TEORIA DE CONJUNTOS ARITMETICA ACADEMIA PREUNIVERSITARIA. Lic. F. Alberto Quispe Ayala 1

Transcripción

1 Est et p ( B ). Se lee: B est ilui e TEORI DE CONJUNTOS B est tei e B es sujut e Ejempl: Se: {,,,, 5, 6} B {,, 5} 6 B 5 ete llves, p ejempl: Lueg ( B ) Pe ( B). NOCION DE CONJUNTO U jut es l euió, leió gupió e jets que tiee teístis similes. ests jets se les emi ELEMENTOS e u jut. P simliz juts se emple ls lets myúsuls, B, C, y sus elemets seps p m put y m, y ees. DETERMINCION DE CONJUNTOS ) P extesió: U jut est etemi p extesió u se sev ts y u e ls elemets el jut, eumeáls iiáls e fm se etei: {,,,} Ej.: B {,,9,6,5,6} C {, e,i,,u} B) P mpesió: U jut est etemi p mpesió u sus elemets se teiz meite u ppie teísti mú. Ej.: De ls ejempls teies {x / x N x } B {x / x N x 6} C {x / x esu vl} OJO: N t jut e puee expes p mpesió y extesió l vez. E geel: fm el Cjut elemet Cteistis (ppiees) Osevió: T jut est ilui e si mism. T jut es sujut e si mism El jut ví est ilui e t jut Se () el úme e elemets el jut, etes: Núme e sujuts º sujutse Núme e sujuts ppis () º sujutsppise () B) Cjuts igules: Ds juts s igules () si tiee ls misms elemets si impt el e. B B B C) Cjuts ifeetes: Ds juts s ifeetes si u e ells p l mes tiee u elemet que psee el t. B B B D) Cjuts mples: Ds juts s mples sól u u e ells est ilui e el t.. RELCION DE PERTENENCI: U elemet peteee u jut si fm pte e el. emás se ie que peteee ( ) ih jut, e s ti peteee ( ) ih jut. OJO: L elió e peteei se ete u elemet y u jut sie que u elemet puee tee fm e jut.. RELCION ENTRE CONJUNTOS ) INCLUSION: Se ie que B está ilui e el jut, si ts ls elemets e B peteee l jut. B B. E) Cjuts isjuts: Ds juts s isjuts u tiee igú elemet e mú. F) Cjuts equivletes: Ds jut s equivletes u tiee l mism ti e elemets. <> B () (B) 5. CLSES DE CONJUNTOS: Li. F. let Quispe yl

2 ) Cjut fiit: Es quel uy ti e elemets es limit; es ei se puee t ese el pime hst el últim. B) Cjut Ifiit: Cuy úme e elemets es ilimit. 6. CONJUNTOS ESPECILES: ) Cjut Nul ví: Cjut que tiee elemets. Este jut tiee l ptiuli e se sujut e t jut B) Cjut Uiti: Tmié llm Siglet, es quel que tiee u sl elemet. C) Cjut Uivesl (U): Es quel jut que tiee ts ls emás juts, simliz p l let U. N existe u jut uivesl slut. D) Cjut Ptei jut e ptes: Cjut fm p ts ls sujut que es psile fm u jut. Simliz p P(); que es ptei el jut. Ej.: Se {,, } etes ls sujuts e s: {},{},{},{;},{;},{;},{;;}, OJO: El jut vió ( ) es sujut ut e t jut Etes P() {{};{};{};{; }; {; };{; };{; ;}; } Lueg el úme e elemets el jut ptei e es: () [P()] # sujuts e 7. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Vems el siguiete gfi: ) Uió ( UB ): L uió e s juts y B es el jut fm p l gupió e ts ls elemets e ts ls elemets e B. UB {x / x x B} Ppiees: UB BU (UB) B (UB) U U B) Iteseió: ( I B) L iteseió e s juts y B es el jut fm p ls elemets que peteee ls s juts l vez. (Elemets mues ms). Simólimete se efie: Ppiees: I B {x / x x B} I B BI I B I B B ( IB) (U B) I PROPIEDDES COMPLEMENTRIS: DISTRIBUTIVS: U (B I C) ( U B) I ( U C) I (B U C) ( I B) U ( I C) De: CCjut e ls úmes mplejs RCjut e ls úmes eles QCjut e ls úmes iles ZCjut e ls úmes etes NCjut e ls úmes tules 8. OPERCIONES ENTRE CONJUNTOS DE BSORCION: I ( U B) U ( I B) U (' I B) UB I (' U B) I B Li. F. let Quispe yl

3 C) Difeei (-B): L ifeei e s juts y B (e ese e) es el jut fm p ls elemets que peteee pe B. Simólimete se efie: B {x / x x B} PROPIEDDES COMPLEMENTRIS: LEYES DE D MORGN ( U B)' ' I ( I B)' ' U B' B' Ppiees: B B ( B) ( B) B ( B) U (I B) D) Difeei Siméti: ( B ): L ifeei siméti e s juts y B es el jut fm p ls elemets que peteee B pe ms. Simólimete se efie: B {x / x ( U B) Ppiees: B B ( B) ( U B) Si x ( I B)} I B B U B C E) Cmplemet e u jut ( ),( ): Cjut uys elemets peteee l uives pe l jut. Simólimete se efie: C Ppiees: U ' U I ' ( ' )' ( )' U {x / x U (U)' x } NUMERO DE ELEMENTOS El il e u jut es el úme e elemets que tiee ih jut: ( ) 0 ( B) () (B) ( B) ( B C) () (B) (C) ( B) ( C) (B C) ( B C) 9. PR ORDENDO: Es u jut que tiee s elemets ( eesimete ifeetes), e l ul itees el e e ests, llms tmié mpetes. Se et (;) 0. PRODUCTO CRTESINO: Ds s juts y B ifeetes el ví, se emi put tesi e y B (xb), e ese e, l jut fm p ts ls pes es (;) tl que ls pimes mpetes peteee l jut y ls segus mpetes l jut B. Simólimete se efie: xb {(;) / (xb)().(b) B} SISTEM DE NUMERCION NUMERCIÓN es l pte e l itméti uy jetiv siste e expes y esii ls úmes. Es ei que es u jut e egls y piipis p epeset ulquie ti.. PRINCIPIOS DEL ORDEN: T if e el umel tiee u e, p veió se eume e eeh izquie. Li. F. let Quispe yl

4 x O () x vees DE L BSE: Es u umel efeeil que s ii m se gup ls uies e u e ulquie p fm l ui letiv el e imeit supei. () e es l se el umel DE LS CIFRS: Ls ifs s úmes tules ilusive el e, que siempe s mees que l se e l ul s emples utilizs. () < ; < ; < ; <. PRINCIPLES SISTEMS DE NUMERCION: O p () m m... p 7. CONVERSION DE NÚMEROS DIFERENTES BSES: ) CSO : De se se 0 Teems s fms e vesió: Ej. Cveti (5) l sistem eiml: P esmpsiió pliómi: ( 5) X5 X5 ( 5) 86 P mét e Ruffii: ( 5) 86 B) CSO : De se 0 se. NÚMERO CPICÚ: Núme uys ifs equiisttes e ls extems s igules Se lee igul p ms ls. Ej.,, 67876, et. E geel: ; ; ;itlvlti ;et.. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMIC DE UN NÚMERO: Es expesl m l sum e ls vles eltivs u e ls ifs e ih úme. Se: N...xyz () ; m ifs Desmpie pliómimete se tiee: N m m m...y ( ) Ej. x x x z 5. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES: Se llm lque u gup e ifs. Ej: Desmpgms () e lques: ( ) (). () Se viete p mei e ls ivisies suesivs Ej. Cveti 9 l sistem quii: P ivisies suesivs: 9 0 (5) C) CSO : De se se m e m 0. El pime ps, es veti e se se 0 El segu ps, es veti el úme tei se m. 6. PROPIEDDES: El my umel e x ifs e se. ( )...( ) x ifs Li. F. let Quispe yl () x

5 0,eee... () e () ( )( )000 () (). CSOS ESPECILES DE CONVERSIÓN: 8. REGLS PRÁCTICS: Ts ls ifs s mees que l se: CIFR < BSE Si u úme se expes e s sistems istits, se umple que: 9. CONVERSION DE SISTEMS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE L UNIDD: ) CSO : De se se 0 0, ( ) Ej: Cveti 0, ( ) se 0 0, ( ) x x 0,() 0,( ) 6, 0,875 0 ( ) k ) DE BSE BSE : D el úme e se se le sep e gups e k ifs pti e l eeh Ej. Expes 000 () se 8 Vems que ifs Bse : 0 {{{ 00 () 5 8 ; se sep e gup e Bse 8: (8) 5 k B) DE BSE BSE : k D el úme e se e if se tiee k ifs l vetise se : Ej. Cveti: 5 (8) se ( 8) 000(). TBL DE NUMERCIÓN B) CSO : De se 0 se Ej. Cveti: 0,9065 se Se multipli sl l pte eiml 0,9065x,565 0,565x,5 0,5x,00 0,9065 0, () 0. CONVERSIÓN DE DECIML FRCCION EN DIFERENTES SISTEMS Núme eiml ext: 0,() 000 () () Núme eiml peiói pu: 0,... () () ( )( )( ) () Núme eiml peiói mixt: Li. F. let Quispe yl 5

6 INVERS: O e esmpsiió, u i el esult e u peió iet y u e ls úmes que itevi e ih peió, se hll el t ume.. DICION: Opeió que tiee p fili eui vis ties e u sl. S... De S es l sum ttl sums. REST O SUSTRCCION: Opeió ives l sum. PROPIEDDES: MSDM Si: mp 9 y mp9, Se umple que:. MULTIPLICCIÓN: Opeió e s ties multipli y multipli, se hll u tee llm put. De: es el multipli B es el multipli P es el put CUTRO OPERCIONES l estui ls úmes, se sev que etemis vles se mifi segú l pliió que se les, este pes igi u vl fil que eemplz ls iiiles. Est ue e u jut e úmes señl eimete. Se e el me e ut peies u pte e l itméti que mpee el estui e ls peies e iió, sustió, multipliió y ivisió, e el jut e ls úmes tules y lueg p extesió e el jut e úmes etes. U peió itméti seá: DIRECT: O e mpsiió, u señls s úmes ulesquie, se tiee u tee úme m úi esult e ih peió.. DIVISION: E u ivisió se ietifi ls siguietes elemets: ivie, ivis, iete y esiu De D: Divie : ivis q: iete : esiu LGORITMO DE EUCLIDES: l ivisió tmié l pems expes e l siguiete fm: CLSES DE DIVISION: Li. F. let Quispe yl 6

7 DIVISION EXCT: Cu el esiu es e D.q 0 DIVISION INEXCT POR DEFECTO: D.q e: 0<< ( ) S... sums S 5... ( ) sums POR EXCESO: D. (q)-r e 0<R< S 6... ( ) sums PROPIEDDES: R El esiu máxim es u ui mes que el ivis mx El esiu míim e ulquie ivisió iext es mi 5. COMPLEMENTO RITMÉTICO DE UN NÚMERO NTURL: Es l que le flt este p se igul l ui el e imeit supei e su if e my e: C..(...xyz) 0 m ifs m...xyz OTRO MÉTODO: P hll el mplemet itméti el my e e u úme, se est ls ifs e ueves y l últim if sigifitiv e 0. Si hy es l fil, ests pemee e el mplemet. C..(...yz) (9 )(9 )...(9 y)(0 z) m ifs m ifs 6. COMPLEMENTO RITMÉTICO EN SISTEMS DIFERENTES DE 0: C (8)..(( 8) ) mp ; 0 Se umple: p 8 (vl e l se) 7 (vl e l se ) m 7 7. SUMS NOTBLES: Se: t,t,t,..., u pgesió itméti, t te mis etes l sum seá: S t t t... t (t t ). ( )( S... 6 sums ( ) S... sums 8. CONTEO DE CIFRS: P lul l ti e ifs uss e u seie e úmes el hst N se us l fmul siguiete: CF N (N )k... k ifs De k es l ti e ifs que tiee N TEORI DE L DIVISIBILIDD DIVISIBILIDD: Pte e l teí e ls úmes que estui ls iies que ee umpli u úme ete p se ivii extmete ete ts.. Divis: Se emi ivis e u úme, ulquie vl que l ivie extmete meite u ivisió ete. Ejempl: Divises e :,,,, 6, Divises e 5:,, 5,5. Divisiili e u úme: U úme ete es ivisile ete t ete B (móul), si l ivii ete B esult u ivisió ext (iete ete y esiu e). El e (0) siempe es múltipl e t ete psitiv. U úme ete egtiv puee se múltipl e u úme ete psitiv.. Multiplii e úmes: Se ie que u úme ete es múltipl e t ete psitiv llm mul, si el pime es el ) Li. F. let Quispe yl 7

8 esult e multipli el segu p t ft ete. Si es múltipl e B l epesetems m: KB e K{,-,-,0,, } B (Ntió e Leiitz) Si u úme ete es ivisile ete iet mul (ivis), se puee epeset m u múltipl el mul más iet esiu p efet: B.k ó B Se ie que u úme B (móul) es ivis ivie u est tei u úme ete y ext e vees.. Piipis e l ivisiili. k. ( ) ( )( )...( z)... z Si N N.. N N MCM(; ).. ± N N MCM(; ) ± ± Si u ti se le multipli p u fió ieuile y el esult es u úme ete, etes es el múltipl el emi. Se Si,m Z y f (fió ieuile).. m Piipi e químees: Ds s úmes etes uy put es ivisile p u iet mul, si u e tles úmes mite ivises mues el mul, pte e l ui, etes el t úme seá ivisile p ih mul. Ej.: Si Si T úme es múltipl e l se e l ul est esit ms l últim if ( ) 5. Divisiili pli l Bimi e Newt k k ( ) si k Z ( ) k k k k es p k es imp 6. Citeis e ivisiili: Cjut e egls que plis ls ifs e u umel s pemite tiip ete que ties es ivisile ih umel. Divisiili p : U úme es ivisile p s u temi e if p e. Divisiili p : Es ivisile p si sus ultims if s es fm u úme ivisile p. Divisiili p 5: U úme es ivisile p 5 u temi e if 5 e. Divisiili p 5 : Es ivisile p 5 si sus ultims ifs s es fm u úme ivisile p 5. Divisiili p 9: U úme es ivisile p 9 u l sum e sus ifs es múltipl e 9 espetivmete. Si Si etes 9 etes 9 Divisiili p : Cu l ifeei ete l sum e sus ifs e e imp l sum e ls ifs e e p eeá se e múltipl e. Ej.: Si efg e f g e g ( f) Divisiili p 7: Cu l sum lgei el put e sus ifs (e eeh izquie) p,,,-,-,-,,,,- espetivmete, eeá se 0 ó múltipl e 7. 0 Li. F. let Quispe yl 8

9 { e f g h 7 ( e) f g h Divisiili p Cu l sum lgei el put e sus ifs (e eeh izquie) p,--,-,,,, espetivmete, eeá se múltipl e. efgh e f g h { { h (g f e) 7 Divisiili p Y 99: Cu l sum lgei el put e sus ifs (e eeh izquie) p y 0 espetivmete, eeá se múltipl e 99. efgh 0 0 e f 0 g 0 0 e 0f g Respetivmete: 0 efgh 0 e f 0 99 g e 0f g RESTOS POTENCILES: S ts ls esius que ej ls pteis suesivs etes y psitivs e u úme N (ifeete e e) l se iviis ete t m (mul). Pteis suesivs N 0 N N N N Results e fuió e m m m m m m Rests pteiles PROPIEDDES DE LOS NÚMEROS. NUMERO PRIMO O PRIMO BSOLUTO: S úmes que mite úimete s ivises, sie ests l ui y el mism. Ej.:,, 5, 7, et.. NÚMERO COMPUESTO: S úmes que mite más e s ivises. Ej.:, 6, 8, 0,, et.. L CNTIDD DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N ES: CD CD CD N mpuests pims. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI): Es u u jut e s más úmes mite m úi ivis mú l ui. Ej.: y 9, 8 y 5, et. NOTS: T úme pim my que siempe es e l fm 6 ± : l ti siempe se umple. lgus úmes pims esuiets p mtemátis s: Lus: 7 que tiee 9 ifs lg plemete iet, pe u emstle: T úme p, es l sum e ls úmes pims Femt: Fmuls el lul e úmes pims: vli úimete p Z y 0 5. REGL PR DETERMINR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO: Se exte l íz u pximmete el umel y pli l multiplii p u e ls úmes pims mees igules ih pximió: Ej.: El úme 9 es pim? 6. TEOREM FUNDMENTL DE L RITMÉTIC: T ete psitiv my que u, se puee esmpe m el put e ftes pims Li. F. let Quispe yl 9

10 ifeetes ete si, elevs iets expetes, est esmpsiió es úi. Llm tmié DESCOMPOSICION CNONIC OJO: N fui l esmpsiió pliómi que vims e sistem e umeió. Se N u úme my que, etes ih úme l pems expes e l siguiete me: De: N α.b β.c λ..., B, C; ; Ftes pims ; Expetes α, β, λ,... Ej.: Desmpe e sus ftes pims el úme DIVISORES DE UN NUMERO N Cti e ivises e u úme: Es igul l put e ls expetes e sus ftes pims pevimete umets e l ui. CD (N) ( α )( β )( λ )... Sum e ivises e u úme SD(N) α β λ B C..... B C Put e ls ivises e u úme: PD (N) CD(N) N Sum e ls ivess e ls ivises e u úme: SID (N) SD(N) N 8. INDICDOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER Es l ti e úmes etes psitivs mees que u úme y pims él. Se el úme N esmpuest óimete Ψ (N) N N. α.b 9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR β.c λ..... B C Se llm MCD e u jut e s más úmes etes psitivs, l ete que umple s iies: Es u ivis mú e ts Es el my psile 0. DETERMINCIÓN DEL MCD P esmpsiió Cói: El MCD es igul l put e ls ftes pims mues elevs ls mees expetes psiles. Ej.: Se Etes..5 y B MCD P esmpsiió simultáemete: El MCD es el put e ls ftes mues extís ls úmes hst que se PESI. Se us sl ls ftes mues. Ej.: Hll el MCD e y 8 lgitm e Eulies Divisies suesivs: Es u peimiet que se utiliz p lul el MCD e sl úmes. Su esll se fumet e l teí e l ivisió. q q q q q 5 5 MCD (;B). MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO } }.q B.q B.q Se llm MCM e u jut e s más úmes etes psitivs, l ete que umple s iies: Es u múltipl e ts Es el me psile. DETERMINCIÓN DE MCM P esmpsiió Cói: El MCM es igul l put e ls ftes pims mues elevs ls myes expetes psiles. Ej.: Se etes..5 y B MCM Li. F. let Quispe yl 0

11 P esmpsiió simultáemete: El MCM es el put e ls ftes mues multiplis ls espetivs PESI. Ej.: Hll el MCD e, 8, 0. PROPIEDDES DEL MCD Y MCM: Si y B s PESI, etes: MCD(,B) Si y B s PESI, etes: MCM(,B).B El put e s etes psitivs siempe es igul l put e su MCM y el MCD. Es ei: MCM (;B).MCD(;B) Se pims ete si (PESI). Etes: Se etes: Se etes:.b Kα y B Kβ De: α y β s MCD(;B) K MCM(;B) K.α.β MCM (,B) p y MCM (C,D) q, MCM (,B,C,D) MCM(p,q) MCD (,B) p y MCD (C,D) q, MCD (,B,C,D) MCD(p,q) Si u jut e etes psitivs se eemplz s más e ells p su MCD su MCM; etes el MCD el MCM el jut e ihs etes es lte. Es ei: MCD(;B; C) MCD(MCD(; B); MCD(B; C)) MCD(;B; C;D) MCD[MCD(; B); MCD(C; D)] MCM(;B;C) MCM(MCM(; B); MCM(B; C)) MCM(;B;C;D) MCM[MCM(; B); MCM(C; D)]. CSOS ESPECILES: MCD(;)MCD(;) Si y s pims ete si etes MCD(; -) ó MCD(,)MCD(± ;m), De mmcm(,) Li. F. let Quispe yl.( ) MCD(,,), De MCD(,) MCD (;B; C).MCD(;B; C) MCM (;B; C).MCM(;B; C) B C ; ; ) MCD ( B C ; ; ) MCM ( MCD(;B;C) MCM(;B;C) k h MCD(k;h) MCD(p ;p ) p NÚMEROS FRCCIONRIOS RIOS f ume e mi. CLSIFICCIÓN: Se puee lsifi: P mpió e sus témis: Fies ppis: S quells uy vl es me que u tmié quell e l que el ume es me que el emi es ei: < 7 Ej.:,,,et. 5 7 Fies imppis: S quells uy vl es my que u, tmié, quell e l que el ume es my que el > emi, es ei: 9 5,, 7 Ej.:,et. Fies igules l ui: S quells uy vl es igul l ui, tmié e l que el ume y el emi s igules, es ei: 9,, 9 Ej.:,et. P su emi: Fies iis mues: S quells uy emi es ifeete

12 u ptei e 0. Es ei 0, N 5 Ej.:,,, et 7 7 ; si: El MCD e vis fies ieutiles es igul l MCD e ls umees ete el MCM e ls emies. El MCM e vis fies ieutiles es igul l MCM e ls umees ete el MCD e ls emies. Fies Deimles: S quells uy emi es u ptei e 0. Es ei: ; Ej.: 0 5, 0 00, N, 000, et P l mpió e ls emies: Fies hmgées: S quells uys emies s igules. Ej. 5,,,et Fies hetegées: S quells uys emies s ifeetes. Ej.: 5,,,et 0 5 P l elió e ls ivises e sus témis Fies eutiles: S quells fies e ume y emi se puee simplifi. Ej.: 5 0 5, et 50 Fies ieutiles: S quells fies e ls témis s PESI. NOT:,,,et 0 7 Se llm fió equivlete, u u fió tiee el mism vl que l t pe sus témis s ifeetes: Ej.: 5 0 Se llm úme mixt, quel que tiee pte ete y pte fii. 7,, 5 7 Ej.:,et.. NÚMERO DECIML: Repesetió liel e u fió. Cst e s ptes: pte ete y pte eiml. Ej.:,56 {, 56 { pte ete pte eiml. CLSIFICCIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMLES: Núme eiml ext: Cu tiee u úme limit e ifs. Ej.: 0,; 0,56; et. Núme eiml iext: Cu tiee u úme ilimit e ifs. Ej.: 0, ; 0, Ls úmes eimles iexts puee se: Peiói pu: Cu el pei empiez imeitmete espués e l m eiml. ) Ej.: 0,... 0, 0, Peiói mixt: Cu el pei empiez e u if ( gup) espués e l m eiml. Ej.: 0, 0, CONVERSIÓN DE DECIMLES FRCCIÓN : Númes eimles exts: L fió seá igul l úme fm p ls ifs eimles iviis ete l ui segui e tts es m ifs eimles. Ej: 0, 5 0, Númes eimles iexts: Peiói pu: L fió est p el úme fm p ls ifs el pei ivi ete tts ueves m ifs teg el pei.. MCD Y MCM DE NÚMEROS FRCCIONRIOS: Li. F. let Quispe yl

13 Ej: Ej: 0, , Peiói mixt: L fió est p el úme fm p ts ls ifs e l pte eiml mes l pte peiói ete tts ueves m ifs teg el pei segui e tts es m ifs teg l pte peiói. 0, , RZONES Y PROPORCIONES. RZONES: Es l mpió mtemáti e s ties. Es ei es el esult e mp s ties p mei e u ifeei p mei e u iete. TIPOS: RZON RITMETIC: Es l zó p ifeei teeete Cseuete Rzó RZON GEOMETRIC: Es l zó p iete. teeete se uete. PROPORCIONES: k Rzó geméti Es l igul e s zes. Es ei, es l mpió e s zes igules y se itmétis gemétis.. PROPORCION RITMETIC: Es l igul e s zes itmétis s, sie que: - y - Etes l ppió itméti seá: De: -- y : extems y : meis y : teeetes y : seuetes. TIPOS DE PROPORCIÓN RITMÉTIC: P.. CONTINU: Ls témis meis s igules. -- De: : Mei itméti ifeeil : tee ifeeil P.. DISCRET: Ls ut témis s ifeetes. -- De: : ut ifeeil e, y 5. PROPORCION GEOMETRIC: Es l igul e s zes gemétis s sie que: k y De: y : extems y : meis y : teeetes y : seuetes 6. TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRIC: P.G. CONTINU: Cu ls témis meis s igules. Es ei: De: : mei ppil geméti, : tee ppil P.G. DISCRET: k Li. F. let Quispe yl

14 Cu ts ls témis s ifeetes. Es ei: De: : ut ppil 7. PROPIEDDES DE L PROPORCIÓN GEOMÉTRIC Si : es u ppió geméti. Etes: k k REGL DE TRES k ± ± L egl e tes puee se: Simple mpuest.. REGL DE TRES SIMPLE: ± ± ± ± ± ± 8. SERIE DE RZONES GEOMÉTRICS EQUIVLENTES Iteviee tes ties is (ts) y u esi (iógit). Puee se Diet ives. RS DIRECT: Es el esll e mp mgitues que s ietmete ppiles. Mét : pli l efiiió e mgitu ietmete ppil. B C x x BC Mét : U vez plte el plem l multipliió seá e sp. Es l igul e s más zes gemétis. Se: Etes: k; k;...; k;... k RS INVERS: xbc BC x De: : teeetes,,,...,,,... : Cseuetes K stte e ppili Se umple que: Es el esult e mp mgitues que s ivesmete ppiles Mét : pli l efiiió e mgitu ivesmete ppil..b C.x x B C Li. F. let Quispe yl

15 Mét : U vez plte el plem l multipliió seá e seti plel. Ej: Oes, mquis, imles, hili, esfuez, eimiet, et. º Ciustis: Ciies e el tiemp p elizl. Ej.: ís hs iis, ies iis, et. CBx x C B º Efet: L e, si l eliz y ls iveietes iies que pe el mei p l elizió el tj. Ej. Ls meis e l, ifiultes, esistei el mei, et. ió iusti efet MÉTODO PRÁCTICO: Si ls ties ppiles v e más más e mes mes, l egl es iet; si v e mes más e más mes, l egl es ives. Seie Seie Hmes imles Mquis Hili Dís Rpiez teístis h/, ies Tj eliz Mei e l ifiultes Si es RSD; se multipli ls ts e sp y se ivie ete t t. Si es RSI; se multipli ls ts el supuest y se ivie ete el t t el plem. REGL DE TRES COMPUEST: Es u l u seie e vles espietes mgitues y u segu seie e - vles espietes ls mgitues meis. L fili e l egl e mpuest es etemi el vl esi e l segu seie e vles. Mét : Ley e ls sigs Se l ls ts e me que ls vles peteeietes u mism mgitu esté e u mism lum. Se mp l mgitu e se euet l iógit ls emás mgitues el siguiete esult Si s ietmete ppiles: i (-) y j () Si s ivesmete ppiles: i () y j (-) El vl e l iógit est p u que e el ume es el put e ls témis que tiee () y el emi es el put e ls témis que tiee (-) Mét : De ls ys Ls mgitues se puee lsifi e ptes: º Cus ió: Relizes e l ió y iies que tiee p elizl. Filmete, se igul ls puts e ls vles que se euet e u mism y.. RELCIÓN ENTRE LS MGNITUDES MÁS CONOCIDS: Nº e es DP Nº e es IP efiiei Nº e es IP ís Nº e es IP hs iis Veli IP tiemp Nº e es DP ifiult Nº e ietes IP º e vuelts O DP ís O DP hs p í PROMEDIOS Y PORCENTJES. PROMEDIOS Es u vl epesettiv e ts vis ties que tiee l teísti e se my que el me e ells y me que el my e ells. Ds ls siguietes ties:,,,... De: : Me ti : My ti Se llm pmei P u ti efeeil y umple: Li. F. let Quispe yl 5

16 TIPOS: P MEDI RITMETIC (M): Es quel pmei que pviee e l sum e ties iviis ete. P s úmes y :... M P MEDI GEOMETRIC (Mg): Es quel pmei que pviee e l íz eésim el put e ties. Mg P úmes y : Mg MEDI RMONIC.(Mh): Es l ives e l mei itméti e ls ivess e ls ties s. Mh P úmes y :... Mh PROMEDIO PONDERDO (P). Pmei e pmeis, es u teems el pmei itméti e s ms gups y queems etemi el pmei e ts e jut, plims el pmei itméti pe. m m m...mm P... De: m : Pmei itméti el pime gup m : Pmei itméti el segu gup Y sí suesivmete; tmié : Núme e elemets el pime gup m m : Núme e elemets el segu gup. Es ei el úme e elemets el gup espiete. PROPIEDDES M, Mg y Mh ls pmeis e úmes; etes siempe se umple: M > Mg> Mh Se s úmes y hll su M y Mh siempe: Se umple: xbmxmh Mg MxMh L ifeei ete l mei itméti y l mei geméti e úmes y B est p:. PORCENTJES M Mg ( B) (M Mg) Llm tmié tt p iet. Se ie sí, u etemi ti elió 00 uies. L egl el tt p iet es u pliió e l egl e tes simple iet. NOTCION: 5 Se: 5 % 00 5% ii que e 00 uies se sie 5. U ti ttl epeset el 00% U ti umet e el 0% epeset el 0% U ti ismiui e u 0 % epeset 90% PLICCIONES: DESCUENTOS SUCESIVOS: Cu u ti se le pli ms e u esuet, ls ules equivle u esuet úi que se tiee e l siguiete fm: DxD Du D D 00 % Li. F. let Quispe yl 6

17 UMENTOS SUCESIVOS: Cu u ti se le pli más e u umet, ls ules equivle u umet úi, que se tiee e l siguiete fm: OJO: x u 00 % Si huie más e s esuets pime se euet el esuet úi e ls s pimes y lueg se hll u uev esuet úi el vl et y el siguiete y sí suesivmete. PV PC GB GB GN G PF PV D E s e péi se umple: PV PC pei De: PCPei e st PVPei e vet PFPei fij GBGi ut DDesuet ej GNGi Net GGi PLICCIONES COMERCILES: Li. F. let Quispe yl 7