1. Cuales son los números naturales?

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1 Guí de mtemátics. Héctor. de bril de Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l tercer ciudd ms grnde del pis ). En el lenguje comun, estos dos usos de los números nturles se distinguen por el uso de los números crdinles o de los números ordinles. No existe ningún cuerdo universl cerc de cundo incluir l cero en el conjunto de los numeros nturles.algunos utores considern que los números nturles comienzn en 0, es decir 0, 1,,,..., mientrs que otros utores comienzn con el 1, considern los numeros nturles como el conjunto de los enteros positivos 1,,,...,. Los numeros nturles se denotn con simbolo N. Ls propieddes de los numeros nturles, tles como l divisibilidd y l distribución de los numeros primos, son estudids en l teorí de numeros. Los problems que tiene que ver con el conteó y el orden, tles como el prtir o enumerr son estudids en l combintorí. Los números nturles son l bse de todos los demás tipos de números: los enteros, los números rcionles, los números reles,..., etc.. Cules son los números enteros? Un entero es un número que puede ser escrito sin prte frccionri (por ejemplo, 1, 4, 0 y 015 son enteros, en cmbio 9.75, 5 1, y π no lo son). El conjunto de los enteros consiste de el cero (0), los números nturles (1,,,...) y sus inversos ditivos (los enteros negtivos, es decir, 1,,,... ). Estos son denotdos por el símbolo Z que viene de el lemán Zhlen que signific número.. Cules son los números primos y cules son los números compuestos? Un número primo (o un primo) es un número nturl myor que 1 que no tiene divisores positivos (un divisor de un entero n, tmbién llmdo un fctor de n, es un entero que puede ser 1

2 multiplicdo por otro entero pr producir n.) distintos de 1 y el mismo. Por ejemplo, 5 es primo porque 1 y 5 son los únicos fctores enteros positivos. Existe un n umero infinito de primos, esto fue demostrdo por Euclides por el ño 00 BC. Un número nturl myor que 1 que no es un número primo es llmdo un número compuesto. Por ejemplo 6 es un número compuesto porque tiene como divisores y prte de 1 y Cules son los números rcionles? Un número rcionl es culquier número que se puede expresr como cociente o frcción p q de dos enteros, p y q, con denomindor q 0 distinto de cero. Como q puede ser igul 1, todo número entero es un número rcionl. El conjunto de todos los números rcionles es denotdo por el Simbolo Q. L expnsión deciml de un número rcionl siempre termin o comienz repetir l mism secuenci finit de números un y otr vez despues de un número finito de digitos. Adems, culquier expresión deciml que termin o se repite represent un número rcionl. Existen números que no son rcionles por ejemplo, π, e. 5. Sum, multiplicción y división de frcciones Sum. Ddos dos números expresdos en form de frción. Se define su sum como: b + c d b, c d = d + cb bd Clculr l siguiente sum = En este cso =, b = 5, c =, d = 7 de est form = ()(7) + ()(5) (5)(7) Clculr l siguiente sum: + 5 =

3 En este observmos que 1 = () (), 5 = 5 1, entonces 5.. Multiplicción. 5 = (5)(1) = (5)( ) = (5 1 )( ) = (5)() (1)() 5 = 15 Ddos dos números expresdos en form de frción. Se define su multiplicción como: b, c d ( b )( c d ) = ()(c) (b)(d) Clculr l siguiente multiplicción de frcciones ( 5 )( 7 ) = En este cso =, b = 5, c =, d = 7 de est form. ( 5 )( 7 ) = ()() (5)(7) = 6 5 Clculr l siguiente multiplicción: ( )(5) = En este observmos que 1 = () (), 5 = 5 1, entonces entonces 5 = (5)(1) = (5)( ) = (5 1 )( ) = (5)() (1)() = 15 ( )(5) = ( )(15 ) = ()(15) ()() = 0 9 = 10

4 5.. División. Ddos dos números expresdos en form de frción. Se define su divisiónón como: b c d b, c d = ()(d) (b)(c) Clculr l siguiente división de frcciones En este cso =, b = 5, c =, d = 7 de est form = = ()(7) (5)() = 1 10 Clculr l siguiente división: ( ) (5) = En este observmos que 1 = () (), 5 = 5 1, entonces entonces 5 = (5)(1) = (5)( ) = (5 1 )( ) = (5)() (1)() = Que es un polinomio? ( ) (5) = ( ) (15 ) = ()() ()(15) = 6 45 = 15 Un polinomio es un expresión que consiste de incognits (indeterminds) y de coeficientes, que involucrn solo ls operciones de sum, rest, multiplicción y exponentes enteros no negtivos. Un ejemplo de un polinomio de un sol incognit (o indetermind), x, es x 4x Que es un monomio? De form muy generl un monomio es un polinomio con un solo termino, por ejemplo. Si solo se consider un vrible x, esto signific que un monomio ser 1 o un potenci x n multiplicd por lgún número. por ejemplo x. 4

5 8. Sum, rest y multiplicción de monomios 8.1. Sum de monomios. Sólo se pueden sumr o restr los monomios semejntes. El resultdo se obtiene sumndo o restndo sus coeficientes. 5x y + 8x y x y = 10x y Si los monomios no son semejntes, el resultdo de l sum o rest es un polinomio. 8.. Producto de monomios. Dos monomios se pueden multiplicr, efectundo el producto de los coeficientes y de ls prtes literles, respectivmente. Ejemplos: (6x ) ( 4x ) = 4x 6 ( 4x ) (8x y ) = x 5 y 8.. Cociente de dos monomios ( 5 b ) ( b) (4b ) = 60 b 6 ( ) ( ) ( ) 0 4 x y xy 48 x5 = 5 16 x8 y 4 El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cundo l prte literl del dividendo es múltiplo de l prte literl del divisor. Ejemplos: 7x y xy = 7 x sí es un monomio porque: x y, es múltiplo de xy; 7x y xyz = 7x z = 7 x z = 7 xz 1 9. Sum, rest y multiplicción de polinomios Los polinomios se pueden sumr y restr grupndo los términos y simplificndo los monomios semejntes. 5

6 Sen los polinomios: P (x) = (x + 4x + 1) y Q(x) = (5x + ), entonces l sum de P (x) y Q(x) es: P (x) Q(x) = x + 5x + 4x Pr multiplicr polinomios se multiplic cd término de un polinomio por cd uno de los términos del otro polinomio y luego se simplificn los monomios semejntes. Sen los polinomios: P (x) = (x + 4x + 1) y Q(x) = (5x + ), entonces su producto es: P (x)q(x) = (x +4x+1)(5x +) = (x +4x+1)(5x )+(x +4x+1)() = (10x 5 +0x +5x )+(6x +1x+ 10. Operciones con los exponentes Propieddes básics Si es un número positivo y b, c son enteros, entonces se tienen ls siguientes identitdes: 1. bc = ( b ) c = bc 4 = ( 4 ) = (4)() = 8 == Sen, b números no negtivos y c, d numeros enteros, entonces c b d = (c )(b d ) x 4 x = (x4 )(x ) = x 4 = x 6

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