Juego y matemáticas: Un taller para el desarrollo de estrategias en la escuela

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1 Juego y matemáticas: Un taller para el desarrollo de estrategias en la escuela Mequè Edo, Jordi Deulofeu y Edelmira Badillo Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona Resumen / Abstract Este taller pretende mostrar, a través de ejemplos de juegos adecuados para los distintos ciclos de la educación primaria, como el desarrollo de su práctica ofrece oportunidades de aprendizaje de las matemáticas a todos los alumnos, en aspectos conceptuales (sentido numérico), en la práctica de técnicas (cálculo mental) y en el desarrollo de estrategias (resolución de problemas). El contexto de juego posibilita además un trabajo cooperativo y un progresivo desarrollo de la autonomía.

2 Introducción. El tiempo destinado a jugar en clase de matemáticas puede ser una inversión de gran valor si sabemos escoger los juegos adecuados y conseguimos involucrar activamente a los alumnos en esta actividad. La conexión de los juegos con las matemáticas es múltiple y se refiere tanto al aprendizaje de conceptos, como de técnicas y de estrategias, y se relaciona de manera directa con la resolución de problemas. Si analizamos los juegos de mesa o de sociedad (con cartas, tableros, fichas, dados, etc.) una forma de clasificarlos es en función del gado de azar que contienen. Nosotros distinguimos tres categorías: a) juegos de azar puro. Por ejemplo la Oca. Son juegos en los que los jugadores se limitan a ejecutar las órdenes dictadas por el dado. No tienen opción de decidir nada. b) juegos con alguna estrategia favorecedora. Por ejemplo el Parchís. A pesar de la existencia de azar, en estos juegos los jugadores deben tomar decisiones que pueden influir en el resultado de su partida: Con cual de mis piezas avanzo? Es mejor poner a salvo esta pieza?, si muevo esta voy a matar a un contrincante? etc. Aunque las partidas siguen dependiendo en gran parte del azar, los dados siguen mandando, el resultado final también depende de los jugadores. c) juegos de estrategia. Por ejemplo El tres en raya. En estos juegos todas las decisiones están en manos de los jugadores y estos pueden llegar a descubrir una estrategia ganadora, es decir, para una determinada condición, por ejemplo: ser el primero en tirar, es posible descubrir cuales son los pasos para ganar siempre o para que el otro jugador no gane nunca. Los juegos del tipo b) y c) conllevan un tipo de razonamiento estrechamente vinculado al pensamiento matemático deseable en los procesos de resolución de problemas; por ello es altamente recomendable que en nuestras aulas se destinara un tiempo para enseñar las reglas de algunos juegos, para jugar en pequeños grupos y para analizar y discutir en gran grupo los descubrimientos realizados. Además muchos de los juegos del tipo a), b) y c) desarrollan también otro tipo de contenidos matemáticos como son los aspectos relacionados con nuestro sistema de numeración, el valor de posición, la descomposición de algunas cantidades, el cálculo mental exacto y aproximado, y en general el aumento del sentido numérico. Un tercer aspecto que queríamos resaltar, y no por ello menos importante, es el valor del aprendizaje de la autonomía personal y social que puede comportar esta actividad. Los alumnos en pequeños grupos tienen una tarea a realizar que sólo puede llevarse a cabo con la implicación y seguimiento de las normas por parte de todos ellos (sin un adulto implicado en la tarea todo el tiempo). En ocasiones la condición de jugar en parejas que forman un solo equipo (contra otros equipos) y que deben pactar la jugada antes de tirar favorece la comunicación entre compañeros que intentan explicarse razonamientos muy complejos (ambiente de resolución de problemas) al tiempo que favorece la empatía y diversión propia de un juego (ambiente lúdico vinculado a las matemáticas). Por todo ello insistimos en la recomendación de la utilización de juegos en la clase de matemáticas. El informe Cockcroft (1982) punto 227, recomienda, en cualquier edad y cualquiera que fuera el nivel de conocimientos del alumnado, la utilización bien planificada de puzzles y juegos matemáticos para contribuir a clarificar ideas de programa y para desarrollar el pensamiento lógico. En España, (Edo, 2002) el estudio de los diferentes curricula de las distintas comunidades autónomas muestra que en todos ellos aparecen referencias concretas y recomendaciones a la utilización de juegos y recreaciones para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en primaria. Presentación de los juegos A modo de ejemplo, presentamos tres juegos que pueden ayudar a desarrollar varios de los contenidos presentados. 2

3 Juego 1: De tres a siete Nivel: Mitad de parvulario y principio de ciclo inicial Material: Una baraja de cartas de elaboración propia con números del 3 al 7. Concretamente: 18 cartas del 3; 16 del 4, 20 del 5, 24 del 6 y 21 del 7. En total 99 cartas. Numero de jugadores: de 2 a 6 jugadores Reglas: Se reparten todas las cartas entre los jugadores y se dejan, sin mirarlas, en un montón particular boca abajo. Cada jugador coge tres cartas y, en su turno, coloca 1, 2 o 3 cartas encima de la mesa, boca arriba y en orden creciente. El siguiente jugador hace lo mismo, colocando sus cartas en columna si coincide con alguna de las de la mesa. Cada vez que tiras coges las cartas necesarias de tu montón para volver a tener tres cartas en la mano. Cuando al colocar cartas coincide el número de la misma con la cantidad de cartas de la columna cierras la columna y te llevas todas estas cartas a un montón particular de ganadas (boca arriba). La partida se cierra cuando un jugador ha terminado todas sus cartas del montón boca abajo. Gana quien ha recogido más cartas de columnas cerradas. Ejemplo de desarrollo de partida: Si el próximo jugador tiene un 3, cerrara la columna de tres cartas con el 3 y se las llevará. Si tiene un 4 cerrará la columna de cuatros y se llevará 4 cartas, etc. Relación con los contenidos Sentido numérico: Algunos de los contenidos matemáticos esenciales de los primeros años de escolarización son el aprendizaje de la serie numérica, la lectura de cifras y la asociación de cifras y sus cantidades respectivas; su aprendizaje a menudo se desarrolla a partir de fichas totalmente descontextualizadas. Este juego se centra en estos contenidos, aportando un contexto funcional y facilitando su construcción significativa. En él se visualizan las cifras ordenadas, así como la cantidad que corresponde a cada una de ellas. Pero además se desarrolla también la composición y descomposición de las mismas. Por ejemplo: Si hay tres cincos cuantos faltan para poder cerrar? Estrategia favorecedora: Los alumnos pueden jugar a distintos niveles. Cuando el contenido numérico deja de ser el elemento que centra toda su atención se puede intuir y descubrir que en ocasiones es mejor no descartar todas las cartas que tienes en la mano (no gana el que primero acaba sus cartas), intentando así no favorecer que un compañero cierre columnas e intentando reservarse opciones para la siguiente ronda. 3

4 Juego 2: Veinte-veinte N ivel: Finales de ciclo inicial, ciclo medio y ciclo superior Material: Una baraja de cartas españolas: Del 1 al 10 x 4 palos = 40 cartas. Seis piezas o fichas para cada jugador o equipo (un color diferente para cada uno). Numero de jugadores: Cuatro jugadores o más, juegan individualmente en ciclo inicial y en equipos en ciclo superior. R eglas: Cada jugador tiene seis fichas de un color y se reparten cinco cartas a cada uno. Las restantes se dejan en un montón, boca abajo. Por turnos, cada alumno coloca una carta abierta encima de la mesa al lado de alguna otra (horizontal o vertical). Luego coge una nueva carta del montón. Cuando un jugador pone una carta, en una fila o columna, y consigue sumar 20, cierra la fila o columna colocando una de sus fichas a cada extremo (o sea dos fichas). Gana el primer jugador que consigue colocar sus seis fichas. Ejemplo de desarrollo de partida: Relación con los contenidos Sentido numérico: Uno de los con tenidos importantes a desarrollar entre el ciclo inicial y el ciclo medio es el cálculo mental. Ser capaz de calcular con rapidez y exactitud distintas combinaciones de los primeros números es esencial. Este juego se basa en este contenido. Constantemente los jugadores suman y restan pequeñas cifras buscando el complementario a 20 y cuando el resultado es superior a 10 vuelven a descomponer este resultado. Esta práctica requiere un cálculo mental a una velocidad mayor de la que los alumnos posiblemente están acostumbrados a utilizar, es decir, esta práctica facilita la repetición necesaria para la consolidación de resultados automatizados de distintos cálculos sin aburrimiento o cansancio. (Topping, Campbell, Douglas & Smith, 2003) Estrategia favorecedora: En este juego, igual que en el anterior, los alumnos pueden jugar a distintos niveles. Al principio los cálculos requeridos para cada jugada centran toda su atención, en la medida que estos dejan de ser un problema empiezan a pensar en posibles jugadas que comportan más de una tirada. Empiezan a tener presente distintas posibilidades de juego, por si algún compañero les cierra su opción antes de su turno, y son capaces de pensar tanto en realizar su jugada como en evitar que un compañero realice la suya. En ocasiones, hacia el final de la partida, llegan a contar el número de veces que ha aparecido una carta determinada, el 2, el 3, etc. para estimar las posibilidades de distintas combinaciones de los contrincantes. Con lo cual vemos y asistimos al desarrollo de un pensamiento más complejo. 4

5 Juego 3: Cerrar un quince Nivel: Ciclo medio y superior Material: Un tablero de 3 x 3 y un juego de cartones con las cifras del 1 al 9 Numero de jugadores: Dos jugadores y juegan individualmente (al inicio) o cuatro jugadores y juegan en equipos de dos contra dos (cuando ya han comprendido el juego). Reglas: Se dejan todos los cartones encima de la mesa boca arriba, cada jugador, en su turno, escoge un número y lo coloca en el espacio que desee dentro del tablero. El primer jugador que consiga un resultado de 15 sumando tres números, en vertical, en horizontal o en diagonal ha ganado. Ejemplo de desarrollo de partida: Relación con los contenidos Sentido numérico: Como el juego anterior este permite la práctica de descomposiciones en este caso en tres sumandos. Al colocar un número, inmediatamente hay que buscar el complementario a 15, descomponerlo en dos sumandos y buscar todas las parejas de números no jugados que cumplen la condición. No solamente hay una práctica de cálculo mental sino que es preciso un análisis sistemático de todas las posibilidades. Estrategia ganadora: Dado que se trata de un juego sin intervención del azar es posible analizar el juego para hallar una estrategia ganadora. Esta existe para el primer jugador si este empieza colocando el 5 en una casilla cualquiera. La estrategia es inmediata si el 5 se sitúa en la casilla central (quien ha iniciado el juego a la segunda tirada ya puede ganar); algo más compleja si el 5 ocupa un vértice (ahora se puede ganar a la tercera jugada), o si ocupa una casilla en el centro de un lado del tablero (se gana a la cuarta jugada). Aunque la determinación de la estrategia puede ser complicada para los alumnos de primaria, el proceso de búsqueda y verbalización de estrategias parciales da sentido a la actividad matemática involucrada en este juego. 5

6 Referencias y para conocer más: Cockcroft, W. H. (Ed.). 1982, Las matemáticas si cuentan. Informe Cockcroft, Madrid: MEC. Deulofeu, J. (1999). Recreaciones, juegos y actividades matemáticas. Uno, revista de Didáctica de las Matemáticas, 20, Deulofeu, J. (2001). Una recreación matemática: historias, juegos y problemas. Barcelona: Planeta Deulofeu, J. (2003). Gimnasia mental 2, 131 juegos matemáticos. Madrid: Martinez- Roca. Corbalan, F., Deulofeu, J., (1998). Los juegos, las matemáticas y su enseñanza. Uno, revista de Didáctica de las Matemáticas, 18, 5-6 Edo, M., (1998) Juegos y matemáticas. Una experiencia en el ciclo inicial de primaria Uno, revista de Didáctica de las Matemáticas, 18, Edo, M. (2002). Jocs, interacció i construcció de coneixements matemàtics. Tesis doctoral. Bellaterra: Universitat Autònoma de Barcelona. Edo, M. (2003). Juegos matemáticos. Documentación para el taller, Desarrollo curricular. Estrategias e instrumentos. En C. Tomás & M. Casas (Eds.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos. (pp. 1-59) Barcelona: CISSPRAXIS. CD- ROM Edo, M. (2004). Taller de juegos y matemáticas en el ciclo inicial de primaria, Desarrollo curricular. Estrategias e instrumentos. En C. Tomás & M. Casas (Eds.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos. (pp. 1-13) Barcelona: CISSPRAXIS. CD-ROM Edo, M. & Deulofeu, J. (2006). Investigación sobre juegos, interacción y construcción de conocimientos matemáticos. Enseñanza de las Ciencias, 24 (2), Ferrero, L. (1991). El juego y la matemática. Madrid: Editorial La Muralla. Gómez, I. M. (1992). Los juegos de estrategia en el currículo de matemáticas. Madrid: Nancea. Kamii, C. (1985). El niño reinventa la aritmética, implicaciones de la teoría de Piaget. Madrid: Visor. Kamii, C. (1992). Reinventando la aritmética II. Madrid: Visor. Kamii, C., Devries, R. (1980). Juegos colectivos en la primera enseñanza: implicaciones de la teoría de Piaget. Madrid: Visor. Topping, K. J., Campbell, J., Douglas, W. & Smith, A. (2003). Cross-Age Peer Tutoring in Mathematics with Seven- and 11-year-olds: Influence on Mathematical Vocabulary, Strategic Dialogue and Self-Concept. Educational Research, v45 n3 p