A modo de repaso. Preliminares

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1 UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos del conjunto N = {0,,,,...}. Números enteros.- Son los elementos del conjunto Z = {...,,, 0,,,...}. Números rcionles.- Son los elementos del conjunto Q = {p/q, siendo p, q Z}. Los números rcionles suelen denominrse tmbién frcciones. Números irrcionles.- Son quellos que no se pueden expresr en form de frcción. Así, por ejemplo, = 44..., e = y π = son números irrcionles. Números reles.- Es el conjunto formdo por los números rcionles y los irrcionles. El conjunto de los números reles se denot por R. Números complejos.- Son los elementos del conjunto C = { + bi, siendo, b R e i = }.

2 4 UNIDAD I. A modo de repso. Preliminres En el número complejo + bi, se llm prte rel; b es l prte imginri, e i es l unidd imginri. Así, los conjuntos numéricos se contienen de cuerdo con l secuenci N Z Q R C. Si clsificmos los números en enteros y decimles, l correspondenci con los conjuntos nteriores es l siguiente: Enteros positivos. Son los números nturles. Decimles con un número finito de cifrs decimles o con infinits cifrs decimles periódics. Son los números rcionles. Decimles con infinits cifrs decimles no periódics. Son los números irrcionles. Ejemplo. () 07 es un número rcionl porque 07 = (b) 5 es un número rcionl. En efecto, si llmmos x = 5 = 55..., entonces Por tnto, 5 = x = x = x =. (c) es un número irrcionl porque no se puede expresr en form de frcción.

3 . Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos 5. Operciones con frcciones Frcciones equivlentes Dos frcciones b y c son equivlentes si expresn l mism cntidd, es decir, si d = c b. d Así, por ejemplo, ls frcciones son tods equivlentes entre sí., 4, 6, 4 8 y 5 0 Un frcción es irreducible si el numerdor y el denomindor son números primos entre sí, es decir, no tienen fctores comunes. Así, ls frcciones 5 7, y 7 son irreducibles. Sin embrgo, l frcción 4 0 frcción irreducible equivlente 4 0 es 5. no es irreducible y que 4 y 0 no son primos entre sí. De hecho l Comprción de frcciones Dds dos frcciones b y c, se dice que d b c d b c d si d b c si d b c. Análogs definiciones se tienen pr el cso en que ls desigulddes son estricts. 5 < 4 y que 9 < Así, Cundo se trt de ordenr en orden creciente o decreciente un serie de números rcionles lo más efectivo es expresr dichos números rcionles medinte frcciones con igul denomindor y continución comprr los numerdores. Vemos el siguiente ejemplo. Ejemplo. Ordenr en orden creciente ls frcciones:, 4, 7 9, 5 y 0. En primer lugr clculmos el mínimo común múltiplo de los denomindores. Pr ello,

4 6 UNIDAD I. A modo de repso. Preliminres observemos que = 4 = 9 = = 0 = 5. Así, el mínimo común múltiplo, que sbemos se obtiene como el producto de los fctores comunes y no comunes con el myor exponente, es 5 = 80. A continución expresmos ls frcciones considerds medinte frcciones equivlentes con denomindor 80. Entonces = 90 80, 4 = 5 80, 7 9 = 40 80, 5 = De est form, comprndo los numerdores, concluimos que 7 9 < 5 < 0 < < 4. y 0 = Sum y rest de frcciones L sum (rest) de frcciones con igul denomindor produce un frcción en l que el denomindor es el mismo y el numerdor es l sum (rest) de los numerdores. Por ejemplo, = 9 5. Pr sumr (restr) frcciones con distinto denomindor, trnsformmos ls frcciones en otrs equivlentes con denomindor el mínimo común múltiplo de los denomindores. A continución se oper según lo dicho ntes pr l sum y rest de frcciones con igul denomindor. Por ejemplo, 7 8 = = 5 4. Producto de frcciones El producto de dos frcciones es otr frcción que tiene, por numerdor, el producto de los numerdores y, por denomindor, el producto de los denomindores. Por ejemplo, 4 7 = 8.

5 . Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos 7 División o cociente de frcciones El cociente de dos frcciones es otr frcción que tiene, por numerdor, el producto del primer numerdor por el segundo denomindor y, como denomindor, el producto del primer denomindor por el segundo numerdor. Por ejemplo, Regl de tres simple : 5 7 = 4 5. L regl de tres simple es un plicción clásic de los problems de proporcionlidd. Se puede distinguir entre regl de tres simple direct y regl de tres simple invers. Su plntemiento generl es el siguiente: Direct: Si le corresponde b y un umento de implic un umento de b, entonces un cntidd le corresponderá un cntidd x que viene dd por: = b x = x = b. Invers: Si le corresponde b y un umento de implic un disminución de b, entonces un cntidd le corresponderá un cntidd x que es dd por: = x b = x = b. Ejemplo. Un empresrio grícol sbe que, como término medio, 5 persons recogen l ceitun de 40 olivos en un dí de trbjo. Si el empresrio dispone de olivos y dese que l recolección se lleve cbo en 50 dís, cuántos trbjdores tendrá que contrtr? Si se pretende que l recolección de los olivos se hg efectiv en 50 dís, entonces hbrá que recoger dirimente l ceitun correspondiente = 0 olivos. Por tnto 50 tendremos que plnter l siguiente regl de tres direct: 40 olivos 5 persons 0 olivos x persons Luego 40 0 = 5 x = x = = 5 persons.

6 8 UNIDAD I. A modo de repso. Preliminres. Potencis L potenci n-ésim de un número rel se escribe como n y se define: n veces n = { }} { si n N y n. 0 =. Si y b son números reles y m y n son números nturles, entonces se tienen ls siguientes propieddes: ( b) n = n b n m n = m+n ( b ) n = n b n m n = m n ( m ) n = m n n =, si 0. n Ejemplo.4 () ( ) = [ ( )] = ( 6) = 6. (b) ( ) = 6 = = = 8. (c) [ ( ) ] = (d) 8 5 = ( ) 6 = = ( ) ( 8 = : 8 = 5 5) ( ) 5 = Por otr prte, son tmbién muy utilizds ls fórmuls ( + b) = + b b y ( b) = + b b. Sin embrgo, debe quedr clro que ( + b) n n + b n cundo n >. Lo mismo es cierto cmbindo l sum por l rest.

7 . Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos 9.4 Ríces Consideremos l ríz n m con R + si n es pr, y R si n es impr. Al número nturl n (distinto de cero) se le llm índice de l ríz. Result de grn utilidd l identidd n m = m/n y que sí un ríz podemos considerrl como un potenci con exponente frccionrio. Producto y cociente de ríces De igul índice: n m n b p = n m b p n m n b p = n m b p. De distinto índice: Si considermos, por ejemplo, el producto n m q b p = m/n b p/q, clculrímos frcciones equivlente m/n y p/q de mner que tengn el mismo denomindor. Así, el problem se reduce l producto de ríces con el mismo índice. Pr el cociente de ríces con distinto índice se ctú de mner completmente nálog. Ejemplo.5 () 5 0 = 5 0 = 5 5 = 5 = 5 = 5. (b) 5 = 5 / / = 5 4/6 /6 = = Sum y rect de ríces Como ocurrí en ls potencis, es fundmentl observr que n x + y n x + n y. Así, ls únics sums o rects de ríces que podremos llevr cbo serán del tipo c n x + d n x = (c + d) n x.

8 0 UNIDAD I. A modo de repso. Preliminres Potenci y ríz de un ríz Se tienen ls siguientes propieddes: ( ) n p m = n ( m ) p = n m p (I.) p n m = n p m. (I.) ( ) x9 6 xy Ejemplo.6 Simplific l expresión y 7. y En primer lugr observr que x9 y 7 = 6 x 9 y 7 = xy 6 x y, donde l primer iguldd se obtiene utilizndo l propiedd (I.). Por otr prte, ( ) 6 xy = x6 y 6 y ( y) 6 y por l propiedd (I.), ( y) 6 = y 6 = y. Por tnto, x9 ( ) 6 x y 7 = xy 6 ( ) x 6 y 6 x y y = x7 y 7 6 x y = x 7 y 5 6 x y y y..5 Intervlos de l rect rel Dentro del conjunto R de los números reles unos subconjuntos destcdos que juegn un importnte ppel en el estudio del Cálculo Infinitesiml son los intervlos. Se distinguen los siguientes tipos de intervlos: Intervlo bierto.- (, b) =], b[= {x R : < x < b}. Intervlo cerrdo.- [, b] = {x R : x b}. Intervlo semibierto.- (, b] = {x R : < x b} o [, b) = {x R : x < b}. Intervlos infinitos.- (, b] = {x R : x b} o (, b) = {x R : x < b}. (, ) = {x R : < x} o [, ) = {x R : x}.

9 . Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos.6 Ejercicios Propuestos Ejercicio. Indic qué conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números: 7, 4, 0 5, , 45 7, 5 y + 4i. Ejercicio. Escribe en form de frcción irreducible los siguientes números decimles: () 75; (b) ; (c) Ejercicio. Orden en orden creciente los siguientes números: 5 8,, 5 6, 0, y 5. Ejercicio 4. Reliz ls siguientes operciones: () ( 9 ; (b) 7 ) ( ) 5 4 ; (c) + ( 5 : ) ; 6 (d) : ; (e) Ejercicio 5. Tres migos comprn un décimo de loterí portndo 5, 7 y 8 euros, respectivmente. Si el décimo resultó premido con euros, cómo hbrán de reprtirse el premio teniendo en cuent lo portdo por cd uno en l compr del décimo? Ejercicio 6. Se sbe que un lbñil es cpz de levntr dirimente un pred de 6 m. Si desemos cercr un solr de 90 m. de perímetro con un pred de m. de lt y queremos que ls obrs se lleven cbo en el plzo de 0 dís, cuántos lbñiles tendremos que contrtr? Ejercicio 7. En un ciudd hy que efectur modificciones en l red eléctric y sólo se dispone de cinco dís. Si dos persons trdrín 5 dís en relizr el trbjo, cuántos empledos hbrá que contrtr?

10 UNIDAD I. A modo de repso. Preliminres Ejercicio 8. () Clcul el 7% de euros (b) Clcul el 8% de.500 euros. (c) Si un entidd bncri ofrece un interés nul del 75% pr un imposición plzo fijo superior euros, qué cntidd hbrá que imponer plzo fijo durnte un ño pr que nos reporte unos intereses de euros? Ejercicio 9. Contest si son verdders o flss ls siguientes igulddes: () ( + 5 ) = ( + 5). (b) ( 5 ) = ( 5). (c) ( 5 ) = ( 5). ( ) ( ) (d) =. 5 5 Ejercicio 0. Clcul: () ; (b) ; (c) 4 ( ) + (d) ( ) ; (e) ( ) : ; (f) 6 ( ) 6 ( 9) 6 ; ( 5 x ). Ejercicio. Simplific ls siguientes expresiones: () ; (b) 5 b b ; (c) ; (d) 4 +. Ejercicio. Simplific ls siguientes expresiones scndo fctores fuer de ls ríces: ( x5 () y 8 z 9 ; (b) x ) x 4 y. z 4

11 . Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos Ejercicio. Responde de form rzond ls siguientes cuestiones: Pertenece el punto 75 l intervlo (, )? Está el intervlo (, ] contenido en el intervlo [, + )? Cuál es el intervlo ddo por los puntos x R tles que x > y x 5? Cuál es el intervlo ddo por los puntos x R tles que x? Expres medinte l unión de dos intervlos el conjunto D = {x R : x < y x 6}. Determin l intersección de los intervlos (, 7) y [0, 8].

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