Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Transcripción

1 Actividad. Fracciones simples. Introducción En las actividades anteriores vimos las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como la jerarquía de ellas entre números enteros, en esta actividad nos enfocaremos a las mismas operaciones pero ahora con números racionales, recuerdas cuáles son? Los expresados de la forma: a ; b 0 b Los números racionales, o como comúnmente los llamamos fracciones, son de gran utilidad en la vida diaria.

2 Introducción Por ejemplo cuando quieres preparar naranjada y le pides a tu mamá la receta, ella te dice que para lts de naranjada necesitas lts de jugo y lt de agua. Otro ejemplo sería Estarías de acuerdo si entre un amigo y tú deciden comprar una pizza y tu amigo te dice Está bien!, pero a mí me tocan de la pizza? Objetivos Al finalizar la actividad serás capaz de: Calcular y simplificar fracciones simples. Aplicar las fracciones en problemas aritméticos.

3 Fracciones Primero vamos a recordar que una fracción se compone de dos expresiones aritméticas, la parte superior se llama numerador y la parte inferior denominador. a b numerador denominador El denominador me indica las veces en que está partida la unidad. El numerador me indica cuántas partes de la fracción estamos tomando. Fracciones Observa la siguiente gráfica: En cuántas partes está dividido el entero? R=En. Si sólo quiero tomar una de las partes lo tendría que representar como: Si ahora quiero tomar de las partes se expresará:

4 Se tienen fracciones: Fracciones Propias. Impropias. Mixtas. Las propias es cuando el numerador es más pequeño que el denominador.,, 7 Fracciones Las impropias es cuando el numerador es igual o mayor al denominador. 7,, Por último, las mixtas es cuando las fracciones impropias se expresan una parte entera y un número fraccionario propio.,

5 Simplificación de fracciones Simplificar una fracción significa buscar una fracción equivalente donde el numerador y el denominador sean irreducibles, es decir ya no se puedan dividir ambos por el mismo número. Observa las siguientes figuras, ambas tienen la misma cantidad sombreada, son equivalentes. 6 Cuál es el número en común por el cuál se dividió la primera fracción? Simplificación de fracciones Cuando el numerador y el denominador se pueden dividir entre el mismo valor, es cuando se puede simplificar la fracción, hasta llegar a una fracción que ya no tengan factores de división en común. Ejemplo No. Ejemplo No / 7 / 0 /0 0 / / 6 / / / / / Fíjate que no necesariamente siempre debes comenzar a dividir entre, si eres observador y te das cuenta que tiene un divisor en común grande, mas pronto llegas a la fracción irreducible. 6

6 Mínimo común múltiplo Cuando los denominadores, no son los mismos debemos encontrar el mínimo común denominador y para esto debemos calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre ellos. Ejemplo :? Para encontrar el m.c.m. tomamos los denominadores y los vamos dividiendo entre un factor que tengan en común. Suma y resta de fracciones Cuando tenemos suma o resta de fracciones con el mismo común denominador, simplemente se suman o restan los numeradores Ejemplo : es una fracción impropia, recuerdas como volverla mixta? 7 Divides el numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera y el residuo es el numerador de la fracción propia. cociente 7 0 residuo 6

7 Mínimo común múltiplo Tomamos los denominadores Buscamos un factor que la mayoría tengan en común, y dividimos cada denominador entre este número. Si no es divisible como en nuestro caso, es el, se pasa igual. Se vuelve a buscar un número que sea divisible entre la mayoría observa que uno de los denominadores ya llegó al valor de. Por lo que con este número ya no se trabajará. Continúa Mínimo común múltiplo Seguimos buscando factores que dividan a nuestros denominadores, vemos que todavía uno de ellos es divisible entre. Por lo que continúo con el. Ahora de los denominadores, ya llegaron a, por lo que sólo nos queda trabajar con el, por lo que ahora divido entre. 7

8 Mínimo común múltiplo Cuando hemos llegado al final con el número, los factores que fueron los divisores, se multiplican entre sí para darnos el mínimo común múltiplo. ( )()()() Por lo que nuestra tabla para obtener el mínimo común múltiplo nos queda: 0 m.c.m. 0 Mínimo común múltiplo Una vez que ya tenemos el m.c.m se procede a efectuar la operación: Tomamos el mínimo común denominador (0) y lo divides entre el denominador de cada fracción. 0 Vamos a realizar la primera operación. Tomo este valor y lo multiplico por su respectivo numerador, y lo coloco en su lugar. 0 ( )() 0

9 Mínimo común múltiplo Se repite todos los pasos anteriores con los demás términos, quedando como sigue: Por último, la fracción resultante siempre se simplifica, si se puede. Esta fracción ya es irreducible por lo que el resultado final queda: 0 0 Suma y resta de fracciones Ejemplo : A continuación tenemos una operación que involucra fracciones y números enteros. Siempre que tengas enteros recuerda que también los puedes escribir como un número racional. Por lo que el común denominador será: mínimo común denominador Puedes empezar dividiendo con un factor lo más grande posible que divida a la mayoría, (como lo es ) y no empezar de en.

10 Suma y resta de fracciones Y la operación nos queda: 0 6 Observa que es una fracción impropia, por lo que la podemos expresar como una fracción mixta. Multiplicación de fracciones La multiplicación de fracciones al igual que la división, son más sencillas que la suma y resta de fracciones. En la multiplicación, simplemente se multiplican sus numeradores y el resultado se pone en el numerador de la nueva fracción. Y después se multiplican los denominadores y el resultado se coloca en el denominador de la nueva fracción. Recuerda siempre expresar el resultado en una fracción irreducible, es decir, hay que simplificarla. Ejemplo 6: ()() ()() / 0 / 0 0

11 División de fracciones La división se realiza efectuando una multiplicación cruzada, es decir el numerador de una fracción se multiplica por el denominador de la otra, y el resultado se coloca en el numerador. Posteriormente, el denominador de la primera fracción se multiplica por el numerador de la segunda y el resultado se pone en el denominador. Por último, recuerda siempre simplificarla. Ejemplo 7: 0 ()() (0)() 0 / 0 / Operación con fracciones Ahora vamos hacer algunas operaciones donde involucren fracciones:? Ejemplo : Recuerda la jerarquía de operaciones. Debemos realizar la operación dentro del paréntesis, la fracción. Por lo que debemos encontrar al m.c.m. mínimo común múltiplo múltiplo

12 Operación con fracciones Resolvemos la operación dentro del paréntesis. 0 Se efectúa la multiplicación. 6 Se simplifica. 6 Operación con fracciones Ejemplo :? Quién tiene prioridad? En efecto la división. Empleamos productos cruzados, para resolver la división. Ahora se tienen sólo sumas y restas, por lo que debemos resolver las fracciones, obteniendo primero el m.c.m. m. c. m.

13 Operación con fracciones Resolvemos las sumas y restas. 7 6 Si se puede se simplifica. En este caso ya no es reducible la fracción. Pero la puedo expresar en forma mixta. 6 6 Aplicación de fracciones Ahora vamos a ver cómo se expresa una fracción a partir de un planteamiento? Ejemplo 0: Nombre Edad Nombre Edad Se tiene una lista de alumnos Aranza Ricardo de primer ingreso. Esteban 6 Roberto 6 Raúl Claudia 6 Qué fracción son niñas? Ana María 7 Qué fracción son niños? Laura 6 Aída Qué fracción tiene años? Jorge 6 Iliana 6 Qué fracción tiene 6 años? Reyna 7 Oscar Qué fracción tiene 7 años? Elisa 6 Carla José Ángela 6

14 Observa los resultados en la siguiente tabla. Total de alumnos de primer ingreso Requisito Alumnos que cumplen con el requisito Que sean niñas Que sean niños 7 Que tengan años Que tengan 6 años Que tengan 7 años Aplicación de fracciones Fracción 7 Aplicación de fracciones Ejemplo : Mi hermana va a cumplir años y se ofrecerá de merienda, pizza. Mi mamá calcula que cada adulto se comerá rebanas de pizza, habrá adultos, y los niños sólo se comerán rebanadas cada uno y se tendrán 0 niños. Las pizzas traen rebanadas, cuántas pizzas deberá comprar? Resolveremos el problema, mediante el uso de operaciones aritméticas: () (0) Por lo que mi mamá deberá comprar pizzas.

15 Bibliografía Gustafson, R. David. Álgebra Intermedia. México: International Thomson Editores, 00. (ISBN ). Créditos Diseño de contenido: Ing. Raquel Ramírez Peláez Coordinador de área: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño Gráfico: Miguel Angel Reynosa Castro, MANM