INTRODUCCIÓN. Mucho éxito en su aprendizaje. Heraldo González Serrano Coordinador Matemática General

Transcripción

1 INTRODUIÓN El pesete pute el pmeo de dos so los putes de clse que he elzdo e l sgtu Mtemátc Geel códgo 0.05 e el pl comú de Igeeí de Ejecucó de l Fcultd de Igeeí de l Uvesdd de Stgo de hle sgtu que tee cácte égme ul. Este pute se elzó co el pesmeto puesto e los lumos que se c e uests ces de Igeeí postdo que este stumeto sevá de guí e l dquscó de los elemetos se e l Mtemátc que os poy e ls ots dscpls de ls dvess sgtus. oespode u toduccó l Álge ásc cosdedo ete otos el estudo de ls Relcoes y Fucoes los Númeos Ntules duccó sumtos pogesoes álss comtoo teoem del omo sucesoes u eve toduccó Estuctus lgecs co éfss e Númeos omplejos y Polomos. El pute cotee u g ctdd de ejemplos esueltos y popuestos y deemos cosdelo como u guí que coduzc l estudo de l g ctdd de tetos que soe los tems decldos este. E elcó co el estudo del pute que se desollá dute el pme semeste cdémco es coveete poyse e l pág we pág de l coodcó que djo y que cotee los cotoles de ejeccos y ls pues elzds dute el ño 00 Espeo que el uso de este pute e cd u de los cusos que cotempl l coodcó sv de poyo p equecelo e su pesetcó futu l cul quzás copoe otos ecusos. El segudo pute que espeo se pued edt e el segudo semeste cdémco del pesete ño cotedí: Mtces Detemtes Sstems de Ecucoes Leles Espcos Vectoles y Tsfomcoes Leles sí como u toduccó Ecucoes Dfeecles Ods. Mucho éto e su pedzje Heldo Gozález Seo ooddo Mtemátc Geel 0.05

2 ONTENIDOS. Nocoes elemetles de Lógc Mtemátc.. Lógc poposcol... Poposcoes...oectvos... Tls de vedd...tl de vedd de l egcó... Tl de vedd de l cojucó... Tl de vedd de l dsyucó... Tl de vedd de l mplccó...5. Tl de vedd de l equvlec... Tutologí otdccó otgec... Tutologí... otdccó 5... otgec Leyes fudmetles del Álge de poposcoes 6.. Lógc fucol 8... utfcdoes 8... Leyes de l cutfccó 9. Nocoes áscs de Teoí de cojutos 0.. Nocoes pmtvs 0.. Iguldd de cojutos 0.. lguos cojutos mpottes.. Opecoes co cojutos... Uó de cojutos... Iteseccó de cojutos... Dfeec de cojutos 7... omplemeto de u cojuto 7..5.Popeddes comds 8..6 dldd Ejeccos popuestos. Relcoes y fucoes 6.. Defcó y ejemplos 6.. Domo Recodo y Relcó ves 7.. omposcó de elcoes 8.. Relcoes e u cojuto 9.5. Relcó de ode y de equvlec Relcó de equvlec lse de equvlec.5.. Relcó de ode.5... ojuto pcl y totlmete odedo.5... oguec módulo.6. Ejeccos popuestos 7.7. Fucoes Defcó de fucó Opecoes co fucoes.7.. Fucó ves.7... Fucó yectv

3 .7... ojuto mge.7... Fucó soeyectv.7... Fucó ves teoems.7.. omposcó de fucoes 5.8. Ejeccos popuestos 6. Los úmeos tules 9.. Iduccó mtemátc 9... Pme Teoem de l Iduccó Segudo Teoem de l Iduccó 5... Sum y multplccó e N Ejeccos popuestos 58.. Sumtos Sumto smple Popeddes de l sumto smple 6... lgus sumtos mpottes 6... Sumto dole Defcó de sumto dole 66...Popeddes de l sumto dole Ejeccos popuestos 68.. Pogesoes 7... Pogesó tmétc 7... Teoem egultoo 7... Pogesó Geométc 7... Teoem egultoo 7... Pogesó móc Ejeccos popuestos 78.. álss comtoo 8... Pcpo del álss comtoo 8... Fctol de u úmeo 8... Vcoes 8... Pemutcoes omcoes Ejeccos popuestos Teoem del omo Teoem y popeddes Ejeccos popuestos 9.6. Ejeccos dvesos complemetos tules 9.7 Ejeccos popuestos complemetos tules Estuctus lgecs Ley de composcó te soctvdd Dstutvdd Elemeto euto omuttvdd Elemeto veso Estuctus lgecs Gupo llo 0

4 5... Domo de tegdd uepo Ejeccos popuestos Númeos complejos 6.. Itoduccó 6.. Opecoes co complejos 6.. Sucojutos de 6.. omplejos e fom cóc 6.5. Opeto co complejos cócos ojugdo de u complejo Nom o módulo de u complejo Fom tgoométc de u úmeo complejo Opeto co complejos tgoométcos Ríces de u complejo Fom epoecl 6.. Ejeccos popuestos 7. Polomos Defcoes Sum y multplccó de polomos Teoem del esto 7.. Númeo de íces de u ecucó 7.5. Ríces coles 7.6. Ntulez de ls íces lgus yuds p ecot íces Relcoes ete coefcetes y íces 7.9. Fccoes pcles Fccoes coles Sum y multplccó 7.0. Fccoes pcles plccó e plccó e R Ejeccos popuestos 50

5 L MTEMÁTI: IENI Y LENGUJE DE LS IENIS E los cogesos tecoles de Mtemátc se eúe mles de mtemátcos de todos los píses p dscut sus descumetos. Qué coss descue? De qué se ocup?. Se ocup de tts coss dfeetes que y o hy gú mtemátco que coozc todo lo que hce todos sus colegs. Los omes de ls ms de ls mtemátcs modes: Veddes Dfeecles Topologí lgec lge Topológc etc. sue más msteosos ú que los de l Físc o l ologí. Todo có del deseo y l ecesdd de se cd vez más soe los úmeos ls fgus geométcs y tods ls elcoes ete estos ojetos cedos po l mete hum. Pece met que coss petemete t seclls como uo dos tes... hy tedo ocupdos ttos homes de geo dute ttos sglos y que cd vez hy más gete que se ocupe de eso y que cd vez pezc más polems de que ocupse peo y veemos poco poco cómo eso es posle y tul. Los mtemátcos ctules s emgo pocs veces hl de úmeos o fgus; muchs más hl de ls elcoes msms. sí demás de vefc que el está tes que el 5 se pegut que es ode ojetos culesque; demás de d l fómul p l supefce de u cículo estud qué es med cojutos e geel. Se dce que plte polems más geeles más stctos. Y p estud estos polems sgue u método especl peo que es el msmo que usmos cudo jugmos ls dms l jedez o oto juego culque: dec cules so ls pezs del juego d egls p usls y luego movels s hce tmps. Esto st p d u de de lo que es el fmoso método omátco. l uslo lo etedeemos mejo; veemos que los oms so como ls egls del juego que zo es como move ls pezs y que los teoems os dce cul es el efecto de hce vs jugds. P us este método fue dspesle pode dec ls coss de me que o pudese he cofusoes. Tods ls pls deí se defds co ecttud todos los zometos deí se clos evdetes. Eso olgó toduc símolos especles como se hce tmé p desc u ptd de jedez p pode esum e fom secll y ect lo que dcedo y l vedd es que ecé cudo se empezo us símolos de tods clses pudo l Mtemátc más llá de lo que hí descueto los gegos y otos puelos e l tgüedd. Los símolos

6 y fómuls o tee gu vtud mágc o msteos smplemete pemte dec e u egló coss que lleí págs. Peo sólo gcs esos esúmees pefectos que so ls fómuls pudeo los homes pes e coss cd vez más complcds s hcese u emollo de des. Este método y este leguje mtemátco h esultdo p ls demás cecs t mpottes como los myoes descumetos. E efecto el leguje que pedemos t tjosmete e uest fc y que es lo pmeo que os dfeec totlmete de los mles se fue cedo cudo ls ecesddes del home e seclls y sus des del mudo lmtds e geus. Mo dolo mmá uo muchos so pls que este e todos los doms y que compedemos desde muy temp edd. o pls como éss el home se ls egló dute muchos mleos p desc lo que veí y setí p d eplccoes e stuccoes smples y hst p ce el te lteo. eto es que poto empezo ls cofusoes y se vo l ecesdd de def cetos témos páctcos como ls uddes p med y pes o los deees y deechos de los dvduos. quí se empezó ot que lgus defcoes e fácles de dse gusto de todos peo muchs o cme letd to y lguos coceptos o poducí más que temles dscusoes flosófcs e se mte fto. Peo pes de esto el leguje odo e sufcete p todos. L cos empezó cm hce pes uos 00 ños: s dud el ejemplo más mpotte de l ecesdd de u uevo leguje fue l eplccó del movmeto de los plets que do l teoí de Newto. S el leguje mtemátco l teoí de Newto o podí hese hecho y uest cvlzcó sd e l cec o estí. Ls leyes de l Mecác o se puede epes de l me que estmos costumdos e uest vd cotd so po fómuls mtemátcs. ho y o os llm l tecó que los homes estude y use coss que d tee que ve co l epeec comú como po ejemplo los átomos los gees ls gls o coss que po su complccó pecí tcles como l vd l telgec l socedd o que equee u pecsó mucho myo que l de l mo o el ojo como los stéltes ls computdos los mcoscopos l televsó. Todo esto h esultdo de zo de us el pesmeto Peo co el leguje comú o es posle hce los zometos complcdísmos y guosos que hce flt p descu ls ods de l do o l eegí tómc. P eso fue pecso us l Mtemátc: cec y leguje de l cec Osc Vsvsy

7 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. PITULO NOIONES ELEMENTLES DE LÓGI MTEMTI Estudemos evemete u leguje o cotdctoo mvlete que os pemtá toducos l Mtemátc: l Lógc Mtemátc que estud ls leyes que egul el zometo. Po fes ddáctcos l dvdmos e: lógc poposcol lógc fucol. LÓGI PROPOSIIONL E l lógc poposcol cosdeemos dos elemetos áscos: Poposcoes oectvos... Poposcoes : So fses soe ls cules podemos decd uívocmete soe l veddv o flseddf de ells. sí etoces u poposcó es u fse que es V o F o estedo l posldd de otee ms decsoes cojutmete Pcpo del teceo ecludo. Ls poposcoes ls deotmos po lets músculs p q etc. que esumá e s msmo el sgfcdo ptcul que teg l teo de u stucó cocet. Ejemplo: p esumá l teo de éste ejemplo l poposcó : Hoy es Mtes 0 de Myo y deotmos p: Hoy es Mtes 0 de Myo Ls sguetes fses so poposcoes: q : 9 y 5 es V : S es u úmeo el etoces su cuddo es o egtvo es V Osevcó : No so poposcoes los teogtvos y los mpetvos.. oectvos Símolos que juto co ls poposcoes áscs os pemte ce uevs poposcoes; so : ~ : se lee o : se lee y : se lee y/o : se lee...mplc... ó s...etoces... : se lee... equvlete co... UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

8 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Osevcó: El coectvo ~ se us tes de u poposcó y los esttes coectvos se us ete dos poposcoes. Ejemplo : S p q so poposcoes etoces tmé so poposcoes: ~ p p q p q p q 5 p q 6 p q 7 [~ p q ] q.. Tls de vedd Ls poposcoes compuests es dec quells que cotee l meos u coectvo tee tulmete u vlo vettvo y p ls poposcoes compuests áscs ese vlo vettvo lo dmos e ls sguetes tls de vedd :... Tl de vedd de l egcó Dd l poposcó ásc " p " este l egcó de ell deotd ~ p que se lee o p poposcó que tee l sguete tl de vedd. p V F ~ p F V Osevcó: Es clo que el vlo vettvo de p es el coto de p Po ejemplo s " p " es : p : Hoy llueve etoces ~ p es : ~ p : Hoy o llueve ;... Tl de vedd de l cojucó Dds ls poposcoes " p " " q" este l cojucó de ells deotd p q que se lee p y q poposcó tl que su tl de vedd es: p q p q V V V V F F F V F F F F Osevcó: L cojucó es vedde sólo s ls poposcoes que l compoe lo so.... Tl de vedd de l dsyucó Dds ls poposcoes " p "" q" este l dsyucó de ells deotd p q que se lee p o q poposcó tl que su tl de vedd es: UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

9 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Osevcó: p q p q V V V V F V F V V F F F L dsyucó es vedde sempe meos cudo ls poposcoes que l compoe so ms flss. L dsyucó pesetd es cluyete es dec dmte como vedde l poposcó cudo ms poposcoes que l compoe lo so s emgo s desemos l dsyucó ecluyete l deotmos p q... Tl de vedd de l mplccó Dds ls poposcoes " p" " q" este l mplccó de p co q deotd p q que se lee p mplc q ó s ocue p etoces ocue q poposcó tl que su tl de vedd es: p q p q V V V V F F F V V F F V Osevcó: L mplccó es vedde sempe meos cudo el tecedete es veddeo y el cosecuete es flso....5 Tl de vedd de l equvlec Dds ls poposcoes " p" " q" este l equvlec de p co q deotd p q que se lee p equvlete q ó p s y solo s q poposcó tl que su tl de vedd es: p q p q V V V V F F F V F F F V UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

10 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Osevcó: Result tul que l equvlec se vedde cudo ls dos poposcoes que l compoe tee el vlo el msmo vlo vettvo: Ejemplo : Deteme el vlo vettvo de: ~ p q [ ~ p ~ q ] Solucó : Su tl de vedd es: p q p q ~ p q ~ p ~ q ~ ~ q p ~ p q [ ~ p ~ q ] V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V Deteme el vlo vettvo de: [ p q ] Solucó : Su tl de vedd es: p q q p q [ p q ] V V V V V V V V F V V F V F V V V V V F F F F V F V V V F V F V F V F V F F V V F V F F F F F V Osevcó : E el ejemplo teo ddo que cosdemos tes poposcoes áscs el totl de vcoes de tes elemetos cd uo co espuests dcotómc gupos co tes elemetos dode tees el ode es 8. S so ls poposcoes áscs etoces el totl de vcoes e ests codcoes es 6... Tutologí otdccó otgec... Tutologí Defcó U poposcó compuest que sempe es vedde es u tutologí. U tutologí l deotmos po I. Ejemplos : Demueste que: p ~ p es tutologí. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

11 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Demostcó: Deemos ecot su tl de vedd y vefc que sempe es vedde: p ~ p p ~ p V F V F V V Notmos que s p sgfc Est sl tee 0 lumos etoces p ~ p sgfc Est sl tee 0 lumos o o tee 0 lumos lo que sempe veddeo. Demueste que: ~ ~ p p es tutologí. Demostcó: Su tl de vedd es: p ~ p ~ ~ p ~ ~ p p V F V V F V F V Demueste que: { p q ~ q ]} Demostcó: Su tl de vedd es: [ ~ p es tutologí p q ~ q q ~ q p [ q ~ q ] ~ p ~ ~ p p V V F F F F V V F V F F F V F V F F V V V F F V F V V V Est poposcó se llm método de demostcó po educcó l sudo... otdccó Defcó U poposcó que sempe es fls es u cotdccó. U cotdccó l deotmos po 0. Ejemplo. Demueste que p ~ p es u cotdccó. Demostcó Deemos ecot l tl de vedd de l poposcó y vefc que sempe es fls p ~ p p ~ p V F F F V F UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 5

12 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S.... otgec Defcó U poposcó que o es tutologí cotdccó se llm cotgec. Ejemplo: Demueste que [ p q ] es u cotgec Solucó: Su tl de vedd es: p q q p q [ p q ] V V V V V V V V F V V F V F V V V V V F F F F V F V V V F V F V F V F V F F V V F V F F F F F V oclumos que [ p q ] es u cotgec...5 LEYES FUNDMENTLES DEL LGER DE PROPOSIIONES Idetdd p I p p 0 p p 0 0 p I I Idempotec p p p p p p Ivolucó omplemeto p p ~ 0 I ~ I 0 p ~ p 0 p ~ p I omuttvdd soctvdd p q q p p q q p p q p q p q p q Dstutvdd p q p q p UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 6

13 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. p q p q p De Mog ~ p q ~ p ~ q ~ p q ~ p ~ q Osevcó. U ley fudmetl muy mpotte es: p q ~ p q Ejemplos: S defmos y como: p q ~ p ~ q : p q ~ p ~ q demueste s us tls de vedd que: p p ~ p p q ~ p q c p q ~ p q Demostcó: p p ~ p ~ p ~ p ~ p q ~ [~ p ~ q ] ~ ~ p ~ ~ q p q c ~ p q ~ [~ p ~ q ] ~ ~ p ~ ~ q p q S us tls de vedd demueste que: p [~ p q] p q Demostcó: p [~ p q] [ p ~ p ] [ p q] I [ p q] p q Demueste que: p p q es u tutologí Demostcó: [ p p q ] [ ~ p p q ] [~ p p q] I q I Demueste que: [ p p q ] q es u tutologí Demostcó: { p p q q ~ p p q q ~ { p ~ p q q [ ] } [ ] [ ]} {~ p ~ [~ p q ]} q ~ p [ p ~ q ]} { q UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 7

14 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. {[~ p p] [~ p ~ q ]} q [ I [~ p ~ q ]} { q [~ p ~ q ] q ~ p [~ q q] p I I ~ 5 Demueste s us tls: {[ p q ] ~ q} q q Demostcó {[ p q ] ~ q} q [ p q ~ q] ~ q [ p q ~ q ] ~ q {[ p 0 ] ~ q } q { 0 ~ q } q ~ q q q ~ q q q I q { } q { } q. Lógc Fucol.. utfcdoes osdemos l sguete fse: es u úmeo p. lmete est fse o es poposcó; es u fómul poposcol y l deotmos po p : es u úmeo p. ómo tsfom u fómul poposcol FP poposcó? Reemplzdo po u elemeto detemdo de u cojuto especfco D llmdo Domo de l vle. sí s p est FP D es el cojuto cuyos elemetos so: etoces: p : es u úmeo p que es u poposcó y que p es flso. p : es u úmeo p que es u poposcó y que p es veddeo. tepoedo l FP u símolo que espode l pegut uátos elemetos de D vefc p? Estos símolos llmdos utfcdoes so: : sgfc : todos : sgfc : lguos! : sgfc : u úco UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 8

15 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Ejemplo: de D: p se lee: todos los elemetos de D so úmeos pes y clmete es u poposcó y que es fls. de D: p se lee: lgú elemeto de D es u úmeo p y es u poposcó y que es vedde.! de D: p se lee: u úco elemeto de D es u úmeo p y clmete es u poposcó y que es fls. Osevcó: deltádoos escemos: D : p e lug de de D : p.. Leyes de l cutfccó. Se cumple: ~ D : p D : ~ Demostcó: S ~ S ~ [ ] p ~ [ D : p ] D : ~ p [ D : P ] es V etoces D : p es F luego D : ~ p es V [ D : P ] es F etoces D : p es V de dode D : ~ p es F Po lo teo coclumos que ~ [ D : p ] D : ~ p S ~ S ~ es tutologí [ D : P ] es V D : p es F D : ~ p es V [ D : P ] es F D : p es V D : ~ p es F sí etoces: ~ [ D : p ] D : ~ p es u tutologí Ejemplo: Se defe p los cojutos y l ocó de sucojuto deotdo: como : [ : ] Deteme e que codcoes o es sucojuto de Notcó: ~ Solucó: omo [ : ] etoces: ~ [ : ] : ~ : UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 9

16 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. PITULO NOIONES SIS DE TEORI DE ONJUNTOS. Nocoes pmtvs osdeemos tes ocoes pmtvs: cojuto elemeto y peteec ojuto : oleccó gupo de ojetos o coss. Po ejemplo el cojuto fomdo po los ojetos cs. Deotemos los cojutos co lets myúsculs etc. sí es el cojuto fomdo po los elemetos: cs. Elemeto : ulque ojeto o cos e el cojuto. Los deotmos co lets músculs y l elemeto geéco lo deotmos. Peteec : Deotdo po el símolo elco ls dos ocoes pmtvs teoes. S el elemeto est e el cojuto otmos: y se lee: el elemeto peteece l cojuto o smplemete est e. S el elemeto o peteece l cojuto deotmos:. ojutos po etesó y po compesó U cojuto está descto po etesó cudo ehmos todos sus elemetos ecedos e u pétess de llve sí po ejemplo {}. U cojuto está descto po compesó cudo declmos u popedd que l cumple solo y solo los elemetos del cojuto po ejemplo el cojuto {} escto po compesó es: { / N /< < 5}. Ntulmete que tmé podemos otlo: { / N / } { / N /< } ó / N / < 5 etc. { }. Iguldd de cojutos Defcó: Se y cojutos decmos que es sucojuto de lo que otmos s y solo s todos los elemetos de so tmé elemetos de : [ ] UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 0

17 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Ejeccos: Demueste que: popedd eflej Demostcó: omo : : coclumos que Demueste que: [ ] tstvdd Demostcó: : : [ ] [ ] [ ] : de dode Osevcó: o es sucojuto de lo que deotmos elemeto e que o está e es dec: : s y solo s este lgú Defcó: Decmos que los cojutos y so gules lo que deotmos s y sólo s todos los elemetos de so elemetos de y todos los elemetos de so elemetos de es dec: [ : ] [ ] :. LGUNOS ONJUNTOS IMPORTNTES: ojuto vcío Se u cojuto etoces { } elemetos lo otmos / es u cojuto que o tee 0/ y es el cojuto vcío de. Poposcó: /0 Demostcó: L elzemos po educcó l sudo Supogmos que 0/ o es sucojuto de etoces : 0/ esto costtuye u cotdccó y que el cojuto 0/ o tee elemetos etoces dee ocu que 0/. Poposcó: 0 / / 0 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

18 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Demostcó: Se dee demost que 0 / 0/ y 0 / 0/ sí es y que s o es ceto es dec s 0/ o es sucojuto de 0/ dee est l meos u elemeto que peteezc 0/ y que o está e 0/ ; esto es u cotdccó po lo que 0 / 0/ De me álog 0 / 0/ Po y coclumos que 0 / / 0 Osevcó: omo todos los vcíos so gules deotmos smplemete: 0/ ojuto Uto Es quel cojuto que tee u úco elemeto. Se lee como el uto del elemeto. Ejemplo: / N < < 5 se lee el uto del { } { } ojuto Uvesl U Se puede demost que o este u cojuto uveso que coteg todos los cojutos Pdoj de Russel e cmo este u cojuto uveso de efeec deotdo U. sí po ejemplo p los cojutos { } { 69} el U cojuto uvesl podí se { }. OPERIONES ON ONJUNTOS.. Uó de cojutos Defcó: Se y cojutos e U defmos l uó de co deotd que se lee uó como el cojuto tl que: / { } Osevcó E u dgm de Ve-Eule teemos U UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

19 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. Q P Q P N M N M Popeddes: U Idempotec U omuttvdd U soctvdd U U U ; φ 5 Demostcó: Se dee demost que: y Se deemos demost que. Veámoslo luego Se deemos demost que luego Se dee demost que: y Se deemos demost que de dode Se deemos demost que de dode Po y coclumos que Notemos el uso de l tutologí : p q p Po demost que: y U Se deemos demost que

20 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. oclumos que Se deemos demost que oclumos que Po y oteemos Usmos l tutologí : q p q p 5 Se dee demost que y que. Se deemos demost que. S po hpótess S ; esto dc que e todo cso de dode. Se sí Po y : E l pte de l demostcó usmos l tutologí: p q p.. Iteseccó de cojutos Defcó: Se y cojutos e U defmos l teseccó de co deotd que se lee teseccó como el cojuto tl que: { } / Osevcó: E u dgm de Ve-Eule teemos

21 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 5 Q P Q P N M N M Popeddes: U Idempotec U omuttvdd U soctvdd ; U φ φ U 5 Demostcó: Se dee demost que: y Se deemos demost que. Veámoslo luego Se deemos demost que luego Po y coclumos que Notemos el uso de l tutologí: p p p Se dee demost que: y Se deemos demost que de dode Se deemos demost que de dode Po y coclumos que

22 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 6 Notemos el uso de l tutologí : p q q p Po demost que: y Se deemos demost que oclumos que Se se dee demost que oclumos que Po se deduce que Dee cumplse que φ φ y que s o es sí es dec s φ φ etoces este l meos u elemeto e φ. Esto costtuye u cotdccó ddo que el cojuto vcío o tee elemetos. 5 Qued popuesto

23 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S... Dfeec de cojutos Defcó: Se y cojutos e U defmos l dfeec de co deotd que se lee meos como el cojuto tl que: Osevcó: / { } E u dgm de Ve-Eule teemos: U - P Q P Q M N M N E geel l dfeec o es dempotete es dec E geel l dfeec o es comuttv es dec.. omplemeto de u cojuto Defcó. Se u cojuto e U defmos el complemeto de deotdo que se lee complemeto de como el cojuto tl que: { U} / Popeddes. U U φ φ U Demostcó. Deemos demost: Se po demost que UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 7

24 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 8 s Se po demost que s Po y coclumos que y so medts Se deemos demost que s como etoces de dode..5 PROPIEDDES OMINDS U φ Dstutvddes Leyes de DeMog Ejemplo Usdo popeddes de ls opecoes de cojutos demueste justfcdmete: [ ] Demostcó [ ] [ ] [ ] [ ] φ

25 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S...6 RDINLIDD L Teoí de ojutos es l se teóc p eplc lguos feómeos e ptcul los letoos y llí os tees cot l ctdd de elemetos e u sucojuto detemdo. ceptemos l sguete fmcó. S y so cojutos dsjutos etoces l ctdd de elemetos que tee l uó de tles cojutos es gul l sum de l ctdd de elemetos de los cojutos Smólcmete s deotmos po M l ctdd de elemetos del cojuto M etoces φ etoces Osevcó. Se puede demost lo que qued popuesto que: S y so cojutos etoces: S y so cojutos etoces: Ejemplo. E u escuel 50 lumos h eddo eámees. De ellos 60 poo el pmeo 70 el segudo y 50 lumos el tece eme; 0 poo los dos pmeos5 el pmeo y el teceo 5 el segudo y el teceo demás 0 lumos poo los eámees: uátos lumos poo gú eme? poo sólo el pme eme? c poo sólo dos eámees? d poo sólo u eme? Solucó. osdeemos los sguetes cojutos. { lumos que pue el pme eme} { lumos que pue el segudo eme} { lumos que pue el tece eme} etoces los dtos se puede epes como sgue: UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 9

26 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y demás 50 U co { } lumos que deo eme U Solucó. Se pde omo [ ] U y demás etoces Se pde [ ] [ ] c [ ] [ ] c Se pde [ ] [ ] [ ] φ φ φ φ omo álogmete oteemos 5 5 de dode [ ]

27 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. d Se pde e Se pde [ ] [ ] φ φ φ φ omo 5 polem y pocededo álogmete oteemos 0 5 de dode [ ] Osevcó. Usdo u dgm de Ve-Eule podemos soluco el polem pltedo: El dgm se costuyó cdo el lledo desde el ceto es dec desde. Notemos que se puede lee medtmete que 5 U

28 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S...7 Ejeccos popuestos Idque el vlo vettvo de ls sguetes poposcoes: Todo úmeo tul es myo que R y R : y > 0 > c N : 00 Use tls de vedd p clsfc ls sguetes poposcoes como: Tutologí otdccó o otgec [ p q q] ~ p q p q [ p q ] c ~ [~ p q ~ p q ] q d [ p q q ] p Demueste medte lge de poposcoes: [ p q ~ p] ~ p q [ ~ p q ~ p q ] ~ p c [ p q ] [ p q p ] Usdo los dtos popocodos e cd cso oteg el vlo vettvo peddo: S se se que: p q es V y demás p es F deteme el vlo de q q Resp. F Sedo que: p q es F p es F deteme el vlo vettvo de p Resp. F ~ p ~ Resp. F [ ] c De l flsedd de p ~ q ~ s deduzc el vlo vettvo de ~ p ~ q ~ q Resp. F UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

29 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. [ q q] [~ q s] p [ p q ~ q ] ~ Resp. F Resp. V 5 S p q sgfc p y q uáles de ls sguetes poposcoes so tutologís? [ p q q p ] p q ~ p q p q c p q ~ p q d ~ p q p q 6 Sedo que l poposcó compuest ~ p [ q ~ ~ s ] deteme el vlo de vedd de [ p ~ q ] s ~ Resp. V es vedde 7 Demueste que cd uo de los sguetes gumetos es váldo es dec que l poposcó es u tutologí usdo el álge de poposcoes. [ p q p] q [ p q ~ p ] ~ p c [ p q q ] p d [ p q ~ p ] q e p q p p q q f p p q demás detfque cd u de ls sguetes fses co lguo de los gumetos teoes José tee u cudeo o u lápz José o tee u cudeo po lo tto José tee u lápz S José g el cocuso etoces otedá u ec José gó el cocuso po lo tto José otedá l ec S José g el cocuso etoces otedá u ec José o otuvo l ec po lo tto José o gó el cocuso Todos los moos so desodedos luego los moos so desodedos o so peludos 5 S o llueve etoces se pedeá l cosech s se pede l cosech etoces o se podá ccel l deud etoces s o llueve o se podá ccel l deud 6 Ngú estudte es ocoso y Mí es u ecelete l luego gú estudte es ocoso 8 Se: U { 567 c d e f g h} { 57 c d} { 5 c e} { 67 g} UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

30 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Deteme: c c ls opecoes p otee 6 { } {} 7 { 5 c d e} 9 Demueste: c 0 Usdo lge de ojutos vefque s: [ ] c [ ] d { [ ] } e [ ] [ ] φ E u uveso de 0 elemetos se cosde dos cojutos y tles que: Deteme: c Resp. 8 5 c 7 Demueste que: UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

31 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. E u uveso U se cosde tes cojutos tles que: φ Deteme: c U Resp. 0 8 c E u uveso de 5 elemetos se cosde tes cojutos tles que: φ φ 0 [ ] 6 lcule: c Resp. c 8 d 8 d [ ] 5 U ecuest cec de ls pefeecs de 80 pesos soe tes mcs ojó los sguetes esultdos: [ ] 5 5 [ ] [ ] 5 [ ] 0 [ ] 0 Deteme el úmeo de pesos que: comp sólo Resp. 5 comp sólo dos mcs Resp. 50 c o comp de ls mcs cosultds Resp. 0 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 5

32 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. PITULO RELIONES Y FUNIONES. Defcó y ejemplos Defcó Se cojutos defmos el p odedo com deotdo como el cojuto { } { } Osevcó l elemeto lo llmmos pme elemeto del p odedo o tmé scs l elemeto lo llmmos segudo elemeto del p odedo o tmé oded Ejemplo. Defcó. Se po Es evdete que {{}{ } { } { } cojutos defmos el poducto cteso de co deotdo como el cojuto tl que { / } Ejemplo. S { } { } etoces: {} {} Osevcó. E geel c φ φ φ d φ φ φ Defcó. Se cojutos defmos u elcó R de como culque sucojuto de Osevcó. Nos tees ls elcoes que se detem medte cet ley de fomcó sí u elcó R de es: R { / p } dode p es u fómul poposcol dd. Ejemplo. osdee los cojutos { } { } N ; deteme po etesó ls sguetes elcoes: R { / es u úmeo p} R y / y 6 { } > UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 6

33 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. c R N N { / 5} y d R y / 0 Solucó. Después de elz y N N oteemos: R {.} R R R { } { } {0865}. Domo Recodo y Relcó ves Defcó. Se R { / p } u elcó defmos: Domo de l elcó R deotdo Dom R l cojuto tl que Dom R { / tl que R} Recodo de l elcó R deotdo Rec R l cojuto tl que Re c R { / tl que R} c Relcó ves de R deotd R l cojuto tl que R p q / q p R { } Osevcó. El domo de u elcó es el cojuto fomdo po ls pmes compoetes de los pes de l elcó. El ecodo de u elcó es el cojuto fomdo po ls seguds compoetes de los pes de l elcó. c L elcó ves de u elcó R est fomd po los pes odedos ecípocos de los pes odedos de R Ejemplo. E el ejemplo teo: R R Dom { } {} Poposcó. R { / p } u elcó etoces: R R Dom R Rec R c Dom R Rec R Rec R Dom R L demostcó qued popuest UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 7

34 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 8. omposcó de elcoes Defcó. Se S R dos elcoes etoces este l elcó compuest de R co S deotd R S o tl que: { } S z y R y y z R S que tl / o Ejemplos Se { } c c R { } y y S dos elcoes co { } { } { } p w z y e d c 5 etoces: { } y y R S o { } y y R S o c { } c c R d { } y y S e { } y y S R o Se S R dos elcoes. Demueste que S R R S o o Demostcó. Deemos demost: S R R S o o R S S R o o Se R S y o deemos demost que S R y o R S y o R S y o S m R m y m que tl que tl R y m S m m S R y o Se S R o deemos demost que R S o S R o que tl R m S m S m R m que tl R S o R S o Se cojutos y S T dos elcoes. Demueste que T S T R T S R o o o Demostcó. Se T S R o deemos demost que T S S R o o T S R o S R c T c c que tl S c R c T c S c T c R c T c T S T R o o

35 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. R o T S o T Se u cojuto y cosdee ls elcoes R y Id { y / y} Demueste que R o Id R Demostcó. Deemos demost que: R o Id R R R o Id Se z R o Id deemos demost que z R z R o Id y tl que y Id y z R peo y Id dc que y sí z R Se z R deemos demost que z R o Id Se z R como Id etoces Id z R de esto últmo coclumos que z R o Id. Relcoes e u cojuto. Defcó. Se u cojuto. Decmos que l elcó R está defd e s R Defcó. Se R u elcó defd e etoces: R es elcó eflej R R es elcó smétc R R y R R c R c R y R R y c R es elcó tstv [ ] R c R es elcó tsmétc [ ] R Osevcó. Deotmos R e lug de R S R podemos deot R c R o es eflej tl que R d R o es smétc R R e R o es tstv R c R c R f R o es tsmétc R R Ejemplos Se { } y R {} Es R u elcó eflej smétc tstv tsmétc? Solucó. omo R etoces R es elcó eflej R o es smétc y que R R R es tstv y que se vefc l codcó R o es tsmétc y que R R peo UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 9

36 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Se R u elcó e. Demueste: R es smétc R R Demostcó. S R es smétc deemos demost que R R es dec deemos demost que R R R R Se y R etoces como R es smétc coclumos que y R sí po defcó de elcó ves cosegumos y R luego R R Se R etoces. R y como R es smétc etoces R ; sí R R Po y R R Semos que Se R etoces smétc. R R deemos demost que R es smétc. R como R R etoces R sí R es.5 Relcó de ode y de equvlec.5. Relcó de equvlec Defcó. Decmos que l elcó R es u elcó de equvlec e s y sólo s R es eflej smétc y tstv Ejemplos E el cojuto de los úmeos eles R defmos l elcó S po: m S m Z tl que. Demueste que S es u elcó de equvlec. Demostcó. Deemos demost que: S es eflej S es smétc c S es tstv omo S es eflej s y sólo s S es dec s y sólo s m m Z tl que etoces que l guldd se vefc co m Z coclumos que S es eflej m S S etoces este m Z tl que. Deemos demost que m S es dec deemos demost que este m Z tl que. m omo etoces m m de dode : s defmos m m Z coclumos que S. m m c S S Sc etoces este m m Z tl que c ; queemos demost que Sc es dec deemos demost que este m Z tl que m c m. Result tul eemplz e oteedo m m m m c c. El témo m uscdo es m m m Z UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 0

37 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Se R u elcó defd e N tl que R c d d c. Demueste que R es u elcó de equvlec. Demostcó. Deemos demost que: R es eflej es dec R N R es smétc es dec R c d c d R R c d c d R e f R e f c R es tstv es dec [ ] R N y que luego R es eflej S R c d etoces d c s escmos l guldd pecedete como c d coclumos que c d R sí R es smétc c S R c d c d R e f etoces d c cf de deemos demost que R e f es dec que f e De l guldd d c multplcdo po e oteemos de ce peo po hpótess teemos que de cf etoces eemplzdo de e de ce oteemos cf ce de dode cceldo coclumos que f e. U elcó R defd e es ccul s y sólo s R Rc cr Demueste: R es de equvlec s y solo s R es eflej y ccul Demostcó. S R es de equvlec deemos demost que R es eflej y ccul st demost que R es ccul y que R es de equvlec Se R Rc etoces como R es de equvlec e ptcul es tstv sí R Rc Rc ; como R es elcó smétc etoces de l últm epesó coclumos que cr S R es eflej y ccul deemos demost que R es de equvlec Flt demost que R es smétc y tstv Se R ; como R es eflej etoces R sí teemos R R de dode R ; coclumos que R es smétc Se R Rc etoces como R es ccul cosegumos que cr de dode Rc y que R es smétc sí R es tstv..5. lses de equvlec Defcó. Se R u elcó de equvlec defd e φ. P todo llmmos clse de equvlec de segú R l cojuto tmé deotdo fomdo po todos quellos elemetos elcodos co es dec: UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

38 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. { y yr} / Osevcó. l elcó l podemos deot po ~. Ls clses de equvlec so o vcís es dec φ S etoces ~ ~ de dode ~ es dec todos los elemetos de u clse de equvlec so equvletes ete s. o esto podemos epeset l clse de equvlec po uo de sus elemetos. y ~ y Defcó. El cojuto de ls clses de equvlec segú R se llm cojuto cuocete de po R. Se deot / R Poposcó. Se R u elcó de equvlec defd e sguetes popeddes: / R φ / R y / R y etoces y φ U c / R φ etoces / R posee ls Demostcó. Supogmos y φ etoces este z y sí z z y ; esto últmo os dc que zr zry luego Ry de dode y esto costtuye u cotdccó osevcó sí y φ Ejemplos. luego { } sí { } U U / R Se { c} y R { c c c c } u elcó de equvlec. Deteme: L clse de equvlec de los elemetos de El cojuto cuocete Solucó. { / R} { } { / R} { c} c El cojuto cuocete es R { } { c } S { } / y u sstem de epesettes es UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

39 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. E Z defmos l elcó de equvlec R po: R. Deteme: L clse de equvlec de los elemetos de Z c El cojuto cuocete Solucó. 0 { Z / R0 } { Z / 0} { 0} { Z / R } { Z / } { Z / 0} { } { Z / R } { Z / } { Z / 6 0} { }... { }.5. Relcó de ode Defcó. U elcó R defd e el cojuto es u elcó de ode s y sólo s es eflej tstv y tsmétc Ejemplos. So elcoes de ode ls sguetes elcoes: L elcó defd e R L elcó e l fml de cojutos P { X / X } u cojuto ddo L elcó R defd e N po: R dvde se puede deot po E efecto omo R N tl que etoces: R es eflej y que esto últmo puesto que R es tstv y que s c etoces N tl que y c c N tl que c sí eemplzdo e oteemos esto dc que c co N R es tsmétc y que s etoces N tl que y N tl que eemplzdo e oteemos de dode esto os dc que y etoces.5.. ojuto pcl y totlmete odedo E geel u elcó de ode R defd e u cojuto o pemte ode totlmete los elemetos de y que ddos puede sucede que o se vefque R ó R e este cso l elcó es de ode pcl. Po ejemplo l elcó de ode teo es de ode pcl y que po ejemplo o dvde. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

40 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Defcó. U elcó de ode R defd e el cojuto es de ode totl s etoces R o R Ejemplo. E N defmos l elcó T po: T N tl que Demueste que T es u elcó de ode Es T u ode totl? Solucó. P que T se u elcó de ode dee cumpl: T N Reflej [ T Tc] Tc Tstv [ T T] tsmétc T y que N S T Tc etoces este m N tl que y m c ; deemos demost que este p N tl que p c. m m m Reemplzdo e c oteemos c co p m N se cumple. S T T etoces este m N tl que y m eemplzdo e l segud guldd oteemos m de dode m sí m. Esto dc que L elcó T o es de ode totl y que po ejemplo o est elcodo co o este N tl que.5.. oguec módulo Defcó. Se m Z ; Z se dce coguetes módulo m lo que se deot mod m s y sólo s es múltplo de m es dec: mod m p Z tl que mp Osevcó. L elcó de coguec e el cojuto de los eteos p u módulo fjo m es u elcó de equvlec Est elcó de equvlec es comptle co l dcó y multplccó es dec: mod m c dmod m etoces c dmod m y demás c dmod m mod m mp mz 0 ± m ± m ± m... { } Ejemplo. Es medto que: 6mod ; 5 0mod 7 ; 8 0mod UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

41 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Osevcó. Eucemos el sguete lgotmo de Eucldes sólo p demost los Teoems que demos cotucó. lgotmo de Eucldes. Se m Z {} 0 etoces este de me úc q Z {} 0 tl que qm dode 0 < m Teoem Se m Z etoces culque Z es coguete módulo m uo y sólo uo de los eteos 0...m- Demostcó. Se Z deemos demost que o puede se coguete módulo m dos 0... m eteos { } Supogmos que mod m y mod m etoces mod m. S > etoces > 0 y m 0... m es dec 0 < < m de esto coclumos que m o dvde sí o es coguete módulo m co cotdccó y que { } osdeemos ho u culque dode 0 > 0 < 0. S 0 etoces 0modm S > 0 etoces este úcos q tl que qm ; 0 < < m luego 0 < m de dode mod m S < 0 cosdemos m > 0 p lgú po ejemplo y plcmos l demostcó del cso teo. Ejemplo. Z es coguete módulo uo y sólo uo de los eteos 0 y p vefc st co dvd lgotmo de Eucldes po sí 589 mod y que Defcó. Se llm clses esdules módulo m quells m clses que cotee todos los eteos que so coguetes módulo m uo de los eteos 0...m- Ejemplo. P m se tee clses esdules fomds po los eteos coguetes 0 espectvmete UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 5

42 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S Teoem Dos eteos dvdlos po m. Demostcó. so coguetes modulo m s y sólo s d el msmo esto l Supogmos que l dvd po m se otee qm < m. Po hpótess mod m es dec mp de dode mp eemplzdo oteemos qm mp q p m Supogmos que mod m q m q m etoces q q m sí Osevcó. L elcó de coguec módulo m fjo detem u ptcó del cojuto Z e clses de equvlec y el cojuto cuocete lo deotmos Z Ejemplo. Deteme ls clses de equvlec po l coguec módulo 5. Solucó. { Z / 0 ~ } { Z / 0 5p} { Z / 5 } { } { Z / ~ } { Z / 5 p} { Z / 5 } { } 0 Z Z { Z / ~ } { Z / 5 p} { Z / 5 } { } { Z / ~ } { Z / 5 p} { Z / 5 } { } { Z / ~ } { Z / 5 p} { Z / 5 } { } Z Z Z sí Z { 0 } { 0 } 5 Defcó. Se Z m dode so epesettes culesque de espectvmete etoces es l clse esdul módulo m que cotee esto se puede hce co culque elemeto de Ejemplo. Deteme l tl de dole etd de Z Solucó. Z posee los elemetos 0 dode m UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 6

43 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. { } { } { } 0 L tl que oteemos es dode p clcul summos po ejemplo y como 0mod etoces 0.6 EJERIIOS PROPUESTOS Se cojutos culesque. Demueste φ φ φ c d e osdee ls sguetes elcoes R / R { } { y N / 9} { / dvde } { y / 0} { / } co { } y R s { 5 } R y s { 0 } R s { 0 } 5 > Deteme po etesó l elcó R 5 Deteme dom R ec R c Deteme po etesó Se R { y / p y } R u elcó. Demueste que: dom R ; ec R R R c dom R ec R ; ec R dom R osdee ls elcoes R S Demueste que S o R R o S UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 7

44 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. 5 Se ls elcoes defds e : Deteme: S o R R o S S { y / y } R R { y / y } 6 osdee ls sguetes elcoes defds e Z R { } { } / / R R y / es multplo de { } { / m Z tl que m} { / Z tl que } y R R 5 Deteme cules de ls elcoes plteds so: eflejs smétcs tsmétcs tstvs 7 S R es u elcó e tl que R es tstv demueste que tstv R tmé es 8 Se R. Demueste: R smétc R R 9 Se R u elcó e. Demueste que: D R D / R es eflej { } 0 Demueste que ls sguetes elcoes defds so elcoes de equvlec R R tl que R Z tl que R defd e Q tl que R Z tl que E Z defmos l elcó R tl que N { 0} Demueste que R es u elcó de ode Es R u ode totl? Justfque R tl que E N defmos l elcó T tl que T N tl que Demueste que R es u elcó de ode Es R u ode totl? Justfque E l fml de cojutos Λ defmos l elcó Demueste que R es u elcó de ode Es R u ode totl? Justfque X X vefque lo demostdo e y c S Λ { / } co { } UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 8

45 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. S R es u elcó de ode e y S es u elcó de ode e demueste que l elcó T defd e tl que T c d Rc Sd es de ode 5 Se R R elcoes de ode y R u elcó defd e tl que R c d Rc Rd. Demueste que R es elcó de ode 6 Se R u elcó e. Decmos que: R es coe y : R R Demueste: S R es smétc tstv y coe etoces R es de elcó de equvlec. 7 Se l clse de equvlec de segú R dode R es l elcó de equvlec tmé deotd ~ defd e el cojuto φ. Demueste: φ Todos los elemetos de u clse de equvlec R so equvletes R ete s c y ~ y 8 Se / R el cojuto cuocete de po R dode R es u elcó de equvlec defd e el cojuto φ. Demueste: / R φ / R y / R y etoces y φ U c / R 9 Se m Z ; Z se dce coguetes modulo m lo que deotmos mod m o smplemete m s y sólo s es múltplo de m es dec: m p Z tl que pm Demueste que l elcó de coguec defd e los úmeos eteos p u módulo m fjo es u elcó de equvlec 0 Deteme Z l clse de equvlec po l coguec módulo Se { c} y R { c c c c }. UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 9

46 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Demueste que R es u elcó de equvlec Deteme: c c Deteme / R.7 FUNIONES Uo de los más mpottes coceptos e Mtemátc se efee u tpo ptcul de elcó ete elemetos de dos cojutos; ls fucoes. U fucó epes l de de u ctdd que depede de ot u ots ctddes po ejemplo podemos fm que el áe de u cuddo depede o es fucó de l logtud del ldo de éste; s l áe lo deotmos po y l logtud del ldo lo deotmos po l etoces podemos esc f l y e éste cso ptcul l epesó mtemátc es l l ; el volume V de u cldo ecto depede es fucó del do sl y de ltu h lo que escmos V f h y l epesó mtemátc es V h π h E mtemátc desgmos l vle depedete po o po... ls evetules vles depedetes que eplc el compotmeto de l vle depedete y escedo y f o y f... espectvmete E l pesete seccó estudemos fucoes co u úc vle depedete l fucó ves y composcó de fucoes.7. Defcó de fucó Defcó U fucó f defd e el cojuto co vloes e el cojuto es tod elcó f tl que cd elemeto de le hce coespode u úco elemeto y del cojuto Osevcó. f es u fucó de s y sólo s! y tl que y f Domf f es fucó [ y f z f ] y z Tmé se puede deot l fucó f po f : tl que y f o po f : { y / y f } y f se lee y es l mge de po f 5 y f y f 6 l cojuto lo llmmos cojuto de ptd de f y l cojuto lo llmmos cojuto de llegd UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 0

47 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Ejemplos. Se { c} { d e f g} etoces ls sguetes elcoes de so fucoes de d e c f d d c f { } { } f d Se R {5 7 } f u elcó dode { 7}. Deteme R p que f se fucó Solucó. P que f se fucó el elemeto dee tee u úc mge sí se dee cumpl que es dec f 7 L fucó es { } Demueste que l elcó R R { y / y 6} f es u fucó Demostcó. Deemos demost: Domf R [ y f z f ] y z omo Domf { R / y R tl que y f R} st co demost que R Domf Se R deemos demost que este y R tl que y f ; tl y 6 podemos despejlo de y 6 oteemos y f R y que R S [ y f z f ] etoces y 6 z 6 es dec y z de dode y z Se f R y / y f R u fucó. Deteme el mámo domo y mámo ecodo Solucó. omo Domf { / y R tl que y f R} y y f etoces Domf R {} omo Re cf { y R / R { } tl que y f } despejdo de y oteemos y es dec y y esto dc que y y y de tl me que R s y sí etoces el y Re cf R mámo ecodo de f es { } UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

48 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S..7. Opecoes co fucoes Defcó. Se f g dos fucoes tl que Domf Domg so sus espectvos domos etoces defmos ls fucó sum deotd f g tl que Dom f g Domf Domg f g f g Osevcó De me más smplfcd defmos l sum de ls fucoes f g po f g f g / Domf Domg { } álogmete defmos ls sguetes fucoes f g { f g / Domf Domg} ; fucó dfeec f g f g / Domf Domg ; fucó poducto f cf { } { f Domf } / N ; fucó potec { cf Domf } / Ejemplo. te c ; fucó poded osdee ls fucoes f {686} g { } omo Domf { 6} Domg { 07 } etoces Domf Domg { } de dode: f g {55} f g { 6 60 }.7. Fucó ves.7.. Fucó yectv Defcó. Decmos que l fucó f : es yectv o uo uo s y sólo s: f f Osevcó Usdo l cotpostv teemos: L fucó f Ejemplos : es yectv [ f f ] osdee l fucó : R {} R { } es yectv. Demostcó. f tl que Deemos demost: f f R { } f demueste que f UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

49 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. f f co u poco de tjo lgeco coclumos que Demueste que l fucó f : R tl que f 5 es yectv Demostcó. P que lo se se dee cumpl: f f omo f etoces f f 9 9 sí cceldo el y elevdo l cuddo ote que l ctdd sudcl es o egtv oteemos 9 9 es dec ; l ete íz cudd cosegumos de dode y flmete.7.. ojuto mge. Defcó. Se f : u fucó y E defmos l mge de E po f deotd f E como el cojuto tl que f E { y / tl que y f } Ejemplos. osdee l fucó f : [ 5 R tl que f 5 Deteme f E s E 0] Solucó. Deemos detem todos los vloes de y f 5 tl que 0] S 0] etoces < 0 de quí < 5 5 de tl me que l ete íz cudd oteemos < 5 5 flmete f E f / E 5 { } ] R Osevcó El polem teo tmé se puede soluco de l sguete me; como lo que desemos es detem el cojuto que vloes que tom y f 5 cudo 0] etoces podemos despej oteedo y 5. Impoedo l codcó cosegumos < y 5 0 sí < y 5 de dode < y Fucó soeyectv Defcó Decmos que l fucó f : es soeyectv s y sólo y tl que y f Osevcó. L fucó f : es soeyectv s y sólo s todos los elemetos del cojuto so mge de lgú elemeto de UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

50 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Ejemplos L fucó f : es soeyectv s y sólo s Re c f Demueste que l fucó : [ 0 0] Solucó. Deemos vefc que Rec f 0] f tl que y y y y y 0 despejemos de f es soeyectv y y ;como [ 0 L solucó de est ecucó es ] sí Rec f 0] ; teemos: y etoces 0 < y S l fucó f : R R tl que f es soeyectv deteme el cojuto Solucó Oseve que R y que l fucó voluc esto os sguee cosde dos cso: < < < 0 sí f > y que < > > > de dode f 0 sí f Po y c f { f / R} { } Re { } [.7.. Fucó ves Teoems Fucó ves S f es u elcó semos que este l elcó ves f ; cudo f es fucó o estmos seguos de que f se tmé u fucó el sguete teoem egul l stucó plted os dc que l fucó f dee se yectv y soeyectv es dec dee se yectv Teoem Se f : tl que y f u fucó se cumple: f : es fucó Demostcó. Deemos demost: Dom f Rec f f : es yectv Dom f y que f es soeyectv [ f c f ] c [ f c f ] [. f c f ] [ f f c ] Qued popuest f f c c y que f es yectv UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y..

51 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Osevcó Dd l fucó yectv f : tl que y f os dee tees detem l epesó fucol de l ves es dec detem f ; teemos: y f y f y f f y Es dec despejmos de y f y e ést últm epesó eemplzmos y po Ejemplos osdee l fucó yectv f : R { } R { } tl que f deteme f Solucó y De f y teemos y y de dode sí etoces y y f y de dode f : R { } R { } tl que f y osdee l fucó f : R R tl que f 6 0 Deteme l fucó ves de f Solucó P que est f l fucó f dee se yectv f es yectv y que: f f 6 6 etyedo íz cudd oteemos sí de dode ho deemos detem Rec f de tl me que f : Rec f R {} 0 se fucó. S 0 etoces 0 sí y f 6 6 coclumos que Re c f [ 6 y f : [ 6 R { 0} es fucó Detememos flmete f De y 6 oteemos [ 6 R { 0} f : tl que 6 y de dode f 6 y 6 etoces.7. omposcó de fucoes Defcó Se f g dos fucoes tl que Dom f Dom g so sus espectvos domos etoces defmos ls fucó compuest de f co g deotd f o g quell tl que Dom f o g { Dom g / g Dom f } Dom g { / g Dom f } f o g f g Osevcó Podemos deot más smple: f o g { f g / Dom f o g } UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 5

52 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. Ejemplos. osdee ls fucoes f : R R tl que g o f Solucó E pme lug detememos Dom g o f f g {9 } { } Dom g o f { Dom f / f Dom g } R / { 9} que ± y 9 dc que ± es dec Dom g o f { } ho como g o f { g f / { } etoces g o f { } deteme sí dc osdee ls fucoes f : R R g : R R tl que f 5 g. Deteme f o g Solucó. S p etoces p de dode l epesó f 5 se covete e f p p 5 p es dec f Po oto ldo Dom f o g { Dom g / g Dom f } { R / R} sí f o g f g f 6 osdee ls fucoes f g tl que f ; g > 0 co domo el popdo p que ms se yectvs. S f o g deteme g o f Solucó. omo y f etoces y de dode f y omo y g etoces de dode g Impoedo l codcó teemos f o g f g f de dode el vlo de es sí g. Flmete g o f g f g 9.8 EJERIIOS PROPUESTOS Se { } { 5} ; f { } g { c d } fucoes de. S f Recf g deteme el vlo de c d Resp. s es p Se f : N R u fucó tl que f - s es mp uáles de ls sguetes fmcoes so veddes? UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 6

53 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. f f y 0 es p y es mp f f y y N c Este u úco tul tl que f f Resp. c Deteme R p que {8 } f se fucó Resp. p / p es u poposcó. Defmos u fucó f : R po s p es V f p. Demueste: 0 s p es F f p q f p f q f p f q f ~ p f p c f ~ p q f p f ~ q f p f p f q Se { } 5 osdee ls fucoes eles f g tl que f Deteme f 6g Resp. 6 Se f g fucoes eles defds po f g c d ; c d R ; 0. uál de ls sguetes fmcoes es vedde? f y f f y 0 fg d d c c f g d c d f g c d Resp. y c 7 Se f : R R u fucó tl que f ; R S f y f f y y R y s f 6 deteme y Resp. 0 8 Se : 0] R g. f u fucó tl que f. Demueste que f es yectv 9 osdee ls fucoes eles f g tl que g ; R { 0} f.s f o g g o f Deteme el vlo de Resp 0 0 S f : R R u fucó tl que f 7 f f 7 R y f 0 0 Vefque que: f 7 f 7 f 5 f f 7 f 6 c 9 s f 7 0 f 7 Se f g fucoes eles defds po UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 7

54 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. f [ 06] ; g [ ] f o g y g o f deteme ls fucoes Resp. f o g 6 [ ] ; g o f 6 [ 05] Se f g fucoes eles defds po: f ; g. Deteme f o g y g o f Resp. f o g g o f [ ] Se f g fucoes eles tl que f < 0; deteme g s f g 5 Resp. g Se f g fucoes eles tl que f g. Deteme R de modo que f o g g o f Resp. S f : X Y es fucó Y demueste: f f f f f f c f f f d f f f e f f f f f f g f f h f f Y f f X 7 5 Hll R p que l fucó f : [ ] se yectv dode f Resp S f : R R es u fucó tl que f 5 deteme el vlo de que stsfce l elcó f o f Resp. R {} Re c f R { 0} 7 Se f : [ 0 { } R u fucó tl que f. Demueste que f es yectv 8 Se f u fucó yectv tl que f 0 ; f f 0 deteme Resp. f 0 8 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 8

55 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. PITULO LOS NUMEROS NTURLES. INDUION MTEMÁTI Este dvess foms de sstemtz l cojuto de los úmeos tules y sus popeddes l omátc de Peo es quell e que os semos p deduc l Iduccó Mtemátc y decl lgus popeddes mpottes de los tules. E.889 Guseppe Peo pesetó l sguete omátc p los úmeos tules N N N! N tl que N : m N : m m S 5 S N tl que S N S S Osevcó. - El om os dc que todo tul tee u úco suceso - El om os dc que el tul es suceso de gú tul es dec el es el pme tul. - El om os dc que dos tules dsttos o tee el msmo suceso - El om 5 om de l Iduccó os pemtá demost l vldez de poposcoes e todo el cojuto de los tules - L omátc de Peo os pemte demás def e el cojuto N l opecó UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 9

56 MTEMÁTI GENERL 0.05 HERLDO GONZLEZ S. dcó l opecó multplccó y u elcó de ode.. Pme Teoem de l Iduccó Teoem. osdeemos l poposcó P que cotee l vle S l poposcó P es tl que: Se cumple que P es vedde N. sumedo que P es vedde se vefc que P es vedde Demostcó. Etoces P se cumple p todo tul. osdeemos el cojuto S fomdo po todos quellos tules que stsfce l poposcó es dec se S { N / P es vedede} deemos demost que P se stsfce p todo tul es dec deemos demost que S N. omo P es veddeo etoces P V P V ; esto dc que S S. S demás po hpótess se cumple que Ddo que el cojuto S stsfce el quto om de Peo coclumos que S N y etoces l poposcó se cumple e N. Osevcó. Podemos ot e fom más eve como sgue: P V P esv N P V P V Tmé se cooce est poposcó como Pme pcpo de l Iduccó Mtemátc UNIVERSIDD DE SNTIGO DE HILE FULTD DE IENI DPTO. DE MTEMTI Y.. 50