Tema 2. Función compleja de una variable compleja

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1 Nota: Las siguientes líneas son un resumen de las cuestiones que se han tratado en clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido en la bibliografía recomendada en la Programación de la asignatura. Tema 2. Función compleja de una variable compleja 2.1. Definición de función de variable compleja Definición Sea A un subconjunto del plano complejo C. Se denomina función compleja de una variable compleja a toda aplicación, f, tal que a cada elemento, z, del conjunto A le hace corresponder un elemento, w = f(z)0c Notese que, a partir de esta definición, no es una función aquella correspondencia tal que lleva algún elemento, z, de A a más de un valor de f(z). No obstante, es frecuente encontrar bibliografía donde a las correspondencias que asignan más de un valor a f(z) se les llamen funciones multiformes o multivaluadas, reservándose la denominación de función uniforme o univaluada a las que se corresponden con nuestra definición. Al conjunto A se le denomina dominio de la función. Como ocurre con las funciones de variable real, en el caso de funciones de variable compleja suelen definirse, simplemente, por f(z) sin hacer mención acerca del conjunto A. En este caso, entenderemos como dominio de f el mayor subconjunto de C donde tengan sentido la expresión f(z) que define a f. Así por ejemplo, 1 el dominio de la función f(z) = es el conjunto A= C - {3}. z & 3 Dada la identificación que hemos hecho, en el Tema 1, entre el plano complejo, C, y el plano real R 2, también podemos escribir la función de variable compleja como sigue: Dado un z 0 C, expresado en forma binómica es z = x + iy; también, puesto que f(z) 0 C, podemos poner w =f(z) = u + iv. Así, la función se puede describir mediante el par de funciones de dos variables reales: u = u(x,y), v = v(x,y), o bien,f(z) = u(x,y) + iv(x,y). De esta manera, el estudio de las funciones de variable compleja se puede hacer, en determinados casos, a través de un par de funciones reales de dos variables reales Límites de funciones. Propiedades

2 Definición Límite de una función en un punto Sea f(z) una función compleja, de variable compleja, definida sobre un conjunto A y sea z 0 un punto de acumulación de A. Se dice que el límite de la función f(z), cuando z tiende a z 0, es L y lo escribimos:, si se verifica que: œ,>0, *>0 / si 0 <*z - z 0 * < * y z 0 A, entonces es *f(z) - L* <, Advirtamos que, como ocurre con las funciones reales de variable real, en la definición dada no se considera z = z 0 ya que, en la definición, no se exige que f(z) esté definida en z 0. Veamos algunas propiedades de los límites de funciones de variable compleja que nos serán de utilidad. Proposición Sean f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z 0 = x 0 + iy 0, y L = H + ik. Entonces: si, y solo si lim u(x, y) 'H; y lim v(x, y) ' K. (x,y)6(x 0,y 0 ) (x, y) 6 (x 0, y 0 ) Proposición El límite de una función, si existe, es único Proposición Si y lim g(z) ) es: a) lim [f(z)±g(z)]'l±l ) b) lim [af(z)] ' al c) lim [f(z).g(z)]'l.l ) f(z) d) lim z6z0 si L 0 g(z) L ) Para completar esta visión genérica sobre el límite de una función de variable compleja, nos falta precisar lo que se entiende por límite en el infinito o límite infinito, o sea, cuándo diremos que z64 o ' 4

3 Si analizamos la figura 2.1, vemos cómo el casquete esférico con centro el polo, N, se proyecta sobre el plano complejo en la zona sombreada. El punto de la esfera, N, era el infinito complejo, por tanto, un entorno de N sería un casquete esférico de la esfera de Riemann con centro N. Figura 2.1 Esta zona se corresponde (no en sentido estricto) con el exterior de los círculos centrados en el origen del plano complejo y de radio, R > 0, suficientemente grande; esto es, los entornos de infinito son los conjuntos: z64 forma: { z ; *z* >R } Por lo tanto se puede establecer las siguientes definiciones: ' 4 sí, y sólo si, œ,>0 M>0 / *z* > M entonces, *f(z) - L* <,; y, de la misma ] œ M>0 *>0 / 0 <*z - z 0 * < * entonces, *f(z)* > M 2.3. Continuidad de funciones de variable compleja Definición Continuidad. Una función, f(z), se dice que es continua en un punto, z 0, si existen los valores de f(z 0 ) y de y ambos coinciden. Es decir: ' f(z 0 ).

4 La función se dice que es continua en un subconjunto, A, de C si es continua en cada punto de A. De las propiedades incluidas en 2.2 se deducen inmediatamente las siguientes: Proposición Propiedades elementales de las funciones contínuas. a) Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y), entonces f(z) es continua en z 0 = x 0 + iy 0 si, y solamente si, las funciones u(x, y) y v(x, y) son continuas en (x 0, y 0 ). b) La suma o diferencia de dos funciones continuas en un punto es una función continua en ese punto. c) El producto de dos funciones continuas en un punto es una función continua. f(z) d) Si f(z), g(z) son dos funciones continuas en z 0, y g(z 0 ) 0, entonces es continua en g(z) z 0. Otras propiedades importantes son: Proposición Continuidad de la función compuesta. Sea f(z) una función continua en z=a y g(z) otra función continua en b=f(a).entonces, fbg es continua en z=a. Es decir, la composición de funciones continua es una función continua. Proposición Continuidad del módulo y de la función conjugada. Si f(z) es continua, las funciones *f(z)* y f(z) también lo son. Proposición Acotación de funciones contínuas en compactos. Si f(z) es una función continua en un subconjunto, A, del plano complejo, cerrado y acotado, existe un número real, M > 0, tal que *f(z)* # M. Definición Continuidad uniforme Se dice que una función, f(z), es una función uniformemente continua en un subconjunto, A, de C si para todo, >0, existe * > 0 tal que si z, z' 0 A con *z - z'* < *, es *f(z) - f(z )* <, Proposición a) Si f(z) es uniformemente continua en A, es continua en A. b) Si f(z) es una función continua en un subconjunto, A, cerrado y acotado, entonces es uniformemente continua Las funciones elementales

5 Función polinómica Es la función: P(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n donde a j es un número complejo para todo j = 1,2,...,n. Es continua en todo el plano complejo. Función racional P(z) Llamamos función racional, a la función: f(z) =, dónde tanto P(z) como Q(z) son Q(z) polinomios complejos y, dicha función está definida para todo z tal que Q(z) 0. De d se infiere que tales funciones son continuas en los puntos donde Q(z) no se anula. Función exponencial La función exponencial define como: f(z) = e z. Escrita en términos de parte real e imaginaria sería: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = e x cosy + ie x seny. Así, la función f(z) es continua en todo el plano complejo. Función logarítmica La función logarítmica se define de la siguiente forma: f(z) = ln z = ln *z* + i arg z, donde, como decíamos en 1.7, arg z se corresponde, para todo valor de z, con el valor correspondiente a una determinada rama, es decir, " # argz < " + 2B. Así, f(z) = u(r,2) + iv(r,2) = lnr + i2, y, como u,v son funciones continuas también lo será f(z) para todo z 0 con 2 0 (", "+2B). La función no es continua en los puntos de la semirrecta 2 =" Las funciones f(z)=z a, g(z)=a z se definen, como sabemos, a través de la función logarítmica, por tanto, estas funciones serán continuas donde lo sea ln z. Funciones trigonométricas Definimos la función seno como: f(z) = sen z, y la función coseno como g(z) = cos z. Las dos son funciones continuas puesto que las definimos en términos de exponenciales. senz Se define, asimismo, la función tangente como f(z) = tg z =. Obviamente es continua cosz π salvo en los puntos donde cos z=0; es decir, salvo en los puntos z = con k 0 Z. 2 % kπ De manera análoga al caso real se definirían las funciones cosecante, secante y cotangente así como el arsen z, arcos z, etc Funciones hiperbólicas También son continuas por la misma razón anterior las funciones seno y coseno hiperbólico, f(z) = Sh z y g(z) = Ch z, ya que tanto el seno como el coseno hiperbólico se definen mediante operaciones elementales con exponenciales. Como en el caso anterior, se pueden estudiar las restantes funciones hiperbólicas (tangente, cotangente,... argumento de seno, etc).

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