Escalamiento de las ecuaciones del flujo del agua subterránea mediante filtrado de Butterworth

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1 Ingeniería hidráuica en México, vo. XXI, núm. 4, pp. 5-16, octubre-diciembre de 2006 Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth Ávaro A. Adama Migue Á. Meía Instituto Mexicano de Tecnoogía de Agua Roger Beckie University of British Coumbia, Canadá E fuo de agua y e transporte de soutos en medios geoógicos se desarroan en muchas escaas de ongitud (poros de orden de miímetros hasta regiones que tienen kiómetros de ongitud). Por o mismo, hay escaas demasiado pequeñas para ser resuetas mediante un modeo o para ser observadas con os aparatos convencionaes de medición. Aun cuando no es factibe desarroar modeos que resuevan todas as escaas significantes, sí es posibe desarroar modeos de a dinámica de as escaas grandes. Estos modeos de escaa grande no requieren a descripción expícita de as escaas pequeñas, pero deben incuir e efecto de as escaas pequeñas en a dinámica de as escaas grandes. La incorporación de taes efectos requiere a soución de un probema de cerradura. Por medio de uso de fitros de Butterworth se desarroa una soución exacta para e probema de cerradura para e fuo de agua en un medio poroso con gran heterogeneidad. Se incuyen pruebas numéricas que vaidan os resutados teóricos. Paabras cave: fuo en medios porosos, escaas grandes, escaas pequeñas, probema de cerradura, fitro de Butterworth. Introducción E carácter atamente heterogéneo de as propiedades de sueo genera a presencia de una mutitud de escaas de ongitud en as variabes de interés presentes en os procesos de fuo y transporte en e agua subterránea. Dado que as ecuaciones que representan estos procesos por o genera se resueven numéricamente, se debe introducir una discretización espacia. E teorema de muestreo impica que as escaas que son más pequeñas que dos veces e tamaño de a maa no pueden ser resuetas por un modeo numérico. E uso de maas extremadamente refinadas demanda cargas computacionaes excesivas. Aun si fuera posibe superar as imitaciones computacionaes, sería prácticamente imposibe obtener a información asociada con as escaas pequeñas de fuo. Por o tanto, es de interés práctico desarroar modeos de as escaas grandes que están presentes en as variabes de fuo. E proceso de transformar una ecuación que tiene todas as escaas significativas en una ecuación que gobierna e comportamiento de as escaas grandes es comúnmente conocido como escaamiento (upscaing en ingés). Las ecuaciones escaadas no deberían contener a dinámica de as escaas pequeñas expícitamente, sino soamente e efecto que as escaas pequeñas producen en a dinámica de as escaas grandes. La naturaeza de os procesos de fuo y transporte coneva que, cuando se intenta determinar este efecto, surge un probema de cerradura. E probema de escaamiento ha sido abordado por otros investigadores empeando e enfoque estocástico (e.g. Gehar, 1993). Dicho enfoque está basado en a suposición de que os procesos de fuo y transporte en aguas subterráneas poseen un comportamiento ergódico. Evidentemente, una condición necesaria para a ergodicidad es a homogeneidad estadística. Los procesos de fuo y transporte sueen no ser estadísticamente homogéneos. Por eempo, se sabe que a concentración de un souto en una puma contaminante transportada en un acuífero será estadísticamente homogénea sóo si 5

2 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth a dimensión transversa de a puma es mucho mayor que a escaa de ongitud característica de as fuctuaciones de concentración. Frecuentemente, dicha condición no se satisface en a práctica (Dagan, 1994). Por tanto, a hipótesis de ergodicidad es débi. Además, e enfoque estocástico descansa en metodoogías fenomenoógicas para a determinación de propiedades materiaes efectivas, como a conductividad, a transmisividad, e coeficiente de amacenae y a dispersividad. Dichas metodoogías se basan en consideraciones de carácter semiempírico, cuya vaidez genera es dudosa. Asimismo, e enfoque estadístico-fenomenoógico asocia escaas de ongitud características de as propiedades materiaes, taes como as respectivas ongitudes de correación, que dependen de comportamiento estadístico de dichas propiedades. E cácuo de esas ongitudes que a su vez determinan a estructura tanto de as correaciones o covariancias espaciaes como de os espectros de as propiedades materiaes requiere información que usuamente no está disponibe en a práctica, o cua dificuta a apicación de enfoque en comento. E primer autor de este artícuo y sus coaboradores han estado trabaando en e desarroo de un enfoque aterno a probema de escaamiento, que o aborda directamente, sin requerir de a hipótesis ergódica ni de modeos fenomenoógicos (Adama, 1992; Beckie et a., 1996a, Beckie et a., 1996b). Dicho enfoque se basa en e uso de fitros espaciaes y es simiar a que se usa en as simuaciones de turbuencia (Adama, 1990). En este trabao se presenta e desarroo de as ecuaciones que describen a dinámica de as escaas grandes de fuos de agua subterránea. Se introduce a famiia de fitros de Butterworth, que es utiizada en e anáisis de señaes digitaes (Stearns, 1975). En particuar, se empea e fitro de Butterworth de primer orden, que permite resover e probema de cerradura en forma exacta. Mediante a reaización de experimentos numéricos, se evaron a cabo pruebas a priori y a posteriori para vaidar a apicación de a teoría presentada a a simuación de medios porosos atamente heterogéneos. Ecuaciones de movimiento Se supone que e agua está fuyendo en un medio poroso saturado con una matriz rígida de sueo. Por tanto, en ausencia de fuentes o sumideros, e principio de conservación de masa toma a forma de a siguiente ecuación de continuidad: Q = 0 (1) donde Q representa e vector de fuo y x, e vector de posición. Si se supone que e fuo es darciano en as escaas de interés y que e medio es isotrópico, se tiene a siguiente reación constitutiva: donde = ( x) representa a conductividad hidráuica y H, a carga piezométrica. La ecuación (2) es una expresión de a céebre ey de Darcy. Combinando as ecuaciones (1) y (2) se obtiene a conocida ecuación de fuo de agua subterránea: Interacción de escaas Q H = H x = 0 x La interacción de as diferentes escaas de ongitud presentes en e agua subterránea se entiende meor en e espacio de Fourier. Por tanto, se introducirá a transformada a espacio de Fourier de una función que depende de as coordenadas espaciaes, F=F(x ), en a siguiente forma: Fk ˆ( ) = Fx ( ) exp ( ikx) d x Donde, a partir de ahora, e circunfeo representa a transformación de Fourier; e signo de integra, a integración sobre un dominio tridimensiona no acotado; k, e vector de número de onda, y dx dx 1 dx 2 dx 3. Si e dominio de interés es acotado, se supone que F y todas as variabes reevantes se extienden apropiadamente fuera de dominio. Tomando a transformada de Fourier de a ecuación (2) y empeando e teorema de a convoución, se obtiene: donde dk dk 1 dk 2 dk 3. Por tanto, todas as escaas (números de onda) presentes en interactúan con todas as escaas presentes en H para producir as escaas de Q. Esta interacción es particuarmente significativa cuando posee un espectro muy ancho, i.e., cuando e campo de conductividad es muy heterogéneo. Metodoogía de fitrado espacia ˆ i Q ( k ) = k ˆ( k ) khk ˆ( ) d ( 2π) 3 k En e marco de un método de fitrado espacia, as componentes de escaa grande (eg) de una variabe F=F(x ) son definidas por a siguiente operación de convoución (Adama, 1990 y 1992): (2) (3) (4) (5) 6 ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de 2006

3 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth F( x ) = G( x x ) F( x ) dx (6) Q H = (13) donde, a partir de ahora, a barra superior representa a operación de fitrado dada por (6) y G es una función de fitrado que posee as siguientes propiedades: H x = 0 x (14) Gx ( ) dx = 1 ím x α DG= x 0 α (7) (8) Expresando a conductividad, e fuo y a carga en términos de sus componentes de escaa grande (eg), denotadas con sobrebarra y definidas a través de a operación de fitrado (6), y de escaa pequeña (ep), denotadas por medio de etras minúscuas, se tiene que: α ím DG= ˆ k 0 α k donde D α x y D α k representan operadores diferenciaes definidos como: D α x α = α1 α2 α (9) (10) = k (15) Q= Q q (16) H= H h (17) La substitución de as expresiones (15)-(17) en as ecuaciones (13) y (14) resuta en: D α k α = k k k α1 α2 α (11) Q H = = H h k H k h (18) α=(α 1,α 2,α 3 ) representa un muti-índice, α 1, α 2 y α 3 son enteros no negativos y Σα α 1 α 2 α 3. La propiedad (7) impica que G preserva a media y a propiedad (8) es necesaria para demostrar que a operación de fitrado conmuta con derivadas espaciaes de orden arbitrario. La impicación de a propiedad (9), así como a importancia de a operación de fitrado, se comprenden meor en e espacio de Fourier. Transformando a ecuación (6) a espacio de Fourier se obtiene: F ˆ( k ) = G ˆ( k )ˆ( F k ) La propiedad (9) impica, para α = 0, que as componentes de número de onda atas de ˆF (componentes atamente fuctuantes) son eiminadas (graduamente si Ĝ posee un soporte no acotado, o totamente si Ĝ posee un soporte acotado) a través de a operación de fitrado. E probema de cerradura y ocaización (12) Fitrando a ey de Darcy (2) y a ecuación de fuo de agua subterránea (3), y tomando en cuenta e hecho de que, gracias a a propiedad (8), a operación de fitrado conmuta con as derivadas espaciaes, se obtiene: H h k H k h = 0 x E primer término en a ecuación (18) representa a interacción eg-eg (escaa grande-escaa grande); e segundo y tercer términos, a interaccción eg-ep (escaa grande-escaa pequeña), y e cuarto, a interacción epep (escaa pequeña-escaa pequeña). E probema de cerradura se muestra caramente en a expresión (19), que representa a ecuación de agua subterránea escaada. Los términos de interacción eg-ep y ep-ep contienen variabes de escaa pequeña. Para cerrar a ecuación (19) es necesario expresar estos términos excusivamente en términos de variabes de escaas grandes. También es necesario que os términos de interacción eg-eg se expresen ocamente, debido a que, en vista de a definición de a operación de fitrado a través de a expresión (6), su naturaeza e da a a ecuación (19) un carácter integrodiferencia. Metodoogía de fitrado espacia gaussiano (19) Adama (1992) y Beckie et a. (1996a y 1996b) han empeado un fitro gaussiano que, en e espacio de Fourier, tiene a forma (véase iustración 1): ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de

4 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth Iustración 1. Fitro gaussiano en e espacio de Fourier. Ordenada de fitro gaussiano Una expan- donde λ es e ancho de fitro y k kk sión en serie de Tayor de ĜG resuta en: 1 Substituyendo (21) en (12), empeando e resutado de (18) y usando e teorema de diferenciación de Fourier, se obtiene a siguiente expresión (Adama, 1992; Beckie et a., 1996a): Apicando a expresión (22) a a ecuación (14) se obtiene a ecuación de fuo de agua subterránea de escaa grande ocaizada: Número de onda ˆ( ) ˆ k Gk = G G ( k) = exp λ ( ) 12 / ˆ λ k λ k G G ( k) = 1 O ( 6 λ ) Q H = λ 288 = H H λ 12 O( λ ) H m m H x x = λ H λ x m m 6 (20) (21) (22) (23) H 6 O( λ ) x x x Mientras que e ancho de fitro, λ, sea mucho más pequeño que a escaa de ongitud dominante en as variabes de eg, Λ, se esperaría que os términos de O(λ 6 ) fueran despreciabes en a ecuación (23). Por tanto, una vez que esos términos se hubieren despreciado, se esperaría que a tasa de convergencia de a norma de error de a soución de a ecuación (23), H, fuera de orden sexto en λ. Es de notar también que as ecuaciones de eg contienen derivadas de ato orden. Por esta razón, cabría esperar a necesidad de condiciones de frontera adicionaes para resover as ecuaciones. Sin embargo, Beckie et a. (1996b) apicaron con éxito un método de perturbación reguar que no requiere condiciones de frontera adicionaes. Aunque Beckie et a. (1996b) obtuvieron resutados numéricos muy aentadores en a soución de as ecuaciones de escaa grande de agua subterránea, para campos de conductividad atamente heterogéneos, no se obtuvo a tasa teórica de convergencia de error que se esperaba. Esto se atribuyó a hecho de que cuando a expansión (21) se trunca, o cua es equivaente a despreciar términos proporcionaes a cierta potencia de λ en (23), a función de fitro gaussiano se aproxima mediante un poinomio en e espacio de Fourier. Este tipo de aproximaciones es muy precisa en números de onda baos, pero se degrada significativamente en números de onda atos. De hecho, por definición, e fitro gaussiano es definido-positivo, mientras que as aproximaciones poinomiaes que surgen de a expansión de Tayor no o son. Aun más, estas aproximaciones no satisfacen a propiedad (9), dado que su magnitud no tiende a cero para k. Estas observaciones evaron a buscar aternativas a a aproximación poinomia de fitro gaussiano que dieran una meor soución a probema de cerradura y ocaización de as ecuaciones de escaa grande (18) y (19). La metodoogía de fitrado de Butterworth y a soución de probema de cerradura La principa ventaa de apicar una aproximación poinomia a fitro gaussiano es que, en e espacio de Fourier, a variabe de eg, ˆ F, se expresa como e producto de un poinomio de grado par en k por a variabe primitiva ˆF. Esto permite e uso de teorema de diferenciación de Fourier cuando se invierte ta expresión. De esta manera, un término que invoucra una potencia par en k mutipicado por ˆF se convierte, después de invertiro, en una potencia par de operador apicado a F. Por tanto, una aproximación poinomia de fitro gaussiano en e espacio de Fourier permite expresar F en términos de F y de sumandos proporcionaes a potencias pares de producto λ apicados a F. Estos términos son presumibemente pequeños en comparación con F, por o que se 8 ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de 2006

5 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth puede apicar un método basado en una substitución iterada que permite a derivación de expresiones como (22) y (23) Sin embargo, como se señaó antes, a fata de propiedades como a definición-positiva y e decaimiento en e infinito en as aproximaciones poinomiaes de fitro gaussiano motivó a os autores a encontrar un fitro aternativo que preservara as ventaas de dicho fitro, pero que no tuviera as desventaas de as aproximaciones poinomiaes. Los fitros que se proponen en este trabao son os de Butterworth, os cuaes están definidos por a siguiente expresión en e espacio de Fourier (Stearns, 1975): ˆ BN ; G ( k)= 1 η 1 k k (24) donde N es un número entero que representa e orden de fitro; k c, un número de onda de corte, y η N es un parámetro reacionado con a tasa de decaimiento de fitro, en sentido que k> kc Gˆ 2 BN, ( k) < 1/( 1 η N). Como se puede observar en (24), ĜB.N es definido-positivo. También se puede demostrar que cuanto más ato es e vaor de N, ĜB.N se aproxima más y más a un fitro idea de paso bao (Stearns, 1975). Finamente, ĜB.N también satisface as propiedades (7)-(9). Es interesante notar que e fitro propuesto corresponde a a función característica de una distribución de Lapace, con parámetro de ocaización coincidente con a media y e parámetro de escaa dado en términos de número de onda de corte. Hasta e momento se ha investigado e uso de miembro más simpe de a famiia de Butterworth, esto es, e fitro de orden uno, correspondiente a N=1. Asimismo, se eigió a siguiente opción para os parámetros de fitro: η 1 k c De esta manera, substituyendo (25) en (24), con N=1, se obtiene a siguiente expresión para a función de fitro a ser apicada de aquí en adeante (iustración 2): La razón para eegir a opción (25) es que a expresión que resuta para e fitro, (26), se puede considerar como a aproximación de Padé (0,2) de fitro gaussiano (20). No obstante, a partir de este momento, a expresión (26) debe ser vista como una redefinición de a función de fitrado y no como una aproximación. 2 N 2 2 c λ = 24 2N ˆ( ) ˆ 1 Gk = GB, ( k) = λ k (25) (26) Iustración 2. Fitro de Butterworth en e espacio de Fourier. Ordenada de fitro de Butterworth Número de onda Substituyendo a expresión (26) en a ecuación (12), y resoviendo para ˆF resuta: Invirtiendo (27) se obtiene: ˆ ˆ λ 2 k 2 ˆ F = F F 24 F = F λ 2 2 F 24 (27) (28) Como se puede observar, e uso de un fitro de Butterworth permite derivar un resutado más conveniente que e que se obtiene apicando e fitro gaussiano. En efecto, (28) expresa en forma exacta una variabe primitiva en términos de a variabe de eg y su apaciano. Empeando (28) para a conductividad hidráuica y e gradiente de a carga se tiene: = H = H λ λ 2 3 H 24 (29) (30) ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de

6 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth Substituyendo (29) y (30) en (13) resuta: 2 2 H H Q = 2 3 λ λ (31) H 2 2 λ H 12 λ H λ H m m m m Substituyendo ahora (31) en a ecuación de continuidad de eg, Q / =0 resuta: λ H λ H 24 x x 24 = 0 (32) λ H H 288 x xm xm x x x xm xm x 6 6 λ H x x xm xm xn xn x La expresión (32) representa a ecuación de fuo de agua subterránea de eg, a cua se ha cerrado exactamente. Sin embargo, (32) no es oca, dado que a barra superior representa a operación de convoución. Por tanto, dicha ecuación posee un carácter integrodiferencia. La ecuación (28) se puede resover para F expresándoa como a suma de F y un residuo de O(λ 2 ). Con base en esta observación se puede reaizar e producto en (31) y (32), y os cuatro términos fitrados que resutan se pueden expresar en términos de su contraparte no fitrada más un residuo de O(λ 2 ). La operación se puede repetir una y otra vez, o que genera un procedimiento de substitución iterada. Su apicación a (31) y (32) da como resutado respectivo as siguientes expresiones de eg para a ey de Darcy y a ecuación de agua subterránea, que son ocaizadas (hasta os términos de O(λ 4 )), cerradas y exactas: Q H = 2 2 λ 12 H λ H λ H m m m m λ H H 288 x xm xm x x x xm xm x 6 6 λ H x x xm xm xn xn x H H m m n n n n H m m n n (33) Soución de as ecuaciones de escaa grande de agua subterránea La ecuación de escaa grande de agua subterránea (34) invoucra derivadas de ato orden, o que en estricto sentido impicaría contar con condiciones de frontera adicionaes, cuya determinación constituye en sí misma un probema abierto y compeo. Es posibe evitar requerir estas nuevas condiciones de frontera si se empea a estrategia de perturbaciones propuesta por Beckie et a. (1996b) y Adama et a. (1998). Para e efecto, se supondrá que as variabes de interés presentes en as ecuaciones (33) y (34) escaan de siguiente modo: H x = = HH H H m m n n n n H = 0 x x x m m n n =Λ x (35) (36) (37) Q H (38) = Q Λ donde as variabes con tide representan escaas características y as denotadas con asterisco son adimensionaes, y se supone que son de O(1). Asimismo, se supondrá que e ancho de fitro, λ, satisface a siguiente reación: λ ε << 1 Λ (34) (39) 10 ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de 2006

7 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth donde Λ representa a escaa de ongitud dominante de as variabes de eg. Substituyendo (35)-(38) en (33) y (34) se obtiene: Q 2 2 H ε H = ε H ε La forma de a ecuación de agua subterránea de eg (41) sugiere expandir a carga adimensiona de eg, H, en una serie perturbatoria, como sigue: donde H0, H0 ε H1 y H1 ε H1 ε H, respectivamente, representan as souciones adimensionaes aproximadas de orden cero, uno y dos a a ecuación de agua subterránea de eg (41). Evidentemente, a expresión dimensiona correspondiente a a serie (42) es 2 4 Hx ( ) = H0 ( x) ε H1( x) ε H2 ( x)..., donde Hn = HH n, ( n= 0, 1, 2,...). Substituyendo a ecuación (42) en a ecuación (41) y suponiendo que a iguadad resutante se cumpa como identidad para ε 2 arbitrariamente pequeño, se obtiene a sucesión de ecuaciones presentada a continuación. Para a soución de orden cero: Para a corrección de orden uno: (40) H 6 O( ε ) m m m m 2 2 H ε H 12 ε H ε ε 288 H m m m m H (41) H 6 O( ε ) x x x x m m m m H ( x ) = H ( x ) ε H ( x ) ε H ( x ) O( ε ) H1 0 H = 0 2 H0 1 = 12 (42) (43) (44) Para a corrección de orden dos: H2 = x H H H0 m m m m x 4 H0 3 2 H0 m m m m Las versiones dimensionaes de as ecuaciones (43), (44) y (45) son, respectivamente: H H 1 Λ = Como se puede apreciar, as ecuaciones (44) y (45) o sus contrapartes dimensionaes, (47) y (48) son forzadas por términos no homogéneos que contienen información de orden más bao. Dichos términos se conocen si as ecuaciones se resueven en forma secuencia. La ventaa de este procedimiento es que sóo se tiene que resover a ecuación de fuo estándar, homogénea para a soución de orden cero y no homogénea para as correcciones de orden superior. En vista de a naturaeza de a serie de perturbaciones de (42), a soución de orden cero H 0 (o su contraparte dimensiona, H 0 ) satisface as mismas condiciones de frontera de Dirchet, Neumann o Robin que H (o su contraparte dimensiona, H), y as sucesivas correcciones, H 1, H 2,... (o sus contrapartes dimensionaes, H 1, H 2,...), versiones homogéneas de a mismas condiciones de frontera = 0 H0 2 2 = H Λ H1 x Λ H0 Λ H m m m m H Λ H0 m m m m (45) (46) (47) (48) ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de

8 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth Vaidación Prueba a priori E obetivo de esta prueba es examinar a precisión de as expansiones de eg mediante variabes fitradas exactas que se conocen a priori. Se investiga, asimismo, a tasa de convergencia asintótica de as aproximaciones en un pequeño parámetro que caracteriza as escaas significativas de probema. La teoría predice que as expansiones deberían ser asintóticas en potencias pares de parámetro pequeño ε, definido como a reación de ancho de fitro, λ, respecto de a escaa de a ongitud dominante de as escaas fitradas, Λ. Tanto as pruebas a priori como as a posteriori (que se describirán posteriormente) se reaizaron en un dominio bidimensiona Ω = [0,L] x [0,L], L=512, con condiciones de fronteras de carga constante en dos ados opuestos (H = 1 en un ado y H = 0 en e otro ado) y de fuo nuo (H/ = 0) en os otros dos ados. Como primer paso se generó un campo primitivo atamente heterogéneo de conductividades (con varianza de n, σ 2 In = 6.3), especificando e espectro mostrado en a iustración 3 y empeando un método rápido de transformada de Fourier (Fenton, 1990). En a iustración 4 se muestra e campo de conductividades resutante que, como se puede apreciar, posee una variabiidad de cinco a seis órdenes de magnitud. Iustración 3. Espectro de energía de campo de conductividades primitivo. Energía 1.0E02 1.0E01 1.0E00 1.0E E E E E E00 Frecuencia adimensiona Iustración 4. Campo de conductividades expresado como og La escaa de ongitud dominante de campo de conductividad, Λ, se determinó a partir de espectro de energía. Esta escaa se estimó como a escaa de ongitud asociada con e número de onda que corresponde a máximo oca más sobresaiente de espectro de energía. En este caso, como se puede observar en a iustración 3, dicho máximo corresponde a una frecuencia adimensiona f =, donde, como se comenta posterior- x Λ 001. mente, x = 1, por o que se estimó que Λ 100. Empeando e campo de conductividades mostrado en a iustración 4, se resovió a ecuación primitiva de fuo de agua subterránea (3). Para ta efecto, se empeó e método de voumen finito, con intervaos de discretización x = y = 1. La magnitud apropiada de estos intervaos se determinó por división sucesiva de una magnitud inicia entre dos, hasta que no hubo cambios apreciabes en os resutados obtenidos para a variabe dependiente H. De este modo se obtuvo un campo de cargas primitivo y un campo de fuo primitivo. Dichos campos se fitraron numéricamente, empeando un ancho de fitro λ = 20 x, generando así una soución de eg exacta. Para fitrar os campos, os datos se transforman primeramente de espacio físico a espacio de Fourier, utiizando un agoritmo de transformada rápida de Fourier. Por e teorema de convoución, a integra de convoución que define a operación de fitrado espacia en e espacio físico se puede cacuar en e espacio de Fourier mutipicando a transformada de Fourier de os campos primitivos por a transformada de Fourier de fitro (Bracewe, 1965), y posteriormente invirtiendo e resutado mediante e uso de un agoritmo de transformada rápida de Fourier inversa. 12 ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de 2006

9 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth Iustración 5. Fuo exacto y fuo aproximado de orden cero Q x (L/2, y), λ = 20 x. Iustración 6. Fuo exacto y fuo aproximado de orden dos Q x (L/2, y), λ = 20 x. 1.8E E E E E-02 Exacto Cero 1.2E-02 Exacto Dos Q x 1.2E E E E E E E Y Q x 1.0E E E E E E Y La ecuación (33) se empeó como a base de a prueba a priori. Usando os vaores exactos de campo de conductividades de eg, y H, se construyeron varias aproximaciones a Q x, Q y usando versiones truncadas de a expresión (33). De esta manera, una aproximación de orden cero se obtuvo despreciando os términos de orden O(λ 2 ) y más ato; una aproximación de primer orden, despreciando os términos O(λ 4 ) y más ato, y una aproximación de segundo orden, despreciando os términos de O(λ 6 ). La iustración 5 muestra a comparación de un corte de vaor exacto contra e vaor aproximado de orden cero, de Q x a o argo de a ínea x = L/2. Como se puede observar, as dos souciones difieren significativamente en agunas partes de dominio. Por otra parte, a iustración 6 muestra a comparación de un corte de vaor exacto contra e vaor aproximado de segundo orden. En este caso, a concordancia entre a soución exacta y a aproximación es exceente. La norma 2 de error, definida como a raíz cuadrada de a suma de os cuadrados de as diferencias entre a soución aproximada y a exacta, se obtuvo para diferentes vaores de ε. Las tasas de convergencia observadas se muestran en a iustración 7. Las pendientes de estas íneas corresponden a as tasas de convergencia teóricamente esperadas de as aproximaciones, esto es, os errores son proporcionaes a ε 2, ε 4, y ε 6, para as aproximaciones de orden cero, uno y dos, respectivamente. Iustración 7. Tasa de convergencia cacuada de a norma 2 de error, para as aproximaciones de orden cero, uno y dos. Norma de error L E-05 1E-06 1E-07 1E Epsion 0.1 Prueba a posteriori Orden cero Pendiente 2 Orden uno Pendiente 4 Orden dos Pendiente 6 En esta prueba se resueven as ecuaciones de escaa grande empeando directamente e campo de conductividades de escaa grande. A apicar a teoría propuesta a a práctica, as ecuaciones se utiizarían a posteriori. La ecuación de agua subterránea de eg (34) se resueve apicando e método de perturbaciones descrito ante- ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de

10 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth riormente y un método de voumen finito. De esta manera se obtienen as aproximaciones de orden cero, uno y dos. En a iustración 8 se muestran e fuo fitrado exacto y e aproximado de orden cero a o argo de una sección Iustración 8. Fuo exacto y fuo aproximado de orden cero Q x (L/2, y), con ε = 0.2. Q x Iustración 9. Fuo exacto y fuo aproximado de orden dos Q x (L/2, y), con ε = 0.2. Q x 1.8E E E E E E E E E E E E E E E E E E-03 Exacto Cero 0.0E Y Exacto Dos 0.0E Y Iustración 10. Tasa de convergencia de a norma 2 de error teórica (ínea discontinua) y a cacuada (ínea continua). Norma de error 1.E00 1.E-01 1.E-02 1.E-03 1.E-04 1.E-05 1.E-06 1.E Epsion ocaizada en x = L/2. Como se puede observar, a aproximación de orden cero se desvía considerabemente de a soución exacta. En a iustración 9 se muestran e fuo fitrado exacto y e aproximado de segundo orden a o argo de una sección ocaizada en x=l/2. Los resutados son muy aentadores, ya que a aproximación de orden dos es prácticamente igua a a soución exacta. La norma 2 de error se obtuvo para diferentes vaores de ε. De acuerdo con os argumentos teóricos que se presentaron anteriormente, se espera una tasa de convergencia de orden sexto para a soución de orden dos. En a iustración 10 se muestra a tasa de convergencia observada, que confirma a expectativa teórica. Concusiones y recomendaciones Error Pendiente = 6 En este trabao se presenta una metodoogía de modeación que utiiza as componentes de escaa grande. Esta metodoogía difiere de os métodos convencionaes en e requerimiento de os datos. Mientras que otras teorías, por o genera requieren información estadística acerca de as propiedades de submaa de sistema, e método propuesto sóo utiiza información de as propiedades de as escaas grandes de sistema, a cua es mucho más fáci de obtener. La principa aportación de este trabao es a soución exacta de probema de cerradura cuando se estudia a dinámica de as escaas grandes en fuos en medios porosos atamente heterogéneos. La teoría desarroada se basa en e uso de fitros de Butterworth y a derivación de ecuaciones para a dinámica de as escaas grandes, as cuaes se resueven por medio de un esquema perturbatorio que permite eudir e probema de especificar condi- 14 ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de 2006

11 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth ciones de frontera adicionaes, ya que as ecuaciones que gobiernan e comportamiento de as escaas grandes contienen derivadas espaciaes de ato orden. Este trabao constituye e primer paso en a evauación de a metodoogía de escaas grandes para modear as escaas resuetas de fuo de agua subterránea. Las pruebas numéricas que se reaizaron para vaidar a teoría muestran resutados muy prometedores. En este trabao únicamente se utiizaron fitros isotrópicos. Este tipo de fitros es adecuado para a mayoría de os sistemas horizontaes bidimensionaes. Sin embargo, si se va a modear una sección vertica, sería más apropiado usar fitros anisotrópicos. En este caso se usa un ancho de fitro pequeño en a dirección vertica, donde as características de medio poroso cambian rápidamente con a posición. En a dirección horizonta se utiizarían anchos de fitro más grandes. Adama (1993) presenta agunas ideas que se pueden utiizar para reaizar este anáisis. Referencias Recibido: 24/05/2005 Aprobado: 30/03/2006 ALDAMA, A. Fitering techniques for turbuent fow simuation. Berín: Springer-Verag, 1990, 397 pp. ALDAMA, A. A subgrid scae theory for physica processes with quadratic noninearities: An a priori test for Burgers fow. Proc. IX Int. Conf. Comp. Meth. Water Res. Vo. 2. Southampton: Comp. Mech. Pubications, 1992, pp ALDAMA, A. Leonard and cross terms approximations in the anisotropicay fitered equations of motion, en Gaperin, B. y S. Orszag, Large Eddy Simuation of Compex Engineering on Geophysica Fows. New York: Cambridge University Press, ALDAMA, A., BECIE, R. y MEJÍA, M. A new approach for scaing-up fow and transport processes based on the use of Butterworth fiters. Proc. XII Int. Conf. Comp. Meth. Water Res. Vo. 1. Southampton: Comp. Mech. Pubications, 1998, pp BECIE, R., ALDAMA, A. y WOOD, E. Modeing the arge-scae dynamics of saturated groundwater fow using spatia-fitering theory: 1. Theoretica deveopment. Water Resources Res. Vo. 22, 1996a, pp BECIE, R., ALDAMA, A. y WOOD, E. Modeing the arge-scae dynamics of saturated groundwater fow using spatia-fitering theory: 2. Numerica evauation. Water Resources Res. Vo. 22, 1996b, pp BRACEWELL, R. In the Fourier transform and its appications. Eectrica and eectronic engineering series, New York: McGraw-Hi, DAGAN, G. Upscaing of dispersion coefficients in transport through heterogeneous porous media. Computationa Methods in Water Resources, 1994, pp FENTON, G.A. Simuation and anaysis of random fieds. Tesis de doctorado. Princeton, N.J.: Dep. of Civi Eng. and Oper. Res., Universidad de Princeton, GELHAR, L. Stochastic subsurface hydroogy. New Jersey: Prentice-Ha, STEARNS, S. Digita signa anaysis. Rochee Park: Hayden, 1975, 280 pp. ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de

12 Adama, A.A. et a., Escaamiento de as ecuaciones de fuo de agua subterránea mediante fitrado de Butterworth Abstract ALDAMA, A.A., MEJÍA, M.A. & BECIE, R. Scaing-up of groundwater fow equations via Butterworth fitering. Hydrauic engineering in Mexico (in Spanish). Vo. XXI, no. 4, October-December, 2006, pp Water fow and soute transport in porous media evove over many different ength scaes. The numerica simuation of the dynamics of a scaes woud require excessivey arge computationa resources. Whereas it may never be possibe to deveop modes to resove a significant scaes, it may be feasibe to deveop modes of the arge scae dynamics. These arge scae modes woud not require the expicit description of the sma scaes, but shoud incude the effect of the sma scaes on the arge scae dynamics. The incorporation of such effects requires the soution of a probem of cosure. Through the use of Butterworth fiters, an exact soution of the cosure probem for highy heterogeneous groundwater fow is deveoped. Numerica tests that vaidate the theoretica resuts are incuded. eywords: fow in porous media, arge scaes, sma scaes, probem of cosure, Butterworth fiters. Dirección instituciona de os autores: Dr. Ávaro A. Adama Dr. Migue A. Meía Instituto Mexicano de Tecnoogía de Agua, Paseo Cuauhnáhuac 8532, Progreso, Jiutepec, Moreos, México, C.P , teéfono: (52) (777) , director@taoc.imta.mx, mameia@taoc.imta.mx Dr. Roger Beckie Department of Earth and Ocean Sciences, University of British Coumbia, 6339 Stores Road, Vancouver, B.C. V6T 1Z A Canada, rbeckie@geoogy.ubc.ca 16 ingeniería hidráuica en méxico /octubre-diciembre de 2006