INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL CUADERNILLO DEL CURSO DE NIVELACIÓN 014 PARA LAS CARRERAS DE: INGENIERÍA CIVIL INGENIERÍA ELÉCTIRCA INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES INGENIERÍA EN TECNOLOGIAS DE INFORMACIÓN Y COMUNICACIONES LIC. EN BIOLOGÍA LIC. EN ARQUITECTURA ING. EN GESTIÓN EMPRESARIAL. ALGEBRA

2 A LOS ESTUDIANTES El presente Curso de Nivelación forma parte del ingreso al Instituto Tecnológico de Chetumal y está dirigido a los aspirantes que han sido aceptados en las carreras de licenciatura. El objetivo del curso es profundizar y aumentar los conocimientos matemáticos que se estudian en las distintas Instituciones de Educación Media Superior, de manera que todos los estudiantes puedan acceder a los primeros semestres de su carrera con un adecuado nivel de conocimientos y de dominio, tanto en los conceptos como en los métodos matemáticos y lograr un mejor desempeño académico durante su formación profesional. Para realizar el repaso de estos tan necesarios conocimientos, que se utilizan en las materias de las distintas carreras, se trabaja con las nociones básicas. En cada tema tratado se incluyen ejercicios resueltos que el estudiante deberá desarrollar y comparar sus resultados con los aquí presentados. Para lograr terminar su carrera profesional, es indispensable que el estudiante verdaderamente lo desee y este convencido de realizar el esfuerzo para estudiar y adquirir los conocimientos necesarios de su profesión. Este curso es el primer paso para lograr esta meta. Bienvenido al Instituto Tecnológico de Chetumal.

3 Índice TEMA I: ALGEBRA 3 1 EXPONENTES LEYES DE LOS EXPONENTES 3 PRODUCTOS NOTABLES 5.1 BINOMIO AL CUADRADO 5. BINOMIO AL CUBO 6.3 BINOMIOS CONJUGADOS 6.4 BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN 6 3 FACTORIZACION FACTOR COMUN 7 3. FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POLINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c CUANDO a = CUANDO a DIFERENCIA DE CUADRADOS SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS METODO DE EVALUACION (DIVISIÓN SINTÉTICA) FACTORIZACIÓN TOTAL. MISCELÁNEA DE LOS CASOS 17 4 FRACCIONES ALGEBRAICAS SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1 4. MINIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR 4.3 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 8 5 RADICALES SIMPLIFICACION DE RADICALES RACIONALIZACION DE RADICALES CASO I: EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO CASO II: EXPRESIONES CONJUGADAS CASOS ESPECIALES: RACIONALIZAR EL NUMERADOR 33 6 GRAFICACIÓN DE RECTAS. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES GRAFICACIÓN DE RECTAS SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 35 7 ECUACIONES CUADRÁTICAS 36 8 DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES SIMPLE 37

4 TEMA I: ALGEBRA 1.-EXPONENTES Exponentes enteros Los exponentes enteros son una forma de expresar la multiplicación de una expresión por sí misma un número determinado de veces. n Definición: a a a a a n veces A la letra a se le llama la base y a la letra n se le llama exponente. Veamos algunos ejemplos Base, exponente 3 Base 5, exponente 7 Base y, exponente LEYES DE EXPONENTES: Las leyes de exponentes nos permiten evaluar y simplificar expresiones matemáticas. La tabla siguiente nos ilustra cuales son: DESCRIPCIÓN 1) Producto de dos factores con igual base ) Producto de dos factores elevado a un exponente 3) El cociente elevado a un exponente 4)Expresión exponencial elevado a su vez a un exponente 5) El cociente de dos expresiones exponenciales 6) Cero como exponente donde a 0 7) Exponentes enteros negativos EXPRESIÓN n a a b b ( a ) a a n n n m a n m a n m a n m 0 a 1 n 1 n a ILUSTRACIÓN DE LA LEY 3 ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) 5 ( a a a)( b b b) 5 5 a b 3 3 a a a a a a b b b b b b a a a a a b b b b b a b 5 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 10 a a 6 4 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

5 EJEMPLOS: Simplifique la expresión Ejemplo 1: Observe que para resolver este tipo de expresión algebraica utilizaremos la ley #5 y propiedades de la multiplicación de expresiones racionales. Ejemplo : Ejemplo 3: Determina el valor numerico de la expresion Ejemplo 4: Determina el valor numérico de Ejemplo 5: Determina el valor numérico de Ejemplo 6: Determina el valor numérico de Ejercicios de taller de exponentes Simplifica las siguientes expresiones 1. Ejercicio = Solución. 3. 4

6 Efectuando.- PRODUCTOS NOTABLES En matemáticas, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta con un mínimo de esfuerzo. El primer producto notable que consideramos es: Básicamente se escriben así:.1.- BINOMIO AL CUADRADO Se lee, cuadrado de un binomio Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye a o b o ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras seguirán exactamente la misma mecánica. Se puede acortar como: Que se leen respectivamente: El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a+b) ) es igual al cuadrado de la primera (a ) más el doble producto de ellas (ab) más el cuadrado de la segunda (b ). El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( (a - b) ) es igual al cuadrado de la primera (a ) menos el doble producto de ellas (-ab) más el cuadrado de la segunda (b ). Ejemplo: 5

7 ..- BINOMIO AL CUBO Las siguientes son las formas básicas de los cubos de binomio. EJEMPLO.3.- BINOMIOS CONJUGADOS Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades conocido como binomios conjugados. Básicamente se escriben así: Se lee: la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados Ejemplo: Como puede verse en el último ejemplo se puede convertir un polinomio de más de dos términos en un binomio con solo usar paréntesis y tomar lo que se encuentra en el paréntesis como un todo..4.- BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Tenemos los binomios (m + c)(m + b), donde m es el termino común, ahora desarrollamos la multiplicación. Como notable nos queda: Se lee: El producto de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado de ese término, más el producto de este por la suma algebraica de los otros dos, más el producto de estos. Ejemplo: Ejercicios taller de productos notables Realiza los productos notables Escribir por simple inspección, el resultado de: 1. (Desarrollando el cuadrado de la suma) ) 6

8 FACTORIZACIÓN Antes de comenzar directamente con los casos de factorización vamos a necesitar algunas definiciones: Factor: Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del producto es un factor del polinomio original. Factorización: Es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto. Primo: Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo. Al factorizar un polinomio el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros. La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática, pues nos permite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio. Para factorar un monomio se realiza por pura inspección, separando los números y las letras entre sí. Prueba general de los factores En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma: multiplicación de los polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original FACTOR COMÚN Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio. Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor. Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas. Ejemplo: x 5 Como puede verse el cinco es el común numérico y la x la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de x es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común.nos queda como respuesta: Ejemplos: Encontrar el factor común de los siguientes términos: 1) 7

9 ) 3) 4) Ejercicios taller factor común 1. Encontrar un factor común en a+4 Paso 1. Buscamos el factor común de a y 4. Como el factor común de a y 4 es, procedemos a factorizarlo:. Encontrar un factor común en a+a Paso 1. Buscamos el factor común de a y a Como el factor común de a y a es a, procedemos a factorizarlo: 3. Encontrar el factor común en b + b 3 Paso 1. Buscamos el factor común en b y b 3 Como el factor común en b y b 3 es b, procedemos a factorizarlo: 4. Encontrar un factor común en 3a + 4a + 5a 3 Paso 1. Buscamos el factor común en 3a, 4a y 5a 3. Como el factor común de 3a, 4a y 5a 3 es a, procedemos a factorizarlo: 5. Encontrar un factor común en 5x 3 + x - 3x Paso 1. Buscamos el factor común en 5x 3, x y 3x Como el factor común de 5x 3, x y 3x es x, procedemos a factorizarlo: 6. Encontrar un factor común en 4b - 1b +8b 3 Paso 1. Buscamos el factor común en 4b, 1b y 8b 3 Como el factor común de 4b, 1b y 8b 3 es 4b, procedemos a factorizarlo: 7. Encontrar un factor común en 5m +10m 3-15m 5 Paso 1. Buscamos el factor común en 5m, 10m 3 y 15m 5 Como el factor común de 5m, 10m 3 y 15m 5 es 5m, procedemos a factorizarlo: En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue con la misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley distributiva: a(b+c)=ab+ac. 1. Factorizar x(m+n) + y(m+n) Paso 1. Buscamos el factor común entre x(m+n) y y(m+n), como el factor común es (m+n), podemos factorizarlo:. Factorizar a(x-y) + b(x-y) Paso 1. Buscamos el factor común, que es (x-y), podemos factorizarlo: 3. Factorizar r(m+n) s(m+n) Paso 1. Buscamos el factor común, que es (m+n), podemos factorizarlo: 4. Factorizar x(a+b) a b Paso 1. Factorizamos el -1 de a-b Paso. Buscamos el factor común de x(a+b) y (a+b), como es (a+b), entonces: 5. Factorizar a(c-d) + xc - xd 8

10 Paso 1. Factorizamos la x de xc-xd Paso. Buscamos el factor común de a(c-d) y x(c-d), que es (c-d) entonces: 6. Factorizar a(m+n) + bm + bn Paso 1. Factorizamos la b de bm+bn Paso. Localizamos el factor común (m+n), entonces: 3..- FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas. Agrupo los términos que tienen un factor común Saco el factor común de cada grupo a ( x - y + 5 ) + b (x - y + 5 ) Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene: ( x -y +5 )(a + b) Que es nuestra respuesta. Ejemplos: m(x + ) x + 3(x + ) = m(x + ) -1(x + ) + 3(x + ) = (x + )(m + 3-1) Ejercicios taller agrupación de términos 1. Factorizar xy + y - 6x 3. Factorizar 3mn + 15n -4m Factorizar a +6a 3ab 9b 4. Factorizar m(4x-1) + 1x 3 Paso 1. Factorizamos el 3 de 1x 3 Paso. Localizamos el factor común (4x-1), entonces: 5. Factorizar y(5x+) 15x - 6 Paso 1. Factorizamos el 3 de 15x + 6: 9

11 Paso. Localizamos el factor común (5x+), entonces: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x) =36x, el último es el cuadrado de y pues (y ) =y 4, y el segundo término es el doble producto de las bases de estos cuadrados, es decir 6x y y, pues *6x*y =1xy. En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos: O también así Ambas son respuestas aceptables. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Ejemplos: Ejercicios taller factorización trinomios cuadrados perfectos 1. Factorizar a) es el cuadrado de x. b) xy es el término donde aparece x c) y es la parte restante de x del término anterior d) y es la mitad de esa parte restante e) es el cuadrado de esa mitad f) es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.. Factorizar a) es el cuadrado de x. b) 4x es el término donde aparece x c) 4 es la parte restante a x del término anterior d) es la mitad de esa parte restante e) es el cuadrado de esa mitad f) 4 es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto Factorizar a) es el cuadrado de x. b) 1x = 6*x es el término donde aparece x c) 6 es la parte restante a x del término anterior d) 3 es la mitad de esa parte restante e) es el cuadrado de esa mitad 10

12 f) 9 es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto Factorizar a) es el cuadrado de b) es el término donde aparece c) 6b es la parte restante a del paso anterior d) 3b es la mitad de esa parte restante e) es el cuadrado de esa mitad f) es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto. 5. Factorizar a) b) c) d) es la mitad de esa parte restante. e) f) Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto. + Creación de trinomios cuadrados perfectos Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les sumamos y restamos el término que le haga falta. 1. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto: o Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos. Ejemplo: o o Se encuentra el doble producto de estas raíces. Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados perfectos.. Si tenemos un binomio de la forma x + bx hace falta completarlo con el cuadrado de la mitad del coeficiente de la raíz del término de la derecha. Ejemplo: Pero para que el resultado original del polinomio no varíe se le debe restar lo que se añadió POLINOMIO DE LA FORMA ax +bx+c Cuando a=1. Ejemplo explicativo: Factorizar Ejemplos: 11

13 Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado x no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque x es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así: En el cuarto ejemplo se observa que el término c no es un simple numero sino que tiene una forma, en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se ha tomado como factor b como si fuera 1m así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta 98m y al sumar 7m + 14m nos da 1m, con lo que se cumple con los requisitos. Los términos x, b y c pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios. Sólo se necesita que se cumplan las reglas indicadas Cuando a 1 Ejemplo explicativo: Factorizar 1er paso paso 3 paso 4 paso 5 paso Simplificar Ejemplos: Factorizar 1

14 Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda, sin olvidar que los factores del denominador dividen a todos los términos del binomio correspondiente. Ejercicios de taller de factorización de trinomios de la forma ax +bx+c, en los casos que a=1 y a Factorizar x +4x+3 a) 3 y 1 suman 4 b) 3 por 1 da 3 c) Por lo tanto,. Factorizar x -4x+3 a) -3 y -1 suman -4 b) -3 por -1 da 3 c) Por lo tanto, x -4x+3=(x-3)(x-1) 3. Factorizar x +3x-10 a) 5 y - suman 3 b) 5 por - da -10 c) Por lo tanto, x +3x-10=(x+5)(x-) 4. Factorizar x -x-8 a) 4 y - suman - b) 4 por - da -8 c) Por lo tanto, x -x-8=(x-4)(x+) 5. Factorizar x +x-0 a) 5 y -4 suman 1 b) 5 por -4 da -0 c) Por lo tanto, x +x-0=(x+5)(x-4) 6. Factorizar x -x-1 a) -4 y 3 suman -1 b) -4 por 3 da -1 c) Por lo tanto x -x-1=(x-4)(x+3) 7. Factorizar x +7x+6 a) 6 y 1 suman 7 b) 6 por 1 da 6 c) Por lo tanto x +7x+6=(x+6)(x+1) 8. Factorizar x -x-4 a) -6 y 4 suman - b) -6 y 4 da -4 c) Por lo tanto x -x-4=(x-6)(x+4) 9. Factorizar a +5a+6 a) 3 y suman 5 b) 3 por da 6 c) Por lo tanto a +5ª+6=(a+3)(a+) 10. Factorizar b -7b+1 a) -4 y -3 suman -7 b) -4 por -3 da 1 c) Por lo tanto b -7b+1=(b-4)(b-3) 11. Factorizar c -4c+3 a) -3 y -1 suman -4 b) -3 por -1 da 3 c) Por lo tanto c -4c+3=(c-3)(c-1) 1. Factorizar x + 7x+ 3 R: ( x + 1)(x + 3) 13. Factorizar y + 9y + 4 R: (y + 1)(y + 4) 14. Factorizar 3z - 14z 5 R: (z - 5)(3z + 1) 15. Factorizar 4x - 9x + 7 R: (4x - 1)(x - 7) 16. 5x + 1x 9 R: (5x-3)(x+3) 17. Factorizar 6y + 17y +1 R: (3y + 4)(y + 3) 18. Factorizar 7x - 46x 1 R: (x - 7)(7x + 3) 19. Factorizar 8y +4y 3 R: (4y+ 16)(y- )=8(y+4)(y-1) DIFERENCIA DE CUADRADOS Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Al estudiar los productos notables teníamos que: En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este tema es el caso contrario: Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. 13

15 Pasos: 1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo). Ejemplo explicativo: Ejemplos: 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS FORMAS BASICAS: SUMA: a 3 +b 3 = (a+b)(a -ab+b ) DIFERENCIA : a 3 -b 3 = ( a-b)( a +ab+b ) 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio ) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la suma o diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio. 4) Los factores se determinan así: El cuadrado de la primera raíz menos (para la suma), o más (para la diferencia) el producto de estas raíces para el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo 1: Factorizar La raíz cúbica de: La raíz cúbica de: Ejemplo. Factorizar La raíz cúbica de: La raíz cúbica de: 64 es 4 Ejemplo 3: Factorizar La raíz cúbica de: 14

16 La raíz cúbica de: Según procede Ejemplo 4: Factorizar y 3-7 La raíz cúbica de: y 3 es y La raíz cúbica de: 7 es 3 Ejemplo 5: Factorizar 15x La raíz cúbica de: 15x 3 es 5x La raíz cúbica de: 1000 es 10 Ejemplo 6: Factorizar 16x 9 y 1 z m 30 w 18a La raíz cúbica de: 16x 9 y 1 z 15 es 6x 3 y 4 z 5 La raíz cúbica de: 343m 30 w 18a es 7m 10 w 6a Ejercicios taller de factorización de suma y diferencia de cubos 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 1) 13) 14) 15) METODO DE EVALUACION (DIVISIÓN SINTÉTICA) Procedimiento Recordemos que un polinomio entero y racional en x. que se anula para x=a, es divisible por x-a (Corolario del Teorema del residuo) 1. Sacamos los divisores del término independiente. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x-a 4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la División Sintética 15

17 Nota: Me parece que este procedimiento es menos laborioso que el que se presenta en Álgebra de Baldor, pues es más fácil calcular P(x) para varios valores de x que realizar otras tantas divisiones. Descomponer por evaluación: 1. El término independiente es 1 Los divisores de 1 son 1 y -1. Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la división sintética: De tal manera que. El término independiente es 6 Los divisores de 6 son ±1, ±, ±3 y ±6 Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la división sintética: De tal manera que 3.8 FACTORIZACIÓN TOTAL. MISCELÁNEA DE LOS CASOS Estrategia general 1. Factorizar todos los factores comunes.. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay: I. Cuatro términos: factorizar por agrupación II. Tres términos: probar si es TCP y factorizar; si no es TCP, emplear el caso general. III. Dos términos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o diferencia de cubos y factorizar. 3. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente. Identificación del factor común 16

18 Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de término por un factor. Por ejemplo (3+x)y = 3y + xy. Podemos igualmente usar esta propiedad para deshacer esta multiplicación. Esto requiere que identifiquemos el factor que es común a todos los términos en la expresión. En la expresión 3y + xy, y es el factor común. Por lo tanto, nuestra factorización será o equivalentemente,. Generalmente conviene factorizar el factor común máximo posible. Por ejemplo, en el polinomio podemos identificar como factor común a todos los términos, varios monomios: xy es factor común porque 3xy es factor común porque Similarmente podemos establecer que también es factor común. Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera: Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más). Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una factorización en la que el factor no aparezca. 1) Si queremos factorizar el polinomio comenzamos factorizando completamente sus términos: Luego formamos el FCM: Finalmente hacemos la factorización: ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 17

19 Ejercicios Taller de miscelánea de factorización

20 13. Ahora, vamos a factorizar el paréntesis: Por lo tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal: De tal manera que: DESCOMPONER EN CINCO FACTORES:. 3. la diferencia de cubos y la diferencia de cuadrados} {sacando factor común} {factorizando 19

21 DESCOMPONER EN SEIS FACTORES: 1.. {sacando factor común} {Factorizando las diferencias de cuadrados} 4.- FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición:Una fracción algebraica es una expresión de la forma donde a y b son polinomios. r( x) O también, es toda expresión de la forma, donde r(x), q(x) P(x); q(x) 0. q( x) El polinomio r(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica. Son fracciones algebraicas: Existen tres signos asociados en una fracción algebraica: El signo del numerador El signo del denominador Y el signo resultante de la operación de la fracción Es decir: De lo anterior se observa que se pueden hacer cambios en los signos de una fracción, sin que ésta se altere. 0

22 4.1.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente. Por ejemplo: Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3,, Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. Por ejemplo: Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común así Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas 1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes. 3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador 1

23 4., aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma. 5., aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia Ejercicios propuestos: Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas a b m n m n (1) () 4 3 0ab m n m n a c d 8a 16b (3) (4) ac d 4 16a 56ab 3b 3 3 (5) 1mn (6) a 5ab 3b (7) 7m 36n 36m 48n a ab b (9) 3a 3b x 5x 6 (11) x x 3x 7x 4 (13) 5x 15x 140 (8) (10) 18m n 4 x x xy x 4p q 8p 8pq q 3 3 a b (1) a b 16x y 5y (14) 4x y 3xy 10y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Un polinomio p(x) es el mínimo (MCM) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. Cálculo del MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M) Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 7 y 50 será:

24 Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que: El MCM se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el MCM de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo: Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33) Luego, el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es: que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma: Operando las fracciones, podemos realizar la suma: Cálculo del MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en 3

25 factores primos El MCD son factores comunes con su menor exponente, esto es: En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera. Mínimo común múltiplo de fracciones algebraicas Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador. Reducir a común denominador las fracciones: x 1 y x 1 x.3x 1 Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el común denominador. x 1 = (x + 1) (x 1) x + 3x + = (x +1 ) (x + ) m.c.m. (x 1, x + 3x + ) = (x + 1) (x 1) (x + ) Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente. Ejemplos resueltos de determinación de mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios. Polinomios factores m.c.m. 4

26 1) ) 3) 4) 9x 6xy 1x x y 4 5 y 5x 6 3 x y 3 x y x y (x )(x 3) x 6x 9 (x 3) x 3x (x )(x 1) x (x ) a b ( 1) (b a) 3b 3a a b ( 1) 5 (b a) x 5a 5b 6x 3 6y 3 xy y 3 (b a) ( 1) (b a)(b a) 3 (x y)(x xy y (x y) (x y) x xy y ) 36x 3 5 y x 4 15 (b 5 y 4 (x )(x 3) (x 1) 1 3 5(b a)(b a) 6(x y a ) ) 3 (x y)(x 3 3 xy y ) Ejercicios de aplicación de MCM y MCD 1.-Un faro se enciende cada 1 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en segundos. 1 = 3 18 = 3 60 = 3 5 MCM. (1, 18, 60) = 3 5 = : 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos siguientes sólo coinciden una vez. Sólo a las 6.33 h..- El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado de la baldosa y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 5

27 Como las baldosas se suelen medir en centímetros, pasamos todo a centímetros. 3 m = 300 cm = ² 3 5² 5 m = 500 cm = ² 5³ A = = cm m. c. d. (300, 500) = ² 5² = 100 cm de lado A b = 100 = cm : = 15 baldosas 3.- Un comerciante desea poner en cajas 1 08 manzanas y 1 77 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. Calculamos el máximo común divisor = ² = ² m. c. d. (1 08, 1 77) = naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 1 77 / 14 = 103 Cajas de manzanas = 1 08 / 14 = 97 Cajas necesarias = = Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? Y cuántas baldosas se necesitan? Pasamos las unidades a centímetros porque las baldosas se miden en centímetros. 8 m = 800 cm = 5 5² cm 6.4 m = 640 cm = 7 5 cm m. c. d. (800, 640) = 5 5 = 160 cm de lado A b = 160 = 5600 cm A = = cm : 5600 = 0 baldosas OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma y resta de fracciones algebraicas. Suma de fracciones algebraicas: Con el mismo denominador: 6

28 Con distinto denominador: El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo: Buscamos el MCM de los denominadores. (x+1)=(x+1) (x-1)=(x-1) Entonces Resta las fracciones algebraicas: 4.3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 7

29 Multiplicación de fracciones algebraicas División de fracciones algebraicas I.- Realiza las siguientes operaciones 8

30 9

31 Ejemplos: 1) ) 3) 4) 5) 6) Ejercicios taller simplificación fracciones algebraicas 1) ) 3) 4) 5) 5. RADICALES 5.1. SIMPLIFICACION DE RADICALES. SIMPLIFICAR UN RADICAL. Es reducirlo a su más simple expresión. Un radical está reducido a su más simple expresión cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se extrae dicha raíz a cada uno de sus factores, o sea = En la simplificación de radicales consideraremos los dos casos siguientes: CASO I: Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible entre el índice de la raíz. 1).- Simplificar = = 3a o también: ).- Simplificar = = = 3a 5 = 10 En la práctica no se indican las raíces, sino que una vez arreglados los factores de la cantidad subradical, aquellos cuyo exponente sea divisible entre el índice, se sacan del radical dividiendo su exponente entre el índice. 3).- Simplificar = = = 30

32 Ejercicios: Simplificar: 1).- ).- 3 3).- CASO II: Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común. 1).- Simplificar R. = = = ).- Simplificar ; R = = = = 3).- Simplificar R. = = Ejercicios. Simplificar: 1).- ).- 5 3).- 5. RACIONALIZACION DE RADICALES CASO 1. EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO Procedimiento 1. Se multiplican los dos términos de la fracción por un radical, del mismo índice de la raíz en el denominador, que multiplicado por éste se elimine el signo radical.. Se simplifica Racionalizar el denominador de: ó

33 5...- CASO : EXPRESIONES CONJUGADAS P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador. Se efectúan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos cantidades. 3. Se reduce y se simplifica Racionalizar el denominador de: 1. La conjugada del denominador es ; entonces, multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fracción por. La conjugada del denominador es ; entonces, multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fracción por. 3. La conjugada del denominador es ; entonces, multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fracción por 4. La conjugada del denominador es ; entonces, multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fracción por Ejercicios taller de racionalización de radicales 1) ) 3) 4) 3

34 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) CASOS ESPECIALES: RACIONALIZAR EL NUMERADOR EJERCICIOS. Racionalizar el numerador de las siguientes expresiones: Utilizar el mismo procedimiento del caso I y caso II anteriores, pero operando los numeradores. Ejercicios Respuestas

35 GRAFICACIÓN DE RECTAS Y SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Se llama ecuación lineal con dos incógnitas a cualquier expresión de la forma: ax+by=c donde a, b y c son números reales cualesquiera y x e y son las incógnitas Toda ecuación lineal con dos incógnitas representa una línea recta o, simplemente, recta. 6.1 GRAFICACIÓN DE RECTAS Para graficar una recta basta con hallar dos de sus puntos, despejando y, dándole dos valores a x, sustituyendo dichos valores en la ecuación y calculando los correspondientes valores de y. Posteriormente en el plano cartesiano se localizan dichos puntos y con el borde de una regla se traza una línea que una a los puntos. Ejercicios. Graficar las siguientes ecuaciones lineales: a) 5x - 3y = 0; b) 3x+4y=1; c) x-3=0; d) y= Se le llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Casos en la solución de un sistema de ecuaciones lineales. SOLUCION UNICA INFINITAS SOLUCIONES SOLUCION INCONSISTENTE APLICACIONES:http://webpages.ull.es/users/amontes/cabri/inter-rc.htm _Recta.html 6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE APLICACIONES LINEALES EJEM PLO S: Resuelve por sustituc ión, por igu alación y por reducción el sis t e m a: 34

36 POR SUST IT UCIÓN : 6..- Por igua lación 6.3 Por red ucción: Ejercic ios: 35

37 7. Ecuaciones cuadráticas Las siguientes expresiones algebraicas son ejemplos de ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado con una incógnita: x + x 8 = 0, 4x + 1x 8 = 0, x + 1x = 0, 4x 8 = 0, x + 3x = 0, 3x 5x = 0, x x 1 = 0. Solución de ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones cuadráticas completas como las anteriores, que tienen la forma,, pueden resolverse: a) Por factorización, b) Mediante la fórmula general. (Otro método empleado se denomina completando cuadrados el cual no se muestra en este material). 7.1 Aplicación de Factorización Simple La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio que los hace igual a cero, estas son las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x + x 8 = 0. Aplicando la factorización de expresiones de la forma, en el caso cuando, su buscan dos números cuyo producto sea -8 y sumados den. (x + 4 ) (x ) = 0 x + 4 = 0 x = 0 x = 0 4 x = 0 + x = -4 x = Estas son las dos soluciones o raíces. 7. Fórmula General Este método es muy simple, hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática en la siguiente fórmula: Ejemplo: Resolver mediante la fórmula general la siguiente ecuación cuadrática x + x 8 = 0 ; a = 1, b =, c = -8 36

38 x = - ± 6 X = x = x = 4 x = -8 x = x = - 4 Estas son las dos soluciones o raíces. Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la fórmula general o por factorización según sea el caso: x + x 8 = 0, 4x + 1x 8 = 0, x + 1x = 0, 4x 8 = 0, x + 3x = 0, 3x 5x = 0, x x 1 = 0. OBSERVACIÓN.- La resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general se puede emplear para resolver cualquier ecuación cuadrática, mientras que el de factorización sólo es aplicable cuando las raíces son números enteros. 8.- DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES Los términos son expresiones que constan de uno o varios símbolos no separados por los signos de más (+) o menos. Una ecuación es una igualdad en donde están involucrados varios términos. Una ecuación está dividida en dos partes, el primer miembro que está a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro que está a la derecha de la igualdad. Una fórmula es una ecuación que expresa una ley o principio general. Ejemplo: La ecuación V = +, es la fórmula para determinar la velocidad de un objeto, en la que tenemos tres términos, que hemos señalado en los recuadros: Términos V = + 1er miembro do miembro Las variables son cada una de las posibles incógnitas de la ecuación, que en este ejemplo son V,,. Despejar consiste en modificar una ecuación hasta que la variable seleccionada quede sola en uno de los miembros de la igualdad. Para efectuar el despeje de una variable se aplica el axioma fundamental de las ecuaciones: Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales. Como resultado directo de este teorema tenemos que para cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro, aplicamos la siguiente regla: 37

39 Si un término en un miembro está sumando restando multiplicando dividiendo restando sumando dividiendo multiplicando Las siguientes reglas tienen plena justificación, debido a que los números reales son un campo. En forma general se consideran para toda ecuación algebraica simplificada a su mínima expresión. Procedimiento General. Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un despeje correcto. 1.- Si existen diversos denominadores, para eliminarlos debes hallar el común denominador A AMBOS LADOS de la fórmula. Multiplica la ecuación por este común denominador y simplificar cada término..- Lleva TODOS los términos que tengan la variable a despejar a un sólo lado de la fórmula, y los demás términos al otro lado; debes tener en cuenta que cuando pasas de un lado al otro los términos que estaban sumando pasan a restar y viceversa. 3.- Suma los términos semejantes (si se puede). 4.- Si la variable a despejar se encuentra en el denominador cambiarla al otro lado. 5.- Aislar el término donde está la variable a despejar en alguno de los miembros. 6.- TODOS los números y/o variables que acompañan la incógnita a despejar, pasan al otro lado, a realizar la operación contraria: si estaban dividiendo pasan a multiplicar y viceversa.( OJO: En este caso NUNCA se cambia de signo a las cantidades que pasan al otro lado) 7.- Si la variable queda negativa, multiplica por (-1) a AMBOS lados de la fórmula para volverla positiva (en la práctica es cambiarle el signo a TODOS los términos de la fórmula) 8.- Si la variable queda elevada a alguna potencia (n), debes sacar la raíz (n) a AMBOS lados de la fórmula para eliminar la potencia. Ten en cuenta que no siempre es necesario aplicar todos los pasos para despejar una incógnita. Ejemplo: En la ecuación x= (at²)/ a) Despejar a x = (at²)/ x = t² = b) Despejar "t" Solución x = (at²)/ Ejemplos: 38

40 1.-Despejemos x en la ecuación z= r t wa + dxdy. Encontremos el valor de z en la ecuación xs=rtz 3. Encontremos el valor de «y» en la ecuación r+y s=q 4.- Despejar c en la ecuación 5.- Despejar en. 6.- Despejar c en. Regla de tres simple En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y, y La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos. Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que: Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar: y diremos que: A es directamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A. Imaginemos que se nos plantea lo siguiente: Si necesito 8 litros de pintura para pintar habitaciones, cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones? Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así: Regla de tres simple inversa En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que: 39 donde, e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

41 y diremos que: A es inversamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X. Si por ejemplo tenemos el problema: Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro? Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo). El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 10 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 10 horas, trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante. Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simples inversas, tenemos: Campo de aplicación Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen. Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la experiencia. Ejemplos Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres: Ubicamos la incógnita en la primera posición: Esto formaliza la pregunta Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que: Donde π es el Número π. Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X. Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos: El resultado es: 40

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