Paso 1. Sustituimos la condición y=0 en la ecuación original

Transcripción

1 Expresión algebraica Expresión que combina variables y constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y radicación. Expresión trascendente Expresión matemática en la que intervienen expresiones de alguno de los siguientes tipos, o una combinación de ellas: Trigonométricas directas (seno, coseno, tangente cotangente, secante y cosecante, por ejemplo tan x). Trigonométricas inversas (permiten obtener ángulos a partir del valor de una razón trigonométrica, por ejemplo ang cos 6x) Logarítmicas (expresiones que permiten calcular el exponente al que hay que elevar la expresión dada, por ejemplo In x 2 o log 5 (x 2-9)) Exponenciales (expresiones en las que la base es constante y la variable está en el exponente, por ejemplo e 3x o 4 3x ). Pasos del análisis de ecuaciones Después de un estudio de la oferta y la demanda de las paletas de caramelo Patolín, la empresa que las produce ha determinado que los modelos que las rigen son los siguientes: Para la demanda:d(n)=-n 2 +4 Para la oferta: o(n)=3n+5 A ti te corresponde hacer el análisis de las ecuaciones y describir para los socios su comportamiento de la empresa en los términos más claros y precisos que sea posible. Pero antes de concentrarnos en las paletas Patolín, trabajemos con un ejemplo que nos ayude a entender en qué consiste el análisis de ecuaciones y a establecer la metodología para realizarlo. Después regresaremos a estudiar qué ocurre con las paletas. En la pantalla anterior enunciamos los pasos que integran el análisis de ecuaciones, y dijimos que eran cuatro. Aquí los tienes nuevamente: 1. INTERSECCIONES con los ejes coordenados 2. SIMETRÍA con respecto a los ejes coordenados 3. EXTENSIÓN (dominio y rango) 4. ASÍNTOTAS (si es el caso) Veamos cómo se determina cada uno de ellos ANALÍTICAMENTE. Para ellos, vamos a estudiar la ecuación. Intersecciones En la sección anterior aprendimos cómo determinar gráficamente las intersecciones con los ejes coordenados, recuerdas? (Si necesitas revisar esa sección, puedes regresarte las veces que lo requieras). Ahora aprenderemos cómo se calculan. Un método analítico en realidad no necesita de elementos gráficos para llegar a resultados. Sin embargo, los ejemplos que usaremos a continuación nos ayudarán a comprender mejor los conceptos. Observa la gráfica de nuestra ecuación 16x 2-9y 2 =144: Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos de intersección de la gráfica con el eje de las abscisas: Observa detenidamente las coordenadas de los puntos. Determina qué tienen en común. Cuando lo hayas hecho, determina las coordenadas del punto de intersección de la parábola x+y 2 = 6 con el eje horizontal. Anótalas aquí: Qué tienen en común los puntos de intersección A y B de la primera gráfica con el punto R de esta parábola? Cuando tengas la respuesta, continúa. Intersecciones con el eje de las abscisas

2 Esto quiere decir entonces que cuando la gráfica de una ecuación cruza eje de las abscisas (eje x), entonces el valor de la ordenada tiene que ser cero. Y esa es la condición que estableceremos para encontrar analíticamente las coordenadas de los puntos de intersección con el eje horizontal: y=0 para intersecciones con el eje de las abscisas Observa cómo la aplicaremos. RECUERDA: Nuestro problema consiste en encontrar las coordenadas de los puntos de intersección con el eje de las abscisas. Analicemos la primera ecuación 16x 2-9y 2 =144. Observa que al despejar x obtuvimos DOS respuestas: x 1 =-3, x 2 =+3. Esto significa que hay DOS puntos de intersección. Los valores de x son las abscisas, y la condición de la que partimos (y=0) nos da la ordenada, y con ello tenemos las coordenadas de los puntos que buscamos: A(-3, 0) y B(3,0). Te fijas que hemos comprobado por nuestro método analítico las respuestas que obtuvimos gráficamente? Guarda estos resultados en un archivo electrónico, en el que te recomendamos ir anotando lo que obtengas en cada paso del análisis de ecuaciones. Ahora es importante que tú lo intentes. Comprueba analíticamente que la ecuación x+y 2 =6, que como ya sabemos corresponde a una parábola, corta al eje horizontal en el punto R(6,0). Si tuviste problemas para llegar a la respuesta, presiona este botón. Si lo lograste, avanza a la siguiente sección, en la que aprenderemos a determinar los puntos de intersección con el eje de las ordenadas. Analicemos las intersecciones con el eje de las abscisas para la ecuación. Paso 1. Sustituimos la condición y=0 en la ecuación original Paso 2. Despejamos x Como ves, en este caso hubo poco trabajo algebraico: al sustituir la y por cero y hacer operaciones aritméticas, llegamos al valor de x. Como sólo obtuvimos una respuesta, interpretamos que la gráfica de la ecuación eje x únicamente en un punto:r(6,0). Si aún tienes dudas, consúltalas con el asesor y luego continúa. Intersecciones con el eje de las ordenadas Ahora vamos a determinar las intersecciones de estas gráficas con el eje vertical o eje de las ordenadas. se cruza con el

3 De la misma manera que hicimos con el eje x, es necesario establecer la condición para encontrar analíticamente las intersecciones con el eje y. Haciendo una analogía con lo anterior, determina la condición que necesitamos ahora. Piensa muy bien. Aprovecha lo que ya sabes para hacer esta deducción. Ya la tienes? Vamos a probarla para determinar de manera analítica las coordenadas de los puntos de intersección de la ecuación x+y 2 =6 con el eje de las ordenadas. Aplica esta condición para verificar que las coordenadas de los puntos de intersección coinciden con las que habíamos determinado gráficamente. Si tienes algún problema para llegar a la respuesta revisa el procedimiento: Aquí tienes el procedimiento detallado para determinar los puntos de intersección de x+y 2 =6 con el eje de las ordenadas: parábola Paso 1. Sustituimos la condición x=0 en la ecuación original Paso 2. Despejamos y Aplicamos raíz cuadrada de ambos lados (como operación contraria del cuadrado) Obtenemos la raíz cuadrada de 6 Por tanto, de acuerdo con nuestra condición X=0 y con los valores que acabamos de determinar, podemos decir que los puntos en los que X+Y 2 =6 se cruza con el eje y son (0,-2.4) y (0,2.4). Resolviste tus dudas? Entonces podemos continuar con el siguiente tema. hipérbola

4 Aquí tienes el procedimiento detallado para determinar los puntos de intersección de 16x 2-9y 2 =144 con el eje de las ordenadas: Paso 1. Sustituimos la condición X=0 en la ecuación original Multiplicamos el 16 por 0, lo que anula el primer término Dividimos ambos lados entre (-9) y cancelamos Paso 2. Despejamos y Simplificamos la fracción del lado derecho Aplicamos raíz cuadrada de ambos lados (como operación contraria del cuadrado). Como el radicando es negativo, la operación no tiene como resultado un número real Mismo comentario: se hace uno Como ves, no hemos podido determinar el valor de la ordenada para el punto de intersección con el eje y. Cómo interpretamos eso? Claro! Si no podemos llegar a un número específico, quiere decir que NO HAY INTERSECCIÓN y en efecto, si observas la gráfica, verás que NUNCA CRUZA AL EJE Y : Por tanto, analíticamente también podemos saber si una gráfica se cruza o no con el eje que estemos analizando. Resolviste tus dudas? Entonces podemos continuar con el siguiente tema. Qué es la simetría? Seguramente tienes una idea intuitiva de lo que llamamos simetría. Qué recuerdas? Generalmente sabemos que una figura tiene simetría lineal cuando al dividirla en dos partes iguales, cada mitad en un reflejo exacto de la otra, como si sólo tuviéramos una parte y la otra la observáramos en un espejo. En la Naturaleza podemos encontrar un sinnúmero de ejemplos de simetría lineal: Las telas de araña y las celdas hexagonales de los panales de abejas son algunos ejemplos. La cristalografía ha determinado que cualquier cristal de un mismo mineral presenta ángulos constantes entre sus diversas caras. Esa ley de la constancia de los ángulos es una manifestación de la simetría con la que se ordenan los átomos o moléculas que forman el cristal y ha permitido generar una clasificación de todas las sustancias cristalinas. Incluso la estructura del ADN se presenta en forma simétrica como una doble hélice. Los seres vivos más complejos, desde los escarabajos hasta los pájaros o los mamíferos, incluyendo los humanos, tienden a seleccionar parejas simétricas frente a otras menos simétricas. La teoría de la evolución lo explica considerando que la simetría del candidato es una señal de salud interna: la evolución habría ido seleccionando seres simétricos porque, al elegir así las parejas, se favorecería de manera inconsciente la ausencia de graves lesiones, malformaciones o enfermedades que podrían llegar a suponer una desventaja para la descendencia y el futuro de la especie.

5 En la arquitectura, la simetría es un elemento fundamental para el diseño de todo tipo de construcciones. Observa por ejemplo el Taj Majal, de la India: En el arte, el trabajo del artista gráfico Mauritius Cornelius Escher ( ) es de lo más interesante. Para que la simetría lineal exista, es necesario contar con un eje de simetría, que será la línea con respecto a la cual podríamos doblar la imagen y lograr que coincida cada una de sus partes, logrando el efecto de un reflejo. Observa que en cada una de las ilustraciones de esta pantalla podemos trazar ejes de simetría. Hay figuras que sólo son simétricas respecto a un eje; en cambio hay otras que son simétricas con respecto a varios ejes, cada uno con un ángulo de inclinación diferente. Cuántos ejes de simetría encontrarías en un triángulo equilátero? Y en un cuadrado? y en un pentágono regular? Visita este sitio para que puedas ver estos ejemplos gráficamente y piensa: Simetrías en una gráfica Ahora que hemos recordado qué es la simetría, aprenderemos cómo se determina analíticamente. Antes de entrar al proceso algebraico, te invitamos a que reflexiones un momento en el enorme desarrollo abstracto y del conocimiento que implica trasladar el proceso visual que llevaste a cabo con las imágenes anteriores, a un proceso mediante símbolos. Verdad que es impresionante que nuestra mente pueda hacer estas cosas? En el caso del análisis de ecuaciones, nos interesará saber si una gráfica es simétrica con respecto a los ejes coordenados. Observa las siguientes y clasifica anotando en el recuadro un número 1 si es simétrica con respecto al eje x, un número 2 si es simétrica con respecto al eje y, un número 3 si es simétrica con respecto ambos ejes y un número 4 si no es simétrica con respecto a ninguno de los dos ejes. De las gráficas que usamos en la pantalla anterior, observa la siguiente: Esta circunferencia es simétrica con respecto al eje y porque dicho eje la divide en dos secciones exactamente iguales, estás de acuerdo? Ahora observa:

6 Analiza los otros tres casos que hemos marcado: cuando x=-3.8 y cuando x=3.8 cuando x=-2 y cuando x=2 cuando x=-0.4 y cuando x=0.4 Observaste que los valores de las ordenadas y eran iguales en cada caso? Es decir, cuando x=-5, y=3.1, y habrás notado que cuando x=5, también ocurre que y=3.1. Te diste cuenta que algo similar ocurrió en los otros casos? Pues bien, esas observaciones nos servirán como base para entender que cuando una gráfica es simétrica con respecto al eje de las ordenadas, a cualquier número x o a su simétrico -x, les corresponde en la gráfica un mismo valor de y. Analíticamente, esto se comprueba de la siguiente manera: Sustituimos en la ecuación todas las x por x, hacemos las operaciones algebraicas necesarias y determinamos si la ecuación es igual a la que teníamos inicialmente. En ese caso, sabremos que nuestra gráfica es simétrica con respecto al eje y. En cambio, si en la ecuación cambia cualquier signo, deberemos interpretar que no hay simetría. Simetría de la hipérbola con respecto al eje de las ordenadas Trabajemos con las ecuaciones de la hipérbola y la parábola que nos sirvieron como ejemplo para las intersecciones. Ahora determinaremos si son simétricas con respecto a los ejes coordenados. Aquí tienes el análisis de simetría con respecto al eje y para la primera ecuación: 16x 2-9y 2 =144. Como puedes ver, las dos ecuaciones son iguales, lo que nos permite decir que hemos comprobado analíticamente que la hipérbola 16x 2-9y 2 =144 es simétrica con respecto al eje y. Quieres verificarlo? Aquí está la gráfica: En ella puedes ver que si dobláramos el dibujo por la línea que forma el eje y, las dos partes de la gráfica quedarían sobrepuestas de manera exacta, como reflejos una de la otra. Si para analizar la simetría con respecto al eje y sustituimos las x por x, qué se te ocurre que podremos hacer para probar si hay simetría con respecto al eje x? Escribe aquí tu respuesta: Pon a prueba la idea. La gráfica te permite observar el resultado que debes obtener: Hay simetría con respecto al eje de las x? Si tu resultado te permite confirmar lo que indica la gráfica, sigue adelante. En caso contrario, o si tienes dudas, revisa el procedimiento detallado. En este análisis para determinar si el eje de las abscisas o eje x puede considerarse un eje de simetría para la ecuación, cambiaremos todas las y por y: Observa: Por tanto, y como nos demuestra la gráfica, esta ecuación es simétrica con respecto al eje horizontal. Simetrías de la parábola

7 Ahora investiguemos si la parábola cuya ecuación es x+y 2 =6 resulta simétrica o no con respecto a los ejes coordenados. Con respecto al eje x, cambiamos las y por (-y) Con respecto al eje y, cambiamos las x por (-x) Qué podemos interpretar de este análisis? Escribe tu conclusión aquí para poder continuar. Extensión de una curva Recuerdas a qué se refiere lo de extensión? En el tema anterior aprendimos cómo obtenerla gráficamente: dijimos que para las abscisas toma el nombre específico de dominio, y para las ordenadas se llama rango. El dominio Como seguramente escribiste en el recuadro anterior, el dominio es el conjunto de valores integrado por todas las abscisas de los puntos que forman una gráfica. Seguramente que si revisaste lo que ya habíamos explicado antes, recordarás que hay gráficas que ocupan un intervalo determinado de valores, como las circunferencias y las elipses. El dominio de esta circunferencia es el intervalo de valores entre -3.8 y 3.8, en tanto que el dominio de la elipse es el intervalo entre -1.7 y 1.7. También recordarás que hay gráficas como las parábolas cuyo intervalo de valores x está definido por un extremo, y por el otro se prolonga hasta el infinito, como en este caso, en que el dominio son los valores desde - hasta 6. Parábolas Del latín parabola, y este del griego parabolé. Lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una recta y de un punto fijo, que resulta de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz. Finalmente recordemos que hay muchas gráficas de extensión infinita, y en esos casos, aunque sólo podamos visualizar una parte de la gráfica, debemos saber que se extiende indefinidamente hacia ambos lados. En estos casos, el dominio son todos los números reales, desde - hasta. Aunque el mejor ejemplo de este caso es la recta, existen muchísimos otros:

8 Determinación analítica del dominio Para determinar analíticamente el dominio (valores de x que hacen que la y exista), lo primero que necesitamos es despejar de nuestra ecuación la variable dependiente (generalmente y). Lo segundo será analizar a cuál de los tres casos que describiremos más adelante se ajusta la ecuación despejada. NOTA: Aunque en este curso nos centraremos en obtener el dominio (y luego el rango), en ecuaciones algebraicas cabe aclarar que la metodología es igualmente válida para las ecuaciones trascendentes: determinar qué valores puede tomar la variable independiente x. Despejemos y de la ecuación de la parábola x+y 2 =6 que hemos venido utilizando como ejemplo: Ahora necesitas revisar en cuál de los siguientes casos está la ecuación despejada y seguir las instrucciones para la determinación del dominio. Revisa los tres casos: Caso 1. La ecuación tiene un cociente (o sea, una división) y la variable independiente x aparece en el denominador. Obtener el dominio cuando la variable está en el denominador Determinación analítica del dominio. Caso 1 Cuando la variable está en el denominador, como en la ecuación, corremos el riesgo de que alguien pudiera intentar sustituir la x por un valor que provocara que el denominador resultara cero. Pero por qué no queremos que el denominador valga cero? Para recordarlo, intenta dividir calculadora, úsala) y elige los resultados correctos:, (si necesitas

9 Caso 2. La ecuación tiene una raíz de grado par (o sea, raíz cuadrada, raíz cuarta, raíz sexta, etc). Obtener el dominio cuando hay una raíz par Determinación analítica del dominio. Caso 2 Recuerdas qué característica deben tener un radicando para poder obtener su raíz (cuadrada, cuarta, sexta en fin, cualquier raíz de orden par)? Claro! Debe ser positivo, es decir, mayor que cero. Pues bien, acabamos de enunciar la condición que rige este caso 2: todo radicando dentro de una raíz par debe ser mayor o igual que cero. Cómo aplicamos la condición en un ejemplo? Aquí lo tienes. Primero debemos despejar y. Una vez que y ha sido despejada, aplicamos la condición de que lo de adentro del radical (o sea, el radicando) debe ser mayor o igual que cero (es decir, debe ser positivo): Este último resultado es nuestro dominio: y se lee los valores de x son los números reales menores que 1. Quieres comprobar con la gráfica? Aquí la tienes. Observa que esto de que se traduce en que la gráfica se desarrolla hacia la izquierda de x=1, en tanto que hacia la derecha no hay gráfica.

10 Caso 3. Ninguna de las anteriores. Obtener el dominio en los demás casos Determinación analítica del dominio. Caso 3. Todas las demás expresiones Sólo nos falta saber qué pasa con las ecuaciones algebraicas que no entraron en los casos anteriores. Cuando en una ecuación despejada no encontramos raíces pares o cocientes con la variable en el denominador, significa que no hay valores de x que puedan provocar problemas al calcular para obtener los valores de y. En ese caso, puedes decir con tranquilidad que el dominio son todos los reales, lo cual se expresa así:, o bien,.

11 Rango En la determinación de las intersecciones y las simetrías seguramente te diste cuenta que trabajamos un mismo algoritmo y según el eje analizado (x o y) la condición se modificó: Hicimos y=0 para la intersección con el eje x, e hicimos x=0 para las intersecciones con el eje y. Cambiamos x por x para investigar la simetría con respecto al eje de las ordenadas (y), y cambiamos la y por ypara la simetría con respecto al eje de las abscisas (x). Así que si para el dominio despejamos la variable dependiente y, para el RANGO habrá que despejar x y, de manera análoga al dominio, analizar cuál de los tres casos tenemos para determinar el rango. Así, te invitamos a intentes determinar tanto el dominio como el rango para las ecuaciones que hemos venido analizando: la parábola x+y 2 =6 y la hipérbola 16x 2-9y 2 = 144. Análisis de las ecuaciones de la oferta y la demanda Parábola x+y 2 =6 EXTENSIÓN EN x El despeje es y el DOMINIO es, o bien Quiero ver el procedimiento 1 Procedimiento 1 Recuerdas que ya habíamos hecho este despeje al iniciar el tema del dominio? Aquí tienes los pasos para determinar y: Como verás, se trata de una ecuación similar a las del Caso 2: la ecuación tiene una raíz de grado par. Así que tenemos que limitar los valores de x para que de la expresión 6-x sólo resulten números positivos. En otras palabras, esta expresión debe ser siempre mayor que cero: Para resolver la desigualdad sumamos +x en ambos lados y hacemos operaciones, que también puede expresarse como. Así que el DOMINIO es, o bien. Esto significa que los valores de x menores o iguales que 6 son los únicos que nos permitirán calcular valores para y. EXTENSIÓN EN y El despeje es y el RANGO es o bien Quiero ver el procedimiento 2 Procedimiento 2 Para el rango despejamos x, así: Como esta ecuación no tiene raíces pares ni cocientes con la variable en el denominador, podríamos clasificarla dentro de nuestro tercer caso, y por tanto decir que el RANGO es o bien. Análisis de las ecuaciones de la oferta y la demanda Hipérbola EXTENSIÓN EN x El despeje es y el DOMINIO es Quiero ver el procedimiento 1 o bien puede haber quedado así, o bien

12 Procedimiento 1 DOMINIO es, o bien Para despejar y de esta expresión procedemos de la siguiente manera: Esta expresión es como las que consideramos en el caso 2 ya que se trata de una raíz par. Quiere decir que debemos cuidar que el radicando siempre sea mayor que cero (o sea, positivo): La expresión anterior es una desigualdad de segundo grado. Para resolverla y determinar los valores de x para los cuales se puede calcular una y, empezaremos por trabajar la expresión como una ecuación de segundo grado, y la resolveremos: Ahora dibujaremos una recta numérica con estos valores: Fíjate que los dos puntos generan tres secciones en esta recta: a la izquierda de x 1 =-3, entre x 1 =-3 y x 2 =3, y a la derecha de x 2 =3. Lo que haremos a continuación será un análisis que aborde en cuáles de estas tres secciones se cumple la desigualdad original: Observa: 1. Analizamos qué pasa con algún valor a la izquierda de x 1 =-3, por ejemplo, x=-4 2. Sustituimos el valor elegido en la desigualdad: 3. Hacemos operaciones: Puedes ver entonces que los números menores que -3 satisfacen la condición, ya que. Por tanto, estos números serán parte del dominio. Investiguemos si en las otras dos secciones pasa lo mismo. 1. Ahora analicemos lo que pasa con algún valor entre x 1 =-3 y x 2 =3, por ejemplo, x=0 2. Hacemos operaciones: Esto es falso!!!!!!!

13 Como ves, el resultado de dividir -144 entre 9 NO es un número positivo, así que no se cumple la condición de que los números usados en la expresión sean mayores que cero. Por tanto, deberemos evitar la sección entre x 1 =-3 y x 2 =3. 1. Finalmente hacemos el mismo proceso con algún número a la derecha de x 2 =3. Usemos x=5 1. Hacemos operaciones: Como ves, esta tercera sección de números también cumple con la condición. Así, ahora ya podemos decir que el DOMINIO de esta ecuación que hemos analizado está integrado por todos los números reales que son menores o iguales que -3 o que son mayores o iguales que 3. En notación de intervalos, la frase anterior se escribe:, que también puede escribirse así: O incluso podemos expresarlo así:. En esta última expresión lo que decimos es que en esta ecuación la x puede valer cualquier número real, excepto aquellos que se encuentran en el intervalo entre -3 y 3 (recuerda que los paréntesis nos indican que el -3 y el 3 no forman parte del intervalo). EXTENSIÓN EN y El despeje es, y el RANGO es o bien Quiero ver el procedimiento 2 Verifícalo en la gráfica: Asíntotas En esta sección trabajaremos con el último aspecto del análisis de ecuaciones: las asíntotas. Pero qué es una asíntota? Vamos a verlo en una gráfica para entenderlo mejor: Esta gráfica corresponde a la ecuación. Fíjate que es una gráfica que tiene dos ramas. Esto significa que la gráfica tiene dos partes, en contraste con las elipses, las rectas o las parábolas, que son gráficas que pueden hacerse con un solo trazo (prácticamente sin levantar el lápiz si las dibujáramos en una hoja de papel). Si observas de izquierda a derecha verás que en esta gráfica hay una primera rama (la rama izquierda) en la que a medida que los valores de x se acercan a cero, la y toma valores negativos cada vez menores. Analizando ahora de derecha a izquierda, observarás en la segunda rama de la gráfica que a medida que los valores de x se acercan a cero, les corresponden valores de y cada vez más grandes. Te quedó clara la idea? Si es así, sigue adelante. Si prefieres una explicación más detallada, oprime aquí. Estudiando la rama izquierda de

14 Analicemos con cuidado lo anterior. Dijimos que hay una primera rama (la rama izquierda) en la que a medida que los valores de x se acercan a cero, la y toma valores negativos cada vez menores. Observa la gráfica y comprueba que: Cuando x= -1, y=0, Cuando x=-0.4, y=-1.5, Cuando x=-0.2, y=-4, Se cumple entonces el enunciado? Acerquémonos más aún a x=0 y observemos qué pasa. A continuación te presentamos sólo la rama izquierda de la gráfica, ampliada. Escribe en la tabla siguiente los valores de y que faltan: Se sigue cumpliendo el enunciado del principio? Sería correcto decir que cuando el valor de x en la gráfica tiende a cero por la izquierda, el valor de y tiende a - (Se lee menos infinito )? Estudiando la rama derecha de Veamos ahora lo que ocurre en la rama derecha de la gráfica: Observa que muy cerca de x=0, los valores de y son muy grandes. Para apreciarlo mejor, te preparamos algunos acercamientos. No pierdas de vista que queremos verificar si efectivamente a medida que los valores de x son más pequeños (tienden a cero por la derecha), los valores de y son cada vez mayores.

15 Aquí tienes una tabla para que la completes y compruebes lo anterior. Así que podemos decir que cuando x tiende a cero por la derecha, y tiende a + (es decir, a un número de valor infinitamente grande). Asíntotas Hemos dicho que en la gráfica de siguiente:, el comportamiento es el Y qué pasa exactamente en x=0? En la gráfica puedes ver que x=0 NO tiene una y asociada, es decir, no hay un punto que tenga como abscisa el valor cero. Ya vimos que al acercarnos a x=0 los valores de y se vuelven o muy pequeños o muy grandes, y x=0 es como la frontera entre ambos comportamientos. O mejor dicho, es una línea fronteriza a la cual la gráfica se acerca PERO NUNCA LLEGA A TOCAR, porque antes de lograrlo se dispara hacia el infinito. Esa recta es lo que conoceremos como una asíntota. Para identificarla usaremos una ecuación. En el caso de las asíntotas horizontales y verticales, esa ecuación corresponde precisamente al valor que la gráfica nunca toca. En este caso, nuestra gráfica tiene dos asíntotas. Ya vimos que una de ellas es x=0, que hemos marcado en azul. Asíntota Recta a la que se va acercando una gráfica sin llegar a tocarla nunca, porque antes de que ello ocurra, la gráfica se dispara al infinito (positivo o negativo). Puedes visualizar dónde hay otra asíntota? Determinación analítica de las asíntotas En muchos libros encontrarás que las asíntotas se dibujan usando líneas punteadas. Encontrar analíticamente las asíntotas horizontales y verticales es un trabajo rápido que de hecho realizas cuando determinas el dominio y el rango. Sólo tienen asíntotas las ecuaciones que pertenecen a nuestro caso 1, es decir, aquellas ecuaciones que al ser despejadas tienen una variable en el denominador te acuerdas?

16 Si repasas el procedimiento para esas ecuaciones, lo que debemos hacer es dejar fuera del dominio o el rango los valores que puedan producir una división entre cero, y qué crees? pues justamente esos valores son las asíntotas. Vamos a hacer el trabajo analítico de la ecuación con la que hemos venido trabajando ( ) para que compruebes lo que acabamos de decir. Para obtener el dominio, debemos tener despejada la variable dependiente y, y en este caso, ese trabajo ya está hecho: Al analizar esta expresión podemos ver que hay una división peligrosa :. Para que no tengamos una división entre cero, podríamos sustituir la x por cualquier número real excepto x=0. Estás de acuerdo? Pues bien, acabamos de determinar tanto el dominio como las asíntotas verticales: Dominio: x є, x 0 Asíntota: x = 0 Hagamos lo propio para el rango, empezando por despejar x: Esta es la ecuación original Restamos 1 de ambos lados para dejar libre al término que contiene x Multiplicamos ambos lados por x para que quede en el numerador, y simplificamos Dividimos ambos lados entre (y - 1) para dejar libre a la x Así que una vez despejada x, tenemos que: Para evitar que el denominador en esta expresión sea cero, la y nunca debe valer 1, verdad? Así que el rango está formado por todos los números reales excepto 1 y entonces hay una asíntota horizontal en y = 1. Rango: Asíntota: y = 1 Determinación analítica de las asíntotas Aquí tienes la ecuación. Tendrá asíntotas? Vamos a determinarlo. Recuerda que necesitamos despejar y (para el dominio) y x (para el rango) para ver si hay alguna posible división que pudiera llevarnos a un cero como denominador. Cuando hayas obtenido las expresiones despejadas, elige la respuesta que se ajuste a tus resultados: No hay Asíntotas Determinación analítica de las asíntotas Revisemos los despejes. Como te habrás dado cuenta, en la ecuación que te presentamos la y ya está despejada y aunque hay un cociente, en el denominador solo hay una constante (es decir, un número): Ahora despejemos x:

17 Ahora despejemos x: Observa que esta expresión no es un cociente, por lo que esta ecuación no puede tener asíntotas. A continuación te presentamos la gráfica, que te servirá para comprobar que nuestra conclusión es correcta: Como ves, la ecuación corresponde a una recta. Análisis de las ecuaciones de la oferta y la demanda Obtengamos las asíntotas de la ecuación 2xy + 5y - x = 0 Despeja y Determina si hay asíntotas verticales y encuéntralas. Despeja x Determina si hay asíntotas horizontales y encuéntralas. Determinación analítica de las asíntotas Tus despejes deben haber quedado de la siguiente manera: Despeje de y en Para despejar y de la ecuación, hacemos lo siguiente: 2xy + 5y - x = 0 Dejamos de un lado los términos que contienen a y, y el resto lo acomodamos en el otro lado de la ecuación Factorizamos con y como factor común Dejamos libre a y Despeje de x en Para despejar x de la ecuación, hacemos lo siguiente: 2xy + 5y - x = 0 Reunimos los términos que contienen x en un lado de la ecuación, y lo demás en el otro lado Factorizamos con x como factor común Dividimos para dejar libre a x y simplificamos Como verás, ambas expresiones son cocientes y además en ambas hay variable en el denominador, por lo que tendremos una asíntota en cada caso.

18 Escribe aquí el valor de las asíntotas, redondeado a una cifra decimal: Verifica tu respuesta con la gráfica. Estuviste en lo correcto? Si tienes alguna duda de cómo obtener analíticamente las asíntotas, oprime aquí. Determinación analítica de las asíntotas Cómo saber cuánto vale la asíntota? Hay ecuaciones como la que usamos en un ejemplo anterior ( ) en las que determinar qué valor de x provoca una división entre cero puede hacerse mentalmente: con analizar visualmente la ecuación podemos saber cuánto vale la asíntota (en ese ejemplo era x = 0, recuerdas?). Lo mismo ocurre con ecuaciones como, donde mentalmente puedes comprobar que la asíntota vertical es x = 6, ya que ese valor provocaría la temida división entre cero. Sin embargo, en casos como el del ejemplo que nos ocupa tal vez a algunos nos resulte difícil calcular mentalmente la asíntota. Aquí te mostramos cómo resolver el problema con un procedimiento algebraico: Empecemos con: Para determinar la asíntota debemos saber con qué valor de x el denominador da como resultado cero, así que podemos hacernos la pregunta en términos algebraicos, así: 2x + 5 = 0 (puedes leerlo así: con qué valor de x esta expresión nos da cero?) Despejemos x: Por tanto, la asíntota vertical está en x = Para la asíntota horizontal implícita en puedes hacer lo mismo: Cuando estés listo, elaboraremos un resumen de nuestro análisis. Resumen del análisis Hemos realizado la mayor parte del trabajo de análisis de una ecuación. Ya sabemos obtener analíticamente sus INTERSECCIONES, sus SIMETRÍAS, su EXTENSIÓN y si las hay, sus ASÍNTOTAS horizontales y verticales. El siguiente paso es generar una tabla donde calculemos las coordenadas de algunos puntos que nos permitan bosquejar la gráfica de la ecuación que hayamos analizado. En el tema anterior explicamos el proceso de cálculo para construir una tabla te acuerdas? Dado el uso tan extendido de las hojas de cálculo, aprovecharemos esta sección para recordar (a aprender) cómo se generan gráficas de usando Excel. Para ello es muy importante que tengamos en cuenta la información recabada hasta el momento, y en ese sentido, un resumen resulta muy práctico. A continuación te presentaremos los resúmenes para las ecuaciones que hemos venido analizado: 16x 2-9y 2 = 144 y x + y 2 = 6. Tabla de valores y gráfica para 16x 2-9y 2 = 144 Análisis de la ecuación 16x 2-9y 2 = INTERSECCIONES 1. Con el eje x (Condición: y = 0): En ( -3, 0) y en (3, 0) 2. Con el eje y (Condición: y = 0): No hay intersección con el eje y 2. SIMETRÍAS 1. Con respecto al eje x (Condición y = -y): Sí hay simetría 2. Con respecto al eje y (Condición x = -x): No hay simetría 3. EXTENSIÓN 1. Dominio (Se despeja y): DESPEJE: DOMINIO: x - 3 o x 3, o bien x є (-, - 3) υ [3, ) 2.Rango (Se despeja x): DESPEJE: RANGO:, o bien y є (-, ) 4. ASÍNTOTAS (horizontales o verticales): No hay

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20 Cómo hago la gráfica? 1. Presiona el ícono del Asistente para gráficos 2. En el Paso 1: tipo de gráfico elige la opción XY Dispersión. En el subtipo de gráfico, la opción de Dispersión con líneas suavizadas o sin marcadores de datos 3. En el Paso 2: datos de origen selecciona la tabla de valores que tenemos en la hoja Tabla (sólo la parte de valores numéricos en las 3 columnas: x, y 1, y 2 ) 4. En el Paso 3: opciones del gráfico dale un título a la gráfica y a los ejes, ajusta si así lo deseas la escala de los ejes y las líneas de división, y en Leyenda quita la marca al recuadro Mostrar leyenda. 5. En el Paso 4: Ubicación del gráfico, elige la opción que coloque el gráfico en una hoja nueva, a la que debes darle nombre. 6. Finalmente, oprimiendo el botón derecho del mouse sobre los ejes, los letreros, el área del gráfico, y la hipérbola misma, puedes hacer las modificaciones de formato que desees para darle mejor presentación a tu gráfica. Aquí tienes un ejemplo de cómo puede quedar:

21 Con toda la información completa (incluyendo la gráfica), podemos hacer una descripción completa de la gráfica. Cuando las ecuaciones modelan problemas reales, es importante que además de la descripción realices una interpretación de lo que cada uno de los aspectos implica en el contexto del problema. En el caso de la ecuación 16x 2-9y 2 = 144 podemos decir que se trata de una hipérbola horizontal, simétrica con respecto al eje x, y cuyo dominio se extiende desde - hasta -3 y luego desde 3 hasta +, en tanto que el rango son todos los números reales. También podemos decir que se cruza con el eje de las abscisas en los puntos (- 3, 0) y (3, 0), y que la gráfica nos permite observar que estos dos puntos son además los vértices de la hipérbola. Hipérbola horizontal Una rama abre hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Vértices de la hipérbola Es decir, los puntos en los que cada una de las ramas de la curva alcanza su abscisa extrema: máxima para la rama izquierda y mínima para la rama derecha. Tabla de valores y gráfica para x + y 2 = 6 Análisis de la ecuación x + y 2 = 6 1. INTERSECCIONES a. Con el eje x (Condición:y = 0): En ( 6, 0) b. Con el eje y (Condición:x = 0): En (0, 2.45) y en (0, ) 2. SIMETRÍAS c. Con respecto al eje x (Condición y = - y): Sí hay simetría d. Con respecto al eje y (Condición x = - x): No hay simetría 3. EXTENSIÓN e. Dominio (Se despeja y): DESPEJE: DOMINIO: x 6, o bien x є (-, 6) f. Rango (Se despeja x): DESPEJE: x = 6 - y 2 RANGO:, o bien y є ( -, ) 4. ASÍNTOTAS: No hay Usa Excel para generar la tabla y gráfica. Luego escribe aquí una breve descripción de la parábola en el siguiente espacio:

22 Certificación Análisis de los modelo de oferta y demanda de un producto Como ya habíamos comentado, la empresa que produce las paletas de caramelo Patolín realizó estudios de mercado en un cierto número de tiendas de abarrotes urbanas. Con los datos recabados pudieron determinarse los modelos algebraicos que describen la oferta y la demanda del producto, y que son los siguientes: Para la demanda: d (n) = n Para la oferta: 0 (n) = 3n + 5 Donde n es el número de artículos, d (n) representa la demanda y o (n) representa la oferta, en ambos casos en función del número de artículos. Tú tendrás que preparar un informe para los socios de la empresa, en el que deberás describir el comportamiento de cada una de las ecuaciones y su interpretación en el contexto que se ha planteado. Deberás enviar este informe al asesor, de acuerdo con lo que te indicaremos a continuación. Descripción e interpretación del modelo de la oferta y la demanda 1. Realiza el análisis de cada una de las ecuaciones siguiendo la metodología que hemos estudiado, determinando intersecciones, simetrías, extensión y asíntotas si las hubiera. Puedes hacer tus desarrollos algebraicos a mano y escanearlos, o realizarlos en Word con un editor de ecuaciones. Esto constituirá el APÉNDICE 1 de tu informe. 2. Genera la tabla y gráfica de cada ecuación usando Excel. Ello constituirá el APÉNDICE 2 de tu informe. 3. Elabora el informe que entregarías a los socios de la empresa después de haber realizado el análisis del inciso anterior. En la parte 1 de tu informe describe los resultados del análisis de la ecuación de la demanda. En la parte 2 haz lo propio con la ecuación de la oferta y en la parte 3 indica el punto de equilibrio para que puedas recomendar la cantidad de producto que debe entregarse en cada tienda de abarrotes y el precio correspondiente. Toma en cuenta las siguientes recomendaciones: o Insertar gráficas para ilustrar tu escrito. o No olvides que, como todo reporte que se presenta a los socios de una empresa, debe tener una excelente presentación. o Realiza los ajustes necesarios considerando que estás trabajando con ecuaciones que modelan una situación real. Por ejemplo, si al analizar las intersecciones de la ecuación de la oferta con el eje horizontal encuentras que hay una en el punto ( -5, 0), debes indicar en tu descripción que si bien existe un punto de intersección en ( -5, 0), cabe aclarar que este punto no tiene interpretación para este caso, ya que no tiene sentido hablar de oferta de productos negativos. 4. Para la parte 3, reúne las dos gráficas (de la oferta y la demanda) en un solo plano cartesiano. Ello te permitirá determinar gráficamente el punto de equilibro para las paletas Patolín. qué precio garantiza que todas las paletas que se surtan a una tienda de abarrotes urbana serán vendidas? cuántas paletas se venderán en cada tienda en esta circunstancia? Punto de equilibrio Es la intersección de las curvas de oferta y demanda, y representa el precio de un artículo para que todos los productos ofrecidos en el mercado sean comprados por los consumidores. Para ayudarte en la interpretación de resultados (punto 3) hemos preparado algunas preguntas que pueden guiarte al preparar tu interpretación general.

23 Aquí las tienes: Para la demanda Si la gráfica ilustra el número de paletas que se venden según el precio que cuestan, interpreta qué significa la intersección con el eje vertical. Se comprueba que a menor precio hay mayor demanda? Puedes ejemplificar con algunos valores de la gráfica para apoyar tu respuesta. (por ejemplo diciendo si la paleta cuesta, se venden productos, y si cuesta, entonces se venden, por lo que puede verse que se cumple/no se cumple la ley de la demanda. El dominio que determinaste para la ecuación es válido para la demanda de paletas o debes acotarlo? Qué interpretación le darías al punto (60, -2.2)? Acotar Reducir un intervalo fijando límites máximos y/o mínimos. Para la oferta Qué representa el punto (0, 0)? Cuántas paletas está dispuesta a ofrecer la empresa si se le pagan a $1? a qué precio se las deberían pagar para que estuviera dispuesta a surtir 60 paletas? Verifica si se cumple la ley de la oferta y justifica tu respuesta. Es necesario acotar el dominio? y el rango? SI es así, escribe los nuevos. En cualquier caso justifica tu respuesta. Cuando tengas listo tu informe, envíalo a tu Asesor. Bien hecho! Felicidades! Has terminado la primera unidad en la que te has adentrado en el estudio de los conceptos básicos de la Geometría analítica: Cuántos nuevos conocimientos has adquirido! Ahora continuaremos con el estudio particular de un modelo matemático de múltiples aplicaciones: el modelo lineal o recta.