Tema 4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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1 Tema 4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Bueno, hemos llegado al final de la unidad y ahora se van a aclarar muchas cosas. Seguro que hasta el momento has estado pensando " y todo esto para qué?". Pues esperamos poder aclarártelo en este tema. Ecuaciones en un autobús, de Javi Valero bajo licencia Creative Commons Quizás no sepas que, desde hace bastantes años, se considera que el aspecto fundamental de la enseñanza de las matemáticas debe ir dirigido hacia la resolución de problemas. Es decir, el objetivo final de las matemáticas debe ser la resolución de problemas. Y no nos referimos únicamente a los ejercicios algebraicos que verías en el instituto, nos referimos a todo tipo de problemas: como distribuir turnos en una fábrica, como organizar los elementos en un almacén, buscar la mejor ruta para viajar, optimizar el espacio en el maletero de un coche, etc. Muchas veces, cuando es posible, se suelen reducir las cantidades, conocidas o no, y sus relaciones a simples ecuaciones o inecuaciones, pues disponemos de métodos que nos permiten resolver fácilmente esos elementos y así podemos encontrar la solución que nos puede resultar más favorable. Sobre ese método de resolver problemas, es decir, el reducirlos a sistemas de ecuaciones y resolverlos por distintos métodos, es a lo que vamos a dedicar esta última parte de la unidad. Matemáticas II Página 1 de 28

2 1. Sistemas de ecuaciones lineales Seguro que en tu vida cotidiana te encuentras en situaciones en las que hay cosas que sabes y otras que no conoces. Por ejemplo, cuando vas todos los días a trabajar seguro que conoces la distancia a la que queda tu trabajo, pero a menos que vayas andando o en bicicleta posiblemente no sepas a ciencia cierta lo que vas a tardar en llegar, pues depende de varios factores que desconoces. Si tienes un restaurante y puedes conocer cuanta comida puede gastar un comensal y cuantos alimentos tienes en la despensa, pero como no sabes exactamente cuántas personas se acercarán a tu restaurante, no puedes saber si andarás escasa de alimentos o te sobrarán muchos, lo que es especialmente problemático para los alimentos frescos que son más perecederos. Si tienes una consulta médica y quieres atender a todos los enfermos que te han solicitado cita, dependiendo de esa cantidad le podrás dedicar más o menos tiempo. En este tema lo que vamos a estudiar es esas situaciones en las que hay elementos que conocemos y otros que desconocemos y que relacionándolos entre ellos podemos construir una ecuación cuya resolución nos va a permitir descubrir esos valores desconocidos. Antes de empezar vamos a ver un pequeño vídeo sobre la historia del Álgebra. Matemáticas II Página 2 de 28

3 1.1. Definiciones Suponemos que el mundo del Álgebra, y concretamente los sistemas de ecuaciones, no es desconocido para ti. En el pasado curso ya tomaste contacto con él (repasa al tema 4 de la primera unidad de Primero de Bachillerato) y aprendiste un método general de resolución. Este primer apartado del tema está dedicado a recordar los conceptos más importantes y a relacionarlo con el mundo de las matrices. Como recordarás, uno de los aspectos más importantes en la resolución de problemas es conseguir traducir a lenguaje algebraico el lenguaje cotidiano que estemos utilizando para después aplicar los métodos de resolución. Por ejemplo, si las personas que forman un grupo, pongamos por caso una clase de Bachillerato, se quieren agrupar en equipos de futbito, cada uno de los cuales con 5 jugadores, y de futbol, formados por 11 jugadores, como no sabemos cuántos grupos podemos hacer, la expresión correspondiente sería 5 x+11 y, siendo x el número de equipos de futbito e y el de futbol. Este tipo de expresiones, que se denominan lineales, van a ser las que constituirán el punto en el que enfocaremos nuestra atención durante este tema. Futbol sala, imagen de malojavio con licencia Creative Commos Se llama ecuación lineal en las incógnitas x 1, x 2, x 3, x n a toda expresión del tipo: donde a 1, a 2, a 3, a n y b son números reales (llamados coeficientes y término independiente de la ecuación). Si el número de incógnitas es sólo tres en vez de numerar las llamaremos x, y, z, y un ejemplo de ecuación sería: 6x 2y + 9z = 24. Puede darse que las variables aparezcan en distinto miembro, en ese caso basta agrupar todas las variables en un miembro y en el otro el término independiente. Por ejemplo, la ecuación 6x + 9z = y es equivalente a la anterior. Se llama solución de la ecuación lineal a un conjunto de valores (s 1, s 2, s 3, s n ) que al sustituirlos en las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Por ejemplo,en el caso de la ecuación con tres incógnitas anterior, los valores x = 2, y = 3, z = 2 son solución de la ecuación anterior ya que se verifica que = = 24. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes frases. La ecuación 3xy 2 = 5 es lineal. Verdadero nmlkj Falso nmlkj La expresión 3x 5 + 2y = 7 6z es una ecuación lineal. Verdadero nmlkj Falso nmlkj Los valores x = 1, y = 2, z = 2 son solución de la ecuación 3x + 4y + 5z = 1 Matemáticas II Página 3 de 28

4 Verdadero nmlkj Falso nmlkj Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones lineales referidas todas ellas a las mismas incógnitas. En general se indica tanto el número de ecuaciones como de incógnitas. Hablaremos de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Por ejemplo a continuación tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y otro de 2 ecuaciones con 4 incógnitas. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de valores de tantos valores como incónitas que verifican todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, los valores x = 1, y = 3, z = 6 son una solución del primero de los sistemas anteriores ya que se verifica: En un grupo de Bachillerato formado por 35 alumnos los hemos repartido formando tres equipos de baloncesto, dos de balonmano y uno de balonvolea. En otro grupo hemos formado dos de baloncesto, uno de balonmano y dos de balonvolea, juntando en total 29 alumnos. Por último, con 30 alumnos hemos conseguido un equipo de baloncesto, otro de balonmano y tres de balonvolea Si x representa el número de alumnos que forman un equipo de baloncesto, y los del balonmano y z los que componen un equipo de balonvolea, escribe un sistema de tres ecuaciones con esas tres incógnitas que recoja la información anterior. Comprueba que x = 5, y = 7 y z = 6 es solución del sistema anterior. Qué representan esos valores? Fotografía tomada del Banco de Imágenes y sonidos del ITE. Una forma muy cómoda de trabajar con un sistema es mediante su forma matricial, pues vamos a poder aplicar todo lo que hemos aprendido hasta el momento en la unidad. Si tenemos un sistema general de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (el proceso sería exactamente igual con un sistema de n ecuaciones y m incógnitas, aunque más pesado de escribir): Los términos se agrupan en forma matricial como el siguiente producto de matrices: La matriz recibe el nombre de matriz de los coeficientes y esta formada, en cada una de sus filas, por los coeficientes de las ecuaciones y por columnas por los coeficientes de cada variable. La matriz es la matriz de las incógnitas y la matriz de los términos independientes. Se llama matriz ampliada a la que se obtiene añadiéndole a la matriz de los coeficientes la columna de los términos independientes: Matemáticas II Página 4 de 28

5 Con esta forma de escribir los sistemas de ecuaciones; los podemos interopretar como ecuaciones simples en las que la resolución se reduce a "despejar" la matriz X. En el caso de que el sistema tenga tantas ecuaciones como incógnitas, es decir qiue la matriz ampliada sea cuadrada, y además su determinante no sea cero, entonces la operación de despejar es bien sencilla y sólo depende del cálculo de la matriz inversa de M c : Dado el sistema escríbelo en forma matricial y comprueba que, aplicando las operaciones con matrices, esa expresión es equivalente al sistema original. Cuál sería la matriz ampliada del sistema? Resuelve el sistema mediante cálculos matriciales, usando la matriz inversa de la matriz de los coeficientes. Escribe los siguientes sistemas de forma matricial y di, en cada uno de los casos cua les son la matrtiz del sistema, la de los términos independientes y la matriz ampliada: a) b) Escribe los sistemas cuyas matrices ampliadas son: a) b) En el siguiente applet puedes ver ejemplos del estudio, mediante el teorema anterior, del tipo de sistema que tenemos. En la parte inferior puedes incluir los coeficientes del sistema, después de elegir el número de ecuaciones y de incógnitas que vas a utilizar, basta que aumentes el contador del número de pasos para que te aparezcan las matrices y los rangos. Applet de Descarte s elaborado por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia Creative Commons. Matemáticas II Página 5 de 28

6 1.2. Tipos de sistemas Aunque hay gente que suele decir que todo tiene solución menos la muerte, lo cierto es que en la vida cotidiana hay veces que tenemos algunas restricciones en nuestros problemas que unas veces hacen que tengamos solución y otras veces no, incluso a veces tenemos varias soluciones posibles. Por ejemplo si queremos viajar de Cádiz a Madrid por carretera hay varias formas de hacerlo, ya que podemos ir en dirección a Córdoba y después recorrer la autovía de Andalucía o bien llegar a Sevilla y tomar dirección a Mérida y al llegar a ella tomar ya la dirección de Madrid. Con los sistemas va a ocurrir algo parecido, habrá veces que tengan una única solución o varias. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es Compatible si tiene solución y en caso contrario se llama Incompatible. Si el sistema tiene una única solución recibe el nombre de Compatible Determinado. Si tiene mas de una solución se llama Compatible Indeterminado. El problema se planteacuando queremos saberer si un sistema es de un tipo u otro. Por ejemplo, el sistema tiene como solución los valores (1, 2, 1); Se puede comprobar que cualquier otro trio de valores para x, y, z siempre va a dar que no es solución. Quiere eso decir que la solución es única?: no podemos estar seguros a base de probar ternas de números pues hay infinitas posibilidades y nunca podremos probarlas todas. Sin embargo el sistema no solo tiene por solución, si no que cualquiera de las ternas (2, 1, 1) ó ( 1, 2, 4) también son solución, y no son las únicas. Vamos a ver como todo lo que hemos aprendido hasta el momento en la unidad tiene su aplicación para permitirnos decidir de qué tipo es un sistema y cuando sea compatible hallar todas y cda una de sus soluciones. Los sistemas en los que la matriz de términos independientes es nula se denominan Sistemas Homogéneos. Es evidente que un sistema homogéneo siempre es comparible ya que los valores (0, 0, 0, 0) son una solución segura del sistema. A esa solución se le suele denominar Solución Trivial. Matemáticas II Página 6 de 28

7 El sistema es homogéneo. La solución trivial (0, 0) es la única que aparece si hacemos algún intento probando otras parejas de números. Como hemos hecho notar antes, el hecho de que después de varias pruebas no seamos capaces de encontrar ninguna otra solución no nos permite asegurar que el sistema no las tiene. Tendremos que buscar un mátodo para asegurarnos de que es así. Sin embargo, el sistema si qque tiene más de una solución. Podemos comprobar que las ternas: (0, 0, 0); (1, 1, 2), (3,3, 6), y otras muchas resuelven el sistema. Decide de cada una de las siguientes afirmaciones si son verdaderas o falsas: El sistema es incompatible Verdadero nmlkj Falso nmlkj El sistema es homogéneo. Verdadero nmlkj Falso nmlkj El sistema es incompatible Verdadero nmlkj Falso nmlkj Matemáticas II Página 7 de 28

8 2. Métodos de resolución Fotografía del Banco de Imágenes y Sonidos del ITE. No sabemos si serás una persona aficionada a la cocina, pero desde luego sobre el tema de las comidas todos sabemos algo, aunque sea freír un huevo. Para conseguirlo necesitamos aceite, un huevo y una pizca de sal, pero una vez que tenemos los ingredientes tenemos que saber como manipularlos para conseguir el huevo frito. Puede parecer que esto es muy simple, pero si queremos hacer un bacalao al pil pil ya el proceso de resolución se complica. Algo parecido ocurre con las matemáticas. Mientras tenemos problemas simples hay, a veces, distintas formas de resolverlos, algunas muy simples, pero a medida que se van complicando los elementos que entran dentro del problema, los métodos de resolución se van complicando. Hasta el momento hemos visto que hay distintos tipos de sistemas, ahora es el momento de ver como es posible averiguar de qué tipo es cada uno y en caso de terner solución cómo hallarlas. Matemáticas II Página 8 de 28

9 2.1. Sistemas equivalentes Las matemáticas tienen una estructura que es muy similar a muchos aspectos del mundo que nos rodea. Para poder dar un paso es necesario haber dado el paso previo. Por ejemplo, la construcción de las pirámides no pudo hacerse empezando por el vértice superior, ya que para construir un nivel era necesario tener construido el nivel inferior. Eso mismo ocurre hoy en día, para construir un piso de una casa debemos tener construido el piso inferior, si no todo se viene abajo. Pues bien, empezaremos recordando los métodos de resolución de sistema de ecuaciones que viste en Secundaria, aplicables a los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Existen tres métodos: Reducción, Sustitución e Igualación. Si quieres repasarlos más exhaustivamente puedes ir al enlace siguiente: Repaso de métodos de resolución de sistemas En la siguiente escena de Descartes tomada de los materiales EDAD, desarrollados por el Ministerio de Educación, aparece explicado paso a paso el Método de Reducción, que es el que se generaliza para resolver todo tipo de sistemas y no sólo los de dos ecuaciones con dos incógnitas. Pulsa en el botón de siguiente paso para ver como se resuelve el sistema. Los menús desplegables que aparecen en la escena te permiten elegir entre eliminar una incógnita o la otra y sustituir al final en una ecuación o en la otra. Pruébalos para ver que el proceso es siempre el mismo. La empresa de transportes "El Gusanito Veloz", especializada en transporte infantil y juvenil, tiene varios grupos de clientes fijos para los que realiza excursiones a distintos lugares. El nuevo gerente quiere saber la cantidad fija de personas que componen esos grupos, pero al revisar los datos sólo tiene los resultados globales. En concreto, trabaja con un club que tiene un grupo de futbol y otro de baloncesto. Siempre que viaja cada grupo lleva el mismo número de personas, entre jugadores, encargados y acompañantes. Sabe que el mes pasado hizo tres viajes con el grupo de futbol y dos con el de baloncesto y en total llevó a 141 personas. Hace dos meses realizó para el primer grupo dos viajes y para el de baloncesto cuatro, desplazando en total a 142. Si llamamos x al número de personas que viajan en el grupo de futbol e y al de personas del grupo de baloncesto, completa el siguiente sistema: x+ y= x+ y= Matemáticas II Página 9 de 28

10 Resuelve el sistema por el método de reducción e indica el número de personas de cada grupo: x = el grupo de futbol tiene personas y = el grupo de baloncesto se compone de personas. Comprobar Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones, es decir, todas las soluciones del primer sistema lo son del segundo y viceversa. Las propiedades que permiten convertir un sistema de ecuaciones en otro equivalente las estudiamos en el curos pasado. Son muy parecidas a las que hemos utilizado para aplicar el método de Gauss en los temas anteriores: 1. Cambiar el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas. 2. Multiplicar o dividir los dos miembros de alguna de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero. 3. Sustituir una ecuación por otra que resulte de hacer una combinación lineal de la ecuación sustituida y otras ecuaciones del sistema. Si no las recuerdas o quieres repasarlas puedes hacerlo en el siguiente enlace. Sistemas equivalentes Las operaciones que convierten un sistema en otro equivalente nos permiten generalizar el método de reducción a sistemas con más de dos ecuaciones y más de dos incógnitas. La idea es tratar de ir consiguiendo sistemas equivalentes al inicial en los que cada ecuación tenga al menos una incógnita menos que el anterior. Observa el siguiente ejemplo en el que usamos las tres propiedades para resolverlo. Indicamos entre dos sistemas equivalentes las operaciones que producen la transformación: El sistema equivalente al que hemos llegado es fácil de resolver "de abajo arriba", es decir: Resolvemos primero la última ecuación y nos da z = 1; Sustituimos el valor en la anterior: 2y + 3 ( 1) = 3 y al resolver tenemos que y = 0; Por último sustituimos los dos valores obtenidos haasta ahora en la primera ecuación para obtener la última incógnita: x + 0 ( 1) = 1, de donde sale que x = 0. Luego (0, 0, 1) es la solución a este sistema. Matemáticas II Página 10 de 28

11 Llamaremos Sistema Escalonado a todo sistema de ecuaciones lineales en el que cada ecuación tenga al menos una incógnita menos que el anterior. Si el sistema es escalonado pueden ocurrir tres cosas: 1. Que en el sistema queden igual número de ecuaciones que de incógnitas. Entonces el sistema puede resolverse, como hemos visto antes: la solución es única. 2. Que queden menos ecuaciones que incógnitas. También puede resolverse, pero la solución hay que darla en función de uno o varios parámetros. 3. Que alguna ecuación se reduzca a 0 = k, donde k es un número distinto de cero. El sistema no tiene solución. Veámolo en algunos ejemplos: Escalones incas de jjramos con licencia Creative Commons Vamos a escalonar el siguiente sistema: Este sistema es del primer tipo que hemos descrito y es posible resolverlo "de abajo arriba", como en el ejemplo anterior. Sus soluciones son ( 2, 3). En este ejemplo: si hacemos el proceso de escalonado, tenemos: Nos quedan más incógnitas que ecuaciones. Ya vimos el año pasado que este tipo de sistemas se pueden resolver en función de una de las incógnitas, por ejemplo la z: Y sustituyendo en la primera ecuación queda: Para cada valor de z que probemos obtendremos una solución sustituyendo en las fórmulas de x e y. Por ejemplo, (16/3, 1/3, 0) ó (2, 20/3, 2). Podemos expresar la solución en funcío de un valor t, al que llamamos parámetro: (para todo número real t). Por último este otro sistema:, al escalonarlo obtenemos: Que no tiene solución ya que la última ecuación se ha convertido en una igualdad que no es cierta, independientemente de lo que valgan las tres incógnitas. Convierte los siguientes sistemas en su forma escalonada y averigua sus solución si es posible: a) b) c) d) Matemáticas II Página 11 de 28

12 2.2. El teorema de Rouché-Frobenius Hemos terminado el apartado anterior viendo que todo sistema puede transformarse mediante operaciones sobre las ecuaciones en otro equivalente escalonado y que eso permite su resolución. Este proceso puede simplificarse algo más aún si hacemos uso de las matrices, La idea es prescindir de las incógnitas y trabajar sólo con las operaciones entre las filas de la matriz ampliada del sistema. Veámoslo repasando un ejemplo que hemos desarrollado en el apartado anterior: Así vemos que cada operación sobre las ecuaciones del sistema se corresponde con una operación con las filas de la matriz ampliada. El proceso que seguiremos será el siguiente: Extraeremos la matriz ampliada del sistema, Procederemos a escalonarla con operaciones sobre las filas, Cuando se haya conseguido, voveremos al sistema asociado a la última matriz y procederemos a resolverlo "de abajo aarriba". Es más, si el sistema es escalonado, las matrices del sistema y ampliada también son escalonadas y por tanto se puede averiguar el rango muy fácilmente, como hemos visto en el tema anterior. Esto nos permite decidir sobre el tipo de sistema que tenemos estudiando el rango de la matriz del sistema y su matriz ampliada. Lo podemos resumir así: El Teorema de Rouché, o de Rouché-Frobenius, nos dice que en un sistema de ecuaciones lineales el número de soluciones depende de los rangos que tengan la matriz ampliada y la de los coeficientes mediante la siguiente regla: Torre escalones de Eustaquio Carrasco con licencia Creative Commons 1. Si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado. 2. Si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada pero menor que el número de incógnitas, el sistema es Compatible Indeterminado. 3. Si el rango de la matriz de los coeficientes es distinto del rango de la matriz ampliada, el sistema es incompatible. El siguiente applet te permite clasificar cualquier sistema de ecuaciones lineales de hasta 5 ecuaciones, con hasta 5 incógnitas, Matemáticas II Página 12 de 28

13 aplicando el Teorema de Rouché-Fröbenius. Puedes escribir en la parte inferior los coeficientes y elegir en la parte superior el número de ecuaciones e incógnitas. Al seleccionar el pulsador de paso puedes ver como se aplica el teorema. Actividad de descartes creada por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia Creative Commons Tenemos tres sistemas, cada uno con una cantidad distinta de soluciones. Utiliza el Teorema de Roché para responder a las cuestiones: El sistema compatible determinado en el número. El sistema compatible indeterminado es el número. El sistema incompatible es el número. Comprobar Matemáticas II Página 13 de 28

14 Para que puedas practicar lo que has visto, en el siguiente enlace tienes un test en el que te hacen preguntas sobre la utilización del Teorema de Rouché para estudiar un sistema. Contesta a las preguntas para ver si has entendido lo que llevamos hasta el momento. Test sobre sistemas Matemáticas II Página 14 de 28

15 2.3. El método de Gauss Te acuerdas de Raimundo? Él sigue con su trabajo en la cadena de supermercados. Quizás recuerdes que su trabajo consistía en trabajar con los datos de que disponía y lo que solía hacer era elaborar tablas o matrices con ellas para tener toda la información más a la vista y más fácil de comparar. Eso ocurre muchas veces en la vida cotidiana. El entrenador de un equipo de baloncesto va recogiendo todo el proceso que se sigue a lo largo de un partido mediante tablas comparativas, muchas de las cuales puedes verlas en las páginas deportivas de los diarios. El trabajar con esas matrices de números hace que sea más fácil seguir la evolución de los jugadores en lugar de tenerlo todo escrito según cada uno de los cuartos. En este apartado lo que vamos a ver es como, para resolver un sistema, es posible trabajar con expresiones más simples que las que hemos visto hasta el momento. En concreto vamos a trabajar solamente con los coeficientes del sistema y no vamos a tener que arrastrar las incógnitas ni las igualdades. Quizás piense que esto es algo nuevo pero no es así. Imagen tomada del Banco de Imagenes y sonidos del ITE. El trabajar sólo con coeficientes para no tener que ir arrastrando las variables no es algo que debe resultarte desconocido. Aunque no lo recuerdes, seguro que en tus años de estudiante en el instituto viste la Regla de Ruffini para hallar el cociente y resto de la división de un polinomio entre divisores de la forma x a, siendo a un número cualquiera. En dicha regla se distribuyen, en una caja, ordenadamente los coeficientes del polinomio y mediante sumas y multiplicaciones es posible hacer la división. El matemático italiano Paolo Ruffini (1765, 1822) se graduó, además de en Matemáticas, en Medicina y Filosofía. Durante muchos años ocupó las cátedras de Medicina y Matemáticas en la Universidad de Modena, de la que fue Rector. Como curiosidad comentar que enfermó durante una epidemia de tifus, y que algunos años más tarde presentó un estudio de dicha enfermedad basado en su propia experiencia. Trabajó principalmente en el campo del álgebra, en concreto en la búsqueda de las soluciones de ecuaciones de grado inferior a cinco. Paolo Ruffini, de Wikimedia Commons. Como ya hemos explicado en el apartado anteiuor, el Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales consiste en tomar la matriz ampliada del sistema y, mediante las transformaciones típicas de Gauss, conseguir una matriz triangular superior o matriz escalonada. Una vez conseguida, basta volver a recomponer el sistema que queda obteniéndose un sistema escalonado, es decir, un sistema donde cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la anterior. El teorema de Rouché nos permite decidir ante que tipo de sistema y la solución, en caso de ser posible, la hacemos resolviendo las ecuaciones del sistema "de abajo arriba" y utilizando parámetros en caso de ser preciso. Recordemos, antes de empezar, los procedimientos que podemos seguir en el método de Gauss Podemos cambiar dos filas entre sí. Podemos multiplicar o dividir una fila completa por cualquier número. Sustituir una fila por una combinación lineal de la fila sustiyuida y las demás filas de la matriz. Si una fila es completa de ceros, podemos eliminarla. Si hay dos filas iguales o proporcionales podemos eliminar una de ellas. Matemáticas II Página 15 de 28

16 Si te fijas en concreto en la última propiedad puedes comprobar que el Método de Gauss es una generalización del Método de Reducción que viste en el apartado anterior. Lo mejor es que veamos, con un ejemplo, como se aplica el método de Gauss. Puedes verlo en la presentación adjunta. En el siguiente applet puedes ver los pasos para estudiar un sistema y resolverlo mediante el Método de Gauss. Puedes escribir en la parte inferior los coeficientes y elegir en la parte superior el número de ecuaciones e incógnitas. Al seleccionar el pulsador de paso puedes ver como se va resolviendo el sistema. Actividad de descartes creada por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia CC bu-nc-sa/2.5 Matemáticas II Página 16 de 28

17 2.4. El método de Cramer Las fórmulas de Cramer es un resultado matemático que permite dar, de forma explícita, las soluciones de un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas. Hemos hablado de ellas en el tema de los determinantes. Si tenemos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, que escrito de forma matricial es A X = B, designaremos por A i a la matriz que resulta de sustituir la columna i de la matriz A por la matriz columna B de los términos independientes. Con esta notación, si la matriz de los coeficientes del sistema es regular ( A 0), las soluciones vienen dadas por las fórmulas:, para i de 1 hasta n Evidentemenete, este método no resulta muy aconsejable para los sistemas de más de 3 ecuaciones con 3 incógnitas pues el cálculo de los determinantes de orden superior a 3 está en desventaja con los cálculos matriciales que exige el método de Gauss. Veamos un ejemplo: Gabriel Cramer de Wikimedia Commons Vamos a resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas: Se trata simplemente de sustituir en las fórmulas y calcular los determinantes: El método de Cramer también puede usarse en sistems compatibles indeterminados. Se procede en estos casos como en el siguiente ejemplo. Consideremos el siguiente sistema: Paso 1º: Comprobar que el sistema es compatible indeterminado El determinante de la matriz de coeficientes es cero:. Buscamos el menor de mayor orden posible en la matriz de coeficientes para saber su rango. En este caso, el menor de orden dos formado por los primeros elementos de la s dos primeras filas nos sirve:. Luego el rango de la matriz del sistema es 2. Lo orlamos con el resto de las filas para comprobar que el rango de la matriz ampliada también es 2. El único determinante que nos queda por comprobar es:. Luego también el rango de la matriz ampliada es 2. Y por lo tanto el sistema es compatible e indeterminado. Matemáticas II Página 17 de 28

18 Paso 2º: Resolución por Cramer. Se escogen las ecuaciones que nos aseguran que el rango en este caso es 2. Se trata de las dos primeras y en ellas llevamos los términos de la ecuación no involucrados en el menor al otro término: Ahora aplicamos las fórmulas de Cramer a este sistema: Luego la solución dada en función del parámetro t será: para todo número real t. El método de Cramer está bastante indicado para la resolución de sistemas homogéneos ya que estos sólo son de dos tipos: indeterminados o determinados (y entonces sólo tienen la solución trivial). El procedimiento de resolución de un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas constaría de los siguientes pasos: Averiguaríamos el rango de la matriz de coeficientes: rango (M c ) = r. Si r = n entonces el sistema es determinado y sólo tiene la solución trivial. Si r < n entonces el sistema es indeterminado. Para resolverlo haríamos lo siguiente: Veamos un ejemplo: Buscaríamos el menor de mayor rango de la matriz de coeficientes M c. Nos quedaríamos con la parte del sistema que contiene a ese menor. Pasaríamos al otro término de las ecuaciones todas las incógnitas cuyos coeficientes no formasen parte del menor. Resolveríamos el sistema resultante dándo la solución en función de las incógnitas que hubiesen quedado en la derecha de las ecuaciones como parámetros. Resolver el siguiente sistema: Es fácil ver que el rango de M c es 2: El rango de la matriz puede ser como máximo 3 ya que tiene 3 filas y 4 columnas. Primero consideraríamos el menor, que al ser no nulo nos asegura al menos rango 2. Luego procedemos a orlarlo, lo que sólo se podría hacer sólo con la tercera o con la cuarta columnas, dando los menores de orden 3 siguientes: que al ser o ambos nos permiten asegurar que el rango de la matriz de coeficientes es 2. Matemáticas II Página 18 de 28

19 Resuelve, usando las fórmulas de Cramer, los siguientes sistemas homogéneos: 1) 2) 3) Matemáticas II Página 19 de 28

20 3. Para saber más Escalones al lado de un aŕbol de Toni-Teror con licencia Creative Commons En esta ocasión, el apartado Para saber más contiene dos subapartados específicamente dedicados a problemas tipo relacionados con los contenidos de este tema: Los problemas de enunciado. Los sistemas dependientes de un parámetro. Además en el último subapartado incluimos la habitual colección de ejercicos y problemas relacionados con el tema y específicamente pensados para el repaso del mismo. Conviene que tengas en cuenta que la práctica de los métodos aprendidos, así como su aplicación es imprscindible para que consolides tu aprendizaje. Matemáticas II Página 20 de 28

21 3.1. Problemas de sistemas con enunciado Mapa mental de Arquepoetica con licencia Creative Commons Este apartado está dedicado a un tema de especial importancia: la traducción de situaciones de la realidad al lenguaje algebraico y la utiilización de las técnicas de resolución de sistemas a los planteamientos surgidos de la anterior traducción. Aunque suele ser un tema que "da miedo" debes afrontarlo sin prejuicios. La resolución pasa por varias fases: Lectura y comprensión del enunciado. Extracción de la información relevante (un buen instrumento para organizarla puede ser una tabla). Elección y declaración de las incógnitas. Planteamiento de las ecuaciones relacionando los datos conocidos con las incógnitas a través de las informaciones que contiene el enunciado Resolución del sistema de ecuaciones planteado. Comprobación y valoración de la soluciones. A veces pasarás por alguna de las fases muy por encima, sobre todo a medida que vayas cogiendo confianza en tu capacidad para resolver los problemas. En los ejemplos que vienen a continuación, dedicaremos especial atención a todo lo que ocurre hasta que el sistema está planteado. En los apartados que acabas de estudiar está suficientemente explicado cómo resolver los sistemas, así que no le dedicaremos mucho espacio. Raimundo ha recibido los datos de las compras de pescado destinado a la sección correspondiente de sus supermercados. Su cadena suele trabajar con tres mercados distintos según el tipo de pescado que reciben. Sabe que la caja de pescado que sirve el primer mercado la pagan a 30, la del segundo a 20 y a 40 cada caja de pescado servida por el tercer mercado. En el mes pasado han tenido que pagar euros por las 1500 cajas de pescado que han recibido en total de los tres mercados el último mes. Además, le han comentado que del segundo mercado han recibido tantas cajas de pescado como del primero y tercero juntos. Cuántas cajas se habrán comprado a cada uno de los mercados? Si llamamos x al número de cajas recibidas del primer mercado, y a las del segundo y z a las del tercero, tendremos resumida la información en la siguiente tabla:: Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 Total nº de cajas x y z 1500 precio de la caja relación x + z Matemáticas II Página 21 de 28

22 Una empresa cinematográfica dispone de tres salas: A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas. Tomamos como variables: x = nº de espectadores de la sala A y = nº de espectadores de la sala B z = nº de espectadores de la sala C Completa el sistema según los datos reflejados: x + y + z = 720 x + y + z = x + y + 5z = La solución de ese sistema sería x = y = z = espectadores en la sala A espectadores en la sala B espectadores en la sala C Entrada de Cine de guevonaso con licencia Creative Commons Comprobar Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cada tipo. En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. Museo de Cádiz de Rafael dp con licencia Creative Commons Matemáticas II Página 22 de 28

23 Recogemos en una tabla la información y relaciones que salen en el enunciado: Consideramos las variables: x = peso de una sortija; y = peso de una moneda; z = peso de un pendiente. Sotijas Monedas Pendientes Total peso en gr. x y z primera combinación gr segunda combinación gr objeto irreconocible 1 18 gr Para terminar este apartado veremos un problema en el que introducimos los parámetros: Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C. Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros. Pista 2: Si compramos n unidades de A, n + 3 de B y tres de C gastamos 390 euros. a) Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto. Matemáticas II Página 23 de 28

24 3.2. Sistemas dependientes de un parámetro Este tipo de ejercicio consiste en estudiar como sería un sistema en el que uno o más de los coeficientes o de los términos independientes están sustituidos por un parámetro, por lo que los llamamos sistemas dependientes de parámetros. En realidad estamos estudiando toda una familia de sistemas, uno distinto para cada valor del parámetrosegún el valor que se le dé a ese parámetro, el sistema será de distinto tipo. Ejercicios parecidos has visto en el tema anterior cuando te pedían calcular el rango o la matriz inversa dependiendo de un valor no conocido. En este curso tan sólo consideraremos sistemas dependientes de un parámetro. Veamos algunos ejemplos: Morfologiá, modulacioń fractales de Arquepoetica con licencia Creative Commons Sea el sistema de ecuaciones a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible b) Resuelve el sistema en el caso m = 1. Considera el sistema de ecuaciones a) Determina el valor de t para que el sistema sea incompatible. b) Resuelve el sistema para t = 1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones Matemáticas II Página 24 de 28

25 a) Determina el valor del parámetro k para que el sistema sea incompatible. b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z = 2. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones dependientes del parámetro m: 1) 2) a) Determina su naturaleza según los valores del parámetro. b) Resuelvelo para los valores del parámetro en que sea compatible y determinado. Matemáticas II Página 25 de 28

26 3.3. Ejercicios y problemas Morfología, espirales de Arquepoetica con licencia Creative Commons Para reforzar el aprendizaje de los conceptos y técnicas que has aprendido en este tema te proponemos los siguientes ejercicios: * Ejercicios de consolidación. * Solución a los ejercicios propuestos. Matemáticas II Página 26 de 28

27 4. Especial selectividad No debes olvidar, como siempre cuando comenzamos esta sección, que en los enlaces siguientes puedes ver: Los enunciados de las pruebas de la Universidad de Zaragoza. Los exámenes resueltos en la página web de José Mª Sorando. Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro a perteneciente a los números reales. Junio 1994 Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal: Septiembre 2010 Matemáticas II Página 27 de 28

28 Septiembre 1999 Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del metal B y 60 g del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar a partir de estos lingotes uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes? Junio 2004 Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de los edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía. Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. (Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos histórico-musicales del examinando) Matemáticas II Página 28 de 28