Usa fracciones y decimales Matemáticas en la vida diaria

Transcripción

1 Usa fracciones y decimales Matemáticas en la vida diaria La casa que fabricaron las fracciones Sabías que la planificación y construcción de una casa requiere un montón de aritmética con fracciones y decimales? Por ejemplo, los arquitectos que hacen los planos y los contratistas que los leen necesitan saber cómo sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones y números mixtos. Piensa al respecto Los planos son dibujos detallados de la planta y de las vistas anterior, posterior y laterales de un edificio. Aquéllos vienen precisados según una cierta escala. Por ejemplo, 4 de pulgada en un plano puede equivaler a un pie en la casa real. Supongamos que una arquitecta quiere representar un piso que mide pies por 4 pies. Qué dimensiones debe usar en el dibujo?

2 Carta a la familia Estimados alumno(a) y familiares: Vivimos en una era digital! Debido a esto, cada vez es más probable que los números aparezcan en forma decimal y no como fracciones. Por ejemplo, si la persona pronostica el tiempo anuncia que han caído.5 pulgadas de lluvia más de lo normal durante este mes, saben que se refiere a pulgadas. No obstante, aún es importante aprender a realizar cálculos con fracciones porque se usan en muchas situaciones comunes, especialmente en culinaria y en todos los asuntos relacionados con la construcción. A continuación se muestran dos ejemplos: La receta para hornear galletas con chispas de chocolate pide 3 4 de taza de azúcar morena y quieren hacer el doble de galletas. Cuánta azúcar deben usar? Supongamos que tienen una tabla de 36 pulgadas y que cortan un trozo que mide pulgadas de largo. Cuánta madera te les sobra? Durante las siguientes semanas aprenderán a sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. Además, aprenderán a multiplicar y a dividir decimales. Los cálculos con decimales y fracciones pueden ser un poco mañosos y se pueden cometer errores. Por eso, es importante que determinen si las respuestas que obtuvieron son razonables. Vocabulario Hay un solo término nuevo que aprender durante este capítulo, la palabra recíproco. Usarán recíprocos en la división de fracciones. Qué pueden hacer en el hogar? Aprovechen cualquier circunstancia para estimular a su hijo(a) para que piense y use fracciones y decimales, como por ejemplo: En la tienda de abarrotes, calculen el precio unitario (precio por onza, por litro o por pieza) de diferentes marcas o diferentes presentaciones del mismo artículo y decidan cuál es la mejor compra. Calculen las cantidades correctas cuando duplican o reducen una receta por la mitad. Trabajen con medidas, del sistema inglés o métricas, al medir algo, al coser o al hacer trabajos de carpintería. impactmath.com/family_letter 53

3 Suma y resta fracciones Ya sabes cómo comparar fracciones y cómo hallar fracciones equivalentes. Ahora vas a estudiar la adición y sustracción de fracciones. Tal vez ya sepas cómo hacer esto con fracciones de igual denominador. & Piensa comenta Resuelve mentalmente cada problema Explica cómo sumar o sustraer fracciones de igual denominador. Explica cómo hallar una fracción que sumada a otra fracción dé. Explica cómo sustraer una fracción de. Investigación Suma y resta con fichas de fracciones Puedes usar fichas de fracciones y un tapete de fracciones para sumar y sustraer fracciones. El cuadrado del tapete de fracciones es el todo. Representa. Las fichas de fracciones representan fracciones del todo CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

4 E J E M P L O Una ficha de y tres de 6 cubren el cuadrado. Esto se puede escribir mediante la ecuación de adición 3 6 Al eliminar las tres fichas de 6 nos queda una ficha de. Esto se puede escribir mediante la ecuación de sustracción MATERIALES un juego de fichas de fracciones y un tapete de fracciones Serie de problemas A. Escoge fichas de fracciones con dos denominadores distintos. a. Halla el mayor número posible de maneras de cubrir el cuadrado de tu tapete de fracciones con esos dos tipos de fichas de fracciones. (La redistribución de las mismas fichas en el tapete no cuenta como una nueva forma de cubrir el cuadrado.) Haz un bosquejo de cada combinación que descubras y escribe una ecuación. Cada una de éstas debe ser la suma de dos fracciones con resultado. Por ejemplo, la ecuación del ejemplo anterior es 3 6. b. Escoge otro par de denominadores y busca maneras de cubrir el cuadrado con esos dos tipos de fichas de fracciones. Conserva un bosquejo y una ecuación de cada combinación. c. Continúa con este proceso hasta que creas haber hallado todos los modos de cubrir el cuadrado con dos tipos de fichas de fracciones.. Cada ecuación de adición produce dos ecuaciones de sustracción. En el ejemplo anterior, se eliminaron las fichas de 6 obteniéndose 3 6. Se podría haber eliminado en cambio la ficha de, obteniéndose 3 6. Escoge tres de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio y, para cada una de ellas, escribe dos ecuaciones de sustracción relacionadas. 3. Halla ahora el mayor número posible de maneras de cubrir el cuadrado con tres tipos distintos de fichas de fracciones. Conserva un bosquejo y una ecuación de cada combinación. LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 55

5 Todas las sumas de la Serie de problemas A son iguales a. Puedes también usar las fichas de fracciones para obtener sumas mayores que o menores que. E J E M P L O Usa fichas de fracciones para hallar 4 6. Elige las fichas adecuadas y disponlas en tu tapete de fracciones Busca un conjunto de idénticas fichas de fracciones que cubran la misma superficie. Podrías usar dos fichas 3. Así, La ecuación de adición anterior tiene dos ecuaciones de sustracción relacionadas MATERIALES un juego de fichas de fracciones y un tapete de fracciones Serie de problemas B. Halla sumas menores que combinando dos tipos distintos de fichas de fracciones. Encuentra por lo menos seis combinaciones distintas. a. Haz un bosquejo de cada combinación que descubras y escribe una ecuación de adición. b. Para cada ecuación que escribiste en la Parte a, escribe dos ecuaciones de sustracción relacionadas.. Combina ahora dos tipos distintos de fichas de fracciones para formar sumas mayores que. Halla por lo menos seis combinaciones distintas. a. Conserva un bosquejo y una ecuación de adición de cada combinación. b. Para cada ecuación que escribiste en la Parte a, escribe dos ecuaciones de sustracción relacionadas. 56 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

6 7 3. Ahora vas a buscar un par de fracciones cuya suma sea. 7 a. Usa las fichas de para cubrir del cuadrado de tu tapete de fracciones. b. Busca una combinación de dos tipos de fichas de fracciones que 7 cubran del cuadrado. Conserva el resultado junto con un bosquejo y una ecuación de adición. c. Escribe dos ecuaciones de sustracción correspondientes a la ecuación de adición. MATERIALES un juego de fichas de fracciones y un tapete de fracciones Comparte & resume 0 Considera la ecuación Explica cómo pudieras usar fichas de fracciones para decidir si se cumple la ecuación.. Se cumple la ecuación? Si no, sustituye una de sus fracciones para obtener una que se cumpla. Investigación Suma y resta con denominadores comunes Tal vez ahora ya seas un experto en el uso de fichas de fracciones para sumar y restar fracciones de denominadores distintos. Pero, qué harías si no tuvieras fichas de fracciones o si quisieras sumar fracciones con denominadores distintos de, 3, 4, 6 ó? MATERIALES un juego de fichas de fracciones y un tapete de fracciones Explora Trata de hallar mentalmente esta suma: Pudiste hacerlo? Si es así, qué estrategia usaste? Si no, en qué estriba la dificultad del problema? Sería mucho más fácil hallar la suma si las fracciones tuviesen el mismo denominador. Usa ahora fichas de fracciones, u otro método, para hallar dos fracciones con el mismo denominador, una equivalente a 6 y la otra a 3 4. Luego súmalas mentalmente. LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 57

7 MATERIALES un juego de fichas de fracciones y un tapete de fracciones Serie de problemas C En esta serie de problemas, usa tus fichas de fracciones o cualquier otro método que conozcas, para reescribir las fracciones.. Escoge dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio de la Serie de problemas A. Escribe cada ecuación de modo que los sumandos tengan un denominador común. Comprueba que la suma sea. Por ejemplo, Elige dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio 3 de la Serie de problemas A. Escribe cada ecuación de modo que los sumandos tengan un denominador común. Comprueba que la suma sea. 3. Escoge dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio de la Serie de problemas B. Escribe cada ecuación, así como las dos ecuaciones de sustracción relacionadas, usando un denominador común. Comprueba que las ecuaciones estén correctas. 4. Elige dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio de la Serie de problemas B. Escribe cada ecuación, así como las dos ecuaciones de sustracción relacionadas, usando un denominador común. Comprueba que las ecuaciones estén correctas. Muchos de los ejercicios de la siguiente serie de problemas serían difíciles o imposibles de resolver mediante fichas de fracciones. Usa lo que sabes sobre denominadores comunes y fracciones equivalentes al escribir las sumas y restas. Serie de problemas D Recuerda Una fracción está reducida si el único factor común de su numerador y denominador es. Escribe cada problema usando un denominador común y luego suma o resta. Reduce las fracciones resultantes. Si el resultado es mayor que, escríbelo como un número mixto Daniela tiene bolsa de tierra. Si ella usa 3 de ella para sembrar semillas de flores, cuánto queda en la bolsa? 58 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

8 E J E M P L O Jahmal, Marcus y Caroline están hablando de algunas de las estrategias que usan para hallar denominadores comunes. Yo usé el producto de los dos denominadores. Luego, multipliqué ambas partes de cada fracción entre el denominador de la otra fracción Cuando un denominador es un factor del otro, yo uso el número mayor como denominador común. Para calcular + 7, 8 yo usé Yo usé el mínimo común múltiplo de los denominadores, 8, para calcular A medida que vayas trabajando en la siguiente serie de problemas, podrías intentar algunos de los médotos descritos en el ejemplo anterior. Serie de problemas E Calcula cada suma o resta, mostrando cada paso de tu trabajo y reduciendo cada resultado. Si éste es mayor que, escríbelo como número mixto LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 59

9 Un cuadrado mágico es un cuadriculado cuadrado de números en el que la suma de cada fila, columna y diagonal es la misma. Éste tiene una suma igual a MATERIALES tarjetas de fracciones cuadriculado de 3 por 3 Serie de problemas F Puedes inventar tus propios cuadrados mágicos usando un juego de tarjetas de fracciones y un cuadriculado.. Dispón estos números en un cuadrado mágico con suma. Hazlo en tu cuadriculado Dispón estos números en un cuadrado mágico con suma. Hazlo en tu cuadriculado Comparte & resume Usa un ejemplo para explicar los pasos que sigues al sumar o restar dos fracciones con denominadores distintos. 60 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

10 Investigación 3 Suma y resta números mixtos En esta investigación, vas a aplicar lo que has aprendido sobre la adición y sustracción de fracciones para resolver problemas con números mixtos. Explora Rosita está haciendo una caja para poner sus lápices. Necesita cinco trozos de madera: uno para el fondo y cuatro para los lados. La caja no tendrá tapa. Rosita piensa cortar los cinco trozos de una larga tabla de madera que mide 4 pulgadas de ancho y 5 8 de pulgada de espesor. Sus lápices nuevos miden unas 7 pulgadas de largo. Rosita quiere que el largo interior de la caja sea de 3 4 de pulgada más grande, de modo que sea fácil sacar los lápices. Trazó esta vista superior de la caja. Todas las medidas vienen en pulgadas. Qué largos tendrá que cortar Rosita para el fondo, los extremos y los lados de su caja? Da tus respuestas como fracciones o números mixtos, mostrando cómo hallaste aquéllas. Cuál será el alto de la caja? LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 6

11 Serie de problemas G Datos de interés La costura se originó hace más de 0,000 años. Las primeras se hicieron usando tendón animal como hilo y huesos o astas como agujas.. Supón que se corta un pedazo de madera de pulgadas de largo de una tabla de 36 pulgadas. Cuánta tabla queda? Explica cómo hallaste tu respuesta.. Juana necesita dos cintas rojas para un traje que está haciendo. Una debe medir 3 pies de largo y la otra 3 pies de largo. Qué largo total de cinta necesita? 3. Juana tiene una cinta azul de 6 pies de largo. Si corta pies de ella, cuánta cinta quedará? 4. Juana tiene una cinta verde de 3 3 yardas de largo. Si corta 3 4 yardas de ella, cuánta cinta quedará? Althea y Jing comparan sus soluciones al Ejercicio 4 de la Serie de problemas G. Para restar 3 -, yo 3 4 convertí ambos números mixtos en fracciones = Yo traté de restar los enteros primero y luego las 3 fracciones, pero como 4 es mayor que 3, no pude restar las fracciones Luego, vi que si convertía 3 en 5 3, podía restar las partes de las fracciones & Piensa comenta Althea convirtió los dos números mixtos en fracciones. Completa su solución. Jing convirtió 3 3 en 5 3. Explica por qué estos números son iguales. Cómo le permite esto hallar la solución? Completa su solución. 6 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

12 Datos de interés Para la mayoría de la gente en el mundo, es más fácil entender y trabajar con decimales que con fracciones. En 997, la Bolsa de Nueva York terminó con 00 años de tradición al votar por la eliminación paulatina del uso de fracciones en sus informes bursátiles. Serie de problemas H Usa cualquier método para resolver estos ejercicios.. Jahmal está siguiendo de cerca el desempeño de las acciones de Amresco. El lunes, su valor de apertura fue de 6 8. Durante la semana, el valor cambió de la siguiente manera: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes a. Cuál fue el valor de las acciones de Amresco al cierre el viernes? b. Cuánto ganaron o perdieron éstas durante la semana? c. Cuál fue el valor más alto y el más bajo de estas acciones durante la semana? Cuándo ocurrieron dichos valores?. Carlos, hermano de Miguel, mide 69 pulgadas de alto. El año pasado medía pulgadas. Cuánto creció en un año? Calcula cada suma o resta y reduce tus respuestas Comparte & resume Vuelve a examinar los métodos de sustracción de números mixtos de Althea y Jing.. Para qué tipos de problemas es preferible el método de Althea? Da un ejemplo.. Para qué tipos de problemas es preferible el método de Jing? Da un ejemplo. LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 63

13 Investigación de laboratorio Usa una calculadora de fracciones MATERIALES una calculadora con atributos de fracciones Muchas calculadoras te permiten ejecutar operaciones con fracciones y números mixtos. En este laboratorio, vas a usar una calculadora para sumar o restar fracciones. Lo básico Para ingresar una fracción: Ingresa el numerador. Oprime /. Ingresa el denominador. Para ingresar un número mixto: Ingresa la parte entera. Oprime UNIT. Ingresa el numerador de la fracción. Oprime /. Ingresa el denominador de la fracción.. Usa tu calculadora para hallar 4 3. Si ingresas una fracción no reducida o si el cálculo resulta en una fracción tal, la calculadora puede mostrar algo como N/D n/d. Para reducir la fracción: SIMP Oprime. Ingresa un factor común del numerador y denominador. ENTER Oprime. = La calculadora dividirá el numerador y el denominador entre el factor especificado y mostrará el resultado. Si la fracción no está reducida aún, la calculadora volverá a mostrar N/D n/d. En tal caso, repite los pasos anteriores con otro factor común. 80. Usa tu calculadora para escribir 0 en términos reducidos. Compara tu respuesta con el estimado. 64 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

14 Para usar la calculadora en la conversión de fracciones en números mixtos o viceversa: Oprime [A b /c d nd /e]. ENTER Oprime. = 3. Usa tu calculadora para convertir en fracción y 4 3 en número mixto. MATERIALES dos barajas de cartas de Coordina fracciones Juega al Coordina fracciones Este es un juego de memoria para dos jugadores. He aquí las reglas: Escoge una de las barajas. Baraja las cartas y colócalas boca abajo en cinco filas de seis cartas cada una. El primer jugador da vuelta dos cartas. Luego, si es necesario, usa tu calculadora para determinar si los valores de las cartas son iguales. Si tienen el mismo valor, el jugador se queda con ellas y hace otro intento. Si tienen valores distintos, las devuelve boca abajo y su turno termina. Al terminar, jueguen con la otra baraja. Al terminar, jueguen con la otra baraja. Qué aprendiste? 4. Describe paso a paso cómo usar la calculadora para hallar Diseña tu propia baraja de Coordina fracciones. Ésta debe tener por lo menos 6 cartas. Prueba tu baraja jugando al Coordina fracciones con un amigo o compañero de curso. LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 65

15 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Resuelve mentalmente cada problema Usa fichas de fracciones u otro método para llenar los espacios en blanco Usa fichas de fracciones u otro método para escribir cada suma o resta con un denominador común. Luego halla la suma o resta y reduce tu resultado. Si éste es mayor que, escríbelo como número mixto Calcula cada suma o resta y reduce tu resultado. Si éste es mayor que, escríbelo como número mixto En una hoja de papel, inventa un cuadrado mágico con suma usando los números, 3 4, 5 6,, 3 5,, 3 7, y. 4. En una hoja de papel, inventa un cuadrado mágico con suma usando los números, 4, 3, 6 5,, 5 6, 3, y. Calcula cada suma o resta, mostrando cada paso de tu trabajo y reduciendo el resultado. Si éste es mayor que, escríbelo como número mixto CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales impactmath.com/self_check_quiz

16 3. Economía El lunes, el valor de apertura de las acciones de EdCorp fue de 9 4. Durante la semana, éste cambió en las siguientes cantidades: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Conecta & amplía a. Cuál fue el valor de las acciones de EdCorp al cierre el viernes? b. Cuánto ganaron o perdieron éstas durante la semana? c. Cuál fue el valor más alto y el más bajo de estas acciones durante la semana? En qué días se produjeron? 3. Cubre tu tapete de fracciones del mayor número posible de maneras usando cuatro tipos distintos de fichas de fracciones. a. Escribe una ecuación para cada combinación que descubras. b. Describe la estrategia que usaste para hallar todas las ecuaciones posibles. Da la regla para encontrar cada término de la sucesión a partir del anterior y luego úsala para hallar los términos que faltan. Usa el último para comprobar tus respuestas , 4, 4, 3 4,,,,, , 3, 4 3, 6 3,,,,, , 4, 8 4, 5 4,,,,, 0 4 LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 67

17 Recuerda En un cuadrado mágico, la suma de cada fila, columna y diagonal es la misma. En los Ejercicios 34 al 6, usa esta información: Trabaja con fracciones se juega con un cubo numerado cuyas caras están marcadas con, 3, 4, 6, 8 y. Cada jugador tiene una tarjeta de juego dividida en 4 rectángulos iguales. Los jugadores se turnan echando el cubo y sombreando aquella fracción de la tarjeta. Por ejemplo, si un jugador saca, debe sombrear de los 4 rectángulos. Si la fracción que se sacó es mayor que la fracción sin sombrear de la tarjeta, el jugador no sombrea rectángulo alguno en aquella vuelta. Gana el que primero sombrea todos los rectángulos de la tarjeta. Tarjeta del juego Trabaja con fracciones 36. En sus dos primeros turnos, Caroline sacó y 6. Qué fracción necesitaría sacar para ganar el juego en su próximo turno? 37. En sus dos primeros turnos, Miguel sacó 3 y. Qué par de fracciones necesitaría sacar para ganar el juego en dos turnos más? 38. En sus tres primeros turnos, Conor sacó 8, 6 y 3, mientras que Jahmal sacó, y 3. Quién tiene la mayor posibilidad de ganar en su próximo turno? Explica por qué. 39. En sus dos primeros turnos, Rosita sacó y 3. a. Qué fracción necesitaría sacar para ganar en su próximo turno? b. Qué fracciones necesitaría sacar para ganar en dos turnos más? c. Qué fracciones le darían a Rosita una suma mayor que en su tercer turno? 40. Cuál es el número mínimo de turnos que se requieren para ganar este juego? Qué fracciones debería sacar un jugador en ese número de turnos? 4. Luke obtuvo, 3 y 8. Dice que bien podría abandonar el juego pues no tiene posibilidad de ganar. Estás de acuerdo? Explica. 4. Dispón los números 3 4, 3, 4,, 5, 3 7,, y 5 6 en un cuadrado mágico. Cuál es su suma? 43. Dispón los números, 3, 5 6, 3,, 7 6, 3, 4 3 y 5 3 en un cuadrado mágico. Cuál es su suma? 44. Reto Inventa un cuadrado mágico con suma y en el que los denominadores de las fracciones sean factores de CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

18 propias En t us palabras Explica por qué no se suman fracciones sumando los numeradores y los denominadores. 45. Dispón,, 3, 4 en las casillas para obtener la menor suma posible. Usa cada número una sola vez. 46. Dispón,, 3, 4 en las casillas para obtener la menor diferencia positiva posible. Usa cada número una sola vez. 47. Dispón, 3, 4 y en las casillas para obtener la menor suma posible. Usa cada número una sola vez. 48. Dispón, 3, 4 y en las casillas para obtener la menor diferencia positiva posible. Usa cada número una sola vez. LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 69

19 Da la regla para encontrar cada término de la sucesión a partir del anterior y luego úsala para hallar los términos que faltan. Usa el último para comprobar tus respuestas , 4 5,4 5,5 3 5,,,,, ,6 3 4, 0, 3 4,,,,, , 4 5 8,4 4,3 7 8,,,,, 5. Medición Aquí se muestra parte de una regla Repaso mixto a. Qué fracción de pulgada representa la división más pequeña de esta regla? Cómo lo sabes? b. Cómo podrías usar esta regla para hallar 8 5? 6 Calcula esta suma. c. Cómo podrías usar esta regla para hallar 4 5? 6 Calcula esta diferencia. d. Cómo podrías usar esta regla para hallar 5? Explica. e. Cómo podrías usar esta regla para hallar 3 8 7? 6 Explica. Calcula cada cantidad de de de de de 58. de 59. de de 8 Sentido numérico Halla una fracción entre cada par de fracciones dadas y 6. 4 y y 64. Geometría Elige todos los términos que describen cada polígono: cuadrilátero, pentágono, hexágono, cóncavo, simétrico, regular. a. b. c. 70 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

20 65. Medición Esta gráfica de barras muestra la distancia en avión entre varias ciudades y Nueva York. Distancias en avión a Nueva York Ciudad Acapulco Pekín Bombay Ginebra Hong Kong Moscú San Juan Sydney Tel Aviv 0 0,000 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000,000,000 Distancia (en millas) Fuente: New York Public Library Desk Reference. New York: Macmillan, 998. a. Qué ciudad de la gráfica está más cerca de Nueva York? Cuál es su distancia aproximada? b. Qué ciudad de la gráfica está más lejos de Nueva York? Cuál es su distancia aproximada? c. La semana pasada, la Srta. Frankel voló de Nueva York a Ginebra por asuntos de negocios, regresó a Nueva York y luego voló a Hong Kong a visitar a un amigo. Cerca de cuántas millas voló la semana pasada? d. Cerca de cuántas veces más lejos de Nueva York está Moscú que San Juan? Pagoda en Hong Kong LECCIÓN 3. Suma y resta fracciones 7

21 Multiplica y divide fracciones En esta lección, vas a aprender a multiplicar y dividir fracciones. Conforme trabajas en los problemas, tal vez sea útil tener en cuenta el significado de la multiplicación y de la división y cómo estas operaciones funcionan con los números enteros. Explora Trabaja en grupo para resolver estos problemas, tratando de hallar más de una manera de resolverlos. Quieres servirles limonada a 0 personas. Cada vaso contiene 3 4 de taza. Cuántas tazas de limonada necesitas? Cultivaste libras de arvejas. Regalaste algunas, quedándote con 3 de ellas. Cuántas libras te quedan? El problema que acabas de resolver se puede escribir con ecuaciones de multiplicación. Escribe una ecuación de multiplicación para cada problema y explica por qué ésta corresponde a la situación. Investigación Multiplica fracciones por números enteros En esta investigación, vas a explorar más problemas que suponen multiplicación de fracciones. A medida que trabajas en los problemas, podrías probar algunas de las estrategias que tú y tus compañeros usaron en la actividad. 7 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

22 Datos de interés El extracto de vainilla que se usa en recetas se deriva de la orquídea vanilla planifolia originaria de México, donde la polinizan abejas y colibríes. La planta se debe polinizar a mano en otras regiones del mundo. Serie de problemas A. Supón que quieres hornear un pastel de fracciones. a. Si quieres hacer uno para personas, cuánto de cada ingrediente requieres? b. Para cada ingrediente, escribe una ecuación de multiplicación que represente lo que hiciste en la Parte a.. Calcula cada producto de cualquier manera. Pastel de fracciones (4 porciones) de taza de azúcar tazas de harina de cucharadita de sal cucharaditas de vainilla huevos a. 4 0 b. 0 c d Describe las estrategias que usaste para hallar los productos del Ejercicio. 3 4 & Piensa comenta Hannah y Jahmal multiplican números enteros por fracciones de maneras distintas. Hannah dice: Multiplico el número entero por el numerador de la fracción y luego divido el resultado entre el denominador. Jahmal dice: Hago todo lo contrario. Divido el número entero entre el denominador de la fracción y luego multiplico el resultado por el numerador. Usa ambos métodos en las Partes a hasta la d del Ejercicio anterior. Funcionan? Tal vez encuentres que algunos problemas de multiplicación son más fáciles de resolver con el método de Hannah y otros son más fáciles de resolver con el de Jahmal. Para cada uno de estos problemas, indica el método que creas más fácil de usar Estos métodos también funcionan al multiplicar una fracción por un decimal. LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 73

23 Serie de problemas B Datos de interés En Suiza, donde se inventó el chocolate con leche en 876, se consume más chocolate que en ningún otro país: más de 0 libras por persona al año. Usa el método de Hannah o el de Jahmal, o uno propio, para resolver estos ejercicios. Muestra cómo hallas tus resultados.. Una receta con cocoa para una persona requiere de 3 4 de taza de leche. Indica cuánta leche se necesita para los siguientes números de personas. a. 3 b. 5 c. 6 d. 8. El dulce de azúcar cuesta $5.80 la libra. Calcula el costo de cada cantidad de dulce de azúcar usando 6 onzas libra. a. 3 4 de libra b. 8 onzas c. 4 onzas d. libras 3. En Fiona s Fabrics, la cinta escocesa cuesta $0.7 la yarda. Calcula el precio de cada longitud de ella. a. 3 yardas b. pies c. 8 pulgadas d. 3 4 yardas Serie de problemas C Completa cada tabla de multiplicar CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

24 Comparte & resume. Inventa un problema verbal que pueda resolverse multiplicando un número entero por una fracción. Explica cómo resolverlo.. Qué cálculo se necesita para hallar los 3 4 de 6 pulgadas? Cuánto es 3 4 de 6 pulgadas? Investigación Un modelo del producto de fracciones Puedes imaginar el producto de dos números enteros trazando un rectángulo cuyas dimensiones sean los números. El área del rectángulo es su producto. Este rectángulo representa 4 6: Recuerda El área de un rectángulo es su largo por su ancho Puedes representar el producto de un número entero por una fracción de la misma manera. La parte sombreada de este dibujo representa el producto 6: 6 & Piensa comenta Cuál es el área de cada rectangulito del dibujo anterior? Cuántos rectangulitos aparecen sombreados? Usa las respuestas a las preguntas anteriores para hallar el área total de lo sombreado. Explica por qué es igual a 6. LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 75

25 Serie de problemas D. Considera este diagrama. a. El producto de qué par de números muestra la región sombreada? b. Cuál es el área de cada rectangulito? Cuántos de ellos aparecen sombreados? c. Usa tus respuestas a la Parte b para calcular el área total de lo sombreado. d. Escribe una ecuación de multiplicación para representar el producto de los números de la Parte a.. Puedes usar diagramas similares para representar el producto de dos fracciones. La parte sombreada de este diagrama representa el producto a. Cuáles son las dimensiones de toda la figura? b. Examina toda la región sombreada. Cuál es su alto? Cuál es su ancho? c. Usa tus respuestas a la Parte b para explicar por qué el área de la región sombreada es d. Cuál es el área de cada rectangulito? Cuántos de ellos aparecen sombreados? e. Usa tus respuestas a la Parte d para calcular Traza un diagrama como el del Ejercicio para representar cada producto. Luego usa el dibujo para hallarlo, dando tu respuesta en forma de una ecuación de multiplicación (por ejemplo, ) * Vuelve a examinar tus diagramas y ecuaciones de los Ejercicios 3 al 5. Puedes descubrir un atajo para multiplicar fracciones sin trazar un diagrama? Si es así, úsalo para hallar Luego traza un diagrama para ver si funcionó tu atajo CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

26 & Piensa comenta Tal vez te hayas dado cuenta del siguiente atajo para multiplicar dos fracciones: El producto de dos fracciones es el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores. Usa uno de los diagramas de rectángulos de la Serie de problemas D para explicar por qué funciona este atajo. Serie de problemas E Usa el atajo ya descrito para hallar cada producto. Escribe tu resultado en la forma original y reducida * Rob quiere hacer un pequeño herbario en su patio trasero. El espacio que le asignó es un cuadrado de 7 8 de metro por lado. Cuál será el área de este herbario? Comparte & resume Haz un dibujo que represente el producto de dos fracciones que no hayas multiplicado juntas en esta investigación. Explica cómo el dibujo muestra el producto. LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 77

27 Investigación 3 Más multiplicación de fracciones En la última investigación, hallaste un atajo para multiplicar fracciones. Ahora vas a estudiar productos con números mixtos. E J E M P L O Este diagrama ilustra. Cada sección sombreada aparece marcada con su área. El área total es 3, así que 3 Serie de problemas F Traza un diagrama para ilustrar cada producto y luego úsalo para hallarlo. Da tu respuesta como una ecuación de multiplicación Marcus sugirió este atajo para multiplicar números mixtos: Multiplica los enteros, multiplica las fracciones y suma ambos resultados. Prueba el método de Marcus para hallar los productos de los Ejercicios y. Funciona? 4. Miguel sugirió este atajo para multiplicar números mixtos: Convierte los números mixtos en fracciones y multiplica. Prueba el método de Miguel para hallar los productos de los Ejercicios y. Funciona? 78 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

28 Ya que hay varios cálculos en la multiplicación de dos números mixtos, es bueno estimar el producto antes de multiplicar. & Piensa comenta Considera este problema: Antes de multiplicar, estima el producto. Explica cómo hallaste el resultado. Ahora convierte ambos números mixtos en fracciones y multiplica. Compara tu resultado con tu estimación. Serie de problemas G En los Ejercicios al 6, completa las Partes a y b. a. Estima el producto. b. Estima el producto, mostrando todos tus pasos y da el resultado como número mixto. Si tu resultado está lejos de tu estimación, revisa tus cálculos * Wei-Ling quiere poner papel mural en dos paredes de la cocina. Una de las paredes mide pies por 8 pies y la otra mide 5 3 pies por 8 pies. Cerca de cuántos pies cuadrados de papel mural necesita? Estima y luego calcula. LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 79

29 Después de multiplicar fracciones o números mixtos, a veces hay que reducir el producto. Se puede ahorrar tiempo si se reduce antes de multiplicar. Para esto, debes ver si el numerador de cada fracción comparte un factor con el denominador de la otra. E J E M P L O Multiplica Observa que 3 es factor del denominador de 3 y del numerador de Escribe como el producto de numeradores sobre el producto de denominadores. Agrupa los factores comunes para obtener una fracción igual a. Reduce. 4 Calcula Nota que es factor de y 6 y 3 es factor de 3 y 9. Así como en el ejemplo anterior, agrupa estos factores comunes para obtener una fracción igual a Escribe como el producto de numeradores sobre el producto de denominadores Escribe 9 como 3 3 y 6 como Agrupa los factores comunes para obtener una fracción igual a Reduce. 80 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

30 Serie de problemas H En los Ejercicios al 6, calcula el producto de dos maneras: Multiplica las fracciones y luego reduce. Reduce y luego multiplica. Muestra todos tus pasos Calcula cada producto Mali quiere preparar pasta de fracciones suficiente para seis porciones. Reescríbele la receta Pasta de fracciones (5 porciones) tazas de caldo de verduras de taza de zanahorias en cubitos de taza de puntas de espárragos de taza de arvejas libras de pasta cucharadas de aceite de oliva tazas de parmesano Comparte & resume. Explica cómo multiplicar dos números mixtos. Indica cómo puedes usar aproximaciones para decidir si tu resultado es razonable.. Explica cómo hallarías el producto , reduciendo antes de multiplicar. LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 8

31 Investigación 4 Divide números enteros entre fracciones Ya sabes sumar, restar y multiplicar fracciones. Ahora vas a aprender a dividir un número entero entre una fracción. Explora Datos de interés Las manzanas pertenecen a la familia de las rosas. En el mundo entero se cultivan más de 7,500 variedades de manzana, incluyendo las,500 que se cultivan en Estados Unidos. Trabaja en grupo para resolver los siguientes problemas. Trata de encontrar más de una manera de resolverlos. Supón que tienes cinco manzanas para compartir con tus amigos. Si divides cada una en dos, cuántas mitades tendrás para compartir? Quedan 0 tazas de ponche en la ponchera. Si cada vaso contiene 3 de taza de ponche, cuántos vasos puedes llenar? Estos problemas pueden escribirse como ecuaciones de división. Escribe una ecuación de división para cada problema, explicando por qué la ecuación corresponde al problema. Caroline y Marcus resolvieron de maneras distintas el segundo problema. Yo pensé: " Cuántos hay en 0?" Dibujé 0 rectángulos 3 y los dividí en tercios. Luego, formé grupos de. Finalmente, conté 5 grupos. 3 Yo tracé una recta numérica de 0 a 0 y marqué tercios en ella. Después, conté los intervalos de. Había 5 intervalos CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

32 Serie de problemas I Usa el método de Caroline o el de Marcus para hallar cada cociente. Prueba cada método por lo menos una vez Cada problema de multiplicación tiene dos problemas de división relacionados. He aquí dos ejemplos: Problema de Problemas de multiplicación división relacionados Puedes usar esta idea para resolver problemas de división con fracciones. E J E M P L O Divide 0 4. El cociente es el número que llena el espacio en blanco en esta ecuación de división: 0 4 Puedes calcular el cociente pensando en el problema de multiplicación relacionado: 4 0 Ahora pregúntate: Cuál es el número cuyo cuarto es igual a 0? El número es 80, así que LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 83

33 Serie de problemas J Llena los espacios en blanco en cada par de ecuaciones relacionadas Calcula cada cociente escribiendo y resolviendo una ecuación de multiplicación relacionada Todos los cocientes que has hallado hasta aquí son números enteros. Huelga decir, esto no es siempre así. Calcula cada cociente siguiente usando cualquier método. Explica cómo hallaste el resultado Serie de problemas K Usa el método que prefieras para completar cada tabla de división. Cada entrada es el resultado de dividir el primer número de esa fila entre el número de la parte superior de esa columna. Conforme trabajas, busca patrones que te pudieran permitir completar la tabla sin calcular cada cociente CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

34 4. Qué patrones descubriste a medida que completabas cada tabla? 5. Supón que sabes que Describe una manera rápida de calcular 6 3. Cuánto es 6 3? 6. Supón que sabes que Describe una manera rápida de calcular 5 4 y Cuáles son los resultados? 7. Usa el hecho que para calcular cada cociente. a. 5 5 b c Comparte & resume. Describe cómo calcular 6 3 usando una ecuación de multiplicación relacionada.. Describe otro método para calcular 6 3. Investigación 5 Divide fracciones entre fracciones En la última investigación, estudiaste cómo dividir un número entero entre una fracción. Puedes usar el mismo método para dividir una fracción entre una fracción, pero puede volverse mucho más difícil. Explora Divide usando un dibujo, una recta numérica u otro modelo, para calcular cuántos 4 hay en 5 8. Encuentra escribiendo una ecuación de multiplicación relacionada. Ahora trata de usar uno de estos métodos para hallar (Advertencia: No es fácil!) Si das con la respuesta, explica cómo la encontraste. LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 85

35 Tal vez te hayas dado cuenta que es difícil usar los métodos conocidos para calcular en la actividad. Afortunadamente existe un método más fácil para dividir fracciones. Para entender cómo funciona, necesitas usar dos hechos que ya conoces. Datos de interés El símbolo de división se llama óbelo. La palabra proviene del vocablo griego obelos, que significa punta. La palabra obelisco, un pilar piramidal de cuatro caras iguales, tiene un origen semejante. Hecho : Las divisiones se pueden escribir como fracciones. Por ejemplo, 3 se escribe 3. Hecho : El valor de una fracción no cambia al multiplicar su numerador y denominador por el mismo número. E J E M P L O Calcula Empieza usando el primer hecho mencionado para escribir la división como fracción Esta fracción parece complicada, pero la puedes simplificar usando el segundo hecho mencionado. Debes multiplicar el numerador y el denominador por un número que los cambie ambos a números enteros. Puedes usar cualquier múltiplo común de 4 y 3, como, por ejemplo. Así, ó 8. Es siempre aconsejable comprobar el resultado multiplicando. El resultado es el correcto CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

36 Serie de problemas L Usa el método descrito en el ejemplo para hallar cada cociente. Muestra todos los pasos Completa cada espacio en blanco con mayor que, menor que o igual a. Da un ejemplo que ilustre la oración ya completada. 7. Al dividir una fracción entre una fracción mayor, el cociente es. 8. Al dividir una fracción entre una fracción menor, el cociente es. Muchos usan un atajo al dividir fracciones. Los patrones del siguiente Piensa y comenta te permitirán entender el atajo y por qué funciona. & Piensa comenta Calcula cada producto mentalmente y describe cualquier patrón que adviertas en los problemas y sus resultados Ahora calcula estos productos. En qué se parecen a los anteriores? LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 87

37 V O C A B U L A R I O recíproco Dos números cuyo producto es se llaman recíprocos mutuos. Todos los números poseen un recíproco, excepto 0. Puedes hallar el recíproco de una fracción intercambiando su numerador y denominador. A continuación se muestra un atajo para dividir fracciones. Para dividir una fracción entre otra, multiplica la primera por el recíproco de la segunda. E J E M P L O 0 Divide Para calcular 5 7, multiplica 5 7 por el recíproco de : Para ver por qué funciona el atajo, escribe la división como fracción y multiplica tanto el numerador como el denominador por el recíproco del denominador. El nuevo denominador se hace igual a Así, Serie de problemas M Calcula cada cociente usando cualquier método Estima si cada cociente será mayor que, menor que o igual a y luego hállalo Comparte & resume. Describe dos métodos para dividir una fracción entre otra.. Escribe dos problemas de división de fracciones: uno con un cociente mayor que y otro con uno menor que. 88 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

38 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Datos de interés La primera máquina de coser viable se construyó a mediados del siglo XIX y sólo cosía en línea recta. Las máquinas de coser modernas vienen equipadas a menudo con tecnología informática. Por ejemplo, con escáneres que pueden captar una imagen y reproducirla en una versión bordada en tela.. Caroline está cosiendo un traje con 4 cintitas en él. Cada cinta mide 3 de yarda de largo. Cuántas yardas de cinta necesita?. Caroline está cosiendo un traje de un modelo que requiere 4 yardas de tela. Como el traje es para un niño, debe reducir todas las medidas a 3 de las dadas en el modelo. Cuántas yardas de tela debería comprar? 3. Considera esta tabla de productos. a. Copia la tabla y escribe el resultado de cada multiplicación en la segunda columna. b. Qué patrones adviertes en los problemas y los resultados? c. Cuáles serían los dos problemas y resultados siguientes? 4. Considera esta tabla de productos. a. Copia la tabla y escribe el resultado de cada multiplicación en la segunda columna. b. Qué relaciones adviertes entre la fracción de cada problema y el resultado? c. Si cambiases los problemas de modo que el numerador de cada fracción fuera en vez de, cómo afectaría esto los productos? Problema Problema Resultado Resultado impactmath.com/self_check_quiz LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 89

39 5. Considera el producto a. Traza un rectángulo que lo represente. b. Cuál es el área de cada rectangulito de tu rectángulo? Cuántos rectangulitos aparecen sombreados? c. A qué es igual 3 4 8? 6. Considera el producto a. Traza un rectángulo que lo represente. b. Cuál es el área de cada rectangulito de tu rectángulo? Cuántos rectangulitos aparecen sombreados? c. A qué es igual 3 4 5? Calcula cada producto y reduce el resultado * Copia y completa esta tabla de multiplicar y da cada resultado como fracción y como número mixto. Se da uno de los resultados CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales Calcula mentalmente cada producto, reduciendo antes de multiplicar Considera esta tabla de multiplicar: a. Cópiala y complétala, 4 reduciendo los resultados y 8 escribiendo como número mixto los que sean mayores que. b. Qué patrones y relaciones adviertes en la tabla?

40 Llena cada espacio en blanco En las Partes a hasta la f usa cualquier método. a. Cuántos 4 hay en 6? b. Un 4 de qué número es 6? c. Cuántos 3 hay en 6? d. Un 3 de qué número es 6? e. Cuántos 4 3 hay en 6? f. Un 4 3 de qué número es 6? g. Cuál es la relación entre las Partes a y b? La c y la d? La e y la f? Explica por qué esto tiene sentido. 3. Calcula el primer cociente y úsalo para estimar el segundo. Comprueba tus resultados multiplicando. a b c d Llena cada espacio en blanco En las Partes a hasta la f, estima si el cociente será mayor que, menor que o igual a. Luego calcúlalo, dejando los resultados mayores que en forma de fracción. a. 3 5 b. 5 3 c d e. 5 7 f. 7 5 g. Examina los problemas y resultados a las Partes a hasta la f. Cuál es la relación entre las Partes a y b? La c y la d? La e y la f? Explica por qué esto tiene sentido. LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 9

41 Calcula cada cociente, reduciendo los resultados y escribiendo como número mixto los que sean mayores que Conecta & amplía Sinopsis Calcula cada factor que falta Datos de interés El primer zoológico moderno fue el Imperial Managerie en el palacio Schönbrunn de Viena, el que abrió sus puertas al público en 765. El National Zoological Park en Washington DC fue el primer zoológico creado para preservar especies en peligro de extinción. 46. Economía Rosita pagó $8 por un CD descontado en un 3. Cuánto ahorró? 47. Ciencias biológicas El zoológico de St. Louis tiene unas 700 especies animales. a. El zoológico de Detroit tiene 5 de las especies del zoológico de St. Louis. Cerca de cuántas especies tiene el zoológico de Detroit? 3 b. El zoológico de Toronto tiene 70 menos especies que el zoológico de St. Louis. Cerca de cuántas especies tiene el zoológico de Toronto? El tapir, animal de Centroamérica, Sudamérica y del Sudeste asiático. 9 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

42 Harina 4 tazas Azúcar 3 tazas Sal 3 4 de cucharadita Mantequilla barras Jengibre de cucharadita Pasas 3 de taza Para cada enunciado, indica si es verdadero o falso de de de 50 de de 300 de de 00 3 de Economía La semana pasada, Sal s Shoe Emporium realizó su liquidación semestral. Todas las botas de invierno estaban rebajadas a 4 5 de su precio original. Esta semana, los precios de liquidación de las botas sobrantes se rebajaron a la mitad. Qué fracción del precio original es este nuevo precio de liquidación? 53. Usa lo que has aprendido sobre la multiplicación de fracciones para explicar por qué la multiplicación del numerador y denominador de una fracción por el mismo número no cambia su valor. Da ejemplos si contribuyen a tu explicación. 54. Medición La finca equina Danson es un rectángulo que mide 3 5 de milla por 4 7 de milla. a. Cuál es su área? b. Hay 640 acres en una milla cuadrada. Cuál es el área de la finca en acres? 55. Medición Completa esta tabla, cuya columna izquierda muestra la lista de ingredientes de un pastel de especias para personas, calculando la cantidad requerida de cada ingrediente para los números dados de personas. personas 0 personas 8 personas 6 personas 4 personas personas LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 93

43 56. En las Partes a y b, usa los números,, 3, 4, 5 y 6. a. Llena cada casilla con uno de los números dados para obtener el mayor producto posible. Usa cada número una sola vez. b. Llena cada casilla con uno de los números dados para obtener el menor producto posible. Usa cada número una sola vez. c. Escoge cuatro números enteros distintos y repite las Partes a y b con ellos. 57. Considera esta tabla de multiplicar: a. Copia la tabla y usa lo que sabes de la multiplicación de fracciones y patrones de números para completarla. Trata de hacer un mínimo de cálculos con lápiz y papel. b. Describe el patrón de la tabla conforme lees sus filas de izquierda a derecha. c. Describe el patrón de la tabla a medida que lees sus columnas de arriba abajo. 58. Rosita compró 6 yardas de cinta para un proyecto de costura. a. Si quiere cortar la cinta en tiras de medio pie de largo, cuántas obtendrá? b. Qué cálculos hiciste para resolver la Parte a? c. Rosita decide en cambio cortar tiras de 3 de pie de largo. Cuántas tiras obtendrá? d. Qué cálculos hiciste para resolver la Parte c? 94 CAPÍTULO 3 Usa fracciones y decimales

44 59. Hannah inventó adivinanzas sobre las edades de ciertas personas de su familia. Intenta resolverlas. a. Mi hermano Tim tiene 3 4 de la edad de mi prima Janice. Si Tim tiene 5 años, cuál es la edad de Janice? b. Para hallar la edad de mi abuelo Henry, divide la de mi tía Carol entre 4 5 y luego suma 0. Si mi tía Carol tiene 40 años, cuál es la edad de mi abuelo Henry? c. Hoy día mi tío Mike cumple 4 años. Tiene 3 de la edad de su padre y 7 3 de la de su hija. Cuáles son las edades de su padre e hija? 60. Medición En este ejercicio, usa lo siguiente: taza 8 onzas cuarto 4 tazas galón 4 cuartos a. Conor tiene 3 galones de limonada para su fiesta. Si sirve en vasos de 3 4 de taza, cuántos vasos puede servir? b. Qué cálculos hiciste para resolver la Parte a? c. Si, en cambio, Conor sirve en vasos de 4 onzas, cuántos vasos puede servir? d. Qué cálculos hiciste para resolver la Parte c? LECCIÓN 3. Multiplica y divide fracciones 95