RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN"

Transcripción

1 1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máimo premio que se pueda obtener en este concurso. Condición: A(, ) (Función Objetivo) Condición: + 1- Función Objetivo: A(, ) A() (1-) - A ()1- A () / m. A () - A (1/) - < 0 (es un máimo) Solución: 5 dm. e 5 dm., siendo Área 5 dm. Cuantía máima a percibir por el premio 5.. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la maor posible? A(, ) (Función objetivo) Condición: Condición: Función: A(, ) 80 A() /5.-

2 A () 0- A () 0 0 m. A () -1 < 0 (el punto es un máimo) Para 0 m. resulta m. Solución: 0 m, 0 m.. Se dispone de 00 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la maor área posible? Razonar el proceso. Función: A(, ) Condición: + 00 Condición: Función: A(, ) A() (00-) 00- A () 00- A () m A () - < es un máimo, siendo Solución: 100 e 100, es un cuadrado. Un terreno de forma rectangular tiene 00 m va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de euros. Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo? 00 m Perímetro del vertedero: P + Coste cerca: P ()+() 8+8 (función objetivo) Condición: 00 Condición: /5.-

3 Coste cerca: C(, ) 8+8 C() C () 8- C () 0 00 ± 0; Solución válida 0 m. C () 00 C (0) 0.8 > 0 Es un mínimo Para 0 m., siendo 00 00/0 0 m. Solución: Las dimensiones del solar son cuadradas con 0m. e 0m. 5. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 00 m un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. Qué dimensiones darán el costo más bajo? Río Condición: Función objetivo: C(, ) () C() C () Función: C(, ) () Condición: 00 C ()0 5 ± 15 (Solución válida: 15 m.) C () C (15) > Luego, en 15 ha un mínimo, siendo 0/. Solución: Las dimensiones del solar serán en este caso 15 m. e 0/ m. -. /5.-

4 6. (El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproimadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes luego hasta la punta del otro poste. Función: L cable Condición: (10-) m. L cable L() (10 ) (10 ) L () (10 ) L () (10 ) (10 ) solucion no validad > 0 L () ( 6 + ) 6 + ( 10 ) L (0/7) > 0 0/7 es un mínimo L(0/7) Solución: Longitud mínima L(0/7) m. -. /5.-

5 7. (El Primer Problema de la Ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 5 metros. r L circunferencia L πr L semicircunferencia L π r / Perímetro rectángulo + Perímetro total ++πr 5 (condición) π r Función: Área: A(, ) + π 10 ( + π ) Condición: π r π / Función: A(, ) + + A() ( π ) π A () 10 π A () m + π A () π < 0 1. es un máimo 10 ( + π ) 10 / + π 0.7 m Solución: Dimensiones de la ventana: Ancho: 1. m.; Alto: + r m. -. 5/5.-

6 8. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm de área. Sus márgenes laterales el inferior miden cm. el superior mide cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la maor área impresa posible. Alto de la página impresa: -5 Ancho de la página impresa: - Área impresa (-) (-5) (función objetivo) Área páginas 600 (condición) Condición: / Función: A(, ) (-) ( ) A() A () -5+ A ()0 ± 80 ± 0 (La solución negativa no es válida).800 A ( 0 ) ( ) < 0, es un máimo, siendo Solución: 0 cm. e 5 0 cm. 9. Una hoja de papel debe contener 18 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener cm. cada uno, los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. 1 Función: A(, ) Condición: (-) (-) /5.-

7 Condición: (-) (-) Función: A(, ) A() A() 16 0 A () A () (solución negativa no es válida). A () Solución: 10 e 5. ( ) ( 16)( ) ( )( 16 0) ( ) A (10) > 0, es un mínimo. 10. Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared a eistente. Halla las dimensiones de la cerca para que el área encerrada sea máima. Función: f(, ) Condición: f(, ) f() (1.000-) f()1.000 f () f () 0 50 f () - f (50) < 0. Por lo tanto, 50 es un máimo. Solución: 50 e Un segmento de longitud de 5 cm. apoa sus etremos en los semiejes positivos OX OY, de tal manera que forma con éstos un triángulo. Halla las dimensiones del triángulo de área máima así construido. 5 Función: f(, ) Condición /5.-

8 Condición: + 5 Función: f(, ) 5 f() 5 f () 5 10 f () 5 Solución: 5; 10 5 f () 0 ± 5 (La solución negativa no es válida). f ( 5< 0). Por lo tanto, es un máimo. 1. Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máima. Función: A total A triángulo + A rectángulo Condición: Condición: A total f(, ) + + f() + ( ) f() f ( ) f ( ) 1 f (1.5) < 0. Luego, 1.5 es máimo. Solución: 1.5; /5.-

9 1. Dividir un segmento de 6 cm. de longitud en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas del cuadrado del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea máima. A total A triángulo + A cuadrado Condición: + 6 Condición: Función: A total Sustituimos obtenemos: f() + (6 ) f (, ) + f() f ( ) 86 f ( ) f ( ) f (0.7) < 0 Luego, en 0.7 es máimo. Solución: 5.; Se considera una ventana como la que se indica en la figura (la parte inferior es rectangular la superior una semicircunferencia). El perímetro de la ventana mide 6 m. Halla las dimensiones e del rectángulo para que la superficie de la ventana sea máima (Epresa el resultado en función de π). / / π Condición: + + 6, luego π Funcion : f(, ) /5.- 1 π

10 1 π π f( ) + 8 π f( ) 8 1 f ( ) ( 8 π ) 8 1 f ( ) 0 + π π f ''( ) 1 1 π 1 f ( ) 1 < 0 es un máimo + π + π Solución: ; + π π Entre todos los rectángulos de perímetro 1 m. cuál es el que tiene la diagonal menor? Razonar el proceso seguido. Condición: Función: f(, ) + ( ) 6 ( ) f + f + ( ) 1 6 f ( ) Para f () 0 tenemos que f ( ) 6 ( ) 1+ 6 sustituimos, f () > 0, por lo tanto es mínimo. Solución: e -. 10/5.-

11 16. Calcula el área máima que puede tiene un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de sus dos catetos vale cm. Condición: + ; - Función: Área f(,) / f(, ) f( ) f( ) f ( ) ( ) f ( ) 0 f ( ) 1 f () < 0 de donde tenemos que es máimo. Solución: e. 17. Halla las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio. Razonar el proceso seguido. Condición: + (0) cm Función Área f(, ) f( ) 00 f ( ) f ( ) 0 ± 10 La solución negativa no es válida /5.-

12 00 00 f ( ) ( ) ( ) 00 f (10 ) < 0 es un mínimo Solución: 10 ; En un jardín con forma semicírculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuos lados está sobre el diámetro el opuesto a él tiene sus etremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máima. Condición: P(,) pertenece a la Circunferencia Función:f(,) ( ) f, ( ) f f ( ) f ( ) 0 ± 5 (La solución negativa no es válida) 100 f (5 ) < 0 (máimo) Solución: Dimensión del parterre será de base 10 m ; altura 5 m. Siendo el área máima de 100 m. -. 1/5.-

13 19. Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesiten eactamente 18 metros de valla para vallar los tres la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. z Llamamos,, z, a los lados de las tres parcelas. Condiciones: i) z ii) ++z 18 de donde z, entonces 1 Función: S(,,z) + + z S() + (1-) +9 S() S () 5-96 para S () 0 tenemos que 8 S () 5 S (8) > 0, por tanto, es mínimo. Solución: 8 m 10 m z 1 m. 0. Una arquitecta quiere construir un jardín rectangular en un terreno circular de 100 metros de radio. Halla las dimensiones de dicho jardín para que el área sea máima. Condición: + 100, luego tenemos que Función: Área del jardín rectangular /5.-

14 A (, ) A ( ) 100 El valor que haga máima el área, también hará máima a A () los cálculos se simplifican haciendo: ( ) ( ) B ( ) A Se descarta B ( ) 0000 B ( ) m B ( ) B (70.71) < 0 máimo ( ) Solución: Para resulta m 1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma. Condición: + e, de donde tenemos que e- Función: S(,) ln() + ln() S() ln() + ln(e-) 1 1 e S'( ) S'( ) 0 e 1 1 e 8 S''( ) S''( ) < 0 e ( e ) luego, tenemos que es máimo. e e La suma pedida será: suma ln + ln e ln. Solución: e/ la suma S -ln. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede epresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maimizar su seguridad? -. 1/5.-

15 Alarmas tipo A Alarmas tipo B Condición: + 9, luego 9- Función: La Seguridad se epresa como: f(, ) 10 ( 9 ) 10 f (, ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) 0 10 los valores de la que anulan la primera derivada son f ( ) f (9) > f () < 0 10 luego, 9 es mínimo es máimo. Solución: Será necesario instalar de tipo A alarmas de tipo B 6 alarmas.. Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea mínima. Condición: + 10, de donde 10- La función: 1 f(, ) 1 9 f( ) f ( ) ( 10 ) Como f () 0 tenemos que /5.-

16 f ( ) 180 ( 10 ) f (19.5) > 0 mínimo f (0.6) < 0 máimo Solución: 19.5 e Si un cultivador valenciano planta 00 naranjos por hectárea, el rendimiento promedio es de 00 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por hectárea, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol. Cuántos árboles por hectárea darán la mejor cosecha? Nº naranjos / hectárea 00 Rendimiento / árbol 00 naranjas nº árboles a plantar R () Rendimiento() ( ) ( ) R( ) R( ) R ( ) R ( ) Solución absurda. Conclusión: Sin plantar árboles la producción que se obtiene es mejor que si aumentamos el número de frutales de esta variedad. 5. El propietario de un edificio tiene alquilados los 0 pisos del mismo a un precio de 600 cada uno. Por cada 60 que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. a qué precio le convienen alquilar los pisos para obtener la maor ganancia posible?(auda: llamar nº de 60 que aumenta o lo que es lo mismo el nº inquilinos perdidos.) 0 pisos 600 euros / cada uno Si aumenta euros por cada piso cobra 600 +, pero alquila 0 60 pisos. La función es el beneficio obtenido: B ( ) (600 + ) 0 con 0 < < B ( ) /5.-

17 B ( ) 0 B ( ) B ( ) B (900) < 0 Es Máimo. 0 Solución: Aumentará Entre todos los triángulos isósceles (dos lados iguales) de perímetro 0 cm., cuál es el de área máima? 0 Condición: + 0 h Función: A (, ) A ( ) A ( ) A ( ) A (10) < 0 Es un máimo Solución: 10, Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar empleados comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra máquinas contrata empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función: f (, ) 90 Cada máquina le supone una inversión de 500 cada contrato de un nuevo empleado otro de 1500 Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 500 para este fin, determine el número de obreros que debe contratar el número de máquinas que debe comprar para maimizar la producción. máquinas. empleados /5.-

18 Solución:, Condición: f, 90 Función: ( ) 5 5 f( ) 90 f ( ) f f ( ) 0 1 ; 9 f ( ) f () < 0 Es Máimo. f (9) > 0 Es Mínimo. ( ) Una esmeralda pesa 16 grs. sabemos que su valor es proporcional al cuadrado de su peso. Si partimos en dos trozos la esmeralda, halla el peso que debe tener cada uno de ellos para que su valor sea mínimo. Condición: peso de un trozo. peso del otro trozo. La función que queremos optimizar es la que nos da el valor de la esmeralda después de dividirla, que dependerá del peso de cada trozo. Función: f (, ) k + k k( ) ( + ( 16 ) ) ( + 56) f (, ) + f ( ) k f ( ) k f ( ) k( ) ( ) 0 8 f ( ) k f, consideramos k > 0 f (8) > 0 Es mínimo. Solución: 8 gramos e 8 gramos /5.-

19 Ejercicios de ampliación 9. La base menor de un trapecio isósceles mide 6 metros la longitud de los lados no paralelos es de metros. Calcula cuánto debe medir la base maor para que el área del trapecio sea máima. h 6 Condición (por Pitágoras): h + h Función: A trapecio ( ) ( 6 ) BASE + base h + h Atrapecio ( + ) h f(, h) ( ) f( ) < 0 Se descarta 6 f ( ) f ( ) > f ( ) f ( ) < 0 es máimo ( ) Solución: + 1 e + 1 (el valor 1se descarta) 0. Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes Con el de longitud se forma un triángulo equilátero con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo del cuadrado. Indicar razonadamente para qué valor de se obtiene que la suma de las áreas del triángulo del cuadrado es mínima /5.-

20 h / (100-)/ Condición: Altura del triángulo h 6 6 Área del triángulo 6 a triangulo 6 Área del cuadrado a cuadrado 100 Función: atriángulo + a f() cuadrado 100 f( ) f ( ) f ( ) f ( ) > 0 ( mínimo) 18 Solución: Para 8.86 resulta la suma de áreas mínima, siendo 8.86 h En una carretera a través del desierto un automóvil debe de ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A B que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A B es de 00 Km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. P La ruta a seguir es AMP A M B 00 Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABP se obtiene: AB En el triángulo MBP se obtiene MP /5.-

21 Y el tiempo que tarda el automóvil en recorrer la distancia AM + MP es: t( ) 1 Derivando, t () Si hacemos t () 0 obtenemos ± La solución negativa no tiene sentido: AM El automóvil deja la carretera a 175 km de la ciudad A. Podemos comprobar que es un mínimo utilizando la segunda derivada: t () 60( + 00 ) 60 ( ) t () + 00 ( ) Para 5 t () > 0, por lo tanto, es un mínimo. Solución: La ruta a seguir es AMP, de A a M ha 175 Km. de M a P ha Km., con lo que recorrerá en total 550 Km. a una velocidad de 100 Km/h Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide cm. los dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las epresiones de las funciones A f tales que: A() Área del triángulo T F() {A()} Indicar además entre que valores puede variar. b) Obtener, razonadamente, el valor de para el que f () alcanza el valor máimo. Condición: La altura del triángulo será: h -. 1/5.-

22 a) Solución: 60 A (, ) A triangulo A ( ) 60 F(, ) ( A(, ) ) F( ) b) ( 60 ) F( ) 900 F ( ) ( ) F '( ) Por las condiciones del problema descartamos 0, siendo: F ( ) 90 F (0) < 0. Por lo tanto es máimo. Solución: 0 e 0.. Comprueba que el rectángulo de maor área que puede inscribirse en una circunferencia de ecuación. + r es un cuadrado de lado r r b/ h/ Condición: r r h r b b h + b + h Función Área b h -. /5.-

23 f(, b h) bh f( b) b r b b f ( b) r b f ( b) 0 b r r b ( ) ( ) b b r b + b f ''( b) < 0 r b r b ( ) h r b r r r Solución : El area es maima para: b r; h r. Determine los puntos de la curva que están a distancia mínima del punto P (, 0). Q 1 Condición: de donde Un punto de la curva tiene la forma P(, ± ) 0 1 P(,0) Función: (, ) ( ) ( ) dpq + ± Q ( ) ( ) dpq (, ) + ± d + ( ) 16 d ( ) d ( ) d ( ) d () > 0 ( + 16) El punto es mínimo. Solución: Q1(, ) Q(, ) -. /5.-

24 5. Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas ( 0,0), (a,0), ( 0, b ) ( a, b), de modo que el punto ( a, b) tiene coordenadas positivas está situado en la curva 1 de ecuación: +. De todos estos rectángulos hallar razonadamente el de área mínima. 1 Condición: Si (a, b) pertenece a la curva, verifica: b + a 1 1 Función: El área del rectángulo es Aa ( ) a + a + a a 1 1 A ( a) + A ( a) 0 a± a El valor a -1/ no es valido por que se indica que las coordenadas son positivas. 1 A ( a) A ( ) > 0 (es mínimo) a Solución: Los vértices serán (0,0), (1/,0), (1/,8) (0,8) 6. (Problema del tiempo mínimo).- Un nadador, A, se encuentra a km. De la plaa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma plaa, a 6 Km. De la caseta. Sabiendo que nada a km/h que anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible. P 6 - B h 9 + a Km/h Recorre 6 a 5 Km/h Km h Tiempo empleado: t( ) A -. /5.-

25 t ( ) Haciendo t ( ) ; (No valida) t ( 5) > 0 Es mínimo. Solución: Debe dirigirse a un punto que esté a.5 Km de la caseta. Tiempo que tarda en llegar: t t horas Determina el punto de la gráfica de la función f ( ) en el que la pendiente de la recta tangente es máima. Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto? Condición: f ( ) Pendiente: p ( ) f ( ) p ( ) 6 + 1, p ( ) 0 p ( ) 6, p () < 0 Es Máimo Solución: Punto buscado: P(, f ()) P(, 7) Ecuación Recta Tangente: 7 p() ( ) 7 5 ( ) -. 5/5.-

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros,

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 MATEMÁTICAS: º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 1.- Determina dos números cuya suma sea y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo. = 1 er número;

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

Problemas de optimización

Problemas de optimización Problemas de optimización 1º) La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en Kg) depende de la temperatura x (ºC) según la expresión. a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima

Más detalles

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO página / Problemas Tema Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO Hoja. Calcula las medidas de un rectángulo cuya superficie es de 40 metros cuadrados, sabiendo que el largo es 6 metros mayor que el triple

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 2008/2009

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 2008/2009 1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma. 2. Calcula dos números que cumplan que al sumarlos

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

Ejercicios para repasar y recuperar el. Área de Matemáticas de 1º ESO

Ejercicios para repasar y recuperar el. Área de Matemáticas de 1º ESO Octubre 01 º Cuadernillo Ejercicios para repasar y recuperar el Área de Matemáticas de 1º ESO Nota: Debes de presentarlo el día del º Parcial. ALUMNO: 1 1. Efectúa: a) 5 5 1 : 5 = b) 1 = c) 7 5 8 1 10

Más detalles

TEMA 6 FUNCIONES. María Juan Pablo Julia Manuel Ángela Enrique Alejandro Carmen

TEMA 6 FUNCIONES. María Juan Pablo Julia Manuel Ángela Enrique Alejandro Carmen TEMA 6 FUNCIONES 1.- Estudia y clasifica las relaciones que aparecen en las siguientes situaciones (elementos relacionados, características de la relación, dependencia entre elementos, conjuntos que se

Más detalles

164 Ecuaciones diferenciales

164 Ecuaciones diferenciales 64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x + EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12 Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero Matemáticas 4º E.S.O. ACTIVIDADES DE LOS TEMAS Y. Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: y = - ; b) y = ; c) y = +. Representa

Más detalles

CAPÍTULO VI. Funciones

CAPÍTULO VI. Funciones CAPÍTULO VI Funciones FUNCIONES 1. Indicar si las siguientes expresiones son o no funciones indicando razonadamente por qué. ( ) a) f : Z N : x x 2 + 1 b) f : Z R : x 1 x 2 c) La recta que pasa por los

Más detalles

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836. / 2 Qué longitud debe tener el rectángulo para que su

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836. / 2 Qué longitud debe tener el rectángulo para que su www.juliweb.es tlf. 69886 Ejercicios de optimización: Estrateias para resolver problemas de optimización: - Asinar símbolos a todas las manitudes a determinar. - Escribir una ecuación primaria para la

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

REFUERZO MATEMÁTICAS 2º ESO CURSO: 2009/2010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ

REFUERZO MATEMÁTICAS 2º ESO CURSO: 2009/2010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ REFUERZO MATEMÁTICAS º ESO CURSO: 009/010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS... POTENCIAS... 6 FRACCIONES... 8 FRACCIONES EQUIVALENTES... 8 SUMA DE FRACCIONES... 9 PRODUCTO

Más detalles

Ejercicios de Matemáticas

Ejercicios de Matemáticas Ejercicios de Matemáticas 82. Me encargaron un trabajo. Ayer realicé la mitad del mismo y hoy 1/3 del total. Qué fracción del trabajo llevo realizada? 83. De un depósito que contiene 240 litros de agua

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS 1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Revisores: Javier Rodrigo y Raquel Hernández Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 19 Índice 1. PERÍMETROS Y ÁREAS

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 2008/2009

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 2008/2009 Actualizado en el curso 008/009 1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma. Condición: + e, de

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Copia y completa de modo que estas expresiones sean igualdades numéricas. a) 5 2 13 c) 2 32 b) 4 5 17 d) 4 6 18 10

EJERCICIOS PROPUESTOS. Copia y completa de modo que estas expresiones sean igualdades numéricas. a) 5 2 13 c) 2 32 b) 4 5 17 d) 4 6 18 10 5 ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Copia y completa de modo que estas epresiones sean igualdades numéricas. a) 5 1 c) b) 5 17 d) 6 1 10 a) 5 10 1 c) 16 b) 5 17 d) 6 1 10 5. Sustituye las letras por

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA. 1. La base de un prisma recto es un cuadrado de área 4 m 2 y la altura es 9 m. Cuál es su volumen?.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA. 1. La base de un prisma recto es un cuadrado de área 4 m 2 y la altura es 9 m. Cuál es su volumen?. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 1. La base de un prisma recto es un cuadrado de área 4 m 2 y la altura es 9 m. Cuál es su volumen?. Sol: 36 m 3 2. Una caja de zapatos tiene de dimensiones 3, 4 y 2 dm. Qué volumen

Más detalles

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos EL TRIÁNGULO 1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Indica cuál de estos poliedros es cóncavo y cuál es convexo. a) Cóncavo b) Convexo 10.2 Completa la siguiente tabla. Caras (C ) Vértices (V ) Aristas (A) C V A 2 Tetraedro 4

Más detalles

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5 58 EJERCICIOS DE FUNCIONES FUNCIONES y GRÁFICAS. Construir una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones: a) y=3+ b) f()= c) y= -4 d) f(). Completar la siguiente tabla (obsérvese el primer

Más detalles

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones 1.- los polígonos. Un polígono es un trozo de plano limitado por una línea poligonal (sin curvas) cerrada. Es un polígono No son polígonos Hay dos clases de polígonos:

Más detalles

SOLUCIONES. Matemáticas 3 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 3 1 1 3, 4 2,3 + : a) Expresamos N = 2,3 en forma de fracción: 10 N = 23,333 N = 2,333 21 7 = + = =

SOLUCIONES. Matemáticas 3 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 3 1 1 3, 4 2,3 + : a) Expresamos N = 2,3 en forma de fracción: 10 N = 23,333 N = 2,333 21 7 = + = = Matemáticas EDUCACIÓN SECUNDARIA Opción A SOLUCIONES Evaluación: Fecha: Ejercicio nº 1.- a) Opera y simplifica: 1 1 1, 4, + : 5 b) Reduce a una sola potencia: 4 1 5 5 0 a) Expresamos N =, en forma de fracción:

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

PROPORCIONALIDAD - teoría

PROPORCIONALIDAD - teoría PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos

Más detalles

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9 5 INECUACIONES PARA EMPEZAR 1 Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7 Si sumas a cada fracción, se mantiene el orden? 0 5 6, 7 9, 1 15 El denominador común

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA . NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos

Más detalles

Máximo o mínimo de una función

Máximo o mínimo de una función Análisis: Máimos, mínimos, optimización 1 MAJ00 Máimo o mínimo de una función 1. Dados tres números reales cualesquiera r 1, r y r, hallar el número real que minimiza la función D( ) ( r ) ( r ) ( r 1

Más detalles

UNIDAD 4 COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

UNIDAD 4 COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN UNIDAD 4 COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Propósitos: Analizar las relaciones eistentes entre la gráfica de una función sus derivadas para obtener información sobre el comportamiento

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.-Entre todos los rectángulos de perímetro 10 cm. encontrar el de mayor

Más detalles

TEMA 01 - NÚMEROS ENTEROS

TEMA 01 - NÚMEROS ENTEROS º ESO TEMA 0 - NÚMEROS ENTEROS º. Indica el número que corresponde a cada letra. º. Representa en una recta numérica los números: (), (-), (0), (), (-), () luego escríbelos de forma ordenada. º. Haz las

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES. y 2 7, y 0,12. b) 0,12v 1 1 55 EJERCICIOS PROPUESTOS

ACTIVIDADES INICIALES. y 2 7, y 0,12. b) 0,12v 1 1 55 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 5 Inecuaciones ACTIVIDADES INICIALES 5.I. rdena de menor a mayor los siguientes números. a), 6 8, 4 y 7 b) 0,v,, y 0, 4 5 5 0 90 5 a) 75 ; 6 8 7 ; 4 80 y 7 70 7 6 8 4 4 00 5 00 5 00 0 00 0

Más detalles

13 LONGITUDES Y ÁREAS

13 LONGITUDES Y ÁREAS 1 LONGITUDES Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a),5 cm b) cm cm cm cm a) p,5 8 5 1 cm b) p 9 cm 1. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Problemas de Optimización J. Labrin - G.Riquelme 1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 0 PRPIEDADES DE LAS FUNCINES PARA EMPEZAR Copia y completa la tabla, y representa la gráfica de la función. Se trata de una función continua? Figura 3 4 5 N.º de puntos f() hace corresponder a cada natural

Más detalles

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA. EJERCICIOS DE REPASO MATEMÁTICAS.- º ESO ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.. Sergio trabaja horas todas las semanas

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

8 GEOMETRÍA DEL PLANO EJERIIOS PROPUESTOS 8.1 alcula la medida del ángulo que falta en cada figura. a) 6 b) 145 15 105 160 130 a) En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. p 180 90 6 8 El ángulo mide 8.

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

Aplicaciones de Máximos y Mínimos

Aplicaciones de Máximos y Mínimos Aplicaciones de Máximos y Mínimos Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a la solución de algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden expresarse verbalmente

Más detalles

UNIDAD N 4: TRIGONOMETRÍA

UNIDAD N 4: TRIGONOMETRÍA Matemática Unidad 4 - UNIDD N 4: TRIGONOMETRÍ ÍNDICE GENERL DE L UNIDD Trigonometría....... 3 Sistema de medición angular... 3 Sistema seagesimal...... 3 Sistema Radial....... 3 Tabla de conversión entre

Más detalles

5 SISTEMAS DE ECUACIONES

5 SISTEMAS DE ECUACIONES 5 SISTEMAS DE ECUACINES EJERCICIS PRPUESTS 5. Escribe estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas. a) Un número más el doble de otro es. La diferencia de dos números es 5. c) Un número

Más detalles

Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas.

Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas. Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas. Profesor(a): Juana Inés Pérez Zárate Periodo: Enero Junio 2012 Topic:

Más detalles

POLÍGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

POLÍGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO POLÍGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO POLÍGONOS Polígono es la figura plana cerrada formada por n segmentos P 1P,PP3,P3P4,...,PnP1 ( n 3 ) llamados lados, los puntos P,P,... se llaman vértices. 1 Pn El ángulo

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 180 EJERCICIOS Semejanza de figuras 1 Sobre un papel cuadriculado, haz un dibujo semejante a este ampliado al triple de su tamaño: 2 En un mapa a escala 1 :50 000 la distancia entre dos pueblos,

Más detalles

Áreas de cuerpos geométricos

Áreas de cuerpos geométricos 9 Áreas de cuerpos geométricos Objetivos En esta quincena aprenderás a: Calcular el área de prismas rectos de cualquier número de caras. Calcular el área de pirámides de cualquier número de caras. Calcular

Más detalles

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Tema 6 Semejanza de triángulos Matemáticas - 4º ESO 1 TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ESCALAS EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden,5 cm y,7 cm, respectivamente; en la realidad, María

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 6. Optimización

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 6. Optimización Apuntes Tema 6 Optimización 6.1 Problemas de optimización El cálculo de máximos y mínimos no solo se usa en Matemáticas, sino en muchas otras disciplinas. Precisamente este tipo de problemas fue el que

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica.

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. ) Dada la función definida por f) 3 5 5 3,

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. 3 rad x x 2. 4 rad d) 2 rad

EJERCICIOS PROPUESTOS. 3 rad x x 2. 4 rad d) 2 rad TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS PROPUESTOS.. Indica la medida de estos ángulos en radianes. a) º c) º b) º d) º a) º rad c) rad º rad b) rad º rad d) rad rad º º Epresa en grados los siguientes ángulos. a) rad

Más detalles

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las

Más detalles

9 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

9 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA 9 FUNCINES DE PRPRCINALIDAD DIRECTA E INVERSA EJERCICIS PRPUESTS 9. Dibuja la gráfica de la función que eprese que el precio del litro de gasolina en los últimos 6 meses ha sido siempre de 0,967 euros.

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones.

Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = 4 4 3 3 3 + 5 = 13. + 5 =

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 6 CÓNICAS 6.I. Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos. a) Puntos que equidistan de A(3, 3) y de B(, 5). b) Puntos que equidistan de r: y 0 y s: y 0. c)

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución: 5x y 1 3x 3y 5 b) Resuelve por reducción: x y 6 4x 3y 14 Ejercicio nº.- a) Resuelve por igualación: 5x y x y b) Resuelve

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES .5 FUNCIONES CON RADICALES UNIDAD : Funciones racionales y con radicales.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES Aprendizajes: - Eplora en una situación o problema que da lugar a una función

Más detalles

El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras Cuaderno de ejercicios Matemáticas JRM Nombre y apellidos... Índice de contenidos. 1. Comprobación del teorema de Pitágoras. 2. Cálculo de un lado en un triángulo rectángulo. 3.

Más detalles

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES FUNCINES PLINÓMICAS RACINALES EJERCICIS PRPUESTS. Estudia y representa la siguiente función cuadrática: f(). Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a 0. El vértice es el punto V, 5 8. El eje

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

SEGUNDO PARCIAL BOLETÍN DE EJERCICIOS PARA ALUMNOS CON MATEMÁTICAS DE 2º ESO PENDIENTE

SEGUNDO PARCIAL BOLETÍN DE EJERCICIOS PARA ALUMNOS CON MATEMÁTICAS DE 2º ESO PENDIENTE SEGUNDO PARCIAL BOLETÍN DE EJERCICIOS PARA ALUMNOS CON MATEMÁTICAS DE º ESO PENDIENTE TEMA 5: ÁLGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS- OPERACIONES-, PRODUCTOS NOTABLES, ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA,

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

GEOMETRIA ANALITICA PROBLEMARIO. M. en C. JOSÉ CORREA BUCIO ELABORADO POR:

GEOMETRIA ANALITICA PROBLEMARIO. M. en C. JOSÉ CORREA BUCIO ELABORADO POR: GEOMETRIA ANALITICA PROBLEMARIO ELABORADO POR: SEMESTRE AGOSTO 13 - ENERO 1 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL 1.- Localizaremos en un eje de coordenadas los puntos que tienen por coordenadas

Más detalles

7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA

7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 7 SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ EJERIIOS PROPUESTOS 7.1 Estos dos cuadriláteros son semejantes, con razón de semejanza 3. alcula la razón de proporcionalidad que hay entre sus perímetros. Se utiliza el teorema

Más detalles