Tabla de Mortalidad Experiencia Mexicana

Transcripción

1 Tabla de Mortalidad Eperiencia Meicana Rosa María Alatorre Salgado Septiembre 1991 Serie Documentos de Trabajo Documento de trabajo No. 2

2 Índice I. Antecedentes 1 II. Epuestos al Riesgo 1 III. Tasas Crudas 5 IV. Suavizamiento 8 V. Graduación 13 VI. Margen de Seguridad 14 VII. Bibliografía 22

3 Tabla de Mortalidad Eperiencia Meicana Rosa María Alatorre Salgado I. Antecedentes La tabla de mortalidad es la base para el cálculo de primas y reservas en el seguro de vida, y representa un registro de la mortalidad observada durante un periodo de tiempo, de una población en particular. Las variaciones constantes en las condiciones de vida y su influencia en la mortalidad humana hace necesario que periódicamente se realicen estudios que permitan validar la mortalidad de los asegurados meicanos. Para tal efecto, considerando como base estadística la eperiencia de las compañías meicanas durante el periodo , se realizó el presente estudio, con objeto de proponer un instrumento que permita medir fielmente las probabilidades de muerte relativas a dichos asegurados. Con lo cual se pretende modificar la Base Demográfica actual, correspondiente a los Seguros de Vida Individual, sustituyéndola por la Tabla de Mortalidad Meicana La eperiencia de mortalidad de asegurados, durante el periodo 1982 a 1989, se consideró proporciona un volumen homogéneo de datos, lo suficientemente representativo de la situación del sector asegurador meicano. Los datos se refieren a la eperiencia combinada de hombres y mujeres, ya que no se cuenta con la suficiente información, que permita obtener resultados confiables, representativos por seo. Por sus características, la información no distingue entre seguros con y sin eamen médico; además no es posible separar los riesgos subnormales, por estar incluidos en los reportes presentados por las Aseguradoras, lo cual representa un ligero margen de seguridad en la tabla. En el caso del Seguro de Vida Individual, se trata de una «Tabla de Mortalidad Ultima» que ecluye la mortalidad ocurrida durante los primeros tres años de vigencia del seguro. II. Epuestos al Riesgo La información que las Instituciones de Seguros proporcionan, se refiere a los siguientes conceptos: 1. Pólizas a edad alcanzada, en vigor al 31 de diciembre de cada año, en el caso de Seguro de Grupo, Certificados a edad alcanzada. 2. Muertes Ocurridas a edad alcanzada, durante el período de observación. 1

4 En primer término, se determinaron los epuestos al riesgo a edad alcanzada, mediante la epresión: E = P +1 + d Donde: E = Epuestos al riesgo de edad, al principio del año. P +1 = Pólizas en vigor de edad + 1, reportados al 31 de diciembre de cada año; en el caso del Seguro de Grupo, Certificados en vigor. d = Número de asegurados muertos de edad, en el transcurso del año. A manera de demostración, recurriremos a la representación gráfica de Leis, el cual nos permite identificar en el tiempo las líneas de vida de los individuos desde su nacimiento hasta su muerte: AÑO DE NACIMIENTO Sistema de ejes rectangulares en los que el tiempo es la abscisa y la edad la ordenada, que nos muestra el total de pólizas de edad + 1, en vigor al 31 de diciembre, que corresponden a las de edad, al principio del año, previa deducción de las muertes ocurridas en el transcurso del año, área sombreada. De esta manera, se obtuvieron los epuestos al riesgo por edad y compañía. Se reunió la eperiencia de todas las instituciones por cada año del período objeto de análisis, obteniendo el total de epuestos por año de observación, según se muestra a continuación: Año Epuestos Mortalidad al Riesgo Ocurrida ,553 3, ,064 2, ,383 2, ,915 3, ,354 3, ,928 2, ,514 2, ,178 3,083 2

5 Se dice que una tabla de mortalidad representa «la marcha a través de la vida de un grupo de personas», sin embargo sería imposible hacer el seguimiento del grupo, desde su nacimiento hasta su etinción total. En esas circunstancias es necesario recurrir a métodos estadísticos, que permitan inferir principios generales de comportamiento, para ser aplicados a una población con características similares. Las eperiencias recogidas fueron tratadas siguiendo el principio fundamental de Ackland que establece: «Toda persona de edad, en observación durante unidades de tiempo, en el intervalo de investigación que se considere, equivale, de acuerdo a los efectos de la formación de las clases de edades a t personas de edades, + 2,, + t - 1, puestas todas en observación durante una sola unidad de tiempo». Asimismo, tomando en consideración los epuestos al riesgo, al principio del período anual, y las muertes ocurridas en el transcurso de cada año, el total de epuestos al riesgo se obtuvo aplicando las siguientes fórmulas: E = 1 / 2( E 82 + E 89 ) t E Por cuanto al total de muertes, se determinó como la suma de los muertos de edad, durante el período de observación. θ 89 = 82 t d Para el período , se obtuvo como el resultado para el seguro de vida individual un total de epuestos al riesgo de 6 688,024 y 23,943 siniestros. A manera de referencia, cabe mencionar que para la tabla de mortalidad «Eperiencia Meicana », se tomaron como base 649,463 epuestos y 6,320 siniestros, lo cual por principio nos proporciona mayor fidelidad en los estudios realizados con base en el período 1982 a

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7 Epuestos y Mortalidad Ocurrida Edad Epuestos Mort. Edad Epuestos Mort. Edad Epuestos Mort. Ocurr. Ocurr. Ocurr. 12 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , III. Tasas Crudas Conforme al procedimiento anteriormente descrito para determinar el número de epuestos al riesgo, la relación muertos a epuestos por edad corresponde a la «tasa central de mortalidad», la que se calculó a partir de la epresión: m θ = E Las «Tasas Crudas» resultantes, están muy lejos de ofrecer la regularidad esperada en un fenómeno como el que se está estudiando. 5

8 Tasa Central de Mortalidad Cruda Edad 1000[m ] Edad 1000[m ] Edad 1000[m ] , Las fluctuaciones observadas nos inducen a pensar que eisten errores que afectan los resultados, como son insuficiencia de datos en algunas edades, ineactitud en las declaraciones o influencia de causas adversas, o ecepcionalmente favorables. 6

9 Tasas Crudas 7

10 IV. Suavizamiento La curva de mortalidad se supone suave, regular y continua, por lo que la situación descrita, nos obliga a efectuar una serie de ajustes, para obtener tasas con la suavidad y fidelidad suficientes, para ser consideradas como razonablemente similares a las verdaderas tasas de mortalidad. Dichos ajustes, se conocen como métodos de graduación, y pueden definirse como el proceso para obtener de una serie irregular de valores observados de una variable continua, una serie regular de valores consistentes de manera general con la serie de valores observados. Esta serie suave de valores graduados, se considera representativa de la mortalidad real del grupo observado. Eisten diversos procedimientos universalmente aceptados, para llevar a cabo la graduación de una serie de datos, que pueden ser gráficos, mecánicos o analíticos. A continuación se menciona el procedimiento que se siguió para determinar las tasas de mortalidad que se proponen: En primer término se agruparon los epuestos y las muertes ocurridas, por intervalos de edades quinquenales, lo que produce un suavizamiento inmediato y proporciona un mayor volumen de información por cada intervalo de edad. 8

11 Tasa Central de Mortalidad Quinquenal Edad Epuestos Mort. 1000[m ] Edad Epuestos Mort. 1000[m ] 13 32, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tasa Central de Mortalidad Quinquenal 9

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13 Después de varias pruebas, aplicando diferentes procedimientos analíticos, entre ellos el de Karup-King; con el Método de Gauss, obtuvimos tasas que mantenían una buena fidelidad respecto a los puntos pivote, representativos, con lo que se obtuvo una curva suave y continua, sin embargo las tasas de mortalidad resultantes no mantenían una adecuada fidelidad con los datos observados, de entre las edades 35 a 60 años. En consecuencia se optó por ajustar la curva utilizando el Método de ecuaciones diferenciales, conocido con el nombre de Whittaken-Henderson, Tipo A. Este método se fundamenta en la formulación de una epresión analítica que mide la combinación suavidad-fidelidad a través de las derivadas parciales de la relación entre ambos factores, de tal manera que conforme ésta se minimiza, la divergencia se incrementa hasta que el suavizamiento es favorable a la fidelidad. De acuerdo con los principios establecidos en este método, la mejor graduación se obtiene cuando la epresión F+h*s, se hace mínima, lo que se obtiene haciendo cero las derivadas parciales de esta epresión, con respecto a una variable independiente. Para nuestro estudio era muy importante mantener la fidelidad con los datos observados, razón por la que se consideró adecuado elegir como parámetro para medir la fidelidad de los datos, el valor a = 1, obteniendo como resultado una curva suave y continua de «Tasas Brutas de Mortalidad». Tasas Brutas Edad 1000[q ] Edad 1000[q ] Edad 1000[q ]

14 Tasas Brutas 12

15 V. Graduación Las tasas brutas así obtenidas, se graduaron para obtener tasas básicas, representativas de la mortalidad ocurrida en el Sector, durante el período Se consideró conveniente aplicar en la Graduación de la Tabla, el Método de Makeham, por las ventajas actuariales que ofrece, fundamentalmente la aplicación del principio del «Envejecimiento Uniforme», de modo tal que permite una gran simplicidad de cálculo para funciones de vida conjunta, primas, reservas y anualidades. Según la hipótesis de Makeham, la «Tasa Instantánea de Mortalidad», se define como: μ = A + Bc En primer término, para calcular las constantes de Makeham, se determinaron tasas anuales de mortalidad, a partir de la epresión matemática: 2m q = 2 + m 13

16 Las constantes de Makeham se calcularon utilizando el método de King y Hardy: l = Ks + Logl = LogK + Logs + c l+ 1 t P = l g c Logg t Log( P ) = tlogs + c ( c 1 Logg t ) Tomando cuatro grupos de edades equidistantes y tomando primeras diferencias tenemos: t 2 Log( t P ) = c ( c 1) Logg t Log( t P + c = 1) Log( t P ) Log( t P ) Logg = t 2 c ( c 1) t [ Log( P ) c ( c 1 Logg] Logs = 1/ t A = Logs B = ( Logc)( Logg) t ) En nuestro estudio se obtuvieron los siguientes valores: C = A = B = A partir de dichas constantes se calcularon las tasas de probabilidad anuales, que integran la «Tabla de Mortalidad 1989». VI. Margen de Seguridad Uno de los objetivos que se persiguen al realizar estudios de esta naturaleza, es que la Tabla de Mortalidad resultante, pueda aplicarse durante un período de tiempo largo, fundamentalmente considerando que en el caso del seguro de vida individual, servirá de base para el cálculo de reservas matemáticas. En ese sentido se hace necesario prever las desviaciones que pudieran presentarse en el tiempo. Para ese efecto, se determinó una función que proporcionara el margen suficiente para cubrir tales desviaciones. 14

17 Dicha función se definió como: a b + c margen = e 2 Por las características de la información, hubo necesidad de determinar cuatro funciones para intervalos de edades diferentes, a saber, de 12 a 32 años; de 33 a 71 y de 72 en adelante. Resolviendo el sistema de ecuaciones resultantes, se obtuvieron las siguientes constantes: Constantes Rango de Edades A B C 12 a a más de Los factores resultantes son equivalentes a los utilizados en la «Tabla de Mortalidad Eperiencia Meicana ». Recargando las tasas brutas con estos factores, y ajustando con el método de Makeham, se obtuvieron tasas con un margen que cubre posibles desviaciones. Por razones de orden práctico, se decidió modificar la edad etrema de la tabla, «ω», y asignar como tal la edad de 99 años, de tal forma que sin alterar el argumento de la tabla, se consiguieran valores enteros para las funciones: l, d, y q, y, en todo el intervalo 0 < ω. Como resultado se obtuvieron Tasas Modificadas, las cuales representan la Tabla de Mortalidad Meicana Asimismo, deducción hecha de los factores de recargo establecidos, a partir de estas tasas se obtuvieron las Tasas Básicas. 15

18 Tasas Básicas Edad 1000{q } Edad 1000{q } Edad 1000{q } ,

19 Tasas Básicas 17

20 18

21 Tasas Modificadas Edad 1000{q } Edad 1000{q } Edad 1000{q } ,

22 Tasas Modificadas 20

23 21

24 Bibliografía Anderson, J.L., B.A., F.I.A.; Dow, J.B., M.A., F.F.A.; Construction of Mortality and Other Tables. Freeman, Harry, M.A., F.I.A.; Actuarial Mathematics. Gonzaléz Galé, José; Elementos de Cálculo Actuarial. Jordan, Ch. W.; Life Contingencies. Magee, John H.; El Seguro de Vida. Miller, Morton D.; Elements of Graduation. Mode, Elmer B.; Elementos de Probabilidad y Estadística. Spurgeon, E.F., F.I.A.; Life Contingencies. Tetley, H., M.A., F.I.A.; Actuarial Statistics, Volume I. Tetley, H., M.A., F.I.A.; Statistics and Graduation, Volume II. 22