PRUEBAS DE HIPÓTESIS

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1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS E vez de estimar el valor de u parámetro, a veces se debe decidir si ua afirmació relativa a u parámetro es verdadera o falsa. Vale decir, probar ua hipótesis relativa a u parámetro. Ejemplo I: U fabricate de pitura de secado rápido afirma que el tiempo de secado de la misma es de 20 mi. El comprador diseña el siguiete experimeto: pita 36 tableros y decide rechazar el producto si el promedio de tiempo de secado de los mismos supera los mi. Si por experiecia =2.4 mi, se preguta cuál es la probabilidad de rechazar la partida aú perteeciedo a ua població co media de 20 mi. La probabilidad de que el promedio de las muestras exceda mi a causa del azar se calcula del siguiete modo: z x co esta abscisa, se calcula la probabilidad (área hacia la derecha), resultado Gráficamete: Este gráfico está hecho sobre valores reales, o ormalizados. Para los cálculo se usa estos últimos cuado se trabaja co tablas. Etoces, la probabilidad de rechazar erróeamete la hipótesis =20 mi es de aproximadamete 0.03, o bie 3%. Supógase ahora que la media real del tiempo de secado es =21 mi. Luego, la probabilidad de obteer ua media muestral meor o igual que (y por lo tato equivocarse e la aceptació) está dada por: lo que lleva a u área (hacia la izquierda) de Es decir: la probabilidad de equivocarse al aceptar =20 (a pesar de ser =21) es del 26.6%. Gráficamete: 1

2 Como resume se da la siguiete tabla: HIPÓTESIS NULA Y PRUEBA DE SIGNIFICANCIA E el ejemplo se formuló la hipótesis H como ua Hipótesis Simple del parámetro ( especificado por completo) puede hacerse para más de u valor de (por ejemplo, < 20 mi) esto es ua Hipótesis Compuesta. A meudo se formula ua hipótesis opuesta a lo que se quiere probar. Por ejemplo, si se quiere determiar el sistema de riego de meor costo de dos, se formula la hipótesis de que los dos sea igualmete costosos. A esta hipótesis se la llama Hipótesis Nula y se deota por Ho. Reformulemos el ejemplo de la pitura: Se rechaza la hipótesis = 20 mi (y se acepta la alterativa > 20mi), si la media de 36 valores muestrales excede mi, de lo cotrario os reservamos la decisió. Aquí o hay posibilidad de Error de tipo II (por lo de reservar la decisió). El criterio aterior puede ser descrito muy bie como ua prueba de si es sigificativamete más grade que = 20 mi, dode sigificativamete más grade sigifica que la discrepacia etre y = 20 mi es tal que razoablemete puede atribuirse al azar. A esta clase de pruebas se las cooce como Pruebas Sigificativas. Para la resolució de problemas e forma sistemática se sigue los preceptos: 1 Se formula ua Hipótesis Nula simple y ua Hipótesis Altera apropiada que se acepta cuado la Hipótesis Nula debe ser rechazada. E el ejemplo de la pitura, la hipótesis ula es = 20 mi y la alterativa > 20 mi. Esta clase de alterativa se llama Uilateral. U caso de prueba alterativa Bilateral sería el de u fraccioador de café que desea verificar si e cada frasco de 100 gr hay e realidad 100 gr. La alterativa bilateral es. Al fraccioador o le coviee meos de 100 gr porque puede perder mercado i más de 100 gr por la pérdida ecoómica. 2

3 Ejemplo: U fabricate de utesilios está cosiderado la coveiecia de adquirir ua ueva máquia para grabar las piezas de lámia metálica. Si o es el úmero promedio de piezas de buea calidad grabadas por hora e su máquia actual y si es el promedio correspodiete a la ueva máquia, el fabricate quiere probar la hipótesis ula o cotra ua alterativa adecuada. Cuál sería la hipótesis si: a) No quiere comprar ua ueva máquia a meos que sea más productiva que aquella co la que trabaja actualmete. b) Quiere comprar la máquia ueva (la cual ofrece alguas otras características atractivas) a meos que sea meos productiva que la que tiee actualmete? Solució: a) Hipótesis altera o (uilateral, cola derecha) y adquirirá sólo si la hipótesis ula puede ser rechazada. b) hipótesis altera o (uilateral, cola izquierda) y adquirirá a meos que la hipótesis ula pueda ser rechazada. 2 - Se especifica la probabilidad de u Error de Tipo I si es posible, coveiete o ecesario, se puede especificar tambié las probabilidades de Errores Tipo II, para alterativas particulares. La probabilidad de u Error Tipo I se deomia Nivel de Sigificació y se fija comumete e =0.05 ó =0.01. No coviee muy chico porque se hace muy grade. 3 Co base e la distribució muestral de u estadístico apropiado, se costruye u criterio para probar la Hipótesis Nula cotra la alterativa determiada. 4 Se calcula, a partir de los datos, el valor del estadístico sobre el cual se basa la decisió. 5 - Se decide rechazar la Hipótesis Nula, aceptarla o absteerse de tomar ua decisió. HIPÓTESIS RELATIVA A UNA MEDIA Ejemplo I: La duració media de ua muestra de 100 tubos fluorescetes producidos por ua compañía resulta ser de 1570 horas, co ua desviació típica de 120 horas. Si es la duració media de todos los tubos producidos por la compañía, comprobar la hipótesis = 1600 cotra la hipótesis alterativa horas co u ivel de sigificació de Hipótesis Nula = 1600 hr. Hipótesis Alterativa <> 1600 hr. (bilateral) 2 - Nivel de sigificacia: = Para trabajar co tablas ormalizadas, se usa z e lugar de : z x 3

4 Por otro lado, será tal que el área bajo la ormal a su derecha sea /2 y será tal que el área bajo la ormal a su izquierda sea /2. Estos dos valores defie las zoas de aceptació y rechazo de la Hipótesis Nula. Segú dode caiga el valor de z calculado por la expresió aterior, se producirá la aceptació o rechazo. 4 Cálculos: z Dado que 2.5 < -z se Rechaza la Hipótesis Nula, luego la duració media de los tubos es sigificativamete meor que 1600 horas. Como se puede apreciar e el siguiete gráfico, la media muestral cae fuera de la zoa de aceptació: E geeral, el siguiete cuadro resume las distitas pruebas de hipótesis ulas =o que se puede realizar sobre ua media: Ejemplo II: Ua empresa de trasportes descofía de la afirmació de que la vida útil promedio de ciertos eumáticos es al meos de Para verificar se coloca 40 eumáticos e camioes y se obtiee ua vida útil promedio de co ua s=1348. Qué se puede cocluir co ese dato si la probabilidad de Error Tipo I es a lo sumo 0.01?. 4

5 1 Hipótesis Nula < Hipótesis Alterativa > (uilateral) 2 - Nivel de sigificacia: = Para trabajar co tablas ormalizadas: x z s además: z = Cálculos: z Dado que 2.52 < -z 0.01 se Rechaza la Hipótesis Nula, luego la vida útil de los eumáticos es sigificativamete meor que Como se puede apreciar e el siguiete gráfico, la media muestral cae fuera de la zoa de aceptació: Si el tamaño de la muestra es pequeño, se descooce y proviee de ua població ormal, se debe utilizar el estadístico t-studet co =-1 grados de libertad. Ejemplo III: La duració media de las bombillas producidas por ua compañía ha sido e el pasado de 1120 horas co ua desviació típica de 125 horas. Ua muestra de 8 bombillas de la producció actual dio ua duració media de 1070 horas. Esayar la hipótesis =1120 horas cotra la hipótesis alterativa <1120 horas mediate u ivel de sigificacia de = Hipótesis Nula = 1120 hs. Hipótesis Alterativa < 1120 hs. (uilateral) 2 - Nivel de sigificacia: = Para trabajar co tablas ormalizadas: x t s co = -1=8-1=7 grados de libertad. Además: t = (=7). 4 Cálculos: 5

6 t Dado que > -t 0.05 se Acepta la Hipótesis Nula, luego la vida útil de los eumáticos es sigificativamete igual a 1120 horas. Como se puede apreciar e el siguiete gráfico, la media muestral cae detro de la zoa de aceptació: CURVAS CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN ANALISIS PARA COLA DERECHA Hasta el mometo o se ha atedido a los Errores Tipo II. La elecció de =21 mi e el tiempo de secado fue arbitraria. Veremos qué sucede co otros valores de. L() será la probabilidad de aceptar la Hipótesis Nula ( > o, cola derecha), aú siedo la media =21, para distitos valores de. Rescatado el ejemplo de la pitura, e que o = 20, = 2.4 y =36 y la líea divisoria del criterio e = mi, se verifica: 6

7 y así siguiedo. Así se puede costruir ua tabla como la siguiete Que gráficamete queda: Valor de Valor de z Probabilidad de Aceptar la Ho L( ANALISIS PARA COLA IZQUIERDA 7

8 Si la hipótesis altera fuese la cotraria ( < o, cola izquierda) co los datos o = 20, = 2.4, =36, y la líea divisoria de criterio e = 19.25, se verifica: para =19.50 z L 0.73 y así siguiedo. Esto lleva a la siguiete tabla: Valor de Valor de z Probabilidad de Aceptar la Ho L( y al siguiete gráfico (puteado), se deja el aterior para comparació. 8

9 Se puede apreciar que los mismos so la image del espejo uo de otro. ANALISIS PARA DOS COLAS Si la hipótesis altera fuese <> o, bilateral, o de dos colas, co los datos o = 20, = 2.4, =36, y las líea divisorias del criterio etre = mi y = mi, se verifica: para =19 z z L esto lleva a la siguiete tabla: Valor de Valor de z Probabilidad de Aceptar la Ho L(

10 y así siguiedo. Esto lleva a la siguiete tabla: Valor de Valor de z Probabilidad de Aceptar la Ho L( y al siguiete gráfico (puteado), se deja el aterior para comparació. 10

11 Se puede apreciar que los mismos so la image del espejo uo de otro. Si la hipótesis altera fuese <> o, bilateral, o de dos colas, co los datos o = 20, = 2.4, =36, y las líea divisorias del criterio etre = mi y = mi, se verifica: para =19.00 z L 0.27 esto lleva a la siguiete tabla: Valor de Valor de z 1 Valor de z 2 Probabilidad de Aceptar la Ho L(

12 Que gráficamete queda: ANALISIS PARA MUESTRAS DE MAYOR TAMAÑO Volviedo al caso testigo de las pituras, se aalizará qué ocurre co L() cuado la muestra es más grade, como por ejemplo =50 (ates =36), co los datos o = 20, = 2.4, y las líea divisorias del criterio = mi, se verifica: para =19 z z L 0.27 y así siguiedo. Esto lleva a la siguiete tabla: Que gráficamete queda: Valor de Valor de z Probabilidad de Aceptar la Ho L(

13 ALGORITMO PARA EL TRAZADO DE LAS CURVAS DE OPERACIÓN Se pretede graficar el error tipo II e su forma más geeral para u ivel de sigificació = 0.05 y prueba de cola derecha: del esquema se ve que: x 0 z x z Restado miembro a miembro, y siedo z = 1.65 (abscisa que deja a la derecha u área =0.05), queda: 1.65 z 0 Llamado d a ua variable dada por: d 0 resulta: z ( d) 1.65 d Fialmete, el error tipo II es: 13

14 ( d) d 1 2 exp 0.5x 2 El siguiete segmeto de programa e Matlab permite trazar las curvas de operació para tres tamaños muestrales: 1, 5 y 10: fuctio curvas_ope % Esta fucio permite trazar las curvas de operacio para % u ivel de sigificacio de 0.05 e pruebas de ua cola % para distitos valores de tamaño muestral. % Expresio de la fucio desidad ormal F=ilie('1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x.^2)'); % Geeracio de la curva para =1 =1;i=1; for d=0:0.1:3 M1(i)=0.5+quadl(F,0,1.65-d*sqrt());i=i+1; ed % Geeracio de la curva para =5 =5;i=1; for d=0:0.1:3 M2(i)=0.5+quadl(F,0,1.65-d*sqrt());i=i+1; ed % Geeracio de la curva para =10 =10;i=1; for d=0:0.1:3 M3(i)=0.5+quadl(F,0,1.65-d*sqrt());i=i+1; ed a=i-1; i=1:a;plot(i,m1,'r',i,m2,'b',i,m3,'k') y mediate la ejecució del comado: >> curvas_ope permite obteer el siguiete gráfico, siedo la líea superior la correspodiete a =1, la cetral =5 y la iferior =10. dx 14

15 Para pruebas de cola izquierda, los gráficos so la "image del espejo" de los ateriores, co lo cual (para geeralizar) se usa como abscisa el valor absoluto de d, sirviedo etoces el juego de curvas para ambas pruebas. Para pruebas de dos colas: Se puede verificar que el error tipo II, e este caso, sigue la siguiete fució (cosiderado como siempre =0.05 y por lo tato /2=0.025, co z =1.96): ( d ) 1.96 d exp 0.5x d dx exp 0.5x 2 dx E la literatura, se ha hecho gráficos para calcular mediate ellos el error tipo II para distitos valores de d, usado el tamaño muestral () como parámetro y co valores de ivel de sigificacia de 0.01 y 0.05, para muestras de ua cola y de dos colas. El siguiete segmeto de programa e Matlab permite el mismo cálculo que el que se haría co los gráficos. 15

16 fuctio beta=error_ii(cola,alfa,mu0,mu,sigma,) % Esta fucio permite calcular el Error de Tipo II para u % u ivel de sigificacio dado, e prueba de ua o dos colas. % Etradas: cola, 1 (ua cola) 2 (2 colas) % alfa, 0.05 o 0.01, ivel de sigificacio % mu0, real, media de la hipotesis ula % mu, real, media para la que se quiere calcular % el Error tipo II % sigma, real, desviacio estadar %, etero, tamaño de la muestra % Salida: beta, real, Error tipo II correspodiete. % Expresio de la fucio desidad ormal F=ilie('1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x.^2)'); % Calculo de d d=abs(mu-mu0)/sigma; % Calculo del Error tipo II if cola==1, if alfa==0.05,z_alfa=1.645; beta=0.5+quadl(f,0,z_alfa-d*sqrt()) ed if alfa==0.01,z_alfa=2.326; beta=0.5+quadl(f,0,z_alfa-d*sqrt()) ed ed if cola==2, if alfa==0.05,z_alfa=1.96; beta=quadl(f,0,z_alfa-d*sqrt())-quadl(f,0,-z_alfa-d*sqrt()) ed if alfa==0.01,z_alfa=2.576; beta=quadl(f,0,z_alfa-d*sqrt())-quadl(f,0,-z_alfa-d*sqrt()) ed ed Ejemplo: Supoer que se desea ivestigar la afirmació de que la itesidad de soido de ciertas aspiradoras es ua variable aleatorias que tiee ua distribució ormal co ua media de 75.2 db, co ua desviació estádar de 3.6 db. Específicamete, se quiere probar la hipótesis ula =75.2 cotra la hipótesis alterativa > 75.2 e base a la medició de la itesidad del soido ce =15 de tales máquias. Si la probabilidad de cometer u error tipo I es = 0.05 Cuál es la probabilidad de cometer u error tipo II para = 77.db?. De acuerdo a lo aterior, co los datos del problema, se ejecuta: >> error_ii(1,0.05,75.2,77,3.6,15) dode el primer argumeto idica que es ua prueba de ua cola (1), el segudo es (0.05), el tercero (75.2), el cuarto (75.2), el quito (3.6) y el sexto el tamaño muestral, (15). Resultado: beta =

17 Esto se puede visualizar etrado e el gráfico de Curvas Características de Operació correspodiete a prueba de ua cola co =0.05 y etrado co la abscisa d=0.5: HIPÓTESIS RELATIVA A DOS MEDIAS Cosidérese el caso de la discusió acerca de dos métodos de soldadura de rieles ferroviarios, se toma muestras y se decide cuál de ellos es el mejor comparado las medias de sus resistecias e pruebas mecáicas. Se cosidera dos poblacioes co medias 1 y 2 y variazas 2 1 y 2 2. Se quiere probar la hipótesis ula 1-2 =, siedo ua costate, que se determia e base a muestras aleatorias idepedietes de tamaños 1 y 2. Como siempre, se hará pruebas de la hipótesis ula cotra las alteras 1-2 <>, 1-2 < o 1-2 >.La prueba depederá de las diferecias etre las media muestrales y si ambas proviee de poblacioes ormales, se defie el estadístico: dode es la desviació estádar de la distribució muestral de la diferecia etre las medias muestrales. Si las distribucioes de dos variables aleatorias idepedietes tiee las medias 1 y 2 y las variazas 2 1 y 2 2, etoces la distribució de su suma (o diferecia) tiee la media (o 1-2 ) y la variaza Se sabe que: es decir: luego: 17

18 este estadístico es aú válido para muestras grades ( 1 y 2 mayores que 30) sustituyedo 1 y 2 por s 1 y s 2. Las regioes críticas para probar la hipótesis ula 1-2 = so para poblacioes ormales co 1 y 2 coocidas o grades muestras. Hipótesis Altera 1-2 < 1-2 > 1-2 <> Se rechaza la Hipótesis Nula si: z < -z z > z z < -z ó z > z Si bie puede ser cualquier valor, geeralmete se hace 0 (hipótesis ula 1-2 = 0). Ejemplo I: Para probar la afirmació de que la resistecia de u coductor eléctrico puede reducirse e más de ohms mediate aleacioes, 32 valores obteidos de alambre ordiario produjero = ohms y s 1 = ohms y 32 valores obteidos co alambre fabricado e base a aleacioes produjero = ohms y s 2 = ohms. Se apoya la afirmació co u ivel de sigificació de 0.05? 1 Hipótesis Nula 1 2 = Hipótesis Alterativa 1 2 > (uilateral) 2 - Nivel de sigificacia: =0.05. z = Para trabajar co tablas ormalizadas: 4 Cálculos: 5- Dado que 2.65 > z 0.05 se Rechaza la Hipótesis Nula, por lo tato se acepta la Hipótesis Alterativa, esto es se refreda la afirmació 1 2 > Vale decir, la aleació reduce sigificativamete e más de ohms la resistecia del coductor Ejemplo II: La estatura media de 50 estudiates de u colegio que tomaba parte e las pruebas atléticas fue de 1.70 mts co desviació estádar de mts, mietras que 50 estudiates que o mostraba iterés e tal participació teía ua estatura media 18

19 de mts co desviació estádar de 0.07 mts. Esayar la hipótesis de que los estudiates que participa e pruebas atléticas so más altos que los otros, co u ivel de sigificacia de Hipótesis Nula 1 2 = 0, o hay diferecia etre las estaturas medias Hipótesis Alterativa 1 2 > 0 (uilateral), la estatura media del primer grupo es sigificativamete mayor que la del segudo. 2 - Nivel de sigificacia: =0.05. z = Para trabajar co tablas ormalizadas: 7-4 Cálculos: z Dado que 0.98 < z 0.05 se Acepta la Hipótesis Nula 1 2 = 0. Vale decir, los estudiates que participa e pruebas atléticas o so sigificativamete más altos que los otros Si se debe correr riesgos de Error Tipo II, e los cuales las probabilidades depede de las diferecias alteras reales 1 2, se puede usar las curvas característica de operació co : d Ejemplo III: Co respecto al ejemplo aterior Cuál es la probabilidad de cometer u Error Tipo II para =0.02 mts.? d ( ) 2 ( 0.07) dado que = 0.05 y = 50, trabajado co la tabla correspodiete o ejecutado la fució error_ii de Matlab defiida previamete: se obtiee: >> mu0=0;mu=0.02;sigma=sqrt(0.0625^2+0.07^2);=50;error_ii(1,0.05,mu0,mu,sigma,) 19

20 as = Luego el valor del Error tipo II para este caso es = Si 1 es distito de 2, el valor de que se debe utilizar (el gráfico o el algoritmo) se calcula como: Cuado 1, 2 o ambos so pequeños y se descooce las variazas de las poblacioes, se puede fudametar la hipótesis ula 1-2 = e u estadístico adecuado t, co tal de supoer a ambas poblacioes ormales co 1 = 2 (=). E estas codicioes: co 2 estimado por poderació de las sumas de los cuadrados co respecto a las media muestrales: 1 x1 i x i 1 i x2 i x2 2 s s haciedo las sustitucioes correspodietes, se llega a la llamada prueba t bimuestral: t x 1 x2 s s co = Ejemplo: E ua estació agrícola se deseaba esayar el efecto de u determiado fertilizate sobre la producció de trigo. Para ello se eligiero 24 parcelas de terreo de igual superficie; la mitad de ellas fuero tratadas co el fertilizate y la otra mitad o (grupo cotrol). Todas las demás codicioes fuero las mismas. La media de trigo coseguida fue de m 3 co ua desviació estádar de 0.02 m 3, mietras que la media e las parcelas tratadas fue de 0.28 m 3 co ua desviació estádar de m 3. Puede decirse que hay u icremeto sigificativo e la producció de trigo por el empleo del fertilizate al ivel de sigificació del 5%? 20

21 1 Hipótesis Nula 1 2 = 0, la diferecia se debe al azar Hipótesis Alterativa 1 2 (uilateral), el fertilizate icremeta sigificativamete la producció. 2 - Nivel de sigificacia: =0.05. t = co =22 grados de libertad. 3 - Para trabajar co tablas ormalizadas: t x 1 x2 s s Cálculos: t [( ) 0] ( 12 1) ( 12 1) ( 0.02) ( ) Dado que > t 0.05 (t = 1.717) se Rechaza la Hipótesis Nula 1 2 = 0. Vale decir, hay u icremeto sigificativo e la producció de trigo por el empleo del fertilizate. Al aplicar la prueba t-bimuestral se debe vigilar que las muestras sea idepedietes. Por ejemplo, o puede utilizarse cuado se trabaja co datos de ates y después, para ese caso se utiliza la diferecia de los datos apareados (co su sigo). Ejemplo: Los siguietes datos so las horas-hombre que se pierde semaalmete e promedio por accidetes e 10 platas idustriales ates y después de implatar u cierto programa de seguridad: 45 y y y y y y y y y y 11 utilizar el ivel de sigificació de 0.05 para probar si el sistema de seguridad es eficaz. 1 Hipótesis Nula = 0, la media de la població de diferecia es ula Hipótesis Alterativa (uilateral), el sistema de seguridad es eficaz 2 - Nivel de sigificacia: =0.05. t = co =10-1=9 grados de libed. 3 - Para trabajar co tablas ormalizadas: t x s 4 Cálculos: Se calcula primero la media y la desviació estádar de la muestra de diferecias: x

22 s t Dado que > t 0.05 (t = 1.833) se Rechaza la Hipótesis Nula = 0. Vale decir, el sistema de seguridad es eficaz. Esta prueba t se cooce como Prueba t para Muestras Apareadas. 22

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