TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL

Transcripción

1 Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y )de R (,,..., )(y,y,...,y )( y, y,..., y ) Producto por u esclr (.R ) λ.(,,..., ) (λ, λ,..., λ ) El cojuto R co ests dos opercioes tiee estructur de espcio vectoril y por ello sus eleetos puede ser lldos vectores. Defiició El vector v R se dice que es cobició liel de los vectores v,v,...,v r si eiste esclres (úeros reles) c,c,...,c r tl que v c v c v...c r v r. Ejeplo. E R el vector (5,,) es cobició liel de los vectores (,,) y (,,) pues eiste los dos úeros: y tles que (5,,).(,,).(,,), por lo tto el prier vector es cobició liel de los otros dos. Defiició Los vectores v,v,...,v r R se dice lielete idepedietes (l.i.) ( o bie, que l fili de vectores{ v,v,...,v r } es libre) si culquier cobició liel de ellos iguld oblig que todos los esclres se cero, es decir Si c v c v...c r v r (vector ulo de R ) c c... c r Si l fili de vectores o es libre, se dice que los vectores v,v,...,v r so lielete depedietes o que l fili { v,v,...,v r } es ligd. Ejeplo. Los vectores (,) y (,5) de R so lielete idepedietes, pues si eiste dos esclres c y c tles que c.(,) c.(,5)(, ) (el "" de R ) iplic

2 Te Álgebr Liel Mteátics c c que (c c,c 5c )(,) luego. Resolviedo este siste se obtiee c 5c que c c. Por lo tto so lielete idepedietes. Si ebrgo o lo so los vectores (,) y (,). Propieddes i) Si u fili de vectores es libre igú vector de ést se puede poer coo cobició liel de los deás. ii) Culquier fili de vectores que coteg l vector ulo o es libre. iii) Si S es u fili libre de vectores etoces culquier subfili de S tbié lo es. iv) E R, los vectores (,,..., ) (,,..., ) (,,,..., ) (*) co ij R y ii, so lielete (,,,..., ) idepedietes. Por iii), culquier subfili de es fili tbié es libre. Ejeplo. E R l fili de vectores { (,,,5), (,,,), (,,,), (,,,)} es libre. Pero tbié lo so por ejeplo sus subfilis: { (,,,5), (,,,), (,,,)} o { (,,,), (,,,)}. L vetj de l fili terior (*) es que si los vectores so de ese tipo, result secillo ver que so lielete idepedietes. - MATRICES DE NÚMEROS REALES U triz A de úeros reles de orde ( ) es u colecció de úeros reles dispuestos e fils y colus de l for A.... Notció: A ( ij ) M.

3 Te Álgebr Liel Mteátics Defiició Si se dice que A es u triz cudrd. Notció: A M Dd A M, se dice que es trigulr superior si ij i > j. - se dice que es trigulr iferior si ij i < j. - se dice que es digol si ij i j. - se dice que es esclr si es u triz digol tl que ii t i. Si t etoces se le ll triz idetidd o uidd. Notció: I. U triz de orde ( ) se le ll Mtriz fil. U triz de orde ( ) se le ll Mtriz colu. Dd u triz A ( ij ) M, se le ll triz trspuest de A, u triz B (b ij ) M tl que b ij ji i, j. Notció B A t. U triz A se dice siétric si A t A ( ij ji i, j). U triz A se dice tisiétric si A t -A ( ij - ji i, j). Opercioes co trices Su de trices Se dos trices A ( ij ) y B (b ij ) M AB C (c ij ) Producto por u esclr t.a C (c ij ) Producto de trices co c ij ij b ij i,j Dd A ( ij ) M, t R co c ij t. ij i,j Dds dos trices A ( ij ) M y B (b ij ) M p A.B C (c ij ) M p co c ij i. b j i.b j... i.b j - Propieddes del producto de trices - (fil i de A). (colu j de B) El producto de trices o es couttivo: A.B B.A El producto de trices es socitivo: A.(B.C) (A.B).C El producto de trices es distributivo respecto de l su: A.(BC) A.B A.C y (BC).A B.A C.A

4 Te Álgebr Liel Mteátics Se verific que A M A.I I.A, I (triz idetidd)... Ejeplo 5 ) Dds A, B y C Coprobr que A.(BC) A.B A.C ) Si so A y B, coprobr A.B B.A 5 - DETERMINANTES El deterite es u fució D que soci cd triz cudrd A u úero rel D(A) Α det A. D: M (R ) R A D(Α) Α Hy vris fors de defiir el deterite de u triz. Dreos u defiició iductiv. Defiició 5 Dd u triz A de orde ( ) A ( ), Α Se A ( ij ) M (R ). Supoeos defiido el deterite de ls trices cudrds de orde (-). Pr cd i, j fijos ( i, j ), se A ij l triz cudrd de orde (-) que result de supriir e l triz A l fil i y l colu j. Defiios: Α ( ) j i j ij A i j i j ( ) ij Ai j i L prier epresió se ll desrrollo de u deterite por los eleetos de l fil i- ési. L segud, desrrollo por los eleetos de l colu j-ési.

5 Te Álgebr Liel Mteátics Deterite de u triz ( ) (-).. (-) Coprobr que el deterite es el iso si desrrollos por l segud fil o por culquier de ls colus. Deterite de u triz ( ) (-).. (-).. (-)...(. -. ) -.(. -. ).(. -. ) Ejercicio. El deterite de u triz trigulr superior (o iferior) es igul l producto de los eleetos de su digol pricipl Propieddes de los deterites ) El deterite de u triz es igul l de su trspuest Α Α T ) Si ultiplicos u fil ( o colu) por u esclr t el deterite qued ultiplicdo por este esclr. A, A,..., t.a i,.., A t. A, A,..., A i,.., A t. Α E cosecueci t.α t.a, t.a,..., t.a i,.., t.a t. Α ) Si itercbios etre sí dos fils ( o dos colus) el deterite cbi de sigo. ) Si A,A,..,.,A, B,B,.,.,B so vectores fil, etoces i,..., A,A,..,A i B i,.,a A,A,..,A i,.,a A,A,..,B i,.,a 5) Si dos fils ( o colus) so igules o proporcioles el deterite vle cero. 6) Si sustituios u fil A i por A i t.a k i k (e. d. si u fil le suos u cobició liel de otr), el deterite o vrí. 5

6 Te Álgebr Liel Mteátics (Ls propieddes ) y 6) tiee sus álogs pr colus) Ests propieddes perite clculr Α triguldo l triz. 7) Si A, B M (R ), se verific que: Α.B Α.B Ejercicios i) Clculr 8 8 (-8) (-) (-) 6 9 ii) Probr que t z y t z y t z y (y - ). (z - ). (z - y). (t-). (t - y). (t - z) iii) Probr que ( ).( - ) U plicció de los deterites: El cálculo de l ivers de u triz Defiició 6 Se A u triz cudrd de orde ; se dice que A es u triz regulr o iversible si eiste otr triz cudrd de orde, B, tl que A.B B.A I. L triz B se ll ivers de A y se represet por A -. 6

7 Te Álgebr Liel Mteátics A cotiució ostrreos u for pr clculr l ivers de u triz dd prtir del cálculo de vrios deterites. Ates ecesitos coocer otr defiició. Defiició 7 Dd l triz A ( ij) M (R ), se ll djuto del eleeto ij, y se represet por Ai w j, l úero Ai w j (-) ij. Α ij. Se ll triz djut de A, Adj(A), l triz que result de sustituir e A cd eleeto por su djuto, es decir: Adj(A) ( Aiw j ). Teiedo e cuet est defiició, l ivers de u triz A es l triz T A - Adj ( A ) A Ejercicio: Clculr l ivers de l triz A Α A T, Adj (A T ) 6, A - - RANGO DE UNA FAMILIA DE VECTORES Defiició 8 Llreos Rgo de l fili de vectores de R, { v,v,...,v r }, l áio úero de vectores lielete idepedietes eistetes e es fili. Not. E R, el rgo de culquier fili de vectores o puede ser yor estricto que, es decir siepre h de ser eor o igul. Ejeplos: ) El rgo de l fili de R { (,,,5), (,,,), (,,,), (,,,)} es puesto que so lielete idepedietes. b) El rgo de l fili de R { (,,), (,,), (,,)} es. Recordr que el vector ulo, (,,), o puede estr e igu fili libre (propiedd ii)), los 7

8 Te Álgebr Liel Mteátics vectores resttes (,,) y (,,) so l.i. y por tto es el áio úero de vectores lielete idepedietes. Opercioes eleetles co vectores Ls siguietes opercioes o odific el rgo de u fili de vectores y por lo tto puede ser relizds e dich fili si que éste cbie: ) Surle u vector u cobició liel de otro. rg { v,v,..., v i,...,v k,...,v r } rg { v,v,..., v i,...,v k t.v i,...,v r } t R. ) Multiplicr u vector por u esclr distito de. rg { v,v,..., v i,...,v r } rg { v,v,..., s.v i,...,v r } s R, s. ) Itercbir etre sí dos vectores de l fili. rg { v,v,..., v i,...,v k,...,v r } rg { v,v,..., v k,...,v i,...,v r } Ejeplos. Clculr el rgo de ls siguietes filis de vectores: ) { (,), (,)} de R El rgo de l ª fili es, luego el -5 de l tbié es. ) { (,,), (,,)} de R El rgo de l es luego tbié el de l. ) { (,,,), (,,,), (,,,8), (,,,)} de R

9 Te Álgebr Liel Mteátics El rgo de l fili es, pues los tres prieros vectores so l.i. (el últio o lo es pues es el vector ulo de R ) y éste será el de l fili. 5- RANGO DE UNA MATRIZ Dd u triz A de orde ( ), se puede iterpretr coo vectores colu, de R, que so ls colus de A: A ( A, A,...,A ) A (,,..., ),..., A (,,..., ) o coo vectores fil, de R, que so ls fils de A: Defiició 9 A ( A,A,...,...,A ) A (,,..., ),..., A (,,..., ) Se A u triz de orde ( ). Se defie el rgo de A coo el rgo de l fili ford por sus vectores fil o el de l ford por sus vectores colu. rg A rg { A, A,..., A } rg { A, A,..., A } Dos trices A y B M, se dice equivletes si tiee el iso rgo. Notció. A Β. Ejeplo: Probr que rg A y rg B siedo A 5 y B Los vectores fil de A so idepedietes, luego rg A. - Clculeos hor el rgo de B. 9

10 Te Álgebr Liel Mteátics luego rg B Propiedd: Recuerd l propiedd 5) de los deterites, decí: 5) Si dos fils ( o colus) so igules o proporcioles, el deterite vle cero. Dte cuet que si dos fils (o colus) so igules o proporcioles, el rg A <. Puede firrse que se verific l siguiete propiedd ás geerl: Α rg A < ; o lo que es lo iso Α rg A. 6- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Defiició Deoios Siste liel de ecucioes co icógits u cojuto de ecucioes de l for: b b b dode ij, b i R i j Los eleetos ij so los coeficietes del siste, j so ls icógits y los b i so los térios idepedietes. El siste se puede epresr de for tricil: ( I ). A.X b b b b.... A l triz A se le ll Mtriz de coeficietes del siste y l triz (A b) Mtriz plid del siste.

11 Te Álgebr Liel Mteátics Defiició Llreos solució del siste ( I ) culquier -tupl (z, z,...,z ) R tl que l sustituir estos vlores z i e ls icógits se cupl ls ecucioes del siste. Cojuto de solucioes del siste { (z, z,..., z ) R verific (I)} El siste ( I ) se dice Coptible si posee lgu solució e Icoptible e cso cotrrio. Si b el siste se ll Hoogéeo... Dos sistes se dice equivletes si y sólo si tiee ls iss solucioes. Opercioes eleetles (*) que o lter ls solucioes de u siste de ecucioes Hciedo uso de ells se irá obteiedo sistes equivletes: - Itercbir etre sí dos ecucioes (equivle itercbir etre sí dos fils de l triz plid) - Multiplicr u ecució por u esclr distito de cero (equivle ultiplicr u fil de l triz plid por ese esclr) - Surle u ecució otr ultiplicd por u esclr culquier (equivle surle u fil de l triz plid u cobició liel de otr) Teore de Rouché-Frobeius El siste (I) tiee solució rg(a) rg(a b) Si rg ( A ) rg ( A b) Siste Icoptible Si rg ( A ) rg ( A b) < º de icógits Siste Coptible Ideterido Si rg ( A ) rg ( A b) º de icógits Siste Coptible Deterido Not: U siste hoogéeo siepre tiee solució (l solució es,..., ) luego es siepre es Coptible.

12 Te Álgebr Liel Mteátics Método de eliició de Guss pr l resolució de sistes de ecucioes Ddo el siste de ecucioes lieles A.X b podeos trsforrlo, hciedo ls opercioes eleetles idicds e (*), e otro equivlete que resulte ás secillo de estudir. Ejeplos ) Estudir y resolver el siguiete siste A (A b) Hreos opercioes eleetles e l triz plid del siste, (A b): (Α b) El siste iicil es equivlete E este últio siste rg(a) rg(a b) (º icógits) luego es siste coptible deterido y por tto tiee u úic solució que es: ; ; ; ) Clculr los vlores de y b pr que el siguiete siste hoogéeo teg solució o trivil

13 Te Álgebr Liel Mteátics -b Se trt de u siste de ecucioes co icógits. Pr que teg solució o trivil es ecesrio que el rgo de l triz de coeficietes (que coicide, por ser hoogéeo, co el rgo de l triz plid) se eor que (A b) - b b b b Por lo tto es ecesrio que y b. Luego sólo e el cso e el que - y b se verific que el rg (A ) rg (A b) <. Pr culesquier otros vlores de y b ( - o bie b ) se verific que rg (A) rg (A b) º de icógits, serí coptible deterido y por tto tedrí solució úic, l trivil ( ). ) Estudir el siguiete siste )z ( y z )y ( z y ) ( A (Ab) Epezos clculdo el deterite de l triz del siste, operdo obteeos: Α (). Segú este resultdo se tiee que: Pr culesquier vlores de -,, se verific que rg (A) rg (A b) º de icógits, el siste serí coptible deterido y por tto tedrí solució úic. Si, teeos

14 Te Álgebr Liel Mteátics (A b) 5 E este cso se verific que rg (A) rg (A b), luego el siste serí icoptible y por tto o tedrí solució Si -, teeos (Ab) E este cso se verific que rg (A) rg (A b) º de icógits, luego el siste serí coptible ideterido y por tto tedrí ifiits solucioes.