Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

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1 Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr determinr el vlor de y. En funciones continus, se límite se puede resolver sustituyendo. Por ejemplo, l buscr el límite Lim ( ) se quiere conocer el vlor que tomrá l rect f ( ) = cundo el vlor de se cerque mucho. f ( ) = Conforme el vlor de tiende, el vlor de y=f() tiende. El resultdo serí el mismo si se proimr desde vlores myores. f ( ) = El resultdo es el mismo. Lo mismo se puede nlizr utilizndo l representción gráfic de l función. Conforme el vlor de se cerc, el vlor de y se cerc.

2 ( ) L Lim f = se lee como el límite cundo tiende de f(). L es el vlor que tom l función conforme el vlor de se cerc. En el ejemplo nterior, l función es f ( ) =, entonces, el límite que se clculó es Lim = y se lee como el límite cundo tiende de. El tomr un límite permite cercrse mucho un vlor en en que l función puede o no eistir. L dice el vlor que tom l función, esto es, el vlor de y conforme nos cercmos un punto determindo en. Ejemplo. Se l función f ( ) + encontrr Lim ( ) +. =. Utilizr ls representciones tbulr y gráfic pr Se busc proimrse mucho l vlor de = sin llegr ectmente éste vlor. Pr l representción tbulr se proimrá tnto por l derech como por l izquierd pr mostrr que el resultdo es el mismo. f ( ) =

3 f ( ) = Tnto del ldo de los positivos como del ldo de los negtivos, conforme el vlor de se proim, el vlor de y=f() se cerc. En l representción gráfic de l función se puede observr que si se proim l vlor de =, el vlor de y se proim, su vez, Ejemplo. + = + conforme se cerc un vlor de 4. Se l función discontínu f ( ). Se quiere sber que cul es el vlor de f ( ) + Se quiere resolver el Lim 4. Es un función discontínu, pero el vlor l que se + quiere proimr se encuentr lejos de l discontinuidd. El límite se podrí resolver sustituyendo el vlor ddo

4 Lim 4 = = = ( ) Ahor, comprobremos el resultdo nlizndo ls representciones tbulr y gráfic de l función. f ( ) + = f ( ) = Tnto por l derech como por l izquierd, conforme el vlor de se cerc 4, el vlor de l función se cerc En l representción gráfic mostrd continución tmbién se observ dich tendenci

5 Se dice que un límite eiste cundo el resultdo del límite por l derech y el del límite por l izquierd son números reles que coinciden, esto es, el límite por l derech es igul l límite por l izquierd. Ejemplo. Se f ( ) + < = + L representción gráfic de l función es. Encontrr el límite de l función cundo tiende en donde se observ que unque l función cmbi de comportmiento en el punto =, no se rompe. Pr que el límite eist se requiere que el límite por l derech se igul l límite por l izquierd: estos se llmn límites unilterles. Si se tom el límite por l izquierd, esto es, desde los números negtivos hci los positivos, l función con l que se está trbjndo es l rect ddo que < ( ) ( ) Lim f = Lim + = + = El signo menos como eponente en indic que se proim desde el ldo izquierdo. Ahor, por el ldo derecho, ( ) ( ) Lim + f = Lim + = + =

6 Ddo que el límite por l derech es igul l límite por l izquierd, se dice que el límite de l función eiste y vle : Lim f ( ) =. Este resultdo se puede ver en l representción gráfic puesto que conforme se cer, el vlor de f() se cerc. Ejemplo 4. Se f ( ) + < =. Encontrr el límite de l función cundo tiende Si se tom el límite por l izquierd, esto es, desde los números negtivos hci los positivos, l función con l que se está trbjndo es l rect, entonces, Ahor, por el ldo derecho, ( ) ( ) Lim f = Lim + = + = 6 4 ( ) ( ) Lim f = Lim + = + = El límite por l izquierd es diferente l límite por l derech, por lo tnto, el límite de l función no eiste. Esto se puede ver en l representción gráfic, en l cul l función se rompe en =- y no hy un vlor l que se cerque f() por mbos ldos

7 Dd un función con un síntot verticl, como se muestr en l figur, se busc el Lim f. En = l función no eiste, sin embrgo, esto es lo importnte en un ( ) límite. Lo que import es el vlor que tom f ( ) conforme. Al cercrse indefiniddmente ciho vlor, el vlor de f ( ) se v hciendo cd vez más grnde, de form tl que Lim f ( ) =. f() Lim f ( ) = L siguiente gráfic represent un función en l que ectmente en el punto = l función tom un vlor negtivo. Conforme el vlor de se cerc l de, l función f() se cerc l vlor L. El límite es, entonces, L unque l función evlud en ese punto de un vlor distinto. f() ( ) L Lim f = L

8 Pr un rect y buscndo, nuevmente, el límite cundo, se puede ver que el vlor l que tiende l función coincide con el vlor de l función evlud en ese punto. f = L Lim f = L. Por lo tnto, si ( ) ( ) L f() ( ) L Lim f = Dd un función con un síntot verticl en l que lrededor de l síntot cd rm de l función se dirige hci diferentes ldos, el límite no eiste y que l proimrse l vlor de por l derech el resultdo será diferente que el obtenido cercándose por l izquierd. f() Lim f = ( ) No eiste

9 En un límite se busc que pr un espcio pequeño lredor de = hy un espcio pequeño lrededor de f()=l. En l representción gráfic mostrd continución eiste un espcio lrededor de y un espcio lrededor de L. Aunque l función en ese punto no tom el vlor L, el límite eiste y vle L, porque se busc un proimción. En un límite eiste un intervlo en que contiene pr el cul eiste un intervlo en f() que contiene L. L+ε L L-ε f() -δ +δ En el siguiente cso no eiste dicho intervlo, no se puede encontrr un intervlo en que conteng pr el cul hy un intervlo en f() que conteng L. f() L+ε L L-ε -δ +δ

10 Se un punto dentro de un intervlo bierto, f() un función definid en todo el intervlo, ecepto posiblemente en, sen L, ε y δ números reles, entonces, Lim f ( ) L = signific que pr todo ε> eiste un δ> tl que si < < δ entonces ( ) L < ε f. Se puede escribir l definición de límite como: ε >, δ > < < δ f L < ( ) ε = pr todo = esite = tl que = entonces Ejercicio. Clcul los siguientes ites 6 + ) ( ) 4) 7) ( + ) ) 4 ) 5 + 6) + 9) + + ) + 4 ) ( + ) 5) 8) ) 4) ) ( + ) ) 5 ) ( + ) 6) + + 9) ) 5) 8) ) + ) 4)

11 5) ( ( + ) 7) ) ) ( + ) ( + ) ) ) + 4) 45) 48) ln( 5 + h ) 5) 54) h log h ln log 5 5 6) ( + ( + ) 6 ( ) 8) ) ) ) + + 4) + 4) 46) 49) h log ( + h) h log 5) ( ) ln + + ln 9) ) ) 4 + 8) + 4) 44) 47) 5) log + 55) ( log( + 6) log( + 5 )

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