Prof. Claudio del Pino O.

Transcripción

1 Índice 1. Derivadas parciales Definición de derivadas parciales Actividades iniciales Costo marginal Una actividad Productos competitivos o complementarios Actividades Instituto de Matemática y Física (1) Universidad de Talca

2 1. Derivadas parciales 1.1. Definición de derivadas parciales Sea z = f(x, y) una función de dos variables. 1. La derivada parcial de f con respecto a x, es la función f x, definida por: f x (x, y) = lím h 0 siempre y cuando el límite exista. f(x + h, y) f(x, y) h 2. La derivada parcial de f con respecto a y, es la función f y, definida por: f y (x, y) = lím h 0 siempre y cuando el límite exista. f(x, y + h) f(x, y) h Instituto de Matemática y Física (2) Universidad de Talca

3 1.2. Actividades iniciales a) Si z = e x2 +y 2, calcular y simplificar la expresión: xz x + yz y Instituto de Matemática y Física (3) Universidad de Talca

4 b) Si z = x 3 + y 3, calcular y simplificar la expresión: xz x + yz y Instituto de Matemática y Física (4) Universidad de Talca

5 1.3. Costo marginal El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional. Si la función de costo 1 conjunto de producir las cantidades x e y de 2 bienes viene dado por C = C(x, y) Entonces las funciones de costo marginal son C x C y es el costo marginal con respecto a x es el costo marginal con respecto a y 1 En general, los costos marginales son positivos o negativos? Instituto de Matemática y Física (5) Universidad de Talca

6 Una actividad Si la función de costo conjunto, en $M, de producir las cantidades x e y de 2 bienes viene dado por C = C(x, y) = x 2 + 3xy + 6y 2 1. Calcular los costos marginales, con respecto a ambas variables, en el punto (4, 6) 2. Interpretar los resultados anteriores Instituto de Matemática y Física (6) Universidad de Talca

7 1.4. Productos competitivos o complementarios Sean A y B dos artículos relacionados tales que el precio de uno afecta la demanda del otro. Denotemos con p A y p B los precios unitarios de los dos artículos. Entonces, sus demandas x A y x B se supone que son funciones de ambos precios p A y p B, esto es, x A = f(p A, p B ) y x B = g(p A, p B ) entonces: A y B se dicen competitivos entre sí cuando x B p A > 0 y x A p B > 0 esto es, si un incremento en el precio de uno de ellos da como resultado un incremento en la demanda del otro. A y B se dicen complementarios entre sí cuando x B p A < 0 y x A p B < 0 esto es, si un incremento en el precio de un artículo da como resultado una disminución en la demanda del otro (suponiendo que su precio permanece sin cambio). Instituto de Matemática y Física (7) Universidad de Talca

8 Una actividad Si las funciones de demanda para 2 productos relacionados A y B son q A = e (p A+p B ) y q B = 16 p 2 A p2 B donde q A y q B son los números de unidades demandadas de A y B, cuando los precios unitarios (en miles de pesos) son p A y p B, respectivamente. 1. Estos productos son competitivos, complementarios o ninguno de ellos? 2. Si los precios unitarios de A y B son $1000 y $2000, respectivamente, determinar el cambio en la demanda de A cuando el precio de B disminuye $20 y el precio de A se mantiene constante. Instituto de Matemática y Física (8) Universidad de Talca

9 1.5. Actividades 1. Cambio en el nivel de producción La función de producción de una empresa está dada por P (L, K) = 450L 3/5 K 2/5 en donde P representa la producción cuando se emplean L unidades de mano de obra y K unidades de capital. a) Determinar la producción de la empresa si L = 243 y K = 32 b) Determinar el efecto de incrementar la mano de obra a 244 unidades y manteniendo constante el capital c) Usando derivadas parciales, encontrar un valor aproximado de lo pedido en (c) Instituto de Matemática y Física (9) Universidad de Talca

10 2. Costos marginales Si la función de costo conjunto, en M$, de producir las cantidades x e y de 2 bienes viene dado por C = C(x, y) = x 2 + 3xy + 6y 2 a) Calcular los costos marginales, con respecto a ambas variables, en el punto (4, 6) b) Interpretar los resultados anteriores Instituto de Matemática y Física (10) Universidad de Talca

11 FVV: Derivadas parcilaes 3. Conceptos marginales Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas x se incrementa como una función del tiempo t y depende también de la cantidad A gastada en la campaña publicitaria. Si, con t medido en meses y A en dólares, x = 200(5 e 0,002A )(1 e t ) a) Calcular x t y x A b) Evaluar las derivadas parciales recién encontradas en t = 1 y A = 400 c) Interpretar las derivadas parciales calculadas en (b). Instituto de Matemática y Física (11) Universidad de Talca