Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales.

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Arturo Ortega Aguirre
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1 Página 1 de 11 Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Objectivos. En esta lección se repasan las nociones de punto y vector, y se identifican, via coordenadas, con los pares (ternas,...) de números reales. Esta identificación permite posteriormente representar entidades geométricas (variedades) mediante ecuaciones. Puntos y vectores. Reprentación de puntos y vectores via coordenadas Nociones métricas vía coordenadas. Representación paramétrica de variedades lineales y afines. Dimensión y base de una variedad lineal. Representación implícita de variedades lineales y afines. Problemas de paralelismo e incidencia. 2.1 Puntos y vectores. Puntos. La geometría considera el plano (recta, espacio,...) formado per puntos. Los puntos representan posiciones. El punto es un ente ideal, elemental e indivisible, sobre el que se fundamenta el lenguage geométrico. La noción de punto no es real en sentido empírico, sino que es un producto de la abstracción humana. Los puntos se agrupan para formar variedades (rectas, esferas...) y otros objetos geométricos (figuras, sólidos...) que representan formas y delimitan espacios. Los problemas clásicos de la geometría proponen cuestiones sobre puntos, varietadades y figuras, pero no proporcionan una forma de representarlos más allá de la pròpia imaginación o del dibujo. Vectores. Los vectores son pares ordenados de puntos, y representan direcciones. Dos vectores son equivalentes

2 Página 2 de 11 si tienen la misma dirección, el mismo sentdido y la misma longitud. En muchos casos, dos vectores hacen funciones equivalentes (aportan la misma información para un problema determinado) si tienen la misma dirección, prescindiendo de la longitud y/o del sentido. Operaciones gráficas con vectores. Los vectores se pueden sumar y multiplicar por escalares El conjunto de todos los vectores del plano (recta,espaci0,...) con origen común, dotado de las dos operaciones anteriores tiene estructura deespacio vectorial més informació? 2.2 Representación de puntos y vectores via coordenadas. Las coordenadas cartesianas introducen una via de representación de puntos y vectores que va más lejos de la imaginación o el dibujo. El procedimiento básico para asignar coordenadas se basa en la projección sobre unos ejes, en los que previamente se han introducido un origen, una unidad de medida y un sentido. De esta manera, cada punto del plano (espacio...) se identifica de forma única con un par (terna,...) ordenado de valores numéricos, y viceversa.

3 Página 3 de 11 Las variedades (rectas,...) se pueden representar mediante ecuaciones, y los problemas geométricos se transforman en problemas algebraicos con ecuaciones. Coordenadas de un vector. Las coordenadas de un vector anclado en el origen son las del punto extremo del mismo. En general, las coordenadas de un vector se obtienen restando las de sus puntos extremos. (extremo menos origen). Así, si un vector se obtiene como suma de otros dos, sus coordenadas también, y si se obtiene multiplicando un vector por un escalar, sus coordenadas también.

4 Página 4 de 11 El conjunto de todos los pares de coordenadas (x 1, x 2 ) es también un espacio vectorial, que designamos por R 2 (R 3 si se trata de ternas,...) 2.3 Producto escalar, norma y distancia. Las nociones de distancia y ángulo derivan de las de producto escalar y la norma (módulo) vectoriales cuando hacemos geometría con coordenadas. La orientación de los ángulos se relaciona con el producto vectorial. Producto escalar. El producto escalar de dos vectores se calcula multiplicando coordenada a coordenada y sumando. para vectores de dos componentes, y en general: Ejemplo 1 Para poder efectuar el product0 escalar las dimensiones de los vectores han de coincidir. El producto escalar es conmutativo, es decir El producto escalar es definido positivo, es decir Ejemplo 2

5 Página 5 de 11 Norma (módulo). La norma (o módulo) de un vector se obtiene a partir de sus coordenadas de acuerdo con: Distancia. La longitud de un vector es su norma (módulo). Por tanto, la distancia entre dos puntos A y B es la norma del vector. Ejemplo 3 Ángulo. El ángulo se relaciona con la norma y el producto escalar mediante la fórmula: Ejemplo 4 El ángulo de dosvetores se obtiene haciendo: Producto vectorial. Se define para dos vectores de R 3, y el resultado es un tercer vector, de dirección perpendicular al plano que determinan los dos primeros. El sentido se determina según la regla de la mano derecha, haciendo girar el primero sobre el segundo.

6 Página 6 de 11 determinantes? Ejemplo 5 producto vectorial de los vectores El producto vectorial de dos vectores se relaciona con sus normas y con el ángulo que forman: 2.4 Representación paramétrica de variedades lineales y afines. La representación paramétrica se basa en la noción de combinación lineal de vectores. Combinación lineal de vectores. Se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si para algunos escalares Las coordenadas de se obtienen efectuando las operaciones indicadas para los vectores coordenada a coordenada

7 Página 7 de 11 Ejemplo 2 Subespacio generado por un conjunto de vectores. El conjunto F de todas las posibles combinaciones lineales de una familia de vectores S se llama el subespacio generado por S. Los valores reciben el nombre de parámetros y las ecuaciones ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones paramétricas proporcionan una representación mediante coordenadas explícita: para cada valor particular que asignemos a los parámetros se obtiene algun punto de la variedad. Algunos ejemplos importantes: el subespacio generado por un solo vector es una recta que pasa por el origen. el subespacio generado por dos vectores es (siempre?) un plano que pasa por el origen Ejemplo Las ecuaciones paramétricas del plano F que tiene como vectores directores son: o també:

8 Página 8 de 11 Si la recta, plano,... no pasa por el origen, no se habla de subespacios sino de variedades afines. La representación paramétrica de una variedad afín A se obtiene sumando (suma de vectores) a un punto de paso P un subespacio director F. A=P+F Ejemplo Las ecuaciones paramétricas del plano F que tiene como vectores directores y pasa por el punto P=(1,0,1) son: o también: 2.5 Dimensión y base. Un mismo subespacio admite muchos generadores diferentes y, por tanto, muchas ecuaciones paramétricas distintas. Ejemplo 6 El plano F de R 3 de ecuación x = 0 se puede obtener como

9 Página 9 de 11 Interesa hallar representaciones con el menor número posible de parámetros, o lo que es equivalente, familias de generadores con el mínimo número de vectores. Ejemplo Para hallar una familia generadora con el mínimo número posible de vectores de, observamos en primer lugar que. Esto nos indica que cualquier vector que se pueda obtener como combinación lineal de también será combinación lineal de los dos últimos. Por ejemplo, también., pero Por tanto, se puede prescindir de (1,1,-1), y resulta ejercicio 1 problema 2.1 Un conjunto de vectores tal que ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros se llama un conjunto linealmente independiente de vectores. El ejemplo anterior nos muestra que si, son equivalentes: 1. La familia de generadores tiene el mínimo número posible de elementos. 2. La familia de generadores es linealmente independiente. En la práctica, para obtener una familia generadora con el mínimo número posible de elementos, se utiliza el cálculo de rangos. Un conjunto de vectores que 1. genera un subespacio F 2. es linealmente independiente se llama una base de F. Todas las bases de un mismo subespacio F tienen el mismo número de vectores (Teorema de Steinitz). més informació? Este número común es la dimensión de F. ejercicio 2 problema 2.2

10 Página 10 de Representación implícita de variedades lineales y afines. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es una variedad afín (p. ej. una recta, un plano...) Tiene la forma x = P + F, donde P es un punto de paso y F un subespacio vectorial que determina la dirección. Los vectores que generan F se llaman vectores directores de la variedad (recta, plano,...) F se llama subespacio director de la variedad. La dimensión de la variedad afín A coincide con la del subespacio director F. F es la solución del sistema homogéneo asociado, es decir, un sistema con la misma matriz de coeficientes, pero con el vector de términos independientes nulo. Ejemplo: Solución en función del parámetro x: Por tanto, una terna (x,y,z) es solución si:. para cualquier valor de x, O lo que es equivalente, Observamos que el subespacio director es la solución del sistema homogéneo asociado Dos sistemas de ecuaciones (compatibles) con la misma matriz de coeficientes, pero con téerminos independientes diferentes, representan dos variedades paralelas (igual subespacio director). El número de parámetros en la solución es la dimensión de la variedad representada por el sistema. Solución en función del parámetro x:

11 Página 11 de 11 Ejemplo: Por tanto, una terna (x,y,z) es solución si:. para cualquier valor de x y z, O lo que es equivalente, Fijémonos en que la solución depende de 2 parámetros, valor que coincide con la dimensión del subespacio director. ejercicio 1problema 2.4 d.

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