Los Números y sus Propiedades Básicas. Efraín Soto Apolinar.

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1 Los Números y sus Propiedades Básicas Efraín Soto Apolinar.

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3 Academia Gauss Créditos: Efraín Soto Apolinar Matemáticas Educativas y de Divulgación Chetumal, Quintana Roo, México. 2005

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5 Índice 1 Introducción Teoría de conjuntos Números naturales Definición Relaciones de equivalencia Ley distributiva Pares e impares Múltiplos y divisores Cerradura de pares e impares Criterios de divisibilidad Divisibilidad Primos y compuestos Descomposición en factores primos Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Cuántos Números Primos Hay? Números enteros Definición Propiedades de la suma y la multiplicación Recta numérica y valor absoluto v Los Números...

6 3.4 Leyes de los signos ra demostración: = da demostración: = ra demostración: = Nueva criba de Eratóstenes La nueva criba Construcción de la nueva criba Conclusiones Números racionales Definición Operaciones con fracciones Fracciones equivalentes Suma de fracciones División por cero Orden de los racionales Números decimales Operaciones con decimales Periodicidad Periodos finitos e infinitos Conversión de decimal periódico a fracción /11 y 11/ Números irracionales Definición Dilema de Pitágoras Irracionalidad del número Irracionalidad del número Irracionalidad del número Irracionalidad del número Aproximación a números irracionales por medio de números racionales Noción de límite Los Números... vi

7 6 Números complejos Definición Operaciones básicas con números complejos Ejemplos de aplicación Leyes de los exponentes Definiciones básicas y notación Enunciación de las leyes Problemas de aplicación Logaritmos Definiciones básicas Propiedades de los logaritmos Problemas de aplicación Sistemas de numeración posicional Sistema de numeración en base Sistema de numeración en base vii Los Números...

8 Uno Introducción 1.1 Teoría de conjuntos Casi todos estamos familiarizados con el uso de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y finalmente, los números reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntos de números. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mismo de resolver problemas aritméticos (que tiene que ver con los números), que bien pueden verse como problemas algebraicos. Para comenzar a ver que la necesidad llevó al hombre a construir formas de contar (sistemas numéricos, en términos más formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar frutas para su familia. Sabe que su familia está formada por su pareja y su cría (hijo, en palabras más civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las frutas y los miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (incluyéndose él) le corresponderá una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas, una para cada uno de ellos. Nótese que no fue el colector de frutas quien dijo tres, puesto que él todavía no conocía lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo, todavía el lenguaje estaba basado en señas). Lo importante que se quiere hacer notar es que ya había, probablemente de manera innata, la noción de cantidad en el ser humano. Seguramente este hecho le sugirió a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar, digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y algún otro objeto, por ejemplo piedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van reproduciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendrá que coleccionar una buena cantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseerá. De aquí surge la necesidad de crear otra forma de contar que sea más cómoda. A alguien se le ocurrió hacer nudos a un mecate, a otra persona se le ocurrió contar con los dedos de las manos y los pies. A alguien más se le ocurrió contar las divisiones que tenemos en los dedos meñique, anular, medio e índice (tres en cada dedo, lo que hace un total de doce divisiones, encontrándonos con las docenas y, que si vemos en la otra mano cinco dedos, vemos 1 Los Números...

9 Introducción que podemos contar así hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y así, poco a poco el hombre fue creando formas cada vez más cómodas de contar. Los Griegos usaron un sistema de numeración decimal (Al decir decimal nos referimos al hecho de que se cuenta de diez en diez). Para cada número asignaron un símbolo. El número uno estaba representado por I, el dos por II, el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por V, el seis por VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. También asignaron símbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M. Con estos símbolos podían formar números bastante grandes, para lo cual establecieron ciertas reglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras, ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemos veinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre los aztecas, el número veinte se decía Tzontle (en Náhuatl). También, de manera descriptiva a un buen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para hacer cálculos. Nótese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeración es más difícil que en el sistema de numeración que usamos actualmente. Evidentemente la multiplicación es aún más difícil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posición que tiene cada símbolo para asignarles algún valor, es decir no son posicionales. En el capítulo 7 nos encargaremos de estudiar cómo formar números en distintos sistemas de numeración y de averiguar la forma de realizar operaciones con estos números. Además de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades numéricas. Por ejemplo, supongamos que un filósofo griego le pregunta a su discípulo: Cuánto es cinco menos cinco?. Si consideramos que para entonces ellos todavía no conocían el cero, entonces el discípulo debió haber respondido... pues cinco menos cinco no es nada. Para esa misma época, consideremos a un matemático maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que entonces ya conocían el cero pueden responder: Cinco menos cinco es cero. Parece que no hay diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, dar interpretaciones con símbolos a los fenómenos que vemos), es el gran paso que se dio en la invención del cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como Qué número debo sumar a 5 para obtener cero?, lo cual dio origen a los números negativos. De una forma similar surgieron seguramente también los números racionales, por ejemplo, imaginemos que alguien se preguntó: Por qué número debo multiplicar al número dos para obtener como resultado el número uno?. Evidentemente, el número buscado no es ni natural, ni entero, sino racional (El número buscado es 1 ). En el Capitulo 3 se da un pequeño estudio de estos 2 números. Se otorga a los filósofos griegos, en particular a la escuela pitagórica, con mayor frecuencia la idea de resolver el siguiente problema: encontrar la longitud del cuadrado que tiene la longitud de sus lados igual a uno. Se sabe que el resultado (es decir, la longitud de la diagonal del cuadrado), no es un número racional, sino que da origen a una nueva familia de números que se denominan como irracionales, los cuales estudiaremos en el Capítulo 4. Los Números... 2

10 1.1 Teoría de conjuntos Para terminar esta introducción, se da una pequeña noción de la teoría de conjuntos. Decimos que un conjunto es una colección de objetos. No es necesario que esos objetos sean todos definidos de manera individual. Algunas veces bastará con mencionar algún patrón que satisfacen los objetos que pertenecen al conjunto considerado. Otras veces la cantidad de objetos que existe es tan pequeña que es posible listarlos uno a uno. No obstante, la mayoría de las veces que se presentarán a lo largo del libro, usaremos conjuntos con un número infinito de objetos. A los objetos que pertenecen a esos conjuntos los llamaremos elementos (del conjunto). En general, los objetos con los que trabajaremos en este libro serán números. Usaremos letras minúsculas cursivas para denotar números. Los conjuntos se denotarán por medio de letras mayúsculas. Así, podremos escribir a para denotar algún número cualquiera. Si algún elemento x (x representa algún objeto) se encuentra en un conjunto A, entonces, escribiremos x A para indicarlo. Para leerlo diremos: El elemento x está en el conjunto A, o también, x es un elemento del conjunto A, o más concisamente x está en A. Cuando el elemento x no se encuentre en el conjunto A se escribirá x A. De manera similar esto se leerá El elemento x no está en el conjunto A, o también, x no es un elemento del conjunto A, o más concisamente x no está en A. Para indicar de una manera explícita la condición que deben satisfacer los elementos de un conjunto, escribiremos lo siguiente: A = {x x cumple con tal propiedad} Esto se lee: el conjunto A está formado por todos los valores (de) x tales que x cumpla con tal propiedad. Por ejemplo, para denotar a los números pares escribimos: P = {x x es un número par} y lo leemos El conjunto P es el formado por todos los valores de x tales que x sea un número par. Cuando se tengan dos conjuntos A y B, y se cumpla que todos los elementos del conjunto A sean también elementos del conjunto B, diremos que el conjunto A está incluido en el conjunto B. Esto se denotará por A B Si no está incluido el conjunto A en el conjunto B, escribiremos A B. Existe un conjunto que no contiene ningún elemento, al cual se denomina conjunto vacío y se denota por. Algunas de las operaciones que se definen entre dos conjuntos son la unión y la intersección. La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto C que contiene a todos los elementos del conjunto A como del conjunto B. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto C que contiene únicamente a los elementos que pertenecen simultáneamente tanto al conjunto A como al conjunto B. En las figuras 1 y 2 pueden verse gráficamente estas operaciones. 3 Los Números...

11 Introducción Además a estas operaciones se definen otras, que en este texto no se consideran por no haber necesidad de trabajar con ellas. Solamente se hace mención de las que se consideran necesarias para la compresión del material expuesto en el texto. A B A B A B Fig. 1. Unión de conjuntos. Fig. 2. Intersección de conjuntos Finalmente se hace mención que a lo largo del texto aparecerán algunas demostraciones. La mayoría de ellas no son muy difíciles de entender, sin embargo al leer cada una de ellas se debe tener en cuenta que, para entender la demostración en sí, es requisito indispensable que se entiendan todos y cada uno de los argumentos y pasos que se siguen en la demostración. El autor del presente texto está plenamente convencido de que las matemáticas se aprenden mejor por medio de la práctica. Por eso se sugiere que la lectura de este libro incluya la resolución de los ejercicios que van apareciendo a lo largo del mismo. Resolver problemas ayuda a entender mejor los conceptos estudiados y solamente así empiezan a tener sentido muchas de los conceptos que se tratan. Los Números... 4

12 Dos Números naturales Podemos empezar diciendo que los números naturales tienen su nombre gracias al hecho de que el hombre, de manera intuitiva tuvo desde el principio de su historia, la noción de cantidad. De hecho, en la introducción se trató de justificar esto por medio de ejemplos que, si bien pueden no ser ciertos, deben estar muy cercanos a la realidad. Nota: En este y el siguiente capítulo trabajaremos con números naturales y enteros respectivamente, a menos que se indique otra cosa. 2.1 Definición Se define al conjunto de los números naturales como todos aquellos números que usamos para contar. De manera natural, el hombre los acogió para poder tener control sobre las cosas que poseía. Nótese que el cero queda excluido de este conjunto, puesto que cuando un hombre no posee ningún objeto, no siente la necesidad de contar. Por tanto, los números naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... donde los puntos suspensivos indican que la lista sigue infinitamente. En lo que sigue, denotaremos a los números naturales por el símbolo N. Entonces, en notación de conjuntos podemos escribir: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Basándonos en este hecho, cuando digamos que x es un elemento del conjunto de los números naturales entenderemos que es alguno de los números que aparecen en la lista dada entre llaves para N. En notación de conjuntos esto se escribe: x N y se lee x pertenece al conjunto de los números naturales, o x es un número natural. 5 Los Números...

13 Números naturales 2.2 Relaciones de equivalencia Todos los números, cumplen ciertas propiedades con respecto a la igualdad. Las mencionamos enseguida, que a pesar de no ser indispensables, sirven de muestra que hemos aprendido matemáticas aún antes de haber ido a la escuela. Reflexiva: a = a Simétrica: Si a = b, entonces b = a Transitiva: Si a = b y también b = c, entonces a = c En palabras, la primera nos dice que un número siempre es igual a sí mismo. Imagínese a Aarón, él siempre tendrá su propia edad. La segunda está diciendo que si un número es igual a otro, entonces el segundo debe ser igual al primero. En otros términos diríamos que, si Aarón tiene la misma edad que Benjamín, entonces Benjamín debe tener la misma edad que Aarón. La tercera dice que si tenemos tres números tales que el primero es igual al segundo, y además, el segundo es igual a otro tercero, entonces el primero y el tercero son iguales. En términos de edades nos dicen que, si Aarón y Benjamín tienen la misma edad y, además Benjamín y Carlos tienen también la misma edad, entonces necesariamente Aarón y Carlos deben tener la misma edad (es decir, todos tienen la misma edad). Ahora veámoslo desde otro punto de vista: Supongamos que (solamente para este apartado) a, b y c ya no son números, sino líneas rectas, y que el símbolo = no indica la igualdad, sino el paralelismo entre líneas rectas. Entonces, las tres condiciones que imponen estos argumentos también se cumplen. Es decir, una recta siempre es paralela a sí misma. También se cumple que si la recta a es paralela a la recta b, entonces la segunda recta b debe ser paralela a la primer recta a. Y finalmente, si las rectas a y b son paralelas y también se cumple que las rectas b y c son paralelas, entonces, las rectas a y c son paralelas. Nótese que para el caso de perpendicularidad, en lugar de paralelismo las condiciones no se cumplen. Ahora, si nos volvemos a cambiar de líneas rectas a números naturales otra vez, y aplicamos estas condiciones, ahora usando el símbolo = como criterio de divisibilidad, veremos que también se cumplen, haciendo una pequeña modificación a la segunda condición. Más adelante se estudian algunas propiedades de la divisibilidad. Ahora, vámonos a la teoría de conjuntos, junto con estas condiciones. Si consideramos ahora el símbolo = como inclusión de conjuntos, podemos notar que se cumplen las tres condiciones haciendo una pequeña modificación a la segunda condición, en la cual es necesario que los conjuntos a y b sean iguales. Lo que se quiere hacer notar aquí es que un solo conjunto de condiciones (o, mejor dicho, axiomas) se pueden aplicar no solamente a una rama específica de la matemática, sino a varias. Y eso es lo maravilloso de las matemáticas, que usando solo la cantidad de propiedades necesaria (no más) que deben satisfacer los objetos con los que se trabaja, se puede llegar a encontrar conclusiones que no parece tener conexión por ningún lado, que ahorramos conceptos al máximo y creamos conocimientos basándonos solamente en las condiciones impuestas por los objetos y las operaciones con ellos (en otras palabras no realizamos operaciones que aún no se hayan especificado como permitidas). Los Números... 6

14 2.3 Ley distributiva Las propiedades que se han mencionado que cumplen los números con respecto a la igualdad no son las únicas. Como muestra de que existen más, mencionamos las dos siguientes: Si a = b, entonces a c = b c. Si a = b, y también c = d, entonces a + c = b + d. La primera nos dice que si dos números son iguales, la igualdad se sigue cumpliendo si ambos números son multiplicados por otro número cualquiera. En términos de edades diríamos que si Benjamín y Aarón tienen la misma edad, entonces, si multiplicamos la edad de cada uno de ellos por el mismo número, los resultados de esas multiplicaciones deben ser iguales. La segunda dice en palabras que si conocemos cuatro números que son iguales dos a dos, y que si los sumamos por pares (como se indica), entonces, las sumas resultan siempre ser iguales. En términos de edades diríamos que si Aarón y Benjamín tienen la misma edad y además, Carlos y Daniel tienen también la misma edad (no necesariamente iguales a las edades de Aarón y Benjamín), entonces, si sumamos las edades de Aarón y de Carlos y, por separado las edades de Benjamín y de Daniel, los resultados deben ser iguales. Las propiedades de los números son tan importantes en el estudio de la matemática porque a partir de ellas se deducen todo tipo de leyes y teoremas que nos ayudan a entender y resolver problemas que a primera vista parecen difíciles, y que de otra forma serían casi imposibles de resolver. 2.3 Ley distributiva Existe un conjunto de propiedades que todos los números naturales satisfacen. Por ejemplo, al sumar dos números naturales el resultado es siempre otro número natural, independientemente de los números naturales que hayamos elegido como sumandos. Igualmente pasa con la multiplicación. Otra propiedad que cumplen es que si se van a sumar dos números, no importa por quien empezamos a sumar, siempre obtendremos el mismo resultado. Igualmente pasa con la multiplicación. Para poder hacer más claro el material de los siguientes artículos se hace necesaria la indicación de la ley distributiva de los números. Esta ley está dada por la siguiente expresión 1 : a (b + c) = a b + a c Para hacer evidente esta ley se muestra el siguiente argumento por medio del cálculo del área de un rectángulo: 1 Recuérdese que las letras minúsculas cursivas representan números naturales en este capítulo. Además, se usarán paréntesis para indicar la multiplicación de números. No se utiliza el símbolo para evitar confusión, pues aquí las letras que representan números. Omitiremos el paréntesis en los casos que no se preste a confusión y se sobreentenderá que se indica multiplicación. Así, a (b + c) indica la multiplicación del número a por el número b + c, y ab indica la multiplicación de los números a y b. 7 Los Números...

15 Números naturales b + c a b c De la figura se observa que el rectángulo original (el más grande) se ha dividido en dos rectángulos, uno mediano, a la izquierda, cuya base mide b unidades y altura mide a unidades, y el otro más pequeño, a la derecha, cuya base mide c unidades y tiene a unidades de altura. De tal forma que la base del rectángulo original mide (b + c) unidades y su altura mide a unidades. Entonces, de la figura se deduce que el área del rectángulo es a (b + c) unidades cuadradas 2. También podemos hacer el cálculo de la siguiente manera: calculamos el área del rectángulo azul y el área del rectángulo amarillo por separado. Sumamos ambas áreas y el resultado es el área del rectángulo original. Sabemos que el área del rectángulo azul es a b, y el área del rectángulo amarillo es a c. La suma de estas dos áreas es a b + a c. Y como ambos métodos son correctos, debimos haber tenido el mismo resultado. En términos matemáticos: a (b + c) = a b + a c que es en sí la ley distributiva para los números. Esta ley nos permitirá llegar a conclusiones bastante productivas en el resto de la lectura. Un ejemplo de su aplicación diaria es en el de las multiplicaciones. Por ejemplo, encontremos el resultado de multiplicar 7 por 12 usando la ley distributiva para los números. Gracias a la ley distributiva podemos escribir 3 : (7)(12) = (7)(10 + 2) = (7)(10) + (7)(2) = = 84. Los cálculos se simplifican bastante y, en caso de no tener calculadora pueden hacerse mentalmente de una manera rápida. Otra forma de justificar esta ley, ahora por medio de la aritmética, es considerar que la multiplicación no es sino una forma de hacer sumas de una manera rápida y compacta. Por ejemplo, la multiplicación (7)(12) es la forma compacta de escribir , o también (doce veces). Nótese que multiplicar 7 por 10 es la forma compacta de sumar 7 veces 10, y que multiplicar 7 por 2 es igual a sumar el número 7 dos veces. Si sumamos los resultados así obtenidos, estamos encontrando el equivalente a sumar, primero diez veces el número 7 y luego otras dos veces. Es decir, en total sumamos el número 7 doce veces. Es claro 2 El área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por su altura. 3 En este caso en particular a = 7, b = 10 y c = 2 Los Números... 8

16 2.4 Pares e impares que esto es igual a multiplicar 7 por 12. Si se observa, se realizaron las mismas operaciones que las indicadas en la ley distributiva de los números y se llegó, necesariamente a la misma conclusión, ahora desde el punto de vista aritmético. 2.4 Pares e impares Existe una familia de números que es bastante conocida por todas las personas, los cuales son de uso frecuente. En particular, los números pares y los números impares. Podemos definir los números pares como aquellos que terminan (a la derecha) en alguno de los siguientes dígitos: 0, 2, 4, 6 y 8. De manera semejante diremos que los números impares son aquellos que terminan en los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9, en otras palabras, todos los que no son pares. Aquí podemos mencionar algunas de las propiedades de estos números. En primer lugar, con respecto a la suma, si se eligen dos números pares y se suman, el resultado es otro número par. Debido a esto vamos a decir que los números pares son cerrados bajo la suma. Lo mismo ocurre cuando se multiplican dos números pares. Es decir, si elegimos dos números pares, y se multiplican, el resultado es otro número par. Entonces, los números pares también son cerrados bajo la multiplicación. Consideremos los siguientes ejemplos = 14 Par + Par = Par (4)(8) = 32 (Par)(Par) = Par Esto que hemos mostrado no es más que evidencia de que lo que hemos dicho parece ser verdad. La demostración de estos dos hechos se llevará a cabo en el más adelante, cuando tengamos más herramientas para convencernos de este hecho. Ahora volvamos la mirada a los números impares y averigüemos si en ellos ocurre lo mismo. Ahora iremos en sentido opuesto y consideraremos primero dos ejemplos: = 8 Impar + Impar = Par (5)(7) = 35 (Impar)(Impar) = Impar Parece que los números impares no son cerrados bajo la suma, pero sí lo son bajo la multiplicación. Consideremos otro par de casos = 34 Impar + Impar = Par = 126 Impar + Impar = Par (3)(21) = 63 (Impar)(Impar) = Impar (19)(19) = 361 (Impar)(Impar) = Impar Hasta aquí hemos visto cierta evidencia que muestra que los números impares no son cerrados bajo la suma, puesto que cuando sumamos dos números impares el resultado no es un número 9 Los Números...

17 Números naturales impar, sino par. Por otra parte, la multiplicación parece ser cerrada para los números impares. Sin embargo, no podemos todavía dar una regla general (o ley) que indique que eso es cierto, puesto que solamente hemos visto que eso ocurre así en los casos estudiados; pero nadie puede asegurar, hasta aquí, que los casos que hemos tomado sean (o no sean) en cierto aspecto especiales, de tal forma que si tomamos otro caso que no tenga esa característica especial, el resultado sea tal que nos sugiera otra conclusión. Para eliminar cualquier duda, los matemáticos recurren a la demostración de la conjetura usando solamente argumentos y operaciones que son válidos para los objetos con los que están trabajando. 2.5 Múltiplo y divisor de un número Definimos como múltiplo de un número dado x, a todos aquellos que resultan de multiplicar el número x considerado por algún otro número natural cualquiera 4. Para entender mejor la definición, se dan algunos ejemplos: Múltiplos del número 2: M 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, } Múltiplos del número 3: M 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, } Múltiplos del número 11: M 11 = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, } Se ve inmediatamente que para saber si un número dado y es múltiplo de otro x entonces es necesario encontrar un número a tal que y = ax. En palabras, esta igualdad nos dice que el número y es el resultado de multiplicar al número x por algún otro número a, lo que coincide con la definición de múltiplo que acabamos de dar. La definición de divisor de un número viene dada de una forma parecida. Si nos apoyamos en la igualdad que escribimos en el último párrafo, decir que un número q divide a otro p, es equivalente a decir que existe un número r tal que el número q sea igual al producto de p por r. Matemáticamente esto se puede escribir: p = q r Entonces, basándonos en la definición de múltiplo de un número, podemos decir que el número q divide a otro número p, siempre que el número p resulte ser múltiplo del número q. Tomando en cuenta los ejemplos que dimos para la definición de múltiplo de un número, podemos ver que el número 2 es divisor de todos sus múltiplos, es decir, el 2 es divisor de los elementos del siguiente conjunto: M 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, } 4 Aquí es bastante conveniente evadir cierta falta de claridad en las definiciones y conclusiones que obtenemos con ellas. Para esto, en el caso de los números enteros excluiremos al cero de entre los posibles valores que podemos dar al número a multiplicar por x, con el fin de que no digamos que el cero es múltiplo de todos los números (esto es evidente del hecho de que el resultado de multiplicar cualquier número por cero es igual a cero) Los Números... 10

18 2.6 Cerradura de pares e impares De manera similar, todos los múltiplos del número 3 tienen al número 3 por divisor: M 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, } Específicamente podemos ver lo que significa que un número q divide a otro p con varios ejemplos: 27 3 = 9 Aquí se puede ver que el número 3 divide al número 27, porque el resultado de esa operación es un número entero (el nueve). En este caso en particular tenemos p = 27, q = 3 y r = 9 (p = qr se aplica como 27 = (3)(9)). Otro ejemplo es: Aquí tenemos p = 14, q = 2 y r = = 7 Algo importante de mencionar: los múltiplos de un número nunca serán menores que el número considerado. Por ejemplo, el número 3 tiene muchos múltiplos. De todos ellos, el menor es el número 3 mismo. Todos los demás números son mayores que él. Ninguno es menor que el 3. De hecho, el 3 no es menor que el 3, es igual al 3, pero no menor. Otro punto importante similar, pero en este caso para los divisores de un número consiste en que ninguno de los divisores de un número será mayor que el número considerado. Por ejemplo, consideremos el caso del número 8. Sus divisores son: 1, 2, 4 y 8. Se ve inmediatamente que ninguno de ellos es mayor que el 8. El mayor de todos es el 8 mismo y éste no es mayor que 8; es igual a 8, pero no mayor que él. Esta información nos ayuda a encontrar resultados que no tienen sentido cuando tratamos de encontrar un múltiplo de un número y vemos que el resultado es menor que el número mismo, o cuando necesitamos los divisores de otro número y el resultado es mayor que el número mismo. 2.6 Cerradura de los números pares y los números impares Entonces, podemos escribir de una forma muy compacta la familia de números que resultan ser múltiplos de otro: m q = q r Por ejemplo, tomemos el caso del número 2. Sus múltiplos serán de la forma: m 2 = 2 r 11 Los Números...

19 Números naturales En esta igualdad, r puede tomar valores desde 1, 2, 3, hasta el infinito (es decir, números naturales), que en términos de notación de conjuntos se escribe: r N. Entonces, vemos que todos los números pares tienen la forma p = 2 r, donde r N. Ahora, supongamos que tenemos dos números pares distintos:p 1 = 2 s y p 2 = 2 t, donde s, t N. Si sumamos estos dos números obtenemos el siguiente resultado 5 : p 1 + p 2 = 2 s + 2 t = 2 (s + t) que también resulta ser par. Este resultado se puede generalizar de la manera siguiente: considere todos los múltiplos del número q, éstos tienen la siguiente forma: p = q r. Tomemos dos de esos números, digamos p 1 = (q)(r 1 ) y p 2 = (q)(r 2 ). La suma de estos dos números es p 1 + p 2 = (q)(r 1 ) + (q)(r 2 ) = (q)(r 1 + r 2 ). De aquí se ve inmediatamente que la suma de dos números que sean múltiplos de q, es otro número que también es múltiplo del número q. En el caso de los impares, un número impar tiene la forma: 2 k+1, es decir, a un par le sumamos el número 1 y obtenemos un número impar. De acuerdo? Entonces continuamos. Si sumamos dos números impares q 1 = 2 s + 1 y q 2 = 2 t + 1 tenemos: q 1 + q 2 = (2 s + 1) + (2 t + 1) = 2 s + 2 t + 2 = 2 (s + t + 1) resultando ser un número par, puesto que tiene la forma 6 p = 2 r. Sin embargo, si consideramos el producto de dos números impares vemos que 7 : (q 1 )(q 2 ) = (2 s + 1)(2 t + 1) = (2 t)(2 s + 1) + 1 (2 s + 1) = = 4 st + 2 s + 2 t + 1 = [4 st + 2 s + 2 t] + 1 = = 2 (2 st + s + t) + 1 que en palabras nos dice que el resultado de multiplicar dos números impares es otro número impar, puesto que al número par 2 (2 st + s + t) le sumamos el número 1, lo cual nos resulta ser impar. 2.7 Criterios de divisibilidad Se han encontrado criterios de divisibilidad que nos ayudan a saber de una manera rápida cuándo un número dado q es o no es divisor de algún otro número p. Cada uno tiene su justificación. Mencionamos solamente las justificaciones de los más sencillos. 5 Aquí se ha recurrido a la ley distributiva de los números. 6 Aquí r = s + t + 1, y es un entero, porque es la suma de tres números enteros. 7 En este caso, hemos usado la ley distributiva dos veces: (a + b)(c + d) = (a + b)(c) + (a + b)(d) = a c + a b + b c + b d. Los Números... 12

20 2.7 Criterios de divisibilidad Criterio de Divisibilidad para el 2: Si el número termina en número par (0, 2, 4, 6, 8), entonces es divisible por 2. Es bastante evidente de las definiciones de número par y divisor de un número. Criterio de Divisibilidad para el 3: Si la suma de los dígitos que forman el número es múltiplo de tres, entonces el número es divisible por 3. Este no es para nada evidente. Mostramos un argumento que justifica el criterio para números de tres cifras y que puede fácilmente generalizarse a números más grandes. Considere el número formado por tres cifras abc. Por ejemplo, si el número es 237, entonces a = 2, b = 3 y c = 7. Este número puede escribirse como sigue: 100 a + 10 b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = = (99 a + 9 b) + (a + b + c) = = 3(33 a + 3 b) + (a + b + c) (Para el ejemplo anterior 100 a + 10 b + c = (100)(2) + (10)(3) + (7) = 237) Ya se había mencionado que cuando sumamos dos múltiplos de un número dado k, el resultado también es un múltiplo de k. Esto es, para que el número formado por las cifras abc sea un múltiplo de 3, es necesario que (a + b + c) sea múltiplo de 3, puesto que 3(33 a + 3 b) ya es múltiplo de 3. Criterio de Divisibilidad para el 4: Si el número formado por las dos últimas cifras de la derecha del número dado es múltiplo de 4, entonces el número dado se divide entre 4. Sabemos que la suma de dos múltiplos de 4 es también un múltiplo de 4. Basándonos en este hecho, podemos buscar cuál de los números 10, 100, 1000, 10000, etc., es múltiplo de 4, pues, si 1000 es el menor (por ejemplo), entonces, 10,000 también lo será, puesto que resulta ser igual a sumar el número 1000 diez veces, o dicho de otra forma, multiplicar 1000 por 10, y así sucesivamente el 100,000 también será múltiplo de 4 por ser igual a la multiplicación del número 10,000 por 10, etc. Porqué buscamos este tipo de números? Pues sencillamente porque, como en el caso del criterio de divisibilidad del número tres, podemos expresar cualquier número como sumas en la forma ya expuesta. Por ejemplo, el número 5812, puede expresarse como: (5)(1000) + (8)(100) + (1)(10) + 2. Entonces, basándonos en el hecho de que si sumamos múltiplos del número 4, el resultado es otro múltiplo de 4, entonces habrá unos términos que ya son múltiplos de 4, sin embargo, probablemente no todos sean y así sabremos cuántos números se necesita verificar que sean múltiplos de 4 (similarmente al caso del número 3). Podemos verificar que el 1000 es múltiplo de 4, puesto que (4)(250) = El 100 también es múltiplo de 4, puesto que (4)(25) = 100. Ahora surge la pregunta: Es el 100 el número más pequeño? La respuesta es sí, puesto que no hay ningún número natural x que haga 4 x = 10. Entonces, si el número 100 es múltiplo de 4, también lo serán sus múltiplos, y no hay necesidad de verificar si el 500, por ejemplo, es un múltiplo de 4. Por supuesto que lo es!, dado que el 100 es un múltiplo de 4 y el 500 es igual a (5)(100). De acuerdo? Entonces, las centenas, unidades de millar, etc., ya son múltiplos de 4. Lo que hace falta es ver si el número formado por las dos cifras de la derecha (es decir, las decenas y unidades) 13 Los Números...

21 Números naturales forman un múltiplo de 4 porque de ser así, entonces todo el número será un múltiplo de 4, pues estaremos sumando dos múltiplos de 4 y el resultado también lo será. En cambio, si el número formado por las dos últimas cifras de la derecha no es un múltiplo de 4, entonces el número original no será múltiplo de 4, porque estaremos sumando a un número que ya es múltiplo de 4 otro que no es, y por tanto la suma no será múltiplo de 4. Criterio de Divisibilidad para el 5: Si el número termina a la derecha en 0 ó en 5, entonces se puede dividir entre 5. Bastante evidente, puesto que los múltiplos de 5 solamente terminan en la cifra de las unidades (por la derecha), o en cero, o en cinco. Criterio de Divisibilidad para el 6: Si el número es divisible simultáneamente tanto por el dos como por el tres, entonces es divisible por el número seis. Esto se puede justificar usando la definición de divisor de un número. La definición de divisor de un número dice que si un número q divide a otro p, entonces se puede escribir: p = qr. Supongamos que el número p se divide entre 6. Entonces, por ser divisible por 6 podemos escribir: p = 6 r = (2)(3)r, lo que nos indica que el número p es múltiplo de dos y tres simultáneamente, y por tanto p es divisible tanto por dos como por tres. Criterio de Divisibilidad para el 7: Se explica el algoritmo que se desarrolla cuando se desea verificar si un número dado es múltiplo de 7 sin dar su justificación. Se toma la cifra de la derecha (unidades) del número dado. A esta cifra la multiplicamos por dos. El resultado de la multiplicación se resta del número que queda al quitarle (al número dado) la cifra de las unidades (que es precisamente el número que multiplicamos por dos). Al resultado se aplica el mismo método de separar la cifra de la derecha, multiplicar esta cifra por dos, etc. hasta que tengamos un número de dos o una cifra. Si el número resultante es múltiplo de 7 o es el número cero, entonces el número dado (al principio) es múltiplo de siete. De lo contrario, el número dado no es múltiplo de 7. La justificación no se da por requerir de conceptos que no se estudian aquí 8. Criterio de Divisibilidad para el 8: Si el número formado por las tres últimas cifras de la derecha del número dado es múltiplo de 8, entonces el número dado es divisible por 8. La justificación es similar a la del criterio de divisibilidad del número 4. Nótese que el número 100 no es múltiplo de 8, pero el número 1000 sí lo es, pues 1000 = (8)(125), y por tanto es necesario verificar si las tres cifras de la derecha forman un múltiplo de 8. Criterio de Divisibilidad para el 9: Si la suma de los dígitos que forman el número es múltiplo de nueve, entonces el número es divisible por 9. Este criterio es similar al dado para el número 3. Nótese que el número formado por las tres cifras abc puede escribirse como sigue: 100 a + 10 b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = = (99 a + 9 b) + (a + b + c) = = 9 (11 a + b) + (a + b + c) 8 Más adelante se muestran ejemplos para un mejor entendimiento de los criterios de divisibilidad. Los Números... 14

22 2.8 Divisibilidad Ya se había mencionado que cuando sumamos dos múltiplos de un número dado k, el resultado también es múltiplo de k. Entonces, para que el número formado por las cifras abc sea un múltiplo de 9, es necesario que (a+b+c) sea múltiplo de 9, puesto que 9 (11 a+b) ya es múltiplo de 9. Criterio de Divisibilidad para el 10: Si el número termina a la derecha en 0, entonces se puede dividir entre 10. Este criterio es evidente por el hecho de que al multiplicar un número por diez, el resultado es el mismo número agregando un cero a la derecha. Entonces, si el número dado tiene al menos un cero a la derecha, podemos imaginar que lo habíamos multiplicado por diez, siendo entonces múltiplo de diez y, por tanto, divisible entre diez. Existen todavía más criterios de divisibilidad, pero por el momento estos son suficientes. 2.8 Propiedades de la divisibilidad Aquí se muestran las propiedades más importantes de la divisibilidad entre números naturales. Se enlistan en orden de dificultad. Todas son relativamente fáciles de entender. Esperamos que se tenga una buena noción de las consecuencias que de ellas se deducen. En este apartado usaremos la siguiente notación: para indicar que un número a divide a otro número b escribiremos a b, y lo leeremos el número a divide al número b. Recuérdese que esto implica que el número b es múltiplo del número a, es decir, b = a r. a a Propiedad simétrica. Si a b, y también b a, entonces a = b Propiedad reflexiva. Si a b, y también b c, entonces a c Propiedad transitiva. Para ver que las tres propiedades se cumplen se puede razonar como sigue: la primera condición es bastante evidente de la definición de divisor de un número. Sabemos que a = (1)(a), de donde se nota que es verdadera esta condición. Nótese que el número 1 es divisor de todos los números naturales, pues el número a es arbitrario. Antes de justificar la segunda propiedad indicamos otra propiedad que cumple la divisibilidad: Si a b, entonces b a. Esta propiedad se sigue del hecho de que si a b, entonces b = a r. Si r es mayor a 1, entonces el producto a r debe ser mayor que el número a. Es claro que la igualdad de la condición b a se cumple solamente cuando r = 1. Esta conclusión es evidente del hecho de que ningún múltiplo del número a es menor que el número a, y el menor múltiplo del número a es precisamente el número a. 15 Los Números...

23 Números naturales Con el argumento anterior podemos probar la segunda condición: si a b, entonces b = a m, también si b a, entonces a = b r. Entonces se cumple simultáneamente b a, porque a b, y a b porque b a. Sin embargo, para que ambas condiciones se cumplan es necesario que a = b, pues de otra forma la simultaneidad de ambas condiciones no tendría sentido. Para ver que la tercera es verdadera podemos proceder como sigue: dado que a b, b = a m. También c = b r porque b c. Pero como ya dijimos que b = a m, esto nos permite escribir c = b r = (a m) r = a (m r). De aquí es claro que a c. Todavía hay más propiedades que se pueden fácilmente probar y que, de hecho hemos usado algunas ya sin recurrir a este apartado. Aquí damos otro acercamiento a los mismos resultados. Si a b, entonces a (b k) Esto es claro de la definición de divisor de un número. En palabras esta condición dice: Si a divide al número b, entonces el número a también debe dividir a cualquier múltiplo del número b. Esto se sigue del hecho de que si a b, entonces el número b es múltiplo de a. Además, ya sabemos que un múltiplo de a multiplicado por cualquier número resulta ser también múltiplo de a. Luego, cuando multiplicamos el número b (que es múltiplo de a) debemos obtener otro múltiplo de a, de donde se puede asegurar que a divide ese número. Si a b, y también a c, entonces a (b + c) También podemos ver que esto es cierto basándonos en la ley distributiva y en la definición de divisor de un número. Puesto que a b, se tiene que: b = am. También, puesto que a c, se sigue que: c = an. Por otra parte tenemos b + c = am + an = a (m + n). Esto nos indica que el número a divide al número b + c. Combinando las dos últimas propiedades podemos encontrar que: Si a b, y también a c, entonces a (b m + c n) La demostración de esta propiedad se deja como ejercicio. 2.9 Números Primos y Números Compuestos Primero damos las definiciones de número primo y de número compuesto. Después se explica un método para enlistar los números primos. Un número primo es aquel que tiene exactamente dos divisores 9, los cuales son el número 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene al menos tres divisores. 9 Recuérdese que aquí estamos trabajando solamente con números naturales. Si estuviéramos trabajando con números enteros, entonces la definición de número primo cambiaría, pues tendría cada número primo p, cuatro divisores, 1, 1, p y p. Los Números... 16

24 2.9 Primos y compuestos Las definiciones de número primo como de número compuesto se dieron de forma tal que el número 1 quedara excluido de ambos conjuntos. En primer lugar se debe notar que el número 1 solamente tiene un divisor: él mismo. La razón de excluir al número 1 es por razones practicas que más adelante se justificarán. Los primeros diez números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Evidentemente existen más números primos. De hecho, más adelante probaremos que la lista de los números primos es infinita. Con respecto a este tipo de números se han hecho un sinnúmero de conjeturas. Por ejemplo se ha tratado de encontrar una fórmula que encuentre los números primos, uno tras otro. Tal fórmula todavía no se ha encontrado y probablemente nunca se encuentre. Es lo que hace más fascinante las matemáticas: conoces objetos y quieres encontrar la fórmula que los enlista uno tras otro en orden. El espíritu científico de los matemáticos les dice que existe una, sin embargo, nuestras mentes no han tenido la suerte de encontrar la solución (que no necesariamente debe ser única o quizás no exista). Ahora se da el método para enlistar, a pie los primeros números primos. Existió en Alejandría un hombre que se llamó Eratóstenes ( ). A él se le atribuye la primera medición del perímetro de la tierra. Sin embargo aquí nos ocuparemos de otra de sus contribuciones, la cual llamaremos Criba de Eratóstenes. La Criba de Eratóstenes consiste en hacer la lista del número 1 hasta el que queramos. Aquí consideraremos hasta el número 200. La forma de encontrar los números primos que ideó Eratóstenes es como sigue: Eratóstenes sabía que los números compuestos tienen al menos tres divisores. De hecho, todos los números tienen al menos dos divisores, el número 1 y ellos mismos. Entonces, si un número es múltiplo de dos números (no necesariamente distintos y excluyendo al número 1) no puede ser primo, puesto que se puede dividir por 1 y por esos dos números. Por ejemplo, consideremos el número 6. Sabemos que 6 = (2)(3). Entonces, sus divisores son 1, 2, 3 y 6. Consideramos ahora el número 4. Sabemos que 4 = (2)(2). Vemos que el número 4 tiene tres divisores: 1, 2 y 4 y, por tanto, no es primo, sino compuesto. Entonces, Eratóstenes, basándose en esto sugirió escribir la lista de los números del 1 hasta el número deseado (nosotros usaremos hasta el 200), empezar a tachar los múltiplos del número 2, excepto el dos mismo, dado que él tiene el privilegio de ser primero de la lista de los múltiplos de 2 (de la palabra Primero viene el adjetivo Primo de los números primos). Se procede de igual manera con los múltiplos de 3, 5, etc. Como sugerencia se propone empezar, si se están tachando los múltiplos del número m, del número (m)(m). Esto es porque no hay necesidad de tachar el número 2 m; ya se tachó cuando eliminamos los múltiplos del número 2. Igualmente no hay necesidad de tachar el número 3 m, pues se tachó cuando tachamos los múltiplos del número 3. Y así sucesivamente hasta el número primo que se encuentre antes del número m. Otra sugerencia bastante útil, que de hecho, por la metodología dada, se utiliza, es observar que cuando tachamos los múltiplos de 2, también tachamos los múltiplos del número cuatro (4, 8, 12, 16, etc.). Esto se debe a que los múltiplos de 4 también son múltiplos de 2. Para ver que esto es así, simplemente escribimos un múltiplo de 4; éste tiene la forma m 4 = 4 k = (2)(2) k. De aquí vemos que ciertamente, también es múltiplo de 2. Para ver que los múltiplos de 6 17 Los Números...

25 Números naturales también son múltiplos de 2 procedemos de manera semejante: Los múltiplos de 6, tienen la forma m 6 = 6 k = (2)(3) k. Ciertamente, también es múltiplo de 2. Evidentemente con los múltiplos de 3 (6, 9, 12, 15, etc.) ocurre lo mismo. La criba de Eratóstenes se deja como ejercicio Descomposición de un Número Compuesto en sus Factores Primos Ahora que conocemos a los números primos menores que 200, podemos expresar a los números compuestos como producto de números primos solamente. Por ejemplo el número 54 puede escribirse: 54 = (2)(27) = (2)(9)(3) = (2)(3)(3)(3), el número 120 se puede expresar como 120 = (2)(60) = (2)(2)(30) = (2)(2)(2)(15) = (2)(2)(2)(3)(5). El procedimiento consiste en verificar si el número se puede dividir por 2, luego por 3, luego por 5, después por 7, y así sucesivamente. Nótese que no hay necesidad de verificar si el número se puede dividir por 4, puesto que si se divide por 4 necesariamente se debe dividir entre 2, lo cual se verificó antes (porque, si un número es múltiplo de 4 necesariamente debe ser múltiplo de 2, como ya se indicó). Igual pasa con el 6, pues si el número dado se divide entre seis se debió haber dividido entre 2 primero y después entre 3. Consideremos ahora el número Para empezar tiene mitad, 1210 = (2)(605). Ahora, el número 2 ya no se puede descomponer en factores puesto que él es un número primo, pero el número 605 seguramente sí (al menos sabemos que es divisible por 5 porque termina en 5 a la derecha). Verifiquemos si se puede dividir por tres. Para esto, sumamos las cifras de las cuales está formado: = 11. El número 11 no es múltiplo de 3, entonces el número 605 no es divisible por 3 (verifíquese por medio de la división). Recuerde que no hay necesidad de verificar si es divisible por 4, puesto que no es divisible entre 2. Ahora pasamos al 5 (que es el siguiente número primo después de 3). 605 = (5)(121). Entonces: 1210 = (2)(605) = (2)(5)(121). Ahora, ni el número 2 ni el número 5 pueden descomponerse en factores puesto que éstos son primos, veamos si el número 121 se puede descomponer en factores primos: Es divisible por 2? No, pues no termina en cifra par. Es divisible por 3? Para verificarlo sumamos sus cifras: = 4, el cual no es múltiplo de 3, lo que indica que 121 tampoco es divisible por Es divisible por 5? No, pues no termina ni en cero ni en cinco. Es divisible por 7? Veámoslo: Tomamos la última cifra de la derecha (1) y la multiplicamos por 2. Este resultado (2) se lo restamos al número que se forma quitando el 1 de la derecha al número si este número se dividiera por 3, también debía dividirse el número 605, pues 605 es múltiplo de 121. Los Números... 18

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