Ejercicios. a) Justifica si A y B son independientes. b) Calcula P ( A/ B ) y P ( B / A ) ; A y B indican los contrarios de A y B.

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1 Ejercicios Ejercicio 1. En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, A, B, C, y dos idiomas excluyentes, inglés y francés. La modalidad A es elegida por un 50% de los alumnos, la B por un 30% y la C por un 20%. También se conoce que han elegido inglés el 80% de los alumnos de la modalidad A, el 90% de la modalidad B y el 75% de la C, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad A? a) 18% b) P ( A / Fr) = Ejercicio 2. Tres bolsas idénticas contienen bolas de cristal: la primera, 6 lisas y 4 rugosas; la segunda, 5 lisas y 2 rugosas; y la tercera, 4 lisas y 7 rugosas. Determina: 1. La probabilidad de que al extraer una bola al azar de una bolsa al azar sea rugosa. 2. Se ha hecho una extracción de una bola al azar de una bolsa al azar y ha resultado ser lisa. Cuál es la probabilidad de que haya sido de la primera bolsa? 3. En la extracción anterior se nos ha caído la bola al suelo y se ha roto. Cuáles son las probabilidades de que en una nueva extracción al azar de una bolsa al azar salga rugosa? Entendiendo que la bola que se ha roto es lisa, la probabilidad pedida es Ejercicio 3. La probabilidad de que un cazador cace una pieza es 1/3. Si dispara tres veces, cuál es la probabilidad de cazar, al menos, una pieza? 19 / 27 = Ejercicio 4. Sean A y B dos sucesos del mismo espacio muestral tales que P ( A) = 0.7, P( B) = 0. 6 y P( A U B) = 0.9. a) Justifica si A y B son independientes. C C C C b) Calcula P ( A/ B ) y P ( B / A ) ; A y B indican los contrarios de A y B. a) P ( A B) = 0.4 P( A) P( B) = ) C C b) P ( A / B ) = 3 / 4 = P ( B / A ) = 2 / 3 = 0. 6 Ejercicio 5. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen, al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. a) Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas? b) Si la segunda bola ha resultado negra, cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? a) 0.4 b) 0.2 I.E.S. Bajo Guadalquivir 1

2 Ejercicio 6. Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata? Ejercicio 7. En el experimento de tirar sucesivamente tres monedas, sea el suceso A sacar más caras que cruces, y el suceso B, sacar una o dos cruces. Halla todos los casos que integran el suceso A U B. A U B = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC} Ejercicio 8. Un dado está trucado de manera que son iguales las probabilidades de obtener 2, 4 ó 6. También son iguales las probabilidades de sacar 1, 3 ó 5, y la probabilidad de obtener 2 es el doble que la probabilidad de sacar 1. Cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado dos veces, se obtenga una suma de puntos igual a 7? Ejercicio 9. Se dispone de tres monedas. La primera de ella está trucada, de forma que la probabilidad de obtener cara es 0.4. La segunda moneda tiene 2 cruces y la tercera moneda también está truncada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0.6. Se pide: 1. Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente y en el orden indicado. 2. Probabilidad de que se obtengan, exactamente, 2 cruces. 3. Probabilidad del suceso A = (CARA, CRUZ, CARA). 4. Probabilidad de obtener, al menos, una cara. 1. E = {CXC, CXX, XXC, XXX} Ejercicio 10. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son hombres y un 25% que son mujeres. De este club tienen teléfono móvil un 25% de los hombres y un 50% de las mujeres. a) Calcula el porcentaje de miembros de este club que no tienen teléfono móvil. b) Calcula la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea mujer. a) 68.75% b) 0.4 Ejercicio 11. Tres máquinas, A, B y C, producen el 50%, el 30% y el 20%, respectivamente, del total de los objetos de una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son, respectivamente, el 3%, el 4% y el 5%. a) Si se selecciona un objeto al azar, qué probabilidad tiene de salir defectuoso? b) Suponiendo que es defectuoso, cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A? a) 0.37 b) I.E.S. Bajo Guadalquivir 2

3 Ejercicio 12. En un estudio realizado en cierta universidad, se ha determinado que un 20% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos, también hacen uso del comedor universitario. Calcula la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa universidad, resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. Justifica la respuesta Ejercicio 13. De los tornillos que se producen en una fábrica, el 60% son producidos por la máquina A, y el resto, por una máquina B. Supóngase que el 12% de los tornillos producidos por A son defectuosos y que el 8% de los producidos por B son defectuosos. a) Elegido al azar un tornillo producido por esa fábrica, cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Se elige al azar un tornillo y resulta que es defectuoso. Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A? a) b) Ejercicio 14. En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario de B es 1.3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es Calcular la probabilidad de que: 1. Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B. 2. Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B. 3. Son independientes los sucesos A y B? P ( A B) = 0.18 = P( A) P( B) = Ejercicio 15. Se ha realizado una encuesta entre los estudiantes de una universidad para conocer las actividades que realizan en el tiempo libre. El 80% de los entrevistados ve la televisión o lee; el 35% realiza ambas cosas y el 60%, no lee. Para un estudiante elegido al azar, calcula la probabilidad de que: a) Vea la televisión y no lea. b) Lea y no vea la televisión. c) Haga solamente una de las dos cosas. d) No haga ninguna de las dos cosas. a) 0.4 b) 0.05 c) 0.45 d) 0.2 Ejercicio 16. Dos compañeros de estudios comparten piso. El primero prepara la comida el 40% de los días y el resto de los días lo hace el segundo. El porcentaje de veces que se le quema al primero es el 5%, mientras que el del segundo es el 8%. Calcula la probabilidad de que un día, elegido al azar, la comida esté quemada. Si cierto día se ha quemado, calcula la probabilidad de que haya cocinado el primero. a) b) I.E.S. Bajo Guadalquivir 3

4 Ejercicio 17. Dos jóvenes aficionados a los juegos de azar se encuentran realizando un solitario con una baraja española de 40 cartas. Extraen una carta de dicha baraja y desean saber cuál es la probabilidad de obtener rey condicionado al suceso obtener figura. Caracteriza ambos sucesos. 1/3 Ejercicio 18. Se lanzan dos dados. Halla: a) La probabilidad de que una de las puntuaciones sea par y la otra impar. b) La probabilidad (condicional) de que una de las puntuaciones sea par, sabiendo que la suma de las dos es 7. a) 1/2 b) 1 Ejercicio 19. En una urna A hay 5 bolas blancas y 2 rojas, y en otra B hay 3 bolas verdes, 6 blancas y 5 rojas. Se lanza un dado trucado, con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que la probabilidad de obtener un 6 es el doble que la de obtener cualquier otro número. Si en el lanzamiento del dado sale un número par, se saca una bola de la urna A, y si sale un número impar, la bola se saca de la urna B. Determina la probabilidad de que la bola que se saque sea roja Ejercicio 20. Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría en el 80% de los enfermos a los que se les aplica. Se suministra a 5 enfermos. Se pide: a) Calcula la probabilidad de que los cinco pacientes mejoren. b) Calcula la probabilidad de que al menos tres no experimenten mejoría. c) Cuántos pacientes se espera que mejoren? a) b) c) 4 pacientes Ejercicio 21. En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: a) Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años. b) Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido. a) b) Ejercicio 22. En una fábrica de tornillos, la máquina A produce el 40% del total y la máquina B, el 60%. De los tornillos fabricados por A, el 10% son defectuosos, y de los fabricados por B son defectuosos el 20% Si se elige al azar un tornillo y resulta defectuoso, cuál es la probabilidad de que haya sido hecho por A? 1/4 I.E.S. Bajo Guadalquivir 4

5 Ejercicio 23. C C Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: P(A)=0.6; P(B)=0.2 y P( A U B ) = a) Calcula P( A I B) y razona si los sucesos A y B son independientes. b) Calcula P( A U B). a) P ( A B) = 0.3 P( A) P( B) = b) P( A U B) = 0. 5 Ejercicio 24. Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, si es defensa y 0 si es portero. a) Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido. b) Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa. a) b) 0.13 Ejercicio 25. De una baraja española de 40 cartas se extraen sucesivamente, y sin reposición, dos cartas. Se pide calcular la probabilidad de que: a) La primera carta sea de copas y la segunda de espadas. b) Una carta sea de copas y la otra de espadas. c) Ninguna sea de bastos. d) Las dos sean de oros. a) b) c) d) Ejercicio 26. Supongamos que, tras una encuesta realizada en la población andaluza, se ha concluido que si se elige al azar un andaluz la probabilidad de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol es 0.8, la de que esté a favor de la existencia de canales de TV de pago es 0.4 y la de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol y también de la existencia de canales de pago es 0.3. a) Calcular la probabilidad de que un andaluz esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago. b) Calcular la probabilidad de que un andaluz ni esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago. a) 0.9 b) 0.1 Ejercicio 27. En una baraja de 40 cartas. a) Se toman dos cartas sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que las dos sean de distinto número? b) Y si se toman tres cartas, Cuál es la probabilidad de que los tres números sean distintos? a) b) I.E.S. Bajo Guadalquivir 5

6 Ejercicio 28. En una baraja española (la de 40 cartas), se sacan al azar dos cartas. Encuentra la probabilidad de que: a) Ambas sean oros. b) Las dos sean de distinto palo. a) b) Ejercicio 29. Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70 % de los motoristas son varones y, de estos, el 60 % llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40 %. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b) Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. Cuál es la probabilidad de que sea varón? a) 0.54 b) Ejercicio 30. Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a) Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? b) Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? c) Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes? d) Se sabe que un alumno aprobó la teoría. Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica? a) No b) 0.1 c) 0.4 d) Ejercicio 31. Tenemos un dado con tres 1, dos 2 y un 3. Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados. a) Cuál es el Espacio Muestral? b) Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? c) Cuál es la suma más probable? Cuánto vale su probabilidad? a) E = {2, 3, 4, 5, 6} b) c) Ejercicio 32. C C Dados los sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.4, P( A U B) = 0.8 y P( A U B ) = 0. 7 donde A y B representan respectivamente los sucesos contrarios de A y B. a) Calcule la probabilidad de que ocurra sólo uno de los sucesos A o B, b) Compruebe si los sucesos A y B son independientes. a) 0.5 b) No son independientes. I.E.S. Bajo Guadalquivir 6

7 Ejercicio 33. Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres 1 y tres 2 y en el dado B hay dos 1 y cuatro 2. Se elige un dado al azar y se tira. a) Cuál es la probabilidad de obtener un 1? b) Sabiendo que se ha obtenido un 2, Cuál es la probabilidad de que se haya elegido el dado B? a) b) Ejercicio 34. Se lanza un par de dados. a) Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio. b) Si los números resultantes son diferentes, construya el suceso asociado a esta situación y obtenga la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea impar. a) E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} b) 0.6 Ejercicio 35. Se lanzan dos dados. Uno de ellos es normal y el otro tiene marcado en lugar del seis un uno. a) Construya el espacio muestral asociado al experimento. b) Halle la probabilidad de obtener una suma igual a 7. a) E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} b) Ejercicio 36. De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que: P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, y P( A U B) = 0.5. a) Calcule PA ( I B) y P( A C I B). C C C b) Calcule P( A U B ) y P ( A / B ). C C Donde A y B representan respectivamente los sucesos contrarios de A y B. a) PA ( I B) = 0.2, P( A C I B) = 0.1 C C C b) P( A U B ) = 0.8, P ( A / B ) = Ejercicio 37. La caja A contiene 8 pilas de las cuales 3 están descargadas y la caja B contiene 5 pilas de las cuales 2 están descargadas. Se saca al azar, una pila de cada caja. a) Cuál es la probabilidad de que ambas pilas estén descargadas? b) Cuál es la probabilidad de que una pila esté descargada y la otra no? a) 0.15 b) Ejercicio 38. En una muestra de 1000 personas hay 300 que saben inglés, 100 que saben ruso y 50 ambos idiomas. Con estos datos, averigua si son independientes o no los sucesos "saber inglés" y "saber ruso". No son independientes porque P ( I R) = 0.05 P( I) P( R) = I.E.S. Bajo Guadalquivir 7

8 Ejercicio 39. El temario de una oposición consta de 100 temas. En el momento del examen se sortean dos y el opositor debe responder obligatoriamente a los dos temas que le han tocado en suerte. Calcular cuántos temas, como mínimo, debe estudiar un opositor para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea superior a Ejercicio 40. Lanzamos dos dados y anotamos el resultado de la tirada. a) Represente el espacio muestral y los sucesos "sacar al menos un seis" y "sacar suma par". b) Halle la probabilidad del suceso "los números de los dos dados son diferentes". c) Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos" b) 0.5 c) Ejercicio 41. Una empresa monta televisores con piezas procedentes de las fábricas F o G. En el primer caso, la probabilidad de que el televisor no tenga averías en cinco años es 0.9 y en el segundo caso, 0.7. El 40% de los televisores se montan con piezas de la fábrica F. Halle la probabilidad de que un televisor, que no ha tenido averías durante cinco años, se haya montado con piezas de la fábrica G. 7/13 Ejercicio 42. En un espacio muestral se tienen dos sucesos independientes, A y B. Se sabe que P ( A B) = 0.18 y P ( A / B) = a) (1 punto) Calcule las probabilidades de A y de B. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de esos dos sucesos. a) P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 b) P ( A C B C ) = Ejercicio 43. Sean A y B dos sucesos, tales que P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 y P ( A B) = a) Son A y B independientes? b) Calcule P( A C B). c) Calcule las probabilidades de los sucesos A / B (A condicionado a B) y A / B c (A condicionado al suceso contrario de B). a) No, P ( A B) = 0.25 P( A) P( B) = 0. 3 ) C b) 0.35 c) P ( A / B) = 0.416, P ( A / B ) = Ejercicio 44. Para tratar cierta enfermedad se dispone de dos medicamentos, con efectos independientes entre si, cuyas probabilidades de sanar a un paciente son respectivamente 1/2 y 1/3. Se administran los dos medicamentos a tres enfermos. a) Halle la probabilidad de que al menos uno de ellos se cure. b) Halle le probabilidad de que al menos uno de ellos no se cure. a) b) I.E.S. Bajo Guadalquivir 8

9 Ejercicio 45. Se sabe que en una cierta población, la probabilidad de que un hombre esté en paro vale 0.15 y la probabilidad de que una mujer esté en paro vale Si la proporción de personas de cada sexo es la misma, calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar está en paro. b) Que sea un hombre, si se sabe que no está en paro. a) 0.2 b) 0.53 Ejercicio 46. En una ciudad se publican dos periódicos, A y B. La probabilidad de que una persona lea el periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0.1 y la probabilidad de que lea ambos es a) Calcule la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcule la probabilidad de que una persona que ha leído alguno de los dos periódicos lea también el otro. a) 0.82 b) Ejercicio 47. Se sabe que, en una cierta población, la probabilidad de que un hombre tenga estudios universitarios es 0.30 y que la probabilidad de que una mujer tenga estudios universitarios es Si los hombres representan el 48% de la población, calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar posee estudios universitarios. b) Que sea hombre una persona de la que se sabe que no posee estudios universitarios. a) b) Ejercicio 48. En un centro escolar existen tres grupos de 2º de bachillerato LOGSE. El primero esta compuesto por 10 alumnos de los que 7 prefieren la música "moderna", 2 prefieren la "clásica" y 1 que no le gusta la música. En el segundo compuesto por 12 alumnos, la distribución de preferencias es de 5, 7 y 0 respectivamente; y en el tercero, formado por 14 alumnos, la distribución de preferencias es de 6, 6 y 2 respectivamente. Se elige un grupo al azar y se regalan dos entradas para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar. a) Halle la probabilidad de que las entradas se regalen en el primer grupo. b) Halle la probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a la música moderna. c) Si los dos alumnos agraciados son efectivamente aficionados a la música clásica. Cuál es la probabilidad de que procedan del primer grupo? a) b) c) 0.44 Ejercicio 49. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encontrar la probabilidad de que: a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8. b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8. c) De los tres números aparecidos dos de ellos sean un cinco. d) Los tres sean impares. a) 21/216 b) 27/216 c) 15/216 d) 1/8 I.E.S. Bajo Guadalquivir 9

10 Ejercicio 50. La probabilidad de que un globo sonda sea recuperado es 1. Si tres globos son lanzados 9 al espacio, cuál es la probabilidad de recuperar... a)... sólo uno? b)... los tres? c)... al menos uno? a) 192/729 b) 1/729 c) 217/729 Ejercicio 51. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuariales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a) Las cinco personas. b) Al menos tres personas. c) Exactamente dos personas. a) b) c) Ejercicio 52. El despertador de Javier no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0.2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0.9. a) Determine la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador. b) Determine la probabilidad de que llegue temprano a clase. c) Javier ha llegado tarde a clase. Cuál es la probabilidad de que haya sonado su despertador? a) 0.16 b) 0.66 c) 0.47 Ejercicio 53. Se conocen los siguientes datos de un grupo de personas, relativos al consumo de un determinado producto: Consume No consume Hombre Mujer Se elige en ese grupo una persona al azar. Calcule la probabilidad de que: a) (0.5 puntos) Sea mujer. b) (0.75 puntos) Habiendo consumido el producto, se trate de una mujer. c) (0.75 puntos) Sea mujer y no consuma el producto. a) 37/77 b) 25/35 c) 12/77 Ejercicio 54. La probabilidad de que un estudiante que ingresa en la Universidad se licencie es 0'4. Encontrar la probabilidad de que entre 5 estudiantes escogidos al azar: a) Ninguno se licencie. b) No se licencie más de uno. c) Al menos uno se licencie. d) Todos se licencien. a) b) c) d) I.E.S. Bajo Guadalquivir 10

11 Ejercicio 55. Dada la variable aleatoria continua X, con función de densidad: ( x x) x a f ( x) = si en el resto a) Determinar el valor de a para que, efectivamente, sea una función de densidad. b) Calcular la función de distribución de X y P ( X > 1). a) a = 2 0 x < 0 b) P ( X > 1) = 0' x 2 F ( x) = x 0 x x > 2 Ejercicio 56. En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7 nuevas. a) (1 punto) Tomada una silla al azar, cuál es la probabilidad de que sea nueva? b) (1 punto) Si se coge una silla que no es nueva, cuál es la probabilidad de que no tenga respaldo? a) 0.25 b) 23/30 Ejercicio 57. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal N(140,25). Calcular las siguientes probabilidades: a) P( X 150 ) b) P( 100 X 130) c) P( X 155 ) a) b) c) Ejercicio 58. Una máquina automática fabrica piezas cuya longitud se espera que sea de 50 mm. Sin embargo, la longitud de las piezas es una variable aleatoria que está distribuida normalmente con media el citado valor esperado, 50 mm. Se sabe además, que sólo hay un 5% de piezas que sobrepasan los 51 mm. Calcular la probabilidad de que una pieza tomada al azar esté entre 49.5 y 50.5 mm Ejercicio 59. Sean los sucesos A y B independientes. La probabilidad de que ocurra el suceso B es 0.6. Sabemos también que P ( A / B) = a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos. b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B. a) 0.72 b) 0.12 Ejercicio 60. Tiramos una moneda 400 veces. Calcular la probabilidad de que el número de caras que salgan sea mayor o igual que I.E.S. Bajo Guadalquivir 11

12 Ejercicio 61. La variable aleatoria X puede tomar los valores 5, 6, 7, 8, 9, 10 con probabilidades P ( x = 5) = 0.15; P ( x = 6) = 0.12; P ( x = 7) = 0.21; P ( x = 8) = 0.25; P ( x = 9) = y P ( x = 10) = Se pide: a) Es una función de probabilidad? En caso afirmativo, representarla. b) Hallar la función de distribución y su gráfica. c) Hallar la media, la varianza y la desviación típica. a) b) 2 c) x = 7.12, σ = , σ = Ejercicio 62. La opinión que tiene la población sobre la gestión de su Ayuntamiento es favorable en el 30% de los casos y desfavorable en el resto. Elegidas 10 personas al azar, hallar: i) La probabilidad de que exactamente dos la consideren favorable. ii) La probabilidad de que ninguno la considere desfavorable. i) ii) Ejercicio 63. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determinar las probabilidades siguientes: 1. Que las dos cifras sean iguales. 2. Que su suma sea Que su suma sea mayor que 7 y menor que Sabiendo que su suma es menor que 11, cuál es la probabilidad de que al menos una cifra sea 4? 1) 1/10 2) 1/25 3) 43/100 4) 13/64 Ejercicio 64. En una población de estudiantes se ha comprobado que la calificación obtenida en inglés sigue un modelo Normal de probabilidad con una media de 5 si se ha seguido el método de trabajo A, y con una media de 6 si se ha seguido el método de trabajo B. Sabiendo que el 4% de los alumnos que han seguido el método A obtienen una calificación inferior a 3.5 y que el 2% de los alumnos que han seguido el método B superan el 8, contestar razonando la respuesta: a) Qué porcentaje de estudiantes adiestrados con el método A no superan la calificación de 6.5? b) Qué porcentaje de estudiantes adiestrados con el método B obtienen una calificación comprendida entre 4 y 6? a) 96% b) 48% I.E.S. Bajo Guadalquivir 12

13 Ejercicio 65. Una maniobra incorrecta de un coche ha originado un accidente. Por los alrededores había tres personas X, Y y Z. La probabilidad de que X se haya dado cuenta de la maniobra es 0.9; la de Y, 0.85; y la de Z, 0.8. Si suponemos la independencia de los testimonios, contestad: a) Cuál es la probabilidad de que los tres testifiquen la incorrección de la maniobra? b) Cuál es la probabilidad de que al menos dos testifiquen la incorrección? c) Cuál es la probabilidad de que ninguno se haya dado cuenta de la incorrección? a) b) c) Ejercicio 66. Un estudio antropológico de una tribu ha constatado que la longitud del dedo corazón de los adultos sigue una ley Normal de media 60 mm. y una desviación típica de 3 mm. Si tenemos 800 adultos, determinar cuántos tienen el dedo corazón: 1. Más largo de 62 mm. 2. Más corto de 57 mm. 3. Entre 60 y 66 mm. 4. Si las medidas se han aproximado al milímetro más cercano, cuántos lo tienen de 58 mm? 1) 203 2) 127 3) 382 4) 84 Ejercicio 67. Se considera el experimento aleatorio de lanzar al aire tres monedas. a) Construya un espacio muestral adecuado para el experimento. b) Exprese en función de los sucesos elementales los siguientes sucesos: i) A = sale al menos una cara. ii) B = salen exactamente dos cruces. iii) C = salen más caras que cruces. c) Calcule la probabilidad del suceso A y del suceso B C. a) E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} b.i) A = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC} b.ii) B = {CXX, XCX, XXC} b.iii) C = {CCC, CCX, CXC, XCC} c) P(A) = P(B C) = 7/8 = Ejercicio 68. A un congreso asisten el mismo número de hombres que de mujeres. El 60% de los hombres tiene 40 años o más y el 30% de las mujeres tienen menos de 40 años. Se pide: a) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, cuál es la probabilidad de que tenga menos de 40 años? c) Si se elige un asistente al azar y se observa que tiene más de 40 años, cuál es la probabilidad de que dicha persona sea mujer? a) 0.5 b) 0.32 c) Ejercicio 69. Tiramos seis dados. Calcular la probabilidad de que salga, al menos, un cinco I.E.S. Bajo Guadalquivir 13

14 Ejercicio 70. Tenemos dos urnas como sigue: A: 4 bolas rojas y 6 blancas. B: 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color Ejercicio 71. Si los sucesos A, B son independientes y compatibles, cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?: a) P( A B) = P( B) b) P( B A) = P( A) + P( B) C C C c) P ( A / B) = P( A ) (donde A es el suceso contrario de A.) a) Falso b) Falso c) Verdadero Ejercicio 72. Una máquina que expende bebidas está regulada de modo que descarga una media de 200 ml por vaso. Si la cantidad de líquido está distribuida normalmente con desviación típica de 15 ml: a) Qué porcentaje de vasos llenará con más de 224 ml? b) Si vamos a utilizar 6 vasos de 224 ml, cuál es la probabilidad de que se derrame líquido sólo en uno de los 6 vasos? a) 5.48% b) Redondeando p a 0.05, Ejercicio 73. En 2º de Bachillerato de cierto Instituto hay un total de 100 alumnos, de los cuales: 40 son varones, 30 usan gafas y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, qué probabilidad hay de que sea varón? a) 0.45 b) Ejercicio 74. En una clase, un 40% de alumnos aprobaron filosofía y un 50% aprobaron matemáticas. Se sabe que la probabilidad de aprobar filosofía si se ha aprobado matemáticas es 0'6. a) Qué porcentaje de alumnos aprobaron ambas asignaturas? b) De los alumnos que aprobaron filosofía, qué porcentaje aprobó matemáticas? a) 30% b) 75% Ejercicio 75. La duración de las pilas de una linterna se distribuye según una normal de media 70 horas y desviación típica 4 horas. En un establecimiento hay 40 pilas. a) Cuántas tendrán una duración superior a 70 horas? b) Calcular la probabilidad de que, elegida una pila al azar, tenga una duración entre 75 y 82 horas. a) 20 b) I.E.S. Bajo Guadalquivir 14

15 Ejercicio 76. En un examen se formulan 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El examen se aprueba si se contestan correctamente, al menos, 20 preguntas. Si se lanza una moneda para decidir la respuesta de cada pregunta, calcular la probabilidad de aprobar el examen Ejercicio 77. Considera el espacio muestral E=(a, b, c, d) en el que los cuatro sucesos tienen la misma probabilidad. Sean S 1 ={a, b} y S 2 ={a, c}. a) Son S 1 y S 2 sucesos incompatibles? b) Calcula la probabilidad del suceso S 1 S 2 y la probabilidad del suceso contrario de S 2. a) No, S 1 S 2 = {a} b) P(S 1 S 2 ) = 0.25, P ( S C 2 ) = 0. 5 Ejercicio 78. En una cierta población se sabe que el 20% habla correctamente el castellano. Se elige una muestra al azar de 10 personas. Hallar la probabilidad de que: a) Todas hablen correctamente el castellano. b) Sólo una persona lo hable bien. a) (0 2) 10 0 b) Ejercicio 79. De una baraja de 40 cartas se extraen 3 naipes consecutivamente sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de obtener la secuencia sota, caballo, rey Ejercicio 80. Un vendedor de helados puede ganar 600 por día en días soleados y 200 en días lluviosos. Calcula las ganancias esperadas en un día en el que la probabilidad de lluvia es de Ejercicio 81. Juan propone a Luis el siguiente juego: lanzar una moneda 10 veces; si salen 4, 5 ó 6 caras, gana Luis y, en caso contrario, gana Juan. Cuál es la probabilidad de que gane Juan? Ejercicio 82. En una asociación juvenil, el 30% de los socios juegan a baloncesto. En un momento dado se trata de reunir gente para formar un equipo, por lo que se pregunta a un grupo de 10 socios si practican dicho deporte. a) Describir la variable aleatoria que representa el número de individuos del grupo que lo practican. b) Cuál es la probabilidad de que en el grupo haya dos o más personas que jueguen a baloncesto? Cuántos socios de ese grupo se espera que lo practiquen? a) X~B(10,0.3) b) p = , 3 socios I.E.S. Bajo Guadalquivir 15

16 Ejercicio 83. Se sabe que las notas de determinado examen siguen una distribución normal. El 15.87% tiene una nota superior a 7 puntos y el 15.87% tiene nota inferior a 5 puntos. Calcular: a) Porcentaje de alumnos cuya nota está entre 5 y 7 puntos. b) Nota media del examen. a) 68.26% b) 6 Ejercicio 84. Se lanza una moneda 10 veces. Calcúlese la probabilidad de: a) Obtener menos de 5 caras. b) Obtener 8 caras. c) Obtener más de 3 pero menos de 7 caras. d) Obtener más de 5 caras. a) b) c) d) Ejercicio 85. Supongamos que se califica un ejercicio puntuado de 0 a 10 con las siguientes notas: [0,2)=Muy deficiente, [2,5)=Insuficiente, [5,6)=Suficiente, [6,7)=Bien, [7,8.5)=Notable, [8.5,10]=Sobresaliente Hállese qué porcentaje de alumnos entraría en cada uno de estos grupos si las notas se ajustaran a una distribución normal con media μ y desviación típica σ, en los casos siguientes: a) μ=5, σ=2. b) μ=5, σ=1. a) P [0,2) = , P [2,5) = , P [5,6) = , P [6,7) = , P [7,8.5) = , P [8.5,10] = b) P [0,2) = , P [2,5) = , P [5,6) = , P [6,7) = , P [7,8.5) = , P [8.5,10] = Ejercicio 86. De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcular la probabilidad de que dicha carta sea: i) Oros o bastos. ii) Copas o figura (sota, caballo y rey). i) 0.5 ii) 19 / 40 = Ejercicio 87. Calcular a para que 0 si x < 2 f ( x) = a si 2 x 7 0 si x > 7 represente una función de densidad. Calcular su función de distribución. a = 2 0 si x < 2 F( x ) = 0.2x si 2 x 7 1 si x > 7 I.E.S. Bajo Guadalquivir 16

17 Ejercicio 88. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que P ( 4 a x 4 + a) = a = 5.66 Ejercicio 89. Se lanzan 15 dados. Encontrar la probabilidad de que: i) Salga siempre un número impar. ii) Salga por lo menos un 5. i) (0.5) 15 ii) 1 (0.8333) 15 Ejercicio 90. En cierta población, la edad de los individuos tiene una distribución normal, con media de 32 años y desviación típica de 8 años a) Hallar la proporción de individuos menores de 18 años. b) Si en la citada población viven 2 millones de personas, halla el número aproximado de personas mayores de 60 años. a) 4% b) 460 Ejercicio 91. Se supone que la estancia media de los enfermos en un sanatorio sigue una distribución normal de media 8 días y desviación típica 2. Calcular la probabilidad de que un determinado enfermo permanezca en el sanatorio entre 7 y 10 días. Si en el sanatorio hay ingresados 200 enfermos, cuántos cabe esperar que permanezcan en el sanatorio menos de 5 días? a) b) 13 Ejercicio 92. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio, con p(a)=0.7, C C p(b)=0.6, p( A B )=0.58. Son independientes A y B? Razona tu respuesta. Si M A, cuál es el valor de p( M C /A C )? C C Sí, p(a B) = 1 p( A B ) = 0.42 = p(a) p(b) = = p( M C /A C ) = 1. Ejercicio 93. Un constructor debe comprobar si un fontanero es formal para contratarlo para una gran obra. Decide llamarlo 5 veces de incógnito y contratarlo sólo si atiende adecuadamente los 5 servicios. La probabilidad de que el fontanero descubra la voz del constructor en una llamada cualquiera, es de 0.5 y, en tal caso, acude inmediatamente. En caso contrario, la llamada tiene igual consideración que las habituales y la probabilidad de que atienda el servicio es 0.6. Qué probabilidad tiene el fontanero de ser contratado finalmente? (0.8) 5 Ejercicio 94. Una empresa debe reponer las batas de sus 1000 operarios. Se sabe que la talla media es 170 cm, con una desviación típica de 3 cm. Las batas se confeccionan en tres tallas válidas para estaturas entre 155 y 165 cm, 165 y 175 cm y, finalmente, entre 175 y 185 cm. Cuántas batas de cada talla ha de adquirir? 48 ó 49 de la talla pequeña, 903 de la mediana y 48 ó 49 de la grande. I.E.S. Bajo Guadalquivir 17

18 Ejercicio 95. En la siguiente tabla se presenta la distribución del número de hijos en un grupo de 100 parejas: Nº de parejas Nº de hijos a) Obtén la probabilidad de que una pareja elegida al azar del grupo tenga menos de dos hijos. b) Si se elige una pareja al azar de entre las que tienen al menos un hijo, cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos? c) Si se elige un hijo al azar, cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos? a) 0.55 b) 12/85 c) 40/171 Ejercicio 96. El 10% de los artículos fabricados en una empresa de material cerámico tiene algún defecto. Obtén (utilizando como aproximación la distribución normal, si lo crees conveniente) la probabilidad de que: a) En un lote de 10 artículos se encuentre al menos uno defectuoso. b) En un lote de 100 artículos haya al menos 10 defectuosos. a) Usando la distribución binomial Haciendo la aproximación por la distribución normal b) Ejercicio 97. El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie se distribuye según una normal de media μ=52 y una desviación típica σ=6.5. Se pide: a) Hallar la probabilidad de que una pieza fabricada pese más de 68 gramos. b) Si el 30% de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, cuánto pesa esta última? a) b) Ejercicio 98. Una caja contiene 3 monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara Ejercicio 99. En un determinado país, el porcentaje de declaraciones fiscales que son correctas es del 60%, 40% y 80% según se trate de industriales, profesionales liberales o asalariados. Se sabe que del total de declaraciones, el 10% son de industriales y el 20% de profesionales liberales. Se van a realizar 1500 inspecciones. a) Cuántos industriales, profesionales liberales y asalariados han de ser inspeccionados si se desea que la inspección sea proporcionada a la probabilidad de declaración incorrecta en cada categoría socio-profesional? b) Compara esta distribución de las inspecciones con la que se tendría en el caso de hacerla proporcional al número de declaraciones de cada categoría. Industriales Prof. liberales Asalariados a) b) I.E.S. Bajo Guadalquivir 18

19 Ejercicio 100. Las probabilidades de aprobar los exámenes de química, física y matemáticas son, para un alumno determinado: 2/3, 4/5 y 3/5 respectivamente. Obtener las probabilidades de: a) Suspender las tres asignaturas. b) Suspender sólo una de las tres. c) Suspender física si se sabe que sólo suspendió una asignatura de las tres. a) 2/75 b) 34/75 c) 6/34 Ejercicio 101. Para aprobar cierta oposición, se necesita obtener un mínimo de 100 puntos. Se sabe que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución normal de media 110 y desviación típica 15. Qué probabilidad tiene un opositor elegido al azar de haber aprobado? Si sabemos que hay 1000 opositores y sólo 300 plazas, qué puntuación mínima debería exigirse para ajustar el número de aprobados al número de plazas existente? La probabilidad de haber aprobado es La puntuación debería ser Ejercicio 102. En una ciudad en la que hay el doble número de hombres que de mujeres, hay una epidemia. El 6% de los hombres y el 11% de las mujeres están enfermos. Se elige al azar un individuo. Calcular la probabilidad de que: a) Sea hombre. b) Esté enfermo. c) Sea hombre, sabiendo que está enfermo. a) b) c) Ejercicio 103. Se lanzan dos dados al aire y la suma de los puntos obtenidos es 7. Hallar la probabilidad de que en uno de los dados aparezca un Ejercicio 104. La compañía aérea Avión sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de 10 minutos y desviación típica de 5 minutos. Calcular: a) Probabilidad de que un vuelo no tenga retraso. b) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 10 minutos de retraso. c) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con más de 20 minutos de retraso. (Datos: F(0)=0.5; F(2)=0.9772; F función de distribución de la N(0,1).) a) b) 0.5 c) Ejercicio 105. El peso medio de los estudiantes de un colegio es de 60 kg y la desviación típica es 6 kg. Suponiendo que los pesos están normalmente distribuidos: a) Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 64 kg? b) Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese 57 kg o más? c) Si los estudiantes son 200, cuántos estudiantes cabe esperar que pesen más de 57 y menos de 64 kg? a) b) c) 87 I.E.S. Bajo Guadalquivir 19

20 Ejercicio 106. En un hospital psiquiátrico hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se eligen tres enfermos al azar. a) Hallar la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad. b) Hallar la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta. a) b) 0.25 Ejercicio 107. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes, y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral. Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color? Y la de que sean de distinto color? E = {RR, RV, VR, VV}; 0.48; 0.52 Ejercicio 108. Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0.55, se pide: i) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. ii) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. i) ii) Ejercicio 109. Se lanzan dos dados al aire y la suma de los puntos obtenidos es 7. Hallar la probabilidad de que en uno de los dados aparezca un Ejercicio 110. La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un diario es de 0.4; la probabilidad de que adquiera una revista es de 0,3; la probabilidad de que adquiera ambas publicaciones es 0.2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que adquiera un solo diario. b) Que adquiera al menos una publicación. c) Que no adquiera un diario cuando ha adquirido una revista. d) Que adquiera una revista cuando no ha adquirido un diario. a) 0.2 b) 0.5 c) d) Ejercicio 111. Se lanzan dos dados. Construye un espacio muestral adecuado a dicha experiencia y calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Obtener al menos un cinco. b) La suma de las puntuaciones obtenidas es menor o igual a tres. a) 11/36 b) 3/36 Ejercicio 112. Sea X una variable aleatoria que mide la estatura de 1000 individuos de una población y, que se distribuye según una normal de media 1.74 y de desviación típica 0.1. Calcula, de acuerdo con la distribución anterior, el número de individuos cuya estatura está comprendida entre 1.64 y I.E.S. Bajo Guadalquivir 20

21 Ejercicio 113. La gráfica de la función de distribución, F(x), de una variable aleatoria discreta X es: F(x) a) Obtén la correspondiente función de probabilidad. b) Calcula la media de la distribución. a) f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5) = 0.2 b) x = 3 Ejercicio 114. La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es Se lanza la moneda 7 veces. Calcular la probabilidad de que: a) Salgan exactamente tres caras. b) Al menos tres caras. c) A lo sumo tres caras. a) b) c) Ejercicio 115. Se extrae, sin devolución, una bola blanca de una urna compuesta por 2 bolas blancas y 6 negras. Cuál es la probabilidad de que, si se extraen a continuación tres bolas, una sea blanca? Ejercicio 116. Dados dos sucesos A y B independientes, ambos de probabilidad no nula y distinta de 1, cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) P(A B)=P(B) b) P(A B)=P(A)+P(B) c) P(A c /B)=P(A c ), donde A c es el suceso contrario de A. Son ciertas la a) y la c). Ejercicio 117. Disponemos de tres dados, uno de los cuales está trucado. La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es 0.25, siendo los otros resultados equiprobables. Se elige un dado al azar y se realiza un lanzamiento con él. a) (1 punto) Determine la probabilidad de obtener un 2. b) (1 punto) Dado que ha salido un 2, cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el dado trucado? a) b) Ejercicio 118. Halla la probabilidad de que, en una familia con 4 hijos, uno al menos sea varón X I.E.S. Bajo Guadalquivir 21

22 Ejercicio 119. En una ciudad el número de hombres duplica al de mujeres. Si se eligen 2 personas al azar, cuál es la probabilidad de que sean de distinto sexo? Ejercicio 120. La variable aleatoria X está distribuida normalmente con media 10. La probabilidad de que X se encuentre en el intervalo (10,20) es igual a 0.3. a) Calcule la probabilidad de que X se encuentre en el intervalo (0,10). b) Calcule la probabilidad de que X sea menor que 0 ó mayor que 20. a) 0.3 b) 0.4 Ejercicio 121. En un espacio muestral se consideran dos sucesos A y B. Se conocen los siguientes datos: P(A)=0.25, P(A/A B)=0.5. a) Halle P(A B) b) Halle P(A B), sabiendo que P(B/A B)=0.6. a) 0.5 b) 0.05 Ejercicio 122. Una caja contiene diez tornillos, de los que dos son defectuosos. a) (1 punto) Si vamos extrayendo tornillos, uno tras otro, hasta localizar los dos defectuosos, cuál es la probabilidad de necesitar exactamente tres extracciones para localizarlos? b) (1 punto) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha resultado ser defectuoso, cuál es la probabilidad de que el primero también lo haya sido? a) b) 0.1 Ejercicio 123. En una ciudad el 60 % de sus habitantes son aficionados al fútbol, el 30 % son aficionados al baloncesto y el 25 % a ambos deportes. a) (0.5 puntos) Son independientes los sucesos ser aficionado al fútbol y ser aficionado al baloncesto? b) (0.75 puntos) Si una persona no es aficionada al fútbol cuál es la probabilidad de que no sea aficionada al baloncesto? c) (0.75 puntos) Si una persona no es aficionada al baloncesto, cuál es la probabilidad de que sea aficionada al fútbol? a) Dependientes, b) c) 0.5 Ejercicio 124. Dos cajas, A y B, tienen el siguiente contenido: La A: 5 monedas de 1 euro y 3 de 10 céntimos. La B : 4 monedas de 1 euro, 4 de 10 céntimos y 2 de 20 céntimos. De una de las cajas elegida al azar, se extrae una moneda. a) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que sea de 1 euro? b) (1 punto) Si la moneda extraída resulta ser de 10 céntimos, cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B? a) b) I.E.S. Bajo Guadalquivir 22

23 Ejercicio 125. Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de plata, un cofre B con 5 monedas de oro y 4 de plata y un tercer cofre C con 2 monedas de oro. Elegimos un cofre al azar y sacamos una moneda. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que sea de oro. b) (1 punto) Sabiendo que ha sido de plata, calcule la probabilidad de que haya sido extraída del cofre A. a) b) Ejercicio Sean A y B dos sucesos tales que P ( A) =, P ( B) = y P( A I B) =. Calcule: a) (0.5 puntos) P ( A B) y P ( B A). b) (0.75 puntos) P( A U B). c) (0.75 puntos) P( A C C I B). ( A indica el contrario del suceso A). a) P ( A B) =0.75, P ( B A) = 0.5 b) c) Ejercicio 127. En un cineclub hay 80 películas; 60 son de acción y 20 de terror. Susana elige una película al azar y se la lleva. A continuación Luis elige otra película al azar. a) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que tanto Susana como Luis elijan películas de acción? b) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que la película elegida por Luis sea de acción? a) 0.56 b) 0.75 Ejercicio 128. Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienen la siguiente composición: A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas. B: 4 blancas y 6 negras. También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado. a) (0.75 puntos) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca? b) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? c) (0.75 puntos) La bola extraída ha resultado ser blanca, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? a) b) c) Ejercicio 129. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes sucesos: A: sacar al menos una cara y una cruz. B: sacar a lo sumo una cara. a) Determine el espacio muestral asociado a ese experimento y los sucesos A y B. b) Son independientes ambos sucesos? a) E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} A = {CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC} B = {CXX, XCX, XXC, XXX} b) Sí, P(A) P(B) = = P(A B) = I.E.S. Bajo Guadalquivir 23

24 Ejercicio 130. La probabilidad de que un jugador A marque un gol de penalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B es 4/5. Si cada uno lanza un penalti, a) (1 punto) Halle la probabilidad de que marque gol uno solo de los dos jugadores. b) (1 punto) Halle la probabilidad de que al menos uno marque gol. a) 0.3 b) Ejercicio 131. Dado un espacio muestral E se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2. a) (0.75 puntos) Pueden ser los sucesos A y B incompatibles? Por qué? b) (0.75 puntos) Suponiendo que los sucesos A y B son independientes, calcule P( A U B). c) (0.5 puntos) Suponiendo que A U B = E, calcule P( A I B). a) No, porque P(A) + P(B) >1. b) c) Ejercicio 132. El 35 % de los estudiantes de un centro docente practica el fútbol. El 70 % de los que practican el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25 % de los que no lo practican. Calcule la probabilidad de que al elegir, al azar, un estudiante de ese centro: a) (1 punto) Estudie Matemáticas. b) (1 punto) Practique el fútbol, sabiendo que no es alumno de Matemáticas. a) b) Ejercicio 133. En un colectivo de personas, el 80 % tiene más de 35 años. De los mayores de 35 años, el 40 % son mujeres. De los que no han superado los 35 años, el 45 % son hombres. Se elige una persona, al azar, de ese colectivo. a) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que no haya superado los 35 años sabiendo que se ha elegido un hombre? a) 0.43 b) Ejercicio 134. De una bolsa que contiene 4 monedas de 2 euros, 5 de 1 euro y 3 de 0.20 euros, se extraen dos monedas, al azar, sucesivamente y sin devolverlas a la bolsa. a) (1.5 puntos) Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: A = la suma de las dos monedas es inferior a 2.20 euros. B = al menos una de las dos monedas es de 0.20 euros. b) (0.5 puntos) Razone si esos dos sucesos son independientes. a) P(A) = , P(B) = b) No, P( A I B) = P(A) P(B) Ejercicio 135. Se dispone de una baraja española de 40 cartas (10 de oros, 10 de copas, 10 de espadas y 10 de bastos). Se saca una carta, al azar, y, sin devolverla, se saca otra, al azar. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de oros. b) (1 punto) Sabiendo que la 2ª carta extraída ha sido de copas, calcule la probabilidad de que también lo fuera la primera. a) b) 0.23 I.E.S. Bajo Guadalquivir 24

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