Los números enteros y racionales

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1 Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer y representr número rcionles Operr con números rcionles Expresr números en notción científic y operr con ellos Antes de empezr..números enteros.. pág. Representción y orden Operciones Problems.Frcciones y decimles... pág. Frcciones equivlentes. Expresión deciml. Clsificción.Números rcionles... pág. 7 Representción y orden Sum y rest Multiplicción y división Potencis de exponente entero. Operciones con potencis. Problems..Notción Científic pág. Definición Operciones Ejercicios pr prcticr Pr sber más Resumen Autoevlución MATEMÁTICAS A

2 MATEMÁTICAS A

3 Comienz con un juego de números: Antes de empezr Tienes que rellenr ls csills que están en blnco, con números del l 9, con l únic condición de que sumen los números blncos indicdos y que no se pueden repetir en l mism fil o column. Y quí tienes lguno más pr prcticr: MATEMÁTICAS A

4 . Números enteros Representción y orden El conjunto de los números enteros Z está formdo por: Números enteros positivos:,,,... Números enteros negtivos: -,-,-,-.. El número cero: 0 El opuesto de un número entero, op(), es el número cmbido de signo: op()=-, op(-)= El vlor bsoluto de un número entero,, es el mismo número si es positivo y su opuesto si es negtivo. Los números enteros son un conjunto ordendo. Los números enteros se representn en l rect numéric. Opuesto: op(-)= op(8)=-8 Vlor Absoluto: 7 =7 - = Orden: -<-<-<0<<< Sum y rest Pr sumr dos números enteros, +b Si son del mismo signo se sumn sus vlores bsolutos y se pone el mismo signo. Si son de distinto signo se restn sus vlores bsolutos y se pone el signo del número de myor vlor bsoluto. Sum y rest = 7 + = = + = 7 Pr restr dos números enteros, -b, se sum l primero el puesto del segundo: - b = + (-. Producto y división Pr multiplicr ó dividir dos números enteros, se multiplicn ó se dividen sus vlores bsolutos. El signo será positivo si los dos son del mismo signo y negtivo si son de signo contrrio. Regl de los signos: Producto ( ) ( ) = ( ) ( + ) = ( + ) ( ) = ( + ) ( + ) = División ( 8):( ) = ( 8):( + ) = ( + 8):( ) = ( + 8):( + ) = MATEMÁTICAS A

5 EJERCICIOS resueltos. Clculr el vlor bsoluto de -,, 0 = = 0 = 0. Orden de myor menor: -78, -, - > > 78. Clcul el opuesto de -, 7, 0 op( ) = op(7) = 7 op(0) = 0. Clcul: ( 9) + 8( + ) ( 9) + 8(+ ) = ( 8) + 8() = + = 9. Clculr: 8(7 + ):( 8) Dividiendo 8(7 + ):( 8) = 8(0):( 8) = 80: 8 = 0x + = 6. Hll el m.c.m. (88,68) 88 = 7 68 = 7 mcm(88,68) = 7 = 8 7. Todos los psteles que hemos fbricdo hoy los hemos metido en cjs de 7 y 89 psteles y no h sobrdo ninguno. Cuántos psteles como mínimo henos fbricdo hoy? Se hn fbricdo 7 psteles 7 = 89 = 7 mcm(7,89) = 7 = 7 8. El psillo de un cs tiene 0 cm de lrgo por 9 cm de ncho. Se quieren poner bldoss cudrds del myor tmño posible. Hll ls dimensiones que deben tener ls bldoss si no queremos cortr ningun. Ls bldoss deben tener 6 cm de ldo = 9 = 6 mcd(0,9) = = 6 9. Cuánto tiene que vler x pr qué el número 9x7 se divisible por? 9 + x + 7 = 6 + x tiene que ser múltiplo de x = x = x = 8 0. Escribe un número myor de 00 y menor 0 que se múltiplo de 0 0, 0 MATEMÁTICAS A

6 . Frcciones y decimles Frcciones equivlentes Un frcción es un expresión de l form: b con y b números enteros y b#0, se llm numerdor y b denomindor. Si m.c.d.(,= l frcción se dice irreducible. Dos frcciones y c son equivlentes si d=b c b d El conjunto de los números rcionles Q est formdo por todos los números que se pueden expresr en form de frcción Frcción irreducible mcd(, ) = Frcciones equivlentes 6 = 8 8 = 6 = Expresión deciml. Clsificción Pr obtener l expresión deciml de un frcción, se divide el numerdor entre el denomindor. Al hcer est división el resultdo puede ser: Deciml excto Periódico puro Periódico mixto Número finito de cifrs decimles L prte deciml se repite indefinidmente (periodo) L prte deciml est formd por un prte que no se repite (nte periodo) seguid del periodo Los únicos divisores del denomindor son o Los números o no son divisores del denomindor Los divisores del denomindor son o y tiene demás otros divisores Los decimles exctos y periódicos, puros o mixtos, pueden expresrse ne form de frcción. = Deciml excto: 7 ' y l contrrio: 87, = = 00 0 Periódico puro: 0 '... 0 ' = = ) y l contrrio: ) 9, = = = 9 9 Periódico mixto: ) 0 ' '6 6 = = y l contrrio: ) 70, = = = MATEMÁTICAS A

7 EJERCICIOS resueltos. Escribe l frcción irreducible de: ) se simplific por se simplific por 8 8 se simplific por. Hll x pr que ls frcciones sen equivlentes: ) 7 y x 7 x = 9 7 y x x = 96 x 88 y 8 6 x =. Escribe l expresión deciml de ls siguientes frcciones: ) , 7 ) 99,, 6 ). Escribe l frcción genertriz de: ), ,68 9, MATEMÁTICAS A 7

8 . Números rcionles Representción y orden Los números rcionles es un conjunto ordendo, pr ordenr ls frcciones se escriben frcciones equivlentes ells con el mismo denomindor (reducir común denomindor) y se ordenn los numerdores. Los números rcionles se representn de mner exct en l rect numéric. Antes de representr un frcción hy que sber entre que vlores está comprendido 9 = < < Se divide el segmento de extremos y en cutro prtes igules: Sum y rest Pr sumr o restr los números rcionles se escriben en form de frcción y luego se sumn o restn ls frcciones. Pr sumr o restr ls frcciones se reducen común denomindor y luego se sumn o restn los numerdores. Sum 9 + = + = 6 Rest 9 7 = = 6 Multiplicción y división El producto de dos números rcionles es otro número rcionl que tiene por numerdor el producto de los numerdores y por denomindor el producto de los denomindores. Pr dividir dos números rcionles se multiplic l primer frcción por l invers de l segund Producto = = 0 Cociente : = = Operciones con números periódicos ) ) 78 7 ' + '78 = + = = + = + = ) = = ' MATEMÁTICAS A

9 6 = = = = = 9 8 = = 7 = = = 8 = 7 = 7 = 7 8 ( ) = = ( ) = = = 6 = = Potencis de exponente entero Si es un número rel y n un número nturl, se tiene que: n = n veces n = = n n veces Además pr culquier vlor de distinto de 0, se cumple: = = = 0 Pr elevr un frcción un potenci se elevn el numerdor y el denomindor. Operciones con potencis Si m y n son números enteros culesquier se cumple: m m n m n = = m+ n m n n m n ( ) m = b b m m m = ( = b m m Resolución de problems En l vid cotidin precen situciones donde es necesrio trbjr con números fccionrios. Pr resolver problems con frcciones debes seguir ls misms puts que con otros tipos de problems. Lee tentmente el enuncido. Reflexion sobre l situción que propone el problem, qué te pide, qué dtos tienes,... Orgniz l informción que tienes, hz un esquem, un dibujo... Un vez que tengs l solución compruébl. Si tres kilos y curto de mnzns cuestn 6. Cuánto costrn dos kilos y medio? Clculmos el precio de un kg de mnzns. Pr ello se divide le precio pgdo entre los kilogrmos comprdos: 6 0 '6: + : 0'8 /kg = = = 0 0 El precio de dos kilos y medio será: 8 0 0'8 + = = = 0 0 Un buelo dej l morir 0000 pr sus nietos Jun, Pedro y An. A Jun le toc /, Pedro / y An el resto. Cuánto le toc cd uno? Jun = = 000 Pedro = = 0000 An = MATEMÁTICAS A 9

10 . Orden de myor menor: ) 6 y EJERCICIOS resueltos 6 > 0 y 0 > 6. Clcul dndo el resultdo en form de frcción irreducible: ) + = = = = = : : 0 = = 7 = + = = = = = Clcul dndo el resultdo en form deciml: ),98+ 6, ) = = 9, , 6 ) 6 9 = =,6 ) 9 6 0, 0, = = 0, Clcul dndo el resultdo en form deciml: ) ) 7 9 :'7 : = : = = 0, ) 6 0 ) = : = = 7, 7 ' , : 0, : = : = =, = Clcul ls siguientes potencis: ) = 8 ( ) ( ) = 8 = 9 d) ( ) = 8 0. Clcul: ) ( ) ( ) = = ( 7 ) = 7 = 7 7 (7 ) : = d) (x ) (x ) - x - =x 0 MATEMÁTICAS A

11 Notción científic 78' = ' = ' 0 0' = ' 0 Con l clculdor Pr introducir en l clculdor números en notción científic como: 9,00 0 Tecle EXP Aprecerá: , Tecle EXP +/- 8 Aprecerá: Si introduces: 900, 0 Tecle 900. EXP Aprecerá: 900. Y pulsndo = sle el nº en notción científic: 9.00 Según el modelo de clculdor l tecl indicd es x0 x 8 7. Notción científic Definición Pr escribir números muy grndes o muy pequeños se emple l notción científic. Un número escrito en notción científic es de l form ± 0 k con < 0 y k número entero, que se llm orden de mgnitud del número. Los números escritos en notción científic son fáciles de comprr: Los números essi k>0 el número de cifrs enters es k+. Si k<0 el número de cifrs decimles son l sum de ls cifrs decimles de más k Diámetro de l glxi de Andrómed: Distnci:, km 9, km Diámetro del átomo de oxígeno:, 0-7 mm Diámetro del núcleo: 6, 0 - mm Sum y rest, , 0 9 = = (, ,) 0 9 = =(0,+9,) 0 9 = = 9, 0 9,7 0 8, 0 9 = =(,7, 0 - ) 0 8 = =(,7 0,) 0 8 = =,7 0 8 Operciones Sum y Rest Si los sumndos son del mismo orden de mgnitud summos o restmos los números que preceden ls potencis de 0. Si los sumndos no son del mismo orden de mgnitud se reducen l myor de los órdenes, y se sumn o se restn los números que preceden ls potencis de 0. Producto y división 7, =,6 0 = =, , 0 8 : =, 0 - Multiplicción y división Pr multiplicr o dividir dos números en notción científic, se multiplicn o dividen los números que preceden ls potencis de 0 y tmbién dichs potencis. En todos los csos el resultdo se d en notción científic. MATEMÁTICAS A

12 EJERCICIOS resueltos. Escribe en notción científic: ) 0' ' ' 0. Escribe l expresión deciml de: 8 ) 8' ' 0 0'000. Cuánts cifrs decimles tiene el número: 9 ) ' '7 0. Cuánts cifrs enters tiene el número: ' 0 ) ' 0. Reliz ls siguientes operciones: ) ' 0 + ' 0 ( ) ( ) ' 0 + ' 0 = ' + ' 0 0 = ' + 0' 0 = ' 0 ' 0 ' 0 ( ) ( ) d) ' 0 ' 0 = ' 0 ' 0 = 0' ' 0 = '9 0 ' 0 0 ' 0 0 = 8' 0 6' 0 0 6' 0 = 0 ' 0 ( 6' 0 e) ) ( ) 6 ' 0 = 8' 0 = ' MATEMÁTICAS A

13 Pr prcticr. Clcul: ) 6 6( ) ( ( + ) ) ( ( 7) + ) d) 6 (+ ( ) ) 6. Escribe l frcción genertriz: ), ),, ) d),9. Clcul: ) 6: ( ) ( 6): 0 : ( ( )) + d) ( : ) :. Indic si los siguientes pres de frcciones son equivlentes: ) y 6 0 y 8 9 y 7. Indic qué tipo de número deciml es: ) Orden de menor myor: ) 7 y 67 0 y y. Hll x pr que ls frcciones sen equivlentes: ) y x x y 0 y 8 x 8. Escribe l expresión deciml: ) Clcul y simplific: ) d) + + e) + + MATEMÁTICAS A

14 0. Clcul y simplific: ) 76 7 : : :. Clcul y simplific: ) + + : + 6 d) 9. Clcul y simplific: ) ) ) ' + '7 ) ) ' ' ) ) ':'7. Clcul y simplific: ) d) :. Escribe en notción científic: ) '0 0' 0. Clcul y escribe el resultdo en notción científic: ) d) ' 0 6'8 0 + ' ' ' 0 ' 0 ' 0 ' Soni bebe dirimente un litro de leche. Si l leche l compr en botells de un curto de litro. Cuánts botells debe comprr pr dís? 7. Si medio kilo de frut cuest. cuánto costrán tres kilos y medio? 8. Al morir Jun dej un fortun de A su mujer le dej l mitd y el resto sus tres hijos en prtes igules. Cuánto le toc cd uno?. 9. En un lbortorio se h observdo que l poblción de un cultivo de bcteris se multiplic por cd hor. Si el número inicil er de, 0 6 bcteris, cuánts hbrá l cbo de hors?. 0. Un microorgnismo mide, micrs; sbiendo que un micr es l millonésim prte de m, expres en metros y en notción científic l longitud que ocupn 7 millones de microorgnismos puestos en fil.. Un emblse que bstece un poblción tiene 07,8 dm de gu. Si un person gst por término medio 770 litros de gu nules. A qué poblción podrá bstecer en un ño?. MATEMÁTICAS A

15 Pr sber más Algoritmo de Euclides pr hllr el m.c.d. de dos números El m.c.d. de dos números se puede clculr dividiendo los números, luego se divide el divisor entre el resto y sí hst que el resto es cero. El último cociente es el m.c.d. Fíjte en estos dos ejemplos. Sudokus Al comienzo del tem se proponí un juego con números, este tipo de pstiempos se h hecho muy populr en los últimos ños. Posiblemente el más fmoso se el "sudoku", que tiene verdderos deptos en todo el mundo. Suele ser un cudrdo 9x9, en el que hy que colocr ls cifrs del l 9 sin repetir en l mism fil o column, ni en cd región x en que se divide el cudrdo grnde. Aquí tienes dos, tmño x, pr entrenrte, el de colores está resuelto, complet el de números, es muy fácil, qué te divierts!. MATEMÁTICAS A

16 Recuerd lo más importnte Números enteros Números enteros positivos: +,+,+,.. Números enteros negtivos: -,-,-,-,.. El número cero Vlor bsoluto + = - = 0 =0 Opuesto Op (-)= Op ()=. Números Rcionles Son los que pueden expresrse en form de frcción. Números enteros Positivos Negtivos El cero Números decimles Exctos, Periódicos Puros ' Mixtos ' Potenci positiv de un número entero n n veces =... Potenci positiv de un frcción n n = b n b Potenci negtiv de un número entero n = n Potenci negtiv de un frcción n n b = b n Notción científic 6 MATEMÁTICAS A

17 Autoevlución. Clculr (8 7) + ( 9 + ) :. Cuál es el myor vlor que puede tener x pr qué el número x6 se divisible por. Hll x pr qué ls frcciones 0 80 y x 6 sen equivlentes. Encuentr el periodo de Escribe en form de frcción irreducible el número 6' 6. Clculr: ) ) 8'667 '8 7. Clculr: Cuánts botells de dos tercio de litro se pueden llenr con 8 litros de gu? 9. Clculr: 6' 0 6' Clculr: MATEMÁTICAS A 7

18 Soluciones de los ejercicios pr prcticr. ) d) 8. ) - -0 d). ) si no no. ) 8 7 ). ) '6 ' ) 6. ) d) 8 0. ) 7 8. ) 0. ) ' ) ) 0'7. ) 7 8. ) 7 0 d), ) deciml excto periódico mixto periódico puro 8. ) 7 < 67 0 < < 9. ) 60 d) 0 0 e) 60, ),8 0 6, 0 0 6, y , ,0 0 m., 0 6 Soluciones AUTOEVALUACIÓN /990 ) 6. ' No olvides envir ls ctividdes l tutor ' MATEMÁTICAS A

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