Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números enteros y b

Transcripción

1 Números racionales NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números enteros y b b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q. { a } Q = b /a,b Z b 0 Un número racional de la forma a b y denominador respectivamente. es también llamado fracción, donde a y b se llaman numerador Definición (Fracciones equivalentes): Diremos que la fracción a b c d si y sólo si a d = c b, es decir, a b, c d Q, a b = c a d = c b d es equivalente a la fracción Operatoria Al igual que los números naturales y enteros, los números racionales son cerrados para la suma y la multiplicación. Suma Al sumar dos o más fracciones, tenemos dos casos posibles: Todas las fracciones tiene el mismo denominador: En este caso sólo debemos sumar los numeradores y conservar el denominador. Fracciones con distinto denominador: Para sumarlas debemos transformarlas a fracciones con denominador común a través de la amplificación (generalmente es el M.C.M. entre los denominadores) y luego proceder como el caso anterior. Ejemplo = = = 9 2 = 4 Observación:. El inverso aditivo (u opuesto) de a b es a b 2. El número mixto A b c representa a la fracción: A c+b c, el cual se puede escribir también como a b o a b

2 Multiplicación En la multiplicación de fracciones, la fracción resultante es la que tiene en el numerador el producto de todos los numeradores de las fracciones involucradas y en su denominador el producto de todos los denominadores de las mismas fracciones involucradas, esto es: Ejemplo Observación a b a2 b 2 a b... an b n = a a 2 a... a n b b 2 b... b n = 8 5 El inverso multiplicativo o recíproco de a b es ( a b División ) = b a, con a 0 Sean a b, c d Q, b,c,d 0, se define la división de fracciones de la siguiente manera: a b : c d = a b d c = ad bc Definición (Fracción irreducible) Diremos que una fracción es irreducible si el máximo común divisor entre el numerador y el denominador es, es decir, el numerador y el denominador son primos relativos entre sí. Definición (Amplificación) La amplificación corresponde al proceso mediante el cual una fracción se trasforma en otra equivalente multiplicando el numerador y denominador por un mismo número natural no nulo. Podemos hacer notar que este proceso es de mucha utilidad cuando se quiere igualar el denominador de dos o más fracciones que se están sumando. Ejemplo: Si queremos realizar la siguiente suma: debemos darnos cuenta que todas 4 6 las fracciones involucradas pueden escribirse como fracciones equivalentes con denominador 2, de esta manera 4 = 4 = 9 2, 5 6 = = 0 2, 7 = = 28 2 Con lo cual la suma de fracciones inicial quedará escrita de la siguiente forma, que resolveremos más adelante = Definición (Simplificación) La simplificación corresponde al proceso mediante el cual una fracción se transforma en otra equivalente dividiendo numerador y denominador por un mismo número natural no nulo. Para esto es necesario que el numerador y el denominador sean múltiplos de ese número. En caso contrario se dice que la fracción no se puede simplificar y se convierte en una fracción irreductible. Ejemplo:Alsimplificarlafracción 8 lapodemossimplificarpor2,porypor6lomásconveniente 24 en este caso es simplificar inmediatamente por 6 obteniéndose la cual es una fracción irreducible. 4

3 Relación de orden en Q Sean a b, c d Q y b,d Z+, entonces a b c d ad bc Observaciones. Para comparar números racionales, tambien se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a) Igualar numeradores. b) Igualar denominadores. c) Convertir en número decimal. 2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. Números Decimales Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a. Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0, 425 tiene cifras decimales. b. Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. Ejemplo: 0,4444 = 0,4 c. Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. Ejemplo: 24,4222 = 24,42 Operatoria con números decimales. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo: 0,9,8 + 22,2 26,20 2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. Así por ejemplo:,2 2, ,8. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 0. Así por ejemplo, 2,24 :,2 se amplifica por 00 resultando 224 : 20 y se divide como números enteros.

4 Transformación de Decimal a Fracción Existen tres casos posibles: Decimal finito a fracción: Para transformar un número decimal finito a fracción se procede de la siguiente manera, el número decimal queda expresado como la fracción que en su numerador está formado por todo el número sin la coma decimal y el denominador por la potencia de 0 que tiene tantos ceros como cifras decimales existan. La justificación de esta regla podemos verla en el siguiente ejemplo: Sea x = 4,47 multiplicamos x por 0000 y obtenemos 0000x = 447 despejando x obtenemos lo buscado Ejemplo x = 4,47 = ,2 = , = 2 00, = 0. Decimal periódico a fracción: Para transformar un número decimal periódico a fracción, el numerador de la fracción resultante esta formado por la diferencia entre el número completo, sin la coma decimal y la parte entera del número decimal (todo lo que no está en el periodo) y el denominador corresponde a un número entero formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. La justificación de esta regla podemos verla en el siguiente ejemplo, sea x =,7, multiplicamos x por 0 (una potencia de 0 con tantos ceros como cifras tiene el periodo), para luego restar x al resultado. Quedando: 0x x = 7,7,7 tenemos entonces que 9x = 6 despejando x llegamos a que Ejemplo x =,7 = 6 9,4 = 4 99 = 99 2,2 = = Decimal semiperiódico a fracción: Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción, el numerador de la fracción resultante está formado por la diferencia entre el número completo sin la coma decimal y la parte del número que no pertenece al periodo (sin la coma decimal) y el denominador está formado por tantos nueves como dígito tiene el periodo, seguido por tantos ceros como números hay entre la coma decimal y el periodo (anteperiodo). Por ejemplo, sea x = 2,27 multiplicamos x por 00 (una potencia de 0 con tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo: 00x = 22,7 ()

5 con lo cual obtenemos un número periódico, el cual multiplicamos por 0 (una potencia de 0 con tantos ceros como cifras tiene el periodo) resultando: luego al restar () de (2), nos queda: Ejemplo 000x = 227, 7 (2) 000x 00x = 227,7 22,7 900x = 04 de donde obtenemos el resultado despejando x x = 2,27 = 04 = ,42 = = ,568 = = Aquellos decimales que no se pueden expresar como fracción pertenecen al conjunto de números irracionales, como por ejemplo 2. Aproximaciones Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente. Redondeo Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega al último dígito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 4,748 y 9,527 se obtiene 4,75 y 9,52 respectivamente. Truncamiento Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha dela última cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 2,5698 resulta 2,56. Estimaciones Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).

6 Ejercicios. 5 ( ) 0,05 0,5 a) 0,5 b) 0,05 c) 0,005 d) 50 e) El orden de los números a = 2, b = 5 6 y c = 8 de menor a mayor es: a) a < b < c b) b < c < a c) b < a < c d) c < a < b e) c < b < a ,5+0 = 4. a) 0 b) 20 c) 60 d) 75 e) = a) 0,5 b) 0,5 c) 0,52 d) 0,525 e) 2 5. El resultado de la operacion,9 2,9 es un número: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II I) Racional II) Natural III) Entero e) Solo I y III

7 6. + = 8 0,75 8 0,25 a) 5 b) 6 c) 6 d) 4 e) 8 7. Si t = 0,9 y r = 0,0, entonces t r r a) 0,89 b) 0,9 c) 8,9 d) 89 e) Ninguno de los valroes anteriores. = 8. En la igualdad P = Q, si P y R se reducen a la mitad, entonces para que se mantenga R el equilibrio, el valor de Q se debe: a) Duplicar. b) Reducir a la mitad. c) Mantener igual. d) Cuadruplicar. e) Reducir a la cuarta parte. 9. Juan dispone de $ para gastar en entretención. Si se sabe que cobran $.000 por jugar media hora de pool y $ 600 por media hora de internet, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Solo III b) Solo I y II c) Solo I y III d) Solo II y III e) I, II y III I) Juan puede jugar a lo mas horas de pool. II) Juan puede conectarse a lo mas 5 horas a internet. III) Juan puede jugar,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet.

8 0. x + x + x = a) b) x c) x d) e) x x. Si P = 2 RH, entonces H es igual a: a) 2P R b) R 2P c) 2P R d) 2R P 2.. e) R 2P 2 0, + 2 0,0 es: a) 220 b) 0,55 c) 22 d) 2,2 e) 55 2,6 2,8 2,6 6+,8 = a) b) 5 9,4 5 c) 9,4 d) 2,28 9,4 e) 7,6 9,8

9 4. En las operaciones que se indican Qué resultados están correctos? a) SÓLO I Y IV I) 2 = 2 b) SOLO II Y III c) SÓLO III Y IV II) 2 = 6 d) SÓLO I Y III III) 2 = 2 e) TODOS SON INCORRECTOS IV) 2 = ,5 0,5 2 = a) 0 b) c) 0, d) 0,25 e) 0,75 6. Undíaasistieronaclases 5 9 delosalumnosdeuncursocompuestopor6estudiantes cuántos alumnos faltaron a clases ese día? a) 20 b) 6 c) 4 d) 2 e) 6 7. Si a es un número natural mayor que, cuál es la relación correcta entre las fracciones: p = a t = a r = a+ a) p < t < r b) r < p < t c) t < r < p d) r < t < p e) p < r < t 8. Se mezclan 2 litros de un licor P con litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $a y 9 litros del licor Q valen $b, cuál es el precio de los 5 litros de mezcla? a) $ a+b b) $ a+b 5 c) $(2a+2b) d) $ a+2b 8 e) $ 5 (a+2b) 8

10 9. Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 2 litros. Cuántos litros le faltan para llenarlo? a) 2 b) 2 2 c) 2 2 d) e) El doble de p es 4 y el triple de r es, entonces 8p+6r = 2 a) 8 b) 6 c) 8 d) 6 e) 2 2. Se define a b =, entonces a (b c) es igual a: ab a) abc b) a bc c) bc a d) ab c c e) ab 22. Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si P = a b + d y Q = a c +d, cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo I y III d) I, II y III e) Ninguna de ellas. I) P Q 0 II) P Q = c b III) P Q = a2 bc +d2

11 = a) 5 2 b) 2 5 c) d) 5 e) Tres atletas corrieron los 00 metros planos, Javier cronometró, segundos, Arturo,02 segundos y Marcelo,2 segundos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Solo I b) Solo I y II c) Solo I y III d) Solo II y III e) I, II y III I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 8 centésimas de segundos de diferencia al llegar a la meta III) Arturo llegó primero 25. En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, por cuál número se debe multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan? a), b) 200 c).200 d) 6 e) 0,0 26. Cuánto es la octava parte de 0,4? a) 0,8 b) 0,5 c) 0,20 d) 0,08 e) 0,05

12 27. Cuántos séptimos son equivalentes a 2 5 7? a) 9 b) 7 c) 4 d) 0 e) El valor de la expresión a) 2 b) c) 0 5 d) 0 7 e) 0 es: 29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de 4 de litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de de litro, todas llenas también. Cuál es el número de botellas de medio litro con las 4 que se puede envasar todo el líquido? a) 5 b) 9 c) 0 d) 9 e) Sea n un número entero, cuál de las afirmaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)? a) Solo I I) n+ es racional. b) Solo II n 2 c) Solo III II) n+ es una fracción impropia. n 2 d) I y II III) n+ e) Ninguna de las anteriores. n 2 = 2