2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples.. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una función f :(, ) f(, ) continua positiva cuo dominio es un conjunto que no es un rectángulo. Cómo calculamos el volumen del recinto V : (,, z) :(, ),0 z f(, ), es decir, del sólido que encierra la gráfica de la función f el plano OXY en el conjunto acotado, mediante una integral doble? na idea sería construir un rectángulo R de manera que esté contenido en R, etender la función f definiéndola igual a cero en los puntos de R que no están en calcular la integral doble de f en el rectángulo R. El problema es que f no tiene por qué ser continua en R ; pudiera tener una discontinuidad de salto en la pared del recinto, es decir, sobre la frontera del dominio. Eiste una teoría que permite construir la integral en este caso, pero es demasiado complicada para verla en un curso como éste. Realizaremos un proceso distinto al que acabamos de describir, que nos permitirá definir la integral doble al menos en los dominios no rectangulares más típicos (triángulos, círculos, elipses, etc.) que aparecen en la práctica. Este proceso se basa en la conclusión del teorema de Fubini sobre la igualdad de las integrales iteradas. Comenzamos introduciendo estos dominios. DEFINICIÓN. En el intervalo [ ab, ] consideramos dos funciones continuas c: [ a, b] c( ) d: [ a, b] d( ) tales que c ( ) d ( ) para todo [ ab, ]. Sea la región comprendida entre las gráficas de estas funciones, es decir, { a b c d : (, ) :, ( ) ( ). Diremos que este conjunto es una región X-proectable. Ahora consideremos una función continua f f Definimos la integral doble de f sobre como :(, ) (, ). b d( ) f ( da, ) : f( d, ) d. a c( ) Análogamente, se dice que una región es una región Y-proectable cuando puede escribirse co- : (, ) : c d, a( ) b( ), para dos funciones continuas mo { a: [ c, d] a( ) b: [ c, d] b( ) tales que a ( ) b ( ) para todo en [ cd, ]. Si ahora f :(, ) f(, ) es una función continua, entonces definimos la integral doble de f sobre mediante la igualdad d b( ) f ( da, ) : f( d, ) d. c a( ) OBSERVACIÓN. Los ejemplos más sencillos de regiones X-proectable o Y-proectable son los rectángulos, es decir, un rectángulo R : [ ab, ] [ cd, ] es una región que es, simultaneamente, X-pro-

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. ectable e Y-proectable. Recuerda que el teorema de Fubini para rectángulos establecía que b d d b f (, ) da f (, ) dd f (, ) dd. R a c c a En el caso de regiones proectables se verifica el siguiente resultado, análogo a la igualdad anterior. TEOREMA (FBINI PARA REGIONES PROYECTABLES). Si es una región simultáneamente X-proectable e Y-proectable, entonces las integrales previamente definidas coinciden, es decir, b d( ) d b( ) f ( da, ) f( d, ) d f( d, ) d. D a c( ) c a( ) OBSERVACIÓN. La definición de la integral doble nos asegura que si f es una función positiva, entonces el volumen del sólido V limitado entre el plano XOY la gráfica de f o sea, V : (,, z) :(, ),0 z f(, ) viene dado por la integral doble de f sobre, es decir, volumen( V) : f(, ) da. En este ca- so, la aplicación del teorema de Fubini consiste en la fórmula del cálculo de volúmenes por secciones paralelas. En particular, si f es la función constante e igual a, entonces área( ) : da, lo que nos permite epresar el área de un recinto plano como una integral doble. EJEMPLO. ) Vamos a calcular la integral doble de la función f (, ) + en el triángulo limitado por las rectas de ecuaciones respectivas 0,. Llamando c ( ) 0 d( ), la región en la que queremos calcular la integral se puede describir como (, ) : [0,], c( ) d( ). Se trata de una región X-proectable. De esta forma tenemos que d( ) ( + ) da ( + ) dd + d d. D 0 c( ) ) Vamos a calcular la integral doble de f (, ) e en {(, ) : 0,. Se trata de un conjunto X-proectable. Así que f ( da, ) e d d. Sin embargo, la integral iterada e dd no se puede calcular directamente porque no podemos calcular la inte- 0 0 gral e d, a que no eiste una primitiva del integrando en términos de funciones elementales. No obstante, observa que {(, ) : 0, 0. Es decir, el conjunto es una región Y-proectable. De esta forma,

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. e dd e dd e d e ( e ) Propiedades de la integral doble. Las propiedades conocidas de la integración de funciones de una variable (linealidad, monotonía, aditividad sobre el recinto de integración, relación entre la integral de una función la de su valor absoluto, etc.) pasan a las integrales dobles prácticamente sin cambios. Sean f g dos funciones continuas en un conjunto acotado. La integración verifica las siguientes propiedades: () Linealidad: Dados α,β, se tiene que ( α + β ) α + β f (, ) g (, ) da f( da, ) gda (, ). () Aditividad con respecto al recinto de integración: Si epresamos, donde no se solapan (sólo tienen puntos comunes en la frontera), entonces f ( da, ) f( da, ) + f( da, ). () Monotonía: Si f (, ) g (, ) en, entonces f ( da, ) gda (, ). () Desigualdad del valor absoluto: f ( da, ) f(, ) da. EJEMPLO. Vamos a calcular la integral doble dd, siendo la región limitada por las si- guientes curvas de ecuaciones +, +,, en el cuadrante positivo. Para tener una idea geométrica de la región vamos a calcular los puntos de corte de las +, curvas que se encuentran en el primer cuadrante. El punto de corte de las curvas es el +, punto de coordenadas,. Análogamente el corte de las curvas se produce en +, el punto de coordenadas,. Por otra parte vemos que el corte de las curvas +, se produce en el punto de coordenadas (,0 ). Finalmente el corte de las curvas se produce en el punto de coordenadas ( ),. A la vista de lo anterior, es fácil comprobar que la región sobre la que calculamos la integral es X-proectable. Dividimos la región en tres partes:

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. Los puntos que se encuentran a la izquierda de la recta, entre las rectas a la derecha de la recta. De esta forma, tenemos que dd dd dd dd + + S + + d d d (( ) ( ) ) + ( ) ( ) ( ) d d (( ) ( ) ) + d ( ) d + ( ) d + ( + ) d EJERCICIO. Calcula la integral doble de la función f (, ) en el triángulo de vértices (0,0), (,) (,0). EJERCICIO. Calcula la integral doble de la función (0,0), (, 0) (0,). f (, ) + en el triángulo de vértices EJERCICIO. Calcula dd, siendo T el triángulo de vértices (0,0), T +,,. EJERCICIO. Calcula la integral cos( + dd ) siendo A el dominio del plano limitado por A, e. EJERCICIO. Calcula la integral doble de f (, ) en la región limitada por las curvas de ecuaciones respectivas, 0 e. EJERCICIO 6. Calcula la integral doble de f (, ) en la región limitada por las curvas de ecuaciones respectivas e.

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. EJERCICIO 7. Calcula la integral 0. dd siendo B el dominio del plano limitado por B +, EJERCICIO 8. Calcula la integral doble de f (, ) elog en la región del primer cuadrante limitada por la log entre e. EJERCICIO 9. Considera la integral iterada dibuja el recinto de integración calcula la integral doble. EJERCICIO 0. Considera la integral iterada doble, dibuja el recinto de integración calcula la integral doble. EJERCICIO. Considera la integral iterada dibuja el recinto de integración calcula la integral doble. EJERCICIO. Calcula ( ) π d d. Escríbela como una integral doble, 0 arcsen d d. Escríbela como una integral 0 π π sen d d. Escríbela como una integral doble, 0 dd, siendo : {(, ) : +. EJERCICIO. Calcula el volumen del sólido acotado por el paraboloide del plano OXY cuos lados están en las rectas 0 +. z + el triángulo EJERCICIO. Calcula el volumen del sólido del primer octante acotado por los planos coordenados, el cilindro + el plano + z.