LAS FRACCIONES DE CARLOS

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1 LAS FRACCIONES DE CARLOS (Un cuento de partes de una parte) MAURICIO CONTRERAS

2 LAS FRACCIONES DE CARLOS (Un cuento de partes de una parte) Carlos estaba triste. Su hermana Eva se le acercó. Qué te pasa Carlos? El profe me ha puesto un montón de operaciones con fracciones. Creo que no voy a poder hacerlas... No entiendo nada! Eva quedó horrorizada al comprobar que su hermano Carlos tenía razón. Un montón de operaciones estaban escritas sobre la hoja de papel, mientras el muchacho mantenía su mirada fija con ojos desorbitados. Allí había de todo... sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, paréntesis... Un verdadero horror. Bueno, Carlos, no perdamos la calma. Este asunto de las fracciones tiene que ver siempre con una unidad de referencia. Te lo han enseñado así? Por ejemplo, dos quintos (/) quiere decir que si tomamos como unidad bolas, nos quedamos solamente con de las cinco. Sí, eso está claro. Pero todo este lío de operaciones que hay aquí... Ya, ya, no te preocupes. Solamente tienes que tener en cuenta lo que te acabo de decir: hay que elegir una unidad adecuada y luego ver cuántas bolitas nos quedamos de la unidad. Pero, a ver... cómo haces esto:? Pues mira... Primero hay que elegir la unidad... una unidad que venga bien para las dos fracciones. Por ejemplo 0 bolitas vendría bien para la segunda fracción, /, porque 0 se puede dividir entre. Pero el problema es que no viene bien para la primera fracción /, porque 0 no se puede dividir entre. Entonces? Un número que viene bien es =1. Ves? Este se puede dividir entre y entre. Ah! Y ahora? Y ahora, si suponemos que la unidad tiene 1 bolitas, averiguamos cuántas bolitas corresponden a cada fracción. Ah, si, esto lo sé hacer! A ver la primera... Hay que hacer las dos terceras partes de 1... Un tercio de quince es cinco, luego las dos terceras partes son el doble, osea, 10. 1

3 Muy bien! A ver la otra... Las tres quintas partes de quince. Una quinta parte de quince son tres, luego las tres quintas partes son...el triple, osea 9 bolitas. Eso es! Entonces... cuántas bolitas tienes en total? Pues 10 más 9... Diecinueve bolitas! Luego... Luego... la suma de las dos fracciones es 19 / 1... Pero esto es muy raro... qué quiere decir? cómo voy a coger 19 bolitas si solamente tengo 1? No te preocupes... Vamos a suponer que tenemos bolitas por un tubo. El resultado dice que tienes que coger 19 bolitas y que, por tanto, has de coger un grupo entero de 1 bolitas y además bolitas más. Esto los matemáticos lo escriben así: 1 y lo llaman número mito. Quiere decir que cogemos una 1 unidad entera de 1 bolas y bolitas más de un total de quince. Ya... Luego puedo escribir esto: = 19 1 = 1 1

4 Eso es! Entonces... puedo aplicar el mismo procedimiento para restar fracciones, por ejemplo ésta...? Claro!. Mira... Primero hay que elegir una unidad que venga bien... Ya sé... =0. Tomo 0 bolitas como unidad... Y ahora averiguo cuántas bolitas son cada fracción... Bien! A ver... las cuatro quintas partes de 0... La quinta parte de 0 son bolitas, así que cuatro quintas partes son... veces... o sea, 16 bolitas. Muy bien! Y ahora... las tres cuartas partes de 0 son... la cuarta parte de 0 son... mmm... luego las tres cuartas partes son veces, o sea, 1 bolitas. Perfecto! Entonces... a 16 bolitas hay que quitar 1 bolitas, luego queda 1 bolita. Sí! Y esa bolita... qué fracción es de las 0 bolitas que hemos tomado como unidad? Eh?... Ah, si!, pues...1/0. Es decir, que... = 1 0, no? Eso es! Ah, ya veo! Primero hay que elegir una unidad, que, por lo que veo es el producto de los denominadores... Y luego hay que ver cuántas bolitas son cada fracción... Después hay que sumar o restar las bolitas resultantes y epresar el resultado como fracción de la unidad que habíamos elegido. Veo que lo has entendido perfectamente! Si ya, pero... sirve esto cuando hay que dividir fracciones, por ejemplo,? Eh, eh? Pues también vale, claro. Inténtalo y verás como sí que sale... Mmm... A ver... Tomamos como unidad =1 bolitas.

5 Ajá! Y ahora... las cuatro quintas partes de 1 son... veces, o sea, 1 bolitas... Ajá! Las dos terceras partes de 1 son... veces, o sea, 10 bolitas... Y ahora qué? Pues ahora tienes que dividir 1 entre 10, o bien indicar que el resultado es la 1 6 fraccion 1/10, o simplificando, 6/. Una cosa así: = = Que puedo escribir como 1, porque con 6 bolitas puedo hacer un grupo de bolas y me sobra una bola... no? Ajá! O sea que el resultado es... = = = 1. Pero también podría haber 10 dado otro resultado... Porque... si el resultado es la fracción 1/10... con 1 bolitas puedo hacer un grupo de 10 bolas y me sobran, luego también daría 1, no? 10 Bueno, pero /10 es lo mismo que 1/... no?...si lo simplificas, claro. Aaahhhh... Creo que con esto ya puedo hacer las tareas que me ha mandado el profe... Gracias, Eva. Me has sido de gran ayuda. Al día siguiente Carlos volvio a encontrarse con Eva y le comentó cómo le había ido en la clase de Matemáticas. El profesor se ha sorprendido al ver que tenía escritos los resultados, pero no aparecían los cálculos... Me preguntó si había usado la calculadora... Ya sabes que con mi calculadora las operaciones con fracciones salen enseguida, unicamente pulsando unas teclas... Le dije que no, que lo hice de cabeza, mentalmente. Me imagino la cara de tu profe. Supongo que esperaba que hubieses hallado el mínimo común múltiplo de los denominadores y todo eso... Pero es que... realmente no hace falta... Si esto se puede hacer mentalmente... Así se lo dije al profe... Y mira, le puse un ejemplo y todo... Ah, si? Qué ejemplo?

6 6 Pues este:. Lo hice sin escribir nada, solamente le dije: =0 bolitas; seis quintas partes de 0, seis veces cuatro, venticuatro; tres cuartas partes de 0, tres veces cinco, quince. Ya está profe: la división vale /1... Lo ve? Y qué pasó? Pues que el profesor me dijo no se qué de los productos cruzados y que bastaba hacer no se qué de producto de etremos partido por producto de medios y que también se podía hacer multiplicando la primera fracción por la inversa de la segunda y no se qué... Pero yo no entendí nada de lo que dijo, aunque me sorprendió que al aplicar estas misteriosas reglas saliera siempre el mismo resultado que con mi método. Sin embargo... mi método lo entiendo, pero estos otros que me contaba el profe no les encontraba ninguna justificación. Tienes razón, Carlos. A mi me pasaba lo mismo. Nunca entendí porque había que hacerlo multiplicando por la segunda fraccion invertida, pero es que nunca me lo eplicaron. También le epliqué otro ejemplo. Al profe? Si, claro Qué ejemplo? Pues este otro: 1 Caramba! Y cómo lo hiciste? Pues... Mira, le dije, tomo =60 bolitas. Entonces: dos tercios de 60 son dos veces 0, osea 0; cuatro quintos de 60 son cuatro veces 1, osea 8; un cuarto de 60 son 1. Por tanto, del total de 60 bolitas hay que coger 08 1=0=7. Luego el resultado es la fracción 7/60, o también, el número mito 11/60, porque con 7 bolitas se puede hacer un grupo de 60 y sobran 1 de 60. Y qué pasó? Pues que el profesor me miró con una cara un poco rara y me dijo que aunque estas operaciones se podían hacer de cabeza, estas reglas que estaba eplicando de mínimo común múltiplo y demás eran necesarias para más adelante, cuando en cursos posteriores nos eplicasen no se qué de fracciones algebraicas.

7 Las fracciones algebraicas? Sí. Ah, bueno... Pero si es que... para las fracciones algebraicas también vale el mismo procedimiento... Ah, si? Si, es un poco más engorroso, pero también funciona. A ver, venga, eplícame con un ejemplo... Pues mira, por ejemplo: Hala! Qué es esoooo? 1 Nada, una suma y una resta combinada de fracciones (algebraicas, pero fracciones)... Ya... Ufff... Mira, poco a poco... tomo () (-) (1) bolitas. Hasta ahí lo entiendo... Eh, no seas impaciente! Ahora averiguo el número de bolitas que corresponde a cada fracción: de de de 1 ( ) ( - ) ( 1) = ( ) ( - ) ( 1) = 9 ( 1) ( ) ( - ) ( 1) = ( ) ( 1) = 10 ( 1) ( ) ( - ) ( 1) = ( ) ( ) = ( 10) ( ) Por lo tanto, el resultado es: 9 = 1 ( 1) 10 ( 1) ( 10) ( ( ) ( ) ( 1) ) Ahora habría que hacer operaciones arriba y ver si se puede simplificar... 6

8 Eh, eh, para el carro! Hace tiempo que no te entiendo nada de nada... Bueno, no te preocupes, ya lo verás cuando estés en Bachillerato. Lo que sí creo que puedes entender es que el fundamento es el mismo. A ver, si quieres A C E hacer esta operación: tienes que seguir estos pasos: primero tomo B D F B D F bolitas. Luego averiguo las bolitas que corresponden a cada fraccion, así: A de B D F bolitas es igual a A D F; B C de B D F bolitas es igual a C B F; D E de B D F bolitas es igual a E B D. F Por tanto, el número de bolitas que hay que elegir de las B D F iniciales es A D F C B F E B D. Es decir, el resultado es la fraccion: A D F C B F E B D B D F Pues qué bien, pero es que a mi nunca se me han dado bien las letras... Ya, ya... Después de un largo silencio, Carlos volvió a la carga... Y la multiplicación? Por qué no me has dicho nada todavía de la multiplicacion?... Bueno, si, ya sé... Se hace igual... no? Pueees... A ver. Con este ejemplo:. Primero cogemos =0 bolitas y después averiguamos cuántas corresponden a cada fracción... Tres cuartos de 0 son tres veces cinco, o sea 1; dos quintos de 0 son dos veces cuatro, o sea 8. Por tanto, hay que multiplicar 1 8=10. Por tanto, son 10 bolitas de 0 bolitas, es decir, la fracción 10/0, Ya... Sin embargo, si haces la operación con la calculadora... Uy! Sale /10. No tiene nada que ver con lo que me sale a mí. Entonces? 7

9 No lo entiendo... No hemos quedado que el proceso era: 1º) tomar un número de bolitas como unidad, º) averiguar cuántas bolitas corresponden a cada fracción, º) operar (sumar, restar, dividir), y º) dividir el resultado entre el número de bolitas que tomamos como unidad? Por qué no funciona esto cuando se trata de la multiplicacion de fracciones? Bueno... En realidad, la división no funciona igual que la suma o la resta... En la división no divides entre el número de bolitas que has tomado como unidad, solamente divides los números de bolitas que corresponden a cada fracción. Mmm... Tienes razón... Pero si hacemos lo mismo con la multiplicación, o sea, si multiplicamos los números de bolitas que corresponden a cada fracción, el resultado sería siempre un número entero. Por ejemplo, en el caso que estamos viendo, el resultado sería 10 bolitas, no habría una fraccion como resultado! Se quedaron pensativos un rato largo. De repente, Eva reacciona. Ya lo tengo! Cómo no se me había ocurrido antes? Eh? Si, mira. En realidad no es propiamente una multiplicacion, es una parte de una fracción. Cooomooo? Si. Quiero decir que cuando escribes no hay que hacer una multiplicación con el mismo sentido que antes hacíamos sumas, restas y divisiones. En realidad lo que estás haciendo es hallar las tres cuartas partes de las dos quintas partes de la unidad. Estás haciendo partes de partes... Buf, no entiendo nada. Si, mira. Tomamos como unidad =0 bolitas. Entonces, lo que hay que hacer es hallar las tres cuartas partes de las dos quintas partes de 0 bolitas. Vaya trabalenguas! Y cómo se come eso? Poco a poco. A ver. Primero hallo las dos quintas partes de 0 bolitas, que son dos veces cuatro bolitas, o sea 8 bolitas. Si. 8

10 Y ahora, hallo las tres cuartas partes de 8 bolitas... O sea, tres veces bolitas, 6 bolitas. Con lo que el resultado final es 6/0, o también /10, que es lo que dice tu calculadora. Carlos se quedó realmente muy asombrado Pero entonces... Multiplicar fracciones es hacer partes de partes... En cambio, las otras operaciones eran operaciones de verdad, sumas, restas, divisiones. Ahora es partir lo que ya estaba partido... Cómo puede ser que multiplicar sea partir? No era la división la operación que servía para partir? Cómo es que ahora es la multiplicacion la que parte las partes? Si, esto es un poco etraño. Lo que sí he visto es que bastaba multiplicar los numeradores y los denominadores para obtener el resultado. Ves? =6, =0. Por tanto, 6 = =. Tal vez por esta coincidencia se le llame multiplicación de 0 fracciones, porque hay que multiplicar los números de arriba y los de abajo. Pero... en realidad es partir partes de la unidad. Carlos se quedó pensativo mucho tiempo. Cómo es que un procedimiento que parecía universal deja de tener validez en un caso concreto? Porqué los significados de las operaciones no son siempre los esperados, los razonables? Qué misterio hay en todo esto? Porqué son tan difíciles las matemáticas? Y así fueron pasando las horas. Hasta que se durmió. Para los que todavía se sorprenden con las fracciones Valencia, Noviembre de 008 9

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