dos radiacions róimas. Sí si qurmos calcular l camo transmitido n un unto cualquira d la antalla tndrmos qu sumar todos los camos radiados or cada rndija tnindo n cunta qu las dirncias d as ntr llas. Como hmos dmostrado n la scción 6., l camo qu mrg d una rndija d anchura a n un unto cua osición angular vin dada or θ, s E sn β ω a E i kr t 1 con β snθ N β La amlitud d sta onda la hmos usto como E/N ara indicar, qu la amlitud d la onda lana incidnt s rart or igual ntr cada rndija. El camo n P srá la suma d todas las ondas radiadas or las N rndijas, tnindo n cunta qu la dirncia d as ntr dos rndijas conscutivas s d : E θ E [ ] [ ] 1 i kr ωt E1 i k r ωt E i k r t 1 ω a... E i[ k r N 1 t] 1 ω 3

24 dond d sn θ rrsnta la dirncia d camino ótico ntr dos hacs conscutivos. Tnindo n cunta los actors comuns, la rsión antrior s ud rscribir como E θ E ik... ik N i kr ωt El rimr término, E1, rrsnta l camo diractado or una d las rndijas, mintras qu l término ntr corchts rrsnta la intrrncia d N ondas su suma no s otra cosa qu la d una rogrsión gométrica d raón ik. Por lo tanto, l camo total n un unto d la antalla val ikn 1 θ E sn sn NK E E [ 1 / ] 1 i kr ωt β i kr ωt k N 1 ik N β sn k La irradiancia s la onda srá roorcional al cuadrado dl módulo d la amlitud d la onda rsultant, sto s: I sn β sn N α I θ I d θ. I i θ N β sn α d a dond α sn θ, β sn θ Ahora qu tnmos la rsión comlta d la irradiancia, odrmos trar algunas conscuncias imortants. Como s v aarc un roducto d dos uncions cada una d las cuals rrsnta al término diraccional intrrncial, rsctivamnt. Ambas son uncions oscilants dado qu d>>a, la unción intrrncial oscilará mucho más drisa qu la diraccional. Por otra art, cuando Nα, lim α sn N α sn α Así us sta unción dará lugar a máimos mu ronunciados cuando N sn N α sn α La rimra condición s cuml ara todos los valors d tals qu 3 N N α K KK K N N N N N Y d stos valors, la sgunda sólo s cuml ara N N α K KK K N N Por lo tanto, ambas condicions s vriican a la v si α m o dsn θ m 4

25 Por lo tanto, obtndrmos máimos mu brillants n aqullas dirccions qu cumlan sta cuación, qu no s otra qu la cuación d la rd qu a obtuvimos al rinciio utiliando un siml raonaminto d intrrncia. Pro hmos obtnido más cosas. Entr los valors α αν/ν, istn N-1 valors d α dond s anula l numrador d la unción Fiθ ro no l dnominador, or lo qu ara stos valors la irradiancia total s anulará. Por lo tanto, ntr dos máimos, qu dnominarmos rincials, aarcrán N-1 mínimos nulos. En la igura hmos rrsntado l actor intrrncial Fiθ n unción d la osición angular sn θ, ara l caso d 6 rndijas: N N N d N /6a /a /a /a d N /6a /a /a /a sn θ sn θ En cto, los máimos rincials aarcn n las osicions sn θ m m d, ± 1, ±... Y ntr dos máimos conscutivos aarcn 5 mínimos. El rimr mínimo ocurrirá n la osición angular dada or α snθ N N Est rsultado s imortant orqu nos da la anchura angular d los máimos rincials: ara N mu grand, θ N Pro sta gráica no rrsnta la irradiancia ral n la antalla. Hmos d multilicarla or l actor diraccional qu todavía no hmos considrado. En la igura d abajo hmos raliado una rrsntación d Fdθ también n unción d sn θ. Esta unción, como a vimos, rsnta mínimos d diracción n m m snθ >> a d Por lo tanto, sta unción va a modular a la antrior. En cto l roducto s rrsnta n la trcra igura 5 /6a /a /a /a N d d sn θ

26 6.7. Podr d rsolución d una rd d diracción Una roidad imortant d las rds d diracción s su caacidad ara sarar dos longituds d onda mu róimas. Ellos s dbido a qu al hacr intrrir muchas ondas dbido a qu ha muchas rndijas, los máimos d diracción son mu strchos. Rcuérds qu la anchura angular dl máimo rincial dndía dl númro d rndijas : θ N Suongamos, ntoncs qu sobr una rd d diracción incidn dos radiacions d longituds d onda mu róimas,. La osición angular d los máimos d diracción srá dirnt ara cada longitud d onda, tal como s mustra n la igura. Por llo, si las longituds d onda no diirn mucho, ud sucdr qu los máimos d diracción solan no sa osibl rsolvrlos. Nd sn θ Cada una d las radiacions cuml la cuación d la rd: Dsarrollando la última cuación d sn θ d sn d sn θ cos m θ θ m θ d cos θ sn θ m m Como cos θ 1 sn θ θ, s llga d cos θ θ m θ m d Siguindo l critrio d Lord Raligh, suondrmos qu stos máimos stán justamnt rsultos cuando cada uno coincid con l rimr mínimo dl otro. Ello imlica qu dbn star sarados angularmnt la smianchura d un máimo, s dcir m min d Nd Nm 6

27 S sul dinir l odr d rsolución d una rd como P r min mn Por lo tanto l odr d rsolución d una rd vin dado or l roducto dl ordn intrrncial n l qu s trabaja or l númro d línas iluminadas or l ha incidnt. La situación convncional ara analiar l sctro d una unt n l visibl usa un goniómtro qu rmit mdir con rcisión los ángulos d diracción, n un ordn dado ara cada una d las longituds d onda. Esqumáticamnt s mustra n la igura inrior. En lla la lu rocdnt d la unt ilumina una rndija cua imagn s orma n l ininito con un antojo s dij a la rd d diracción, situada n l cntro dl goniómtro. Mdiant un antojo d obsrvación con un rtículo incororado s midn los ángulos ordn m-1 ordn m ordn m1 ordn m Cuanto maor s l ordn maor s la saración ntr las dirnts línas dl sctro, or lo qu sría dsabl mdir n órdns altos, ro ntoncs ud sucdr qu s d solaaminto d órdns, s dcir, qu algunas línas d un ordn invadan art dl sctro dl ordn siguint. En la igura s ud arciar cómo art dl sctro dl ordn invad al ordn 3 o vicvrsa. En st caso Ha qu tnr cuidado a la hora d raliar la mdida. 7

28 Como jmlo d alicación, imaginmos qu qurmos rsolvr la misión d una lámara d sodio d mu baja rsión con una rd d 6 línas/mm. El gas d la lámara stá ormado or átomos d sodio qu rsntan la structura atómica qu s mustra más abajo. El nivl citado, d hcho sta ormado or dos nivls d nrgía mu juntos dbido a la intracción sin-órbita. Por lo tanto, la radiación mitida contndrá dos longituds d onda mu róimas. La dirncia ntr llas s d.597 nm. Por lo tanto, si alicamos la rsión qu nos da la rsolución d una rd, ncsitaríamos iluminar un númro d línas mínimo d N m.59 m La sctroscoía s ho una hrraminta imrscindibl n la dtcción d las línas d absorción misión d cualquir mdio matrial. El sctro d una sustancia constitu algo así como sus hullas dactilars. El squma d un sctrómtro comrcial s mustra n la igura. La lu cuo sctro s dsa analiar s introduc mdiant lnts o ibra ótica n l sctrootómtro qu consta d una sri d sjos ara amliicar la saración ntr los dirnts línas. En l caso d la igura, la lu llga rimro a un sjo cóncavo qu colima l ha d lu sobr la rd d diracción. Aquí s dscomon l ha n sus comonnts monocromáticas qu s dirign a otro sjo cóncavo d maor radio qu las ocalia n un dtctor. Los datos n intnsidad osición asan a un ordnador ara su rocsado n la antalla s mustra l sctro. 8

29 La igura inrior mustra d una manra gnérica, l tio d inormación qu ud obtnrs a artir d los sctros d un matrial. Imaginmos qu iluminamos un cirto gas con una unt d lu cuo sctro conocmos. Est srá nustro sctro d rrncia, constru l conjunto d línas d misión qu nviamos sobr la mustra. Ahora odmos rcogr la lu transmitida dirctamnt o bin la lu disrsado or la mustra, mdir su sctro comararlo con l d la unt. Las línas oscuras qu aarcn n l sctro d transmisión han sido absorbidas or l gas. Así s obtin l sctro d transmisión o absorción dl gas. La radiación diundida n otras dirccions s roduc or absorción dl la radiación incidnt or los átomos dl gas ostrior rmisión a otras longituds d onda. Constitu l sctro d misión dl gas. A continuación s mustran los sctros n l visibl mitidos or trs lámaras d dscarga d trs lmntos: Hidrógno, Mrcurio Non. H Hg N 9

30 Como dijimos antriormnt, l sctro d misión o d absorción s la hulla dactilar dl mdio matrial qu lo roduc. En la otograía tomada or l Hubbl s mustra la nub rojia d gas qu roda a la nbulosa dl cangrjo. Al mdir su sctro s vio qu s corrsondía sncialmnt con la lína roja dl átomo d hidrógno, o qu rmit dtrminar naturala d las nubs intrstlars. Los satélits catan inormación d masas vgtals, gass, tc a artir d los sctrootómtros qu llvan incororados, cada uno disñado n l rango scíico ara la unción. La astronomía la cosmología han avanado durant st siglo gracias a stas técnicas. Mrc la na comntar qu una d las hiótsis n las qu s basa la toría cosmológica standardt dl Big-Bang dscansa n los cambios obsrvados n los sctros mitidos or strllas galaias. En cto, commo a comntamos n l tma 1, l cto Dolr stablc qu la rcuncia d las ondas mitidas or una unt qu stá n moviminto rlativo al obsrvador o dtctor s dirnt d la qu s dtcta si la unt stá n roso.oso. En l dibujo s mustra l cto. La unt mit ondas a rcuncia constant, sto s, las crstas abandonan la unt d ondas sonido o lu a intrvalos rgulars d timo T. Si la unt s alja dl obsrvador d la iquirda a vlocidad constant v, ntoncs durant l riodo d timo comrndido ntr crstas sucsivas, la unt s habrá dslaado una distancia vt. Esto aumnta l timo qu ncsita una crsta n llgar al obsrvador n una cantidad vt/c, dond c ocurr ro a s la vlocidad con la qu s roagan las ondas n l sacio. Por lo tanto, l timo transcurrido ntr la llgada d la rimra crsta la siguint srá: Tnindo n cunta qu ct, la longitud d onda qu mdirá l obsrvador d la iquirda srá 3 vt T T c v 1 c

31 Un raonaminto análogo dmostraría qu l obsrvador d la drcha mdiría una longitud d onda más corta. Basta con cambiar l signo d la vlocidad. En gnral, l cambio n la longitud d onda s odrá onr v 1 ± c El cto Dolr rmit mdir la vlocidad a la qu s muv un objto luminoso si odmos mdir l corriminto qu rimnta l sctro d la radiación mitida or l mismo. Un jmlo ráctico s l RADAR d tráico. En cto, considérs qu dsd un coch d olicía n roso s nvía una onda lctromagnética d rcuncia conocida, tíicamnt n l rango d la banda X d radiorcuncias, n torno a los 1 GH. Esta onda s rlja n un vhiculo n moviminto a una vlocidad v. Dbido al cto Dolr, la rcuncia d la onda qu llga al vhiculo vinn dada or v ν ν 1 c Por la misma raón, la rcuncia d la onda rljada or l vhículo n moviminto cambia a v v v v v ν R ν 1 ν 1 1 ν 1 c c c c c Como v<<c, la rsión antrior s ud aroimar a v v ν R ν 1 ν R ν c c Por lo tanto, si hacmos intrrir la sñal d salida con la onda rljada or l vhículo, la surosición d ambas dará lugar, como hmos visto n l aartado a una onda modulada n amlitud cua irradiancia oscila a la rcuncia d batido νr ν. Lo intrsant ara la cosmología s qu st mismo hcho rmit mdir la vlocidad con la qu s muvn las strllas, galaias o los quasars rscto d nosotros. En st caso s comara l sctro mitido or una strlla crcana n roso rlativo rscto a nosotros, con l sctro mitido or la strlla o galaia n moviminto. En cto, suongamos qu tomamos como rrncia l sctro dl hidrógno qu s ha mdido con alta rcisión. 31

32 Si ahora mdimos la radiación rocdnt d la nbulosa dl cangrjo, vmos unas línas odmos rconocr qu algunas d llas s corrsondn con las dl hidrógno ro ligramnt dslaadas. Podmos asociar st dslaaminto al moviminto rlativo como odmos calcular l corriminto d cada lína sctral, odmos obtnr la vlocidad rlativa. nbulosa Lo mismo sucd si obsrvamos la radiación rocdnt d una galaia. Ahora aarcn más línas, ro vmos qu la lína dl hidrógno sigu aarcindo, solo qu más dslaada. El astroísico E. Hubbl midió stos dslaamintos d una manra sistmática obsrvó qu ara objtos suicintmnt ljanos ocurrían simr hacia l rojo, lo qu indicaba qu todas las galaias s staban aljando d nosotros. galaia 3

33 En la igura d abajo s mustra l sctro d radiación mitido or una unt d lu n l laboratorio. Las línas mitidas or sta unt constitun l sctro d la mismas stá asociado a la misión d n átomos o moléculas d la unt d radiación. Sus longituds d onda s conocn con rcisión. En la misma igura s mustra l sctro d la lu mitida or una strlla. Sobr l sctro continuo aarcn unas línas oscuras causadas or la absorción d sas dtrminadas radiacions or lctos químicos d la atmósra trna d la strlla. Como s v, cuando s comara con las misions n l laboratorio, aarcn corrimintos d las línas dbidas al cto Dolr. Como jmlo, s mustra l corriminto n las línas dl Hidrógno d una galaia. En la igura d la drcha s ud obsrvar l corriminto hacia l rojo d las línas sctrals dl Hidrógno dl sctro mitido or la Galaia 8C , obtnido rcintmnt con l tlscoio William Hrshl n la isla d la Palma. Esctro stlar Magnsio Esctro d la galaia Sodio Otro jmlo s mustra n la igura d la iquirda n la qu s ud obsrvar l ascto ral d la dtcción d un sctro mitido or una strlla crcana n roso comarado con l sctro mitido or una galaia n moviminto. Obsérvs l corriminto rimntado or las línas d misión dl calcio, magnsio sodio. Est dslaaminto sctral corrsond a una vlocidad d rcsión d 1. km/s Calcio 33

34 Hubbl, n llvó a cabo una mdición sistmática d los corrimintos sctrals d una gran númro d galaias, ncontrando un dslaaminto hacia l rojo qu aumntaba linalmnt con la distancia ntr nustra galaia las obsrvadas, tal como s mustra n la igura. Est hcho rimntal aoa urtmnt la ida d un univrso n ansión. D las gráicas s dsrnd qu las galaias más ljanas s aljan d nosotros más drisa. D hcho ncontró una dndncia linal d la vlocidad con la distancia V Hr sindo r la saración ntr galaias H la constant d Hubbl cuo valor actual s H 67 km/s/mc. Todo sto nos dic qu mucho timo atrás todas las galaias han dbido star mu juntas. Para sr más scíicos, si su vlocidad ha sido constant, ntoncs l timo qu todo ar d galaias ha ncsitado ara llgar a su situación actual srá r r 1 t V Hr H s dcir, ha sido l mismo ara todas llas: n l asado dbn habr stado todas unidas n un mismo instant d timo!, hac aroimadamnt. millons d años. 34

35 La sctroscoía también ha jugado lo sigu hacindo, un al mu imortant n l dsarrollo d la ísica cuántica. D hcho, l intnto d licar la orma d la curva dl sctro d misión d curos n quilibrio térmico a una tmratura dada dio orign a la introducción dl concto d cuanto d nrgía l análisis d las línas sctrals d gass atómicos, como l hidrógno obligó a nsar n modlos atómicos, como l modlo d átomo d Borh. Lámara d Hidrógno Y su sctro 35

36 Los sctros d las moléculas, agrgados molculars líquidos sólidos son más comljos qu los sctros atómicos, ro s obtinn d la misma manra. Mas abajo sdan los sctros d divrsos mdios biológicos como la cloroila. 36

37 Aéndic. Diracción d Fraunhor. Rd sinusoidal Vamos a analiar ahora la diracción qu s roduc cuando una onda lana ilumina una abrtura cua transmitancia cambia d un unto a otro siguindo una unción sinusoidal. El montaj s l mismo qu utiliamos ara l caso d las rndijas sncillas. La novdad striba n qu ahora la rndija s una transarncia qu absorb más n unas onas qu n otras su transmitancia no s 1 a lo largo d la tnsión d la transarncia. Esto s ud consguir, or jmlo, otograiando un diagrama intrrncial tio Young. La lícula qu s rsulta tndría un il d transmitancia cosnoidal. θ sn θ Por o tanto, situamos la lícula o transarncia a continuación d la lnt. Asumirmos una transmitancia dada or la unción 1 mcos a a si s T, s a L La distribución d irradiancia n l lano imagn srá roorcional a la transormada d Fourir d la unción T,, s dcir, a / As i kr ω t i k snθ i k snθ E T d m d r, 1 cos dond snθ /. Tnindo n cunta qu la unción cos s ud rsar como 1 i cos i a / 37

38 38 la intgral antrior s ud llvar a cabo ácilmnt n términos d uncions onncials: El rsultado inal s La irradiancia d la onda, dsrciando términos n ordn 3 n l sno s Por lo tanto, n l unto P d la antalla, situado a una distancia dl cntro, la irradiancia s comon d trs máimos d irradiancia, uno cntrado n l orign 1 r término los otros dos situados a la drcha iquirda dl cntro a una altura a la drcha iquirda d st a una altura dada or Por otro lado, l camo radiado n la misma dircción or otra rndija lmntal situada a la distancia dl cntro s odrá scribir d manra análoga: t r k i r CL d de ω d d sn k i sn k i m sn k i C E a a / / θ θ θ d sn k i sn k i m sn k i C E a a / / θ θ θ / / / / / / a sn a sn a a sn C E ± / / / / / / a sn a sn a a sn I I

39 39

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