Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

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1 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

2

3 Prefcio El cero es el silencio ntes del número El número es el verbo mtemático Lo mtemático es el cálculo de l relidd L relidd es lo único increíble Lo increíble es lo que no podemos Y lo que no podemos es lo que queremos. Ptricio Mnns. Este texto es producto - en elborción ún - del proyecto de desrrollo de l docenci Texto de cálculo nul pr ingenierí civil, finncido por l Vicerrectorí de Docenci y Extensión de l Universidd de Sntigo de Chile. Grn prte de los contenidos de los cpítulos y están scdos del ntiguo texto de Cálculo I escrito por Gldys Bobdill y Jorge Billeke (Q.E.P.D.). L ide motriz de los utores pr emprender est tre es el profundo convencimiento que ést es un form de contribuir un cultur ncionl independiente. Aunque los tems trtdos - generdos en Europ entre los siglos 7 y 9 - formn prte del ptrimonio universl y existe un mpli y vrid litertur, no es un rzón suficiente pr que l universidd renuncie crer su propio mteril docente. Est lbor es tn importnte como l creción de nuevos conocimientos y necesit, como est últim, de un trdición pr l cul se debe recorrer un lrgo cmino de errores y rectificciones. Además, queremos comprtir con los jóvenes estudintes que usrán este libro, l reflexión del filósofo Gstón Bchelrd (884-96) sobre lo que signific enfrentrse l conocimiento científico: Frente l misterio de lo rel el lm no puede, por decreto, tornrse ingenu. Es entonces imposible hcer, de golpe, tbl rs de los conocimientos usules. Frente lo rel, lo que cree sberse clrmente ofusc lo que debier sberse. Cundo se present nte l cultur científic, el espíritu jmás es joven. Hst es muy i

4 viejo, pues tiene l edd de sus prejuicios. Tener cceso l cienci es rejuvenecerse espiritulmente, es ceptr un mutción brusc que h de contrdecir un psdo. Agrdecemos los vliosos comentrios de l Dr. Cecili Yrur, l profesor Grciel Esclon y el señor Luis Riquelme que nos yudron mejorr l presentción de este texto. Agrdecemos demás, el poyo técnico en l escritur digitl, de l señorit Evelyn Aguilr y el señor Leonelo Iturrig. Finlmente, siendo ést un versión preliminr, grdeceremos quienes detecten e- rrores nos lo hgn sber. Gldys Bobdill A y Rfel Lbrc B. Sntigo, mrzo de. Gstón Bchelrd: L formción del espíritu científico. Ed. Siglo XXI, 997.

5 Índice generl. Límites y continuidd.. Los números reles L ritmétic de los números reles: xioms de cuerpo Comprción de los números reles: xioms de orden Resolución de desigulddes o inecuciones Un distnci en R: el vlor bsoluto L continuidd de R: el xiom del supremo Límites de funciones numérics de vrible discret Ls vribles discrets y el conjunto N Convergenci de sucesiones Divergenci de sucesiones hci ± Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Ls funciones numérics de vrible continu Definiciones básics Representción gráfic de funciones Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Límites de funciones numérics de vrible continu Límites finitos: Límites lterles Límites finitos cundo l vrible independiente crece o decrece indefinidmente Ls funciones circulres o trigonométrics Definición de ls funciones circulres o trigonométrics Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Funciones continus Definiciones básics iii

6 .5.. Continuidd de funciones elementles Discontinuiddes removibles Propieddes de ls funciones continus Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos L derivd y sus plicciones 9.. Introducción Definición y fórmuls básics de l derivd Definiciones básics Fórmuls elementles Ls derivds de ls funciones trigonométrics Ls derivds de orden superior Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Propieddes de ls funciones derivbles Teorems principles Derivds de ls inverss de ls funciones trigonométrics Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Aplicciones I: L regl de L Hôpitl Aplicciones II: Gráficos de funciones Aplicciones III: Análisis de curvs en el plno Elementos de Geometrí Anlític Análisis de curvs en coordends rectngulres Análisis de curvs dds por ecuciones prmétrics Curvs expresds en coordends polres Aplicciones IV: problems de máximo y mínimo Aplicciones V: Rzón de cmbio y diferenciles Rzones de cmbio Diferenciles Aplicciones VI: Físic del movimiento Bibliogrfí L integrl de Riemnn Sums de Riemnn y el concepto de integrl Cálculo de integrles medinte sums de Riemnn prticulres Propieddes de l Integrl de Riemnn Teorem Fundmentl de Cálculo Ls funciones logritmo nturl y exponencil

7 3.4.. Definición y propieddes de l función logritmo nturl L función exponencil Aplicciones de l función exponencil: Ls funciones hiperbólics L regl de L Hôpitl y cálculo de límites de forms indeterminds de tipo exponencil Derivción logrítmic L integrl indefinid: cálculo de primitivs L integrl indefinid y sus propieddes L integrl indefinid Fórmuls básics de integrción Propieddes elementles de l integrl indefinid Ejercicios propuestos Fórmuls de reducción Ejercicios propuestos Integrción de funciones rcionles Descomposición de un polinomio en fctores Descomposición de un función rcionl en frcciones simples o prciles Integrción de funciones rcionles Integrción de lguns funciones lgebrics Integrción de funciones irrcionles simples Integrción de f(x) = x p (x n + b) q p, q, n Q Integrción de funciones rcionles que involucrn polinomios en x y ríces cudrds de x + bx + c Ejercicios propuestos Integrción de cierts funciones trscendentes Integrción de funciones trigonométrics Integrción de funciones trigonométrics inverss Integrción de funciones hiperbólics, exponenciles y logrítmics Ejercicios propuestos Aplicciones de l integrl Cálculo de áres Cálculo de áres en coordends rectngulres Cálculo de áres usndo ecuciones prmétrics Cálculo de áres en coordends polres Cálculo de longitudes de curvs Cálculo de longitudes de curvs en coordends rectngulres.... 6

8 5... Cálculo de longitudes de curvs dds por ecuciones prmétrics Cálculo de longitudes de curvs en coordends polres Volúmenes y áres de superficies de sólidos de revolución Método de los discos Método de ls cortezs o cilindros Áres de superficies de revolución Integrles elíptics e integrción numéric Integrles elíptics Dos métodos numéricos de integrción Integrles impropis y series Integrles impropis Integrles impropis sobre intervlos no cotdos o de primer clse Propieddes de ls integrles impropis de primer clse Integrles impropis cundo l función no es cotd en el intervlo de integrción o de segund clse Otros criterios L función Gm L función Bet Series Numérics Conceptos generles Criterios básicos de convergenci de series Series de términos lterndos: criterio de Leibniz Convergenci bsolut y condicionl de series Multiplicción de series de términos no-negtivos Multiplicción de series en generl Criterios más específicos Series de Números Complejos Series de potencis Series de Funciones Propieddes de ls series uniformemente convergentes Series de potencis Teorem de Tylor Cálculo de polinomios y series de Tylor pr funciones elementles 754

9 Cpítulo 3 L integrl de Riemnn 3.. Sums de Riemnn y el concepto de integrl Definición 3.. Prtición del intervlo Se [, b] un intervlo cerrdo y cotdo de R, < b. Un prtición de [, b] es un fmili finit P = {t, t,..., t n } de puntos tles que = t < t <... < t n < t n = b Pr cd prtición P = {t, t..., t n } tenemos que los intervlos [t, t ], [t, t ],..., [t n, t n ] stisfcen: n [, b] = [t i, t i ] Denotremos por t i l longitud del subintervlo [t i, t i ], es decir: En prticulr, tenemos: i= t i = t i t i = longitud del subintervlo i. n t i = (t t ) + (t t ) = b = longitud del intervlo [, b]. i= Se llm norm de l prtición l número P = máx{ t i : i =,... n}. t t... t n b Figur 3.: Prtición del intervlo Se f : [, b] R un función cotd. Se P = {t, t,..., t n } un prtición de [, b]. 47

10 48 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Pr cd i N, i n se definen los números: M i = sup{f(x) ; x [t i, t i ]} m i = inf{f(x) ; x [t i, t i ]} Es inmedito que m i f(x) M i, pr todo x [t i, t i ] ; i =,,..., n. Definición 3... Se llm un sum de Riemnn de f correspondiente l prtición P culquier número de l form: s(f, P) = n f(ξ i )(t i t i ), ξ i [t i, t i ]. i=. Se llm sum inferior de f correspondiente l prtición P l número I(f, P) = n m i (t i t i ). i= 3. Se llm sum superior de f correspondiente l prtición P l número S(f, P) = n M i (t i t i ). i= Observción 3..3 Como f es cotd en [, b] entonces es cotd en cd [t i, t i ] y luego tiene supremo e ínfimo en dicho intervlo. Si demás, f es continu, el Teorem de Weierstrss.5.8, segur que f lcnz su vlor máximo y mínimo en cd intervlo [t i, t i ].En prticulr si f es continu y creciente m i = f(t i ) y M i = f(t i ). I(f, P) =f()(t ) + f(t )(t t ) + f(t )(t 3 t ) + f(t 3 )(b t 3 ) =sum de ls áres de ls prtes churds de l figur 3..,donde se tom f continu, creciente y positiv. t t t 3 b Figur 3.: Sums inferiores

11 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 49 S(f, P) =f(t )(t ) + f(t )(t t ) + f(t 3 )(t 3 t ) + f(b)(b t 3 ) = sum de ls áres de ls prtes churds de l figur 3.3. t t t 3 b Figur 3.3: Sums superiores Observción 3..4 Es fácil verificr que I(f, P) S(f, P) pr tod prtición P de [, b](ejercicio ). Definición 3..5 Un prtición P de [, b] se dice más fin o un refinmiento de l prtición P de [, b]) si se cumple que todo punto de P es punto de P. En tl cso escribimos P P. Ejemplo 3..6 P = {,,,,4,,6,,8, } es un prtición de [, ] más fin que {,,4, }. Lem 3..7 Sen P, P prticiones de [, b] tles que P P y f : [, b] R cotd tenemos: I(f, P ) I(f, P) S(f, P) S(f, P ). Demostrción: Suponemos que P = {t, t,..., t n, t n } y que P = {t, t, t, t,..., t n, t n }, es decir que P tiene un punto más que P. t t t En este cso Figur 3.4: I(f, P ) =m (t t ) + m (t t ) m n (t n t n ) I(f, P) = m ( t t ) + m (t t ) + m (t t ) m n (t n t n ) I(f, P) I(f, P ) = m ( t t ) + m (t t ) m (t t ) = =( m m )( t t ) + ( m m )(t t )

12 4 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Y que m m y m m tenemos I(f, P ) I(f, P). t t t Figur 3.5. Análogmente se pruebn los otros resultdos. Lem 3..8 Si P y P son dos prticiones culesquier de [, b] entonces se cumple que I(f, P) S(f, P ). Demostrción: Se P = P P, de cuerdo l lem nterior tenemos I(f, P) I(f, P ) S(f, P ) S(f, P) I(f, P ) I(f, P ) S(f, P ) S(f, P ) Por lo tnto, I(f, P) S(f, P ) S(f, P ) como querímos probr. Se hor r f = {I(f, P) ; P es prtición de [, b]} el conjunto de tods ls sums inferiores socids tods ls posibles prticiones de [, b]. L proposición nterior grntiz que r f es cotdo superiormente y, por lo tnto, tiene supremo. Esto d sentido l siguiente definición. Definición 3..9 L integrl inferior de f en [, b] es el número b f(x)dx = sup{i(f, P) ; P es prtición de [, b]} Se R f = {S(f, P) ; P es prtición de [, b]}. De cuerdo l proposición nterior R f es cotdo inferiormente y, por lo tnto, tiene ínfimo. Esto d sentido l siguiente definición. Definición 3.. L integrl superior de f en [, b] es el número b f(x)dx = inf{s(f, P) ; P es prtición de [, b]}

13 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 4 Definición 3.. Diremos que f es integrble en [, b] si se cumple que b f(x)dx = En este cso el vlor común se denot por de f sobre el intervlo [, b]. Observción 3.. Es inmedito que b b b f(x)dx f(x)dx y se llm integrl de Riemnn f(x)dx b f(x)dx. Ejemplo Se f l función constnte sobre [, b]. Es decir, f : [, b] R tl que f(x) = c, pr todo x [, b]. Se P = {t, t,..., t n } un prtición culquier de [, b]. entonces tenemos que: n I(f, P) = m i (t i t i ), S(f, P) = i= n M i (t i t i ). i= Como m i = inf{f(x) ; x [t i, t i ]} = c y M i = sup{f(x) ; x [t i, t i ]} = c. Tenemos I(f, P) = n c(t i t i ) = c(t t + t t t n t n ) = c(t n t ) = c(b ). i= Análogmente tenemos que: S(f, P) = n c(t i t i ) = c(b ). i= De est form podemos concluir que: b f(x)dx = c(b ) = b f(x)dx. Por lo tnto, en virtud de l definición 3.. tenemos que f es un función integrble y b f(x)dx = c(b ).

14 4 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN. Se f : [, b] R l función definid por { si x es rcionl f(x) = si x es irrcionl Se P = {t, t,..., t n } un prtición culquier de [, b]. Entonces, debido l densidd de los números rcionles e irrcionles en R tenemos que: m i = inf{f(x) ; x [t i, t i ] } = M i = sup{f(x) ; x [t i, t i ] } =. Luego, I(f, P) = S(f, P) = n n m i (t i t i ) = (t i t i ) =. i= n M i (t i t i ) = i= i= i= n (t i t i ) = t n t = b. Por lo tnto, b b Así, f no es integrble puesto que b f(x)dx = sup r f =, f(x)dx = inf R f = b. f(x)dx = 3. Se f : [, ] R definid por f(x) = x. b f(x)dx = b.

15 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 43 Demostrremos que f(x)dx =. En efecto, se P = {t, t,..., t n } un prtición de [, ] que divide el intervlo en n subintervlos de longitud igul. Por lo cul l prtición es el conjunto n {, n, n,...,..., in }...,. Es decir, t i = i, con i n, y ls sums inferiores n son: I(f, P) = n m i (t i t i ), donde m i = inf i= i= i= { f(x) ; x n i ( i I(f, P) = n n i ) n i = n n n = n n (i ) i= i= i= = ( n (n ) ) n = n n. Ls sums superiores tienen l form: n n i S(f, P) = M i (t i t i ) = n n n = i n Como = n n (i) = n I(f, P) i= b entonces pr todo n N se tiene: f(x)dx n i = i= b i= n(n + ) n = n + n. f(x)dx S(f, P), [ i n, i ] }. n n n b f(x)dx b f(x)dx n + n. Tenemos que Es decir, n lím n n como hbímos enuncido. b b f(x)dx f(x)dx = b b n + f(x)dx lím n n. f(x)dx =

16 44 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Criterio de Integrbilidd Teorem 3..4 Se f : [, b] R un función cotd. f es integrble en [, b] si y sólo si pr todo ε > existe un prtición P ε de [, b] tl que S(f, P ε ) I(f, P ε ) < ε. Demostrción: ( =) Supongmos que l condición es ciert. Entonces, ddo ε > existe un prtición P ε de [, b] tl que S(f, P ε ) I(f, P ε ) < ε. Por lo cul, inf{s(f, P) ; P es prtición de [, b]} < I(f, P ε ) + ε. Usndo l definición de integrl superior podemos escribir: b f(x)dx < I(f, P ε ) + ε < sup{i(f, P) ; P es prtición de [, b]} + ε. En virtud de l definición de l integrl inferior, tenemos: Lo que implic que, b f(x)dx < b f(x)dx b f(x)dx + ε. b f(x)dx < ε. Como est desiguldd se cumple pr todo número positivo ε, podemos concluir que b lo que nos dice que f es integrble. f(x)dx = ( = ) Reciprocmente, si f es integrble, entonces b f(x)dx = b b f(x)dx, f(x)dx = I. Se ε > ddo. Usndo l definición de integrl superior, definición 3.. o -lo que es equivlente- l crctizción de ínfimo, tenemos que existe P ε tl que: S(f, P ε) < b f(x)dx + ε.

17 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 45 En virtud del lem 3..7, podemos escribir: S(f, P) < b f(x)dx + ε, pr tod prtición P más fin que P ε. Análogmente, usndo l definición de integrl inferior, definición 3..9, o lo que es equivlente l definición de supremo, tenemos que existe P ε tl que: I(f, P ε ) > b f(x)dx ε. Nuevmente, usndo el lem 3..7, podemos escribir: I(f, P) > b f(x)dx ε Si definimos P ε = P ε P ε, tenemos que:, pr tod prtición P más fim que P ε. S(f, P ε ) < I + ε I(f, P ε ) < I + ε sumndo ls dos desigulddes obtenemos, S(f, P ε ) I(f, P ε ) < ε. Ejemplo 3..5 L función f(x) = [x], l prte enter de x, stisfce el criterio de integrbilidd en [, ] y por lo tnto es integrble en dicho intervlo. En efecto { si x < f(x) = si x =. Est función tiene un discontinuidd en [, ]. Se P un prtición culquier de [, ]. P = {x, x,... x n } ; x =, x n =. Como l función es constnte en [, [ e igul cero, tenemos que: m i = inf{f(x) ; x [x i, x i ]} =, i =,... n. M i = sup{f(x) ; x [x i, x i ]} =, i =,... n. M n =

18 46 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Por lo tnto, I(f, P) = S(f, P) = (x n x n ) = x n. Así tenemos, S(f, P) I(f, P) = x n. Entonces, ddo ε positivo, en virtud del Principio de Arquímedes existe N N tl que N < ε. Por otro prte, podemos construir un prtición P ε de modo que P ε < N. Así, ddo ε positivo hemos encontrdo un prtición de [, ], tl que S(f, P) I(f, P) = x n < N < ε. Cuánto vle [x]dx? Como y sbemos que l integrl existe, podemos obtener su vlor por el cmino más fácil. En este cso usndo l integrl inferior cuyo vlor es cero. [x] dx =. Ejemplo 3..6 L función f(x) = [x], l prte enter de x, stisfce el criterio de integrbilidd en [, ] y por lo tnto es integrble en dicho intervlo. En efecto { si x < f(x) = si x =. Est función tiene un discontinuidd en [, ]. Se P un prtición culquier de [, ]. P = {x, x,... x n } ; x =, x n =. Como l función es constnte en [, [ e igul uno, tenemos que: m i = inf{f(x) ; x [x i, x i ]} =, i =,... n. M i = sup{f(x) ; x [x i, x i ]} =, i =,... n. M n =

19 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 47 Por lo tnto, I(f, P) = S(f, P) = Así tenemos, n m i x i = i= n x i = i= n n x i = i= n n M i x i = M i x i + M n x n = x i + M n x n i= i= = (x n ) + M n x n = x n + (x n x n ) = (x n x n ) + = x n +. i= S(f, P) I(f, P) = x n + = x n. Entonces, ddo ε positivo, en virtud del Principio de Arquímedes existe N N tl que N < ε. Por otro prte, podemos construir un prtición P ε de modo que P ε < N. Así, ddo ε positivo hemos encontrdo un prtición de [, ], tl que Cuánto vle [x]dx? S(f, P) I(f, P) = x n < N < ε. como en el ejemplo nterior, ddo que y sbemos que l integrl existe, podemos obtener su vlor por el cmino más fácil. En este cso usndo l integrl inferior cuyo vlor es uno. [x] dx = Cálculo de integrles medinte sums de Riemnn prticulres Teorem 3..7 Si f : [, b] R es integrble y P n = {t i, t i = + b i, i =,, n} n entonces, lím s(f, P n) = n + b f(x)dx. Demostrción: S f : [, b] R es un función integrble, existen sus integrles superior e inferior: b b f(x)dx = sup{i(f, P); P prtición de [, b]} f(x)dx = inf{s(f, P); P prtición de [, b]}.

20 48 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Además, se tiene l iguldd, b f(x)dx = b f(x)dx. Consideremos l prtición P n = {t i : t i = + b i; i =,,. n }. n Es inmedito que P n divide el intervlo [, b] en n subintervlos I n,, In n de igul longitud y se tiene que: Ii n = [t i, t i ], i =,, n. Sen m n i = inf{f(x), x I n i }, M n i = sup{f(x); x I n i }. En este cso: Esto es, I(f, P n ) = S(f, P n ) = n m n i (t i t i ) = i= n Mi n (t i t i ) = i= n m n i i= n i= M n i (b ) n (b ). n I(f, P n ) = b n S(f, P n ) = b n n i= n i=. Es inmedito que I(f, P n ) I(f, P n+ ). En efecto, si Ij n+ Ij n In i+ entonces, mn+ j n+ (b ) n + i= m n+ i m n i = (b ) n M n i = (b ) n n i= m n i n Mi n. i= mx{m n i, mn i+ }, en consecuenci = (b ) promedio de {m n+,, m n+ i } (b ) promedio de {m n,, m n n }.. Usndo el criterio de integrbilidd, sbemos que ddo ε >, existe un prtición P ε de [, b], tl que b ddo el número P ε existe N N tl que, u f(x)dx I(f, P ε ) < ε. Por el Principio de Arquímedes, N P ε.

21 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 49 Ahor, podemos construir un prtición P N que se un refinmiento de tl P ε y de modo que todos los subintervlos sen de longitud menor o igul que N. Entonces, tenemos que pr todo n N, se cumple, Así, < b Por lo tnto, I(f, P ε ) I(f, P N ) S(f, P N ) S(f, P ε ) f(x) S(f, P n ) b lím s(f, P n) = n f(x)dx S(f, P ε ) ε. b f(x)dx = Ejemplo 3..8 Considermos f(x) = x 3, x [, ]. ) En este cso, como f es creciente, m i = f( i n = b b f(x)dx. ( i ) 3. n f(x)dx. I(f, P) = n n m i = n i= n ( (i ) ) n 3 = n n 4 i= i= i 3 = ( ) (n ) n n 4 = 4 ( n n ) = (. 4 n) Así tenemos que: lím I(f, P) = /4. n + Ejemplo 3..9 L función f(x) = x definid en [, b] es integrble y su integrl b x dx = b. En efecto, demostrremos que f(x) = x stisfce el criterio de integrbilidd en culquier intervlo [, b]. Ddo un número positivo ε positivo, debemos encontrr un prtición del intervlo [, b] tl que S(f, P ε ) I(f, P ε ) < ε. Se P n un prtición culquier de [, b]. P = {x, x,... x n } ; x =, x n = b. Como l función identic es creciente en [, b[,

22 43 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN tenemos que: m i = inf{f(x) ; x [x i, x i ]} = x i, i =,... n. M i = sup{f(x) ; x [x i, x i ]} = x i, i =,... n. Por lo tnto, I(f, P n ) = S(f, P n ) = n n m i x i = x i x i i= n M i x i = i= i= i= n x i x i. Con estos cálculos podemos escribir: S(f, P n ) I(f, P n ) = x (x ) + x (x x ) b(b x n ) [(x ) + x (x x ) x n (b x n )] = (x )(x ) + (x x )(x x ) (b x n )(b x n ) Acotndo uno de los fctores en cd sumndo por P n ), obtenemos: S(f, P n ) I(f, P n ) (x ) P n ) + (x x ) P n ) (b x n ) P n ) = [(x ) + (x x ) (b x n )] P n ) = (b ) P n ). Con el mismo rzonmiento usdo en los ejemplos nteriores, tenemos que: ddo ε positivo, en virtud del Principio de Arquímedes existe N N tl que < ε. Por otro prte, N(b ) podemos construir un prtición P ε de modo que P ε < N(b ). Así, ddo ε positivo hemos encontrdo un prtición de [, ], tl que S(f, P) I(f, P) = (b ) P ε ) < (b ) N(b ) < ε. El criterio de integrbilidd nos dice que el número b x dx existe, pero no dice cuánto vle. Como sbemos que existe clculremos l integrl usndo sums de Riemnn en que l función se evlu en el punto medio de cd subintervlo.

23 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 43 Se P n un prtición culquier de [, b]. P = {x, x,... x n } ; x =, x n = b, ξ i = x i + x i. entonces: n f(ξ i ) x i = + x (x ) + x + x (x x ) b + x n (b x n ) i= = ( x )( + x ) + (x x )(x + x ) = (x + x x b x n ) = b (b + x n )(b x n ) Observemos que el último cálculo vle pr culquier prtición. Como l función es continu y si n +, entonces M i y m i tienden confundirse con el punto medio de cd subintervlo, por lo cul podemos concluir que: b x dx = b. El siguiente teorem es un de ls consecuencis más importntes del criterio de integrbilidd. Teorem 3.. Si f : [, b] R es un función continu o continu trmos entonces, f es integrble en el intervlo [, b]. Ejercicios resueltos. Recuerde que si l velocidd de un prtícul es constnte en un intervlo de tiempo, entonces se us l fórmul v = d, donde d es l distnci recorrid y t el tiempo t trnscurrido. Est fórmul no es válid cundo l velocidd vrí en cd instnte, pero si puede usrse pr cálculos proximdos. Supong que un prtícul se mueve con velocidd v(t) = t + ; t [, ]; t medido en hors. ) Dé un vlor proximdo del cmino recorrido durnte un hor, suponiendo que cd minutos l velocidd se mntiene constnte e igul v(ξ i ) donde ξ i es l mitd del tiempo trnscurrido en cd intervlo de minutos.

24 43 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN b) Observndo el gráfico de l situción dd en ) Cómo podrí obtener un vlor más excto del cmino recorrido?. c) Cómo podrí obtener un fórmul pr obtener el vlor excto?. Solución: ) v(t) = t +, t [, ]. m = 5 4m = 5 36m = m = 4 5 hor Los puntos medios de cd subintervlo de minutos son: ξ =, ξ = 3, ξ 3 = 5, ξ 4 = 7, ξ 5 = 9. Como v = d, entonces d = v t. t ( ) Si t /5, v = v = v(ξ ) = + ( ) 3 Si /5 < t /5, v = v = v(ξ ) = + ( ) 5 Si /5 < t 3/5, v = v 3 = v(ξ 3 ) = + ( ) 7 Si 3/5 < t 4/5, v = v 4 = v(ξ 4 ) = + ( ) 9 Si 4/5 < t 5/5, v = v 5 = v(ξ 5 ) = + Por lo tnto, en cd subintervlo i supondremos que l velocidd permnece constnte e igul v i. Por lo tnto l distnci totl d recorrid es:

25 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 433 d = d + d + d 3 + d 4 + d 5 = 5 (v + v + v 3 + v 4 + v 5 ) = [ = ( ) ( ) 3 ( ) 5 ( ) 7 ( = [ ] = [ = 33 + =, 33. ( ) 9 + ] ] + 5 b) Un vlor más excto se obtiene hciendo un subdivisión más fin del intervlo [, ]. c) Un form de obtener el vlor excto es hciendo divisiones tn fins de modo que l longitud de los subintervlos tiendn cero. en ese cso l cntidd de sumndo se hce infinitmente grnde, su sum se reliz con el concepto de integrl de Riemnn.. Si un fuerz constnte F ctú sobre un cuerpo que se mueve en líne rect, entonces el trbjo T, relizdo por l fuerz l desplzr el cuerpo un distnci x es T = F x. Si l fuerz es vrible, ést fórmul y no es válid, pero tl como en el ejercicio nterior, puede ser usd pr encontrr vlores proximdos del trbjo. Por ejemplo, pr estirr un resorte en l dirección del eje X en x uniddes de longitud, se necesit un fuerz F (x) = 5x ; x medido en metros. Dé un vlor proximdo del trbjo totl efectudo por l fuerz, pr estirr el resorte cm, usndo un prtición del intervlo en que vrí x con n subdivisiones de igul longitud y suponiendo F constnte en cd subintervlo. El vlor de F en cd subintervlo puede ser elegido como usted quier. Solución: T = F x = T (x) Si F = F (x); T (x) = F (x) x Aplicndo est fórmul nivel microscópico, se obtiene:

26 434 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN x i = x + i n, x =, i =,,, n Entre x i y x i+ l distnci es n. En x = x i+, T (x i+ ) = F (x i+ ) n. El trbjo totl es, T (x ) + T (x ) + + T (x n ) = (F (x ) + F (x ) + + F (x n )) n = 5(x + x + + x n ) n ( = 5 + n + n + + n ) n n = 5 ( n) n = 5 n(n + ) n = 5 n + n Asì, el vlor 5 n + d un vlor proximdo del trbjo totl cundo el intervlo n se divide en n subintervlos. Si l división de subintervlos es infinitmente grnde, el vlor del trbjo es: lím (T (x ) + T (x ) + + T (x n )) = 5. n + 3. Fórmul pr clculr l longitud de un curv Considere y = f(x), f función con derivd continu en [, b]. Prticione el intervlo [, b] en n subintervlos [, x ], [x, x ],, [x n, b]. Se P i = (x i, f(x i )), i =,, n, P = (, f()) y P n = (b, f(b)). ) Clcule l longitud de l poligonl determind por los trzos P P, P, P,, P n P n. b) Use el Teorem del Vlor Medio pr derivds pr reemplzr en l fórmul encontrd en () los términos (y i y i ).

27 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 435 c) Demuestre que l longitud L de l curv es proximdmente n + [f (c i )] ( x i ) ; c i [x i, x i ]. i= d) A cuál sum de Riemnn corresponde l expresión obtenid en (c). e) Use el concepto de integrl pr escribir l expresión exct de L. f ) Clcule un vlor proximdo de l longitud de l curv y = x 3/ cundo x [, ] usndo un prtición de subintervlos de igul longitud. Solución: ) P i = (x i, y i ) = (x i, f(x i )) P i P i = (x i x i ) + (y i y i ). entonces, l longitud L de l poligonl es: n n L = P i P i = (xi x i ) + (y i y i ). i= i= b) Como f es un función con derivd continu, podemos plicr el Teorem del Vlor Medio pr derivds,.3.5, en cd subintervlo [x i, x i ]. Así, tenemos l existenci de un punto c i ]x i, x i [ tl que f(x i ) f(x i ) = f (c i )(x i x i ). Por est rzón podemos escribir lo siguiente: P i P i = (x i x i ) + (f(x i ) f(x i )) = = (x i x i ) + (f (c i )) (x i x i ) = + (f (c i )) x i x i, x i c i x i. c) Por lo tnto, l longitud de l poligonl L puede escribirse como: L = n P i P i = i= n + (f (c i )) (x i x i ). i= d) Si considermos l poligonl L como un proximción de l longitud de l curv y = f(x), entonces: Longitud de l curv n n + (f (c i )) (x i x i ) = + [f (c i )] ( x i ); i= i=

28 436 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN donde c i [x i, x i ]. L expresión obtenid en (c) corresponde un sum de Riemnn de l función g(x) = + (f (x)). e) El vlor excto de l longitud de l curv se obtiene hciendo l prtición del dominio de l función cd vez más fino, por lo cul usndo l definición de integrl podemos escribir: L = b + (f (x)) dx. f ) f(x) = x 3/, f (x) = 3 x/, x i = + i ; i. Así, tenemos: x =, x = + /, x = + /,, x =. (f (x i )) = 3 (x i) /, i =,,,. Pr encontrr un vlor proximdo de l longitud de l curv tomremos como vlor de g en cd subintervlo g evlud en el extremo derecho del subintervlo. l c 3 (x ) / (x ) / (x 8 ) / + (x 9 ) / + (x ) /) (x 9) / + 3 (x/ ) [ (x ) / + (x ) / + (x 3 ) / + (x 4 ) / + (x 5 ) / + (x 6 ) / + (x 7 ) / + 3 [, +, +, 3 +, 4 +, 5 +, 6 +, 7+ ], 8 +, [, 48 +, 95 +, 4 +, 83 +, 4 +, 64 +, 33 +, 34+, 378 +, 44], Dd l prábol y = x sobre [, ] ) Dé un vlor proximdo del áre A de l región del plno comprendid entre el eje X, l curv y(x) y ls rects x = y x =, usndo l sum de Riemnn correspondiente un prtición de 5 subintervlos de igul longitud y usndo como ξ i el punto medio de cd subintervlo.

29 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 437 b) Aproxime el áre A medinte l sum de los trpecios que resultn usndo l mism prtición del item nterior. c) L sum resultnte en el item nterior, es un sum de Riemnn? Justifique. d) Clcule l sum superior correspondiente un prtición de n subintervlos igules. e) Clcule l integrl superior de l función y sobre [, ] y dig por qué este vlor corresponde l vlor de l integrl. Solución: y = x, x [, ] y = x A ) Si dividimos el intervlo de longitud en 5 prtes igules cd subintervlo debe tener un longitud de 5 =, 4 uniddes de longitud. Por lo tnto,x =, x = 5, x = = 4 5, x 3 = = 6 5, x 4 = = 8 5, x 5 = = 5 =. ξ = 5, ξ = 3 5, ξ 3 =, ξ 4 = 7 5, ξ 5 = 9 5. Ahor, clculmos los vlores de f en cd ξ i : f(ξ ) = 5, f(ξ ) = 9 5, f(ξ 3) =, f(ξ 4 ) = 49 5, f(ξ 5) = 9 5. Entonces, l sum de Riemnn S correspondiente l prtición P = {x, x, x, x 3, x 4, x 5 }

30 438 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN y los puntos ξ i es un vlor proximdo del áre A. 5 A S = y(ξ ) x i = i= ( ) = = = 66 5, 64. b) Áre de un trpecio: c b A T = b + c = b + c b + (b + c) = = er trpecio: = 5, b =, b + c = ( 5 do trpecio: = 5, b = ( 5), b + c = 3 er trpecio: = 5, b = ( 4 5), b + c = 4 to trpecio: = 5, b = ( 6 5), b + c = 5 to trpecio: = 5, b = ( 8 5 [b + (b + c)]. ) = 4 5 ; A T = ( ) 4 ; A T 5 = 5 ( ) 6 ; A T3 5 = 5 ( ) 8 ; A T4 5 = 5 ), b + c = ; A T5 = = 4 5 ) ( ( ) 5 ( ( ) )

31 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 439 Are = 34 5 = 68 =, 7. 5 c) Cd sumndo de l sum del item nterior es de l form: A Ti = i bi + (b i + c i ). L bse de cd trpecio es i = x i. Pr que dich sum se un sum de Riemnn, el número b i + (b i + c i ) debe corresponder l imgen de lgún x i [x i, x i ]. Es decir, f(x i ) = b i + (b i + c i ). Como f es continu en cd intervlo [x i, x i ] y f([x i, x i ]) = [b i, b i + c i ], podemos plicr el Teorem del Vlor Intermedio, teorem.5.6 pr obtener l existenci de x i [x i, x i ] tl que f(x i ) = b i + (b i + c i ). Por lo tnto, l sum de ls áres de los trpecios cuys lturs son puntos sobre el gráfico de un curv continu es un sum de Riemnn. d) Se x i = n. Así, obtenemos los puntos de l prtición P n: x i = i ; con i =,, n. n x =, x = n, x = 4 n, x 3 = 6 n,, x (n ) n =, x n =. n Si i =,,..., n entonces, considerndo que l función f es creciente M i = f(x i = 4 n (i). Por lo tnto, f(x i ) (x i x i ) = f(x i ) x i = 4 n (i) n = 8 n 3 (i). S(f, P n ) = n f(x i )(x i x i ) = i= = 8 n n 3 (i) i= n i= 8 n 3 (i) = 8 n(n + )(n + ) = 8 n3 6 n n + 3n + 6 = 4 3 n + 3n + n = 4 ( + 3n 3 + n ).

32 44 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN e) L integrl superior de l función y sobre [, ] corresponde l ínfimo de tods ls posibles sums superiores. Este ínfimo se lcnz hciendo tender n + en S(f, P n ) = 4 ( n + ) n, puesto que est sucesión es decreciente. lím S(f, P n) = 4 n + 3 = 8 =, Este vlor corresponde l vlor de l integrl porque l función es continu y por lo tnto integrble. 5. Dd l función f(x) = x(x + ), x, >, clcule como límite de sums de Riemnn. f(x)dx Solución: Consideremos l prtición del intervlo [, ] obtenid l subdividir el intervlo en n subintervlos igules de longitud n. Entonces cd subintervlo I i tiene l form: [ I i = + i n, + i [, i =,, n. n f f ( + i n ( + i n ) = ) n = = ( + i n ( + i n ) ( + i ) n + ) ( + i n + ) n = ( + in + + in + i n + i ) n n n f i= = 3 n + i 3 n + n + i 3 n + 3 i n 3 + n i = 3 n + i 3 i + 3 n n 3 + n i + n ( + i ) n n = n + n + 3 (n + )(n + ) 6 n + lím S n = n = ( n + n ) +

33 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL Se I = x dx ) Dig por qué l integrl I existe. b) Dé un vlor proximdo de I subdividendo el intervlo de integrción en subintervlos de igul longitud: ) Clculndo l respectiv sum superior. ) Clculndo l respectiv sum inferior. 3) Usndo l sum de ls áres de los trpecios determindos por l prtición elegid. 4) Usndo los puntos medios de cd subintevlo. c) Use considerciones geométrics pr decir, cundo se posible, si los vlores encontrdos en cd cso son myores o menores que el vlor excto. Solución: ) L integrl existe porque f(x) = es continu en [, ], como consecuenci del x teorem 3... b) consideremos un prtición del intervlo [, b] dividiéndol en n prtes de igul longitud. Tenemos, =, b = x i = b = n n, x i = + (b ) i n = + i, i =,,..., n. n x =, x = + n, x = + n,, x n = + n n, x n =. Si n =, tenemos: x =, x =, x =, x 3 = 3,, x 9 = 9, x =. ) Considerndo que l función es decreciente, l sum superior qued expresd como sigue: S(f, P ) = f() + ( ) f + ( ) f + + ( ) 9 f = [ ] 9 = [ +, 99 +, 833 +, 769 +, 74 +, 666 +, 65 +, 588 +, 555 +, 56] = 7, 85, 785.

34 44 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN ) L sum inferior tiene l form: I(f, P ) = [ ( f = ) + f ( ) ] + f() ] [ = 6, 685, ) Ahor clculremos un vlor proximdo de l integrl usndo ls áres de los trpecios determindos por l prtición elegid. Recordemos que el áre de un trpecio es el producto de l bse por l semi sum de ls lturs. c b Trpecio: b + c = (b + c) = [b + (b + c)]. x Entonces,como todos los trpecios tiene bse de longitud, tenemos que

35 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 443 est sum de Riemnn tiene l form: s(f, P ) = f + = f ( ) + f() ( ) + f + + ( ) 3 f + + ( ) + f f() + f ( ) + ( 9 ) = [, 99 +, 99 +, 833, 833 +, , 74 +, 666, 666 +, 65 +, 65 +, 588, 588 +, 555, 555 +, = [, , 87 +, 8 +, 745 +, 69 +, , 665 +, 575 +, 545 +, 53] = 6, 935, 6935., 769 +, 74 + ], 56 +, 5

36 444 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN 4) Usndo puntos medios, tenemos: x = x = x 4 = x 6 = x 8 = =, x = = 5, x 3 = = 9, x 5 = = 33, x 7 = = 37, x 9 = Así, l sum de Riemnn respectiv es: s(f, P ) = [ ( ) ( 3 f + f = = ) + f ( ) f = 3 = 7, = 3, = 35, = 39. ( )] 39 [ [, 95 +, 869 +, 8 +, 74 +, 689 +, 645 +, 66 +, 57 +, 54 +, 5] = [6, 94], 694. c) L sum superior es siempre myor que l integrl, por lo tnto el vlor obtenido por est ví es un proximción por exceso. L sum inferior es siempre menor que el vlor de l integrl, por lo cul est proximción es un por defecto. L sum de ls áres de los trpecios puede ser, en generl myor o menor que el vlor excto.en este cso prticulr, debido ls propiedd de convexidd tenemos que est proximción es myor que el vlor excto. en efecto: l función es convex, por lo cul l rect que une los puntos ( ) x ) x i, y (x i, xi está sobre l curv en el intervlo [x i, x i ]. x i Por lo tnto, el áre de los trpecios es myor que el áre sobre l curv. Vemos hor l curt proximción. Al usr los puntos medios pr evulur l función en l respectiv sum de Riemnn y teniendo en cuent ]

37 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 445 que l función es estrictmente decreciente y positiv, podemos deducir que el áre que qued sin evlur, es decir que está sobre el rectángulo de ltur f(x i ) con x [x i, x i ] es myor que él áre considerd en el rectángulo cundo x [x i, x i ] f(x) 7. ) Use que sen x x y l fórmul que convierte sen x sen x en producto pr demostrr que sen x sen x x x. b) Se f(x) = sen x definid en [, b] y P n un prtición de [, b] que divide este intervlo en n prtes igules. Demuestre que S(f, P n ) I(f, P n ) (b ), n donde S(f, P n ) es un sum superior de f con respecto P n y I(f, P n ) es un sum inferior de f con respecto P n. c) Use el criterio de integrbilidd pr demostrr que f(x) es integrble en culquier intervlo [, b]. d) Deduzc que g(x) = sen ( π x) es integrble en culquier intervlo [, b]. e) Deduzc que cos x es integrble en culquier intervlo [, b]. Solución: ) Usremos sen x x y l conocid fórmul trigonométric: entonces, sen x sen x = cos x + x sen x x.

38 446 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN sen x sen x cos x + x sen x x cos x + x sen x x cos x + x x x x x, pues cos α. b) Se x i = + (b ) i, i =,,... n. n Así, P n = {x, x,, x n }. Denotemos por: S(f, P n ) = I(P r, f) = n (x i x i ).M i = (b ) i= n n i= n (x i x i ).m i = (b ) i= M i = sen(x i ), m i = sen(x i ). i n M i n m i Pr tod prtición P n : S(f, P n ) I(f, P n ) = n (b ) n (M i m i ) i= = b n (sen(x i ) sen(x i n i= b n x i x i b n x i x i n n b n i= n n= b n (b ) =. n c) De cuerdo (b) ddo ε >, en virtud del Principio de Arquímedes podemos (b ) escoger n tl que < ε y entonces existe un prtición P ε de modo que n se cumpl: i=

39 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 447 S(f, P ε ) I(f, P ε ) < ε. ( π ) d) Como sen x es continu por ser compuest de dos funciones continus es integrble. ( π ) ( π ) ( π ) e) sen x = sen cos x cos sen x = cos x ( π ) Esto es, g(x) = sen x = cos x es integrble. 8. Se f(x) = { si x Q [, ] x si x [, ] Q ) Demuestre que l sum inferior de culquier prtición de [, ] vle cero. b) Clcule f(x) dx. c) Demuestre que tod sum superior S(f, P n ), donde P n = {, x,...,..., x n } es un prtición culquier de [, ], puede escribirse como: S(f, P n ) = n (x i x i) x i + i= n i= ( x i). d) Observe que, (x i x i) x i es el áre del trpecio de bse x i y de lturs x i y x i, y deduzc que n (x i x i) x i =. i= e) Demuestre que f(x) no es integrble. Solución: x i x i

40 448 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN ) Se P un prtición culquier P = {x = < < x n = } n n I(f, P) = (x i x i ).m i = (x i x i ) =. b) i= i= Luego, pr tod prtición P, tenemos I(f, P) =. c) S(f, P) = f(x)dx =, por definición de integrl inferior. n (x i x i ).M i ; donde M i = x i. i= Como (x i x i ).x i = x i x ix i, entonces: d) Usndo ( que x i ) x i x i. Así, S(f, P) = (x i x i ) x i = = x i + x i x ix i x i + x i = x i x i + x i x ix i + x i = (x i + x i ) (x i x i ) + (x i x i ). = x i + x i, se tiene que: (x i x i ) x i = (x i x i) x i + n i= ( x i ) x i x i + = n ( x i ), pr tod prtición P. ( x i ) x i = x i + x i. ( x i ) x i x i = áre del trpecio de lturs x i, x i y bse x i. Así, n i= ( x i ) x i x i = áre del tríngulo rectángulo de ldo l =. Por tnto, pr tod prtición P tenemos que S(f, P). i= e) Como I(P, f) =, usndo el criterio de integrbilidd, podemos concluir que f no es integrble, y que S(f, P). Como se vio en el item nterior.

41 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL Usndo que: lím n + Si >, k N, clculr ( k + k + + n k ) n k+ = k + ; k N. x k dx Solución: L función f(x) = x k es continu, por lo tnto existe x k dx. Pr clculrl tomremos límites de sums de Riemnn inferiores con prticiones que dividen el intervlo [, ] en n prtes igules. Se P n = {x, x,,, x n }, donde: x =, x = n, x = n,, x n = n n = ξ i = x i x i = n I(f, P n ) = Usndo el límite ddo: n ( ) (i ) f n n i= = n + ( n ) k n + = k+ n k+ [ + k + + (n ) k] ( ) k ( ) n k n n + + n n En consecuenci, lím I(f, P n) = k+ n k + x k dx = k+ k + ; >

42 45 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN. Clculr Solución: x k dx usndo el mismo método del ejercicio 9. x i = n ; ξ i = x i x =, x = I(f, P n ) = n + lím I(f, P n) = ( )k+ n k + c (n ),, x n = n ; x n = n, x n = ( ) k n n + ( = ( )k [ n k+ + k + + (n ) k] = ( )k+ [ n k+ + k + + (n ) k] x k dx = ( )k+ k + x k dx = ck+ k + ; c < Ejercicios propuestos Por lo tnto: n ) k ( ) n + + (n ) k n n. Generlice el resultdo de los ejemplos 3..5 y 3..6 demostrndo que l función prte enter stisfce el criterio de integrbilidd sobre cd subintervlo [k, k + ], k Z y que k+ k [x] dx = k.. Use el criterio de integrbilidd pr verigur cules de ls siguientes funciones son integrbles y clcule f cundo exist. ) f(x) = [x] en [, ]. b) f(x) = [x] en [, ].

43 3.. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 45 c) f(x) = x [x] en [, ]. d) f(x) = x en [, ]. e) f(x) = x + en [ 3, ]. f ) f(x) = x 3 en [, ]. g) f(x) = x 3 en [, ]. { si x [, ] Q h) f(x) = si x [, ] Q 3. ) Grfique l curv x + y =. b) Grfique l función y = x. c) Use l interpretción geométric de l integrl pr clculr x dx 4. Dd f(x) = { x si x [, ] x si x [, ] Clcule ls sums de Riemnn pr prticiones que dividn el intervlo en n subintervlos de igul longitud. Clcule l integrl de f en [, ]

44 45 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN 3.. Propieddes de l Integrl de Riemnn Teorem 3.. Si f y g son funciones integrbles en [, b], entonces se cumplen ls siguientes propieddes de l integrl de Riemnn:. f + g es integrble y b (f + g)(x)dx =. Si α R, entonces αf es integrble y b b f(x)dx + αf(x) dx = α 3. Si f es integrble y no negtiv en [, b], entonces: b f(x)dx. b b g(x)dx. f(x)dx. 4. Si f y g son funciones integrbles en [, b] y si f(x) g(x) pr cd x en [, b], entonces b f(x)dx b g(x)dx 5. Si f es integrble en [, b] y si m f(x) M pr cd x [, b], entonces m(b ) b f(x)dx M(b ). 6. Prtición del intervlo de integrción Si, b, c R son tles que < c < b y f : [, b] R cotd, entonces f es integrble en [, b] si y sólo si f es integrble en [, c] y [c, b] y Demostrción: b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx.. Como f y g son integrbles, f + g es un función cotd y ddo ε > existe prtición P ε (f) tl que S(f, P ε (f)) s(f, P ε (f)) < ε. Como g es integrble ddo ε > existe prtición P ε (g) tl que S(g, P ε (g)) s(g, P ε (g)) < ε.

45 3.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 453 Se P = P ε (f) P ε (g), entonces S(f, P) s(f, P) S(f, P ε (f)) s(f, P ε (f)) < ε S(g, P) s(g, P) S(g, P ε (g)) s(g, P ε (g)) < ε Escribmos P = {t, t,..., t n } y sen m i = inf{f(x) ; x [t i, t i ]}, m i = inf{g(x) ; x [t i, t i ]}, m i = inf{f(x) + g(x) ; x [t i, t i ]} y sen M i, M i, M i los respectivos supremos. Como m i f(x) y m i g(x), entonces Luego m i + m i m i. Análogmente se verific que M i + M i M i. Por otro ldo, S(f + g, P) s(f + g, P) = m i + m i f(x) + g(x). n i= M i (t i t i ) n i= m i (t i t i ) n n (M i + M i)(t i t i ) (m i m i)(t i t i ) i= n = (M i m i )(t i t i ) + i= i= n (M i m i)(t i t i ) i= [S(f, P) s(f, P)] + S((g, P) s(g, P)) ε + ε = ε. Esto prueb que f + g es un función integrble. Vemos hor que b (f + g)(x)dx = En efecto, como m i + m i m i, se tiene b f(x)dx + b s(f, P) + s(g, P) s(f + g, P) g(x)dx.

46 454 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN y como M i M i + M i, se tiene S(f + g, P) S(f, P) + S(g, P). Por lo tnto, b [ b (f + g)(x)dx f(x)dx + b ] g(x)dx S(f + g, P) (s(f, P) + s(g, P)) S(f, P) + S(g, P) s(f, P) s(g, P) S(f, P) s(f, P) + S(g, P) s(g, P) ε + ε = ε Así, tenemos que b. Se dej como ejercicio. (f + g)(x)dx = b f(x)dx + b g(x)dx. 3. Si f(x) en [, b], entonces tods ls sums superiores e inferiores reltivs culquier prtición son positivs. Como f es integrble, su integrl b f(x)dx = b f(x)dx = inf{s(f, P) : P prticion de [, b] }. 4. Est propiedd es consecuenci de l propiedd 3. Si f(x) g(x) entonces, f(x) g(x), pr todo x [, b]. Aplicndo 3 y tenemos, consecuentemente, b b f(x)dx (f(x) g(x))dx = b g(x)dx. b f(x)dx b g(x)dx, 5. Es un consecuenci direct de l propiedd 4, usndo g(x) = M y h(x) = m en [, b]. entonces, tenemos que h(x) f(x) g(x). En virtud de l propiedd menciond obtenemos: b h(x)dx b De donde se deduce l propiedd requerid. f(x)dx b g(x)dx.

47 3.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN ( ) Supongmos que f es integrble en [, b]. Debemos demostrr que f es integrble en [, c] y [c, b]. Por hipótesis, ddo ε > existe prtición P ε = {t, t..., t n } de [, b] tl que S(f, P ε ) s(f, P ε ) < ε Suponemos que c P ε, es decir c = t j pr lgún j =,..., n. Sen P = {t,..., t j } y P = {t j,..., t n }, se tiene que P es prtición de [, c] y P es un prtición de [c, b], entonces s(f, P ε ) = n j m i (t i t i ) = m i (t i t i ) + i= i= Análogmente S(f, P ε ) = S(f, P ) + S(f, P ), luego n m i (t i t i ) = s P + s P S(f, P ε ) s(f, P ε ) =[S(f, P ) + S(f, P )) [(s(f, P ) + s(f, P ))] i=j = [S(f, P ) s(f, P )] + [S(f, P ) s(f, P )] < ε Así, si c P ε, entonces existen prticiones P,ε (f), P,ε (f) tl que S(f, P,ε) s(f, P,ε) < ε en [, c] y S(f, P,ε ) s(f, P,ε ) < ε en [c, b]. Supongmos que c / P ε, entonces existe j tl que t j < c < t j. Se P ε = P ε {c} = {t, t, t j, c, t j,..., t n }, clro que P ε es ms fin que P ε y luego s(f, P ε ) s(f, P ε) S(f, P ε) S(f, P ε ) y entonces S(f, P ε ) s(f, P ε ) S(f, P ε) s(f, P ε ) < ε. Por lo tnto, S(f, P ε) s(f, P ε) < ε Procedemos hor como en el cso nterior pues c P ε.por lo tnto, f es integrble en [, c] y en [c, b] y que pr todo ε > hemos conseguido prtición P de [, c] y P de [c, b] tles que S(f, P ) s(f, P ) < ε y S(f, P ) s(f, P ) < ε. De l demostrción nterior se desprende que s(f, P) s(f, P ) = s(f, P ) + s(f, P ) c f(x)dx + b c f(x)dx

48 456 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN pr culquier prtición P. Por lo tnto, sí que b f(x)dx sup{s(f, P)} c f(x)dx + c b Tmbién S(f, P ) S(f, P), es decir y luego b c f(x)dx. Por lo tnto, f(x)dx + b c b c f(x)dx + f(x)dx. b S(f, P ) + S(f, P ) S(f, P) f(x)dx S(f, P), sí que f(x)dx = c f(x)dx + c b c f(x)dx c f(x)dx f(x)dx + b c f(x)dx ( ) Ahor nuestr hipótesis es f es integrble en [, c] y [c, b] y debemos demostrr que f es integrble en [, b]. Ddo ε > existe P prtición de [, c] tl que y existe prtición P de [c, b] tl que S(f, P ) s(f, P ) < ε S(f, P ) s(f, P ) < ε Se P = P P, clro que P es prtición de [, b] y S(f, P) = S(f, P ) + S(f, P ), s P (f) = s(f, P ) + s(f, P ) Por lo tnto, S(f, P) s(f, P) = S(f, P ) s(f, P ) + S(f, P ) s(f, P ) ε + ε = ε Por lo tnto, pr todo ε > existe P prtición de [, b] tl que entonces f es integrble en [, b]. Al igul que ntes concluimos qu, b f(x)dx = S(f, P) s(f, P) < ε, c f(x)dx + b c f(x)dx.

49 3.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 457 Teorem 3... Si f es integrble en [, b], entonces f es integrble en [, b].. Si f es integrble en [, b], entonces f = f f es integrble en [, b]. 3. Si f y g son integrbles en [, b] entonces f g es integrble en [, b]. Demostrción:. Se dej de ejercicio.. Se dej de ejercicio. 3. implic (f + g) = f + g + f g, f g = (f + g) f g. Por teorems 3.. y 3.. podemos concluir que el producto de funciones integrbles es integrble. El teorem del Vlor Medio pr integrles Este importnte teorem d respuest l pregunt : Es posible clculr el vlor promedio de un función sbiendo que, en generl, ell tiene un cntidd infinitmente grnde de vlores diferentes? Consideremos un función continu y = f(x), x b. Si dividimos el intervlo [, b] en n subintervlos de longitud x = (b )/n y elegimos los puntos x,... x n en los intervlos sucesivos y clculmos el promedio ritmético entre los números f(x ),... f(x n ), tenemos: f(x ) f(x n ) n De l ecución x = (b )/n, obtenemos que n = (b )/ x. Entonces, l expresión nterior l podemos escribir de l siguiente mner: f(x ) f(x n ) b x = x[f(x ) f(x n )] b = b [f(x ) x f(x n ) x] = n f(x i ) x b i=

50 458 CAPÍTULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN Si umentmos l cntidd de subintervlos, podemos clculr el vlor promedio de un grn cntidd de vlores de f, pero siempre un cntidd finit.pr psr un cntidd infinitmente grnde que cubr todos los vlores de f, debemos usr el concepto de lìmite y obtenemos: lím n b n i= f(x i ) x = b lím n = b b n f(x i ) x i= f(x)dx. Utilizndo l definición de l integrl de Riemnn.Esto nos permite definir el vlor promedio de f en el intervlo [,b] como : f = b b f(x)dx. Así, hemos logrdo contestr l pregunt inicil, pero hor surge otr inquietud: existirá lgún número c tl que l función evlud en ese número se igul l vlor promedio de l función, es decir, f(c) = f? el siguiente teorem responde tl inquietud. Teorem 3..3 Teorem del Vlor Medio pr integrles Se f : [, b] R un función continu, entonces existe c [, b] tl que b f(x)dx = f(c)(b ). Al número f(c) se le llm vlor promedio o medio de f en [, b]. Demostrción: Como f es continu en el intervlo cerrdo y cotdo [, b], el teorem de Weiersstrs segur que ell lcnz su vlor máximo M y su vlor mínimo m. sí, tenemos que: m f(x) M. Usndo l propiedd 5 del teorem 3.., tenemos que: Lo que implic que, m(b ) b m b f(x)dx M(b ). b f(x)dx M.

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