4. ESQUELETOS Y CAMINOS OPTIMALES...

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1 . INTRODUCCION.... Qué es la Ivestgacó de Operacoes I.O como apoyo a la toma de decsoes Problemas tpo e Ivestgacó Operatva OPTIMIZACIÓN Itroduccó Covedad Optmos Locales y Globales Codcoes de Kuh Tucker Relaacoes....6 Dualdad Programaco Leal GRAFOS Itroduccó Defcoes Bascas Coedad. Clausura Trastva Multplcacó Lata - Camo Hamltoao ESQUELETOS Y CAMINOS OPTIMALES Medda de coeó de grafos Esqueletos optmales Camos optmales Camo mímo REDES FLUJOS Corte mímo fluo mámo Bases Para la Costruccó de u Fluo Mámo Algortmo de Fluo Mámo INTRODUCCIÓN A LOS PROBLEMAS DE ORDENAMIENTOS Coceptos Geerales Modelado de los problemas de ordeametos Métodos de Camo Crítco PROCESOS ESTOCÁSTICOS Itroduccó Procesos Estocástcos Cadeas de Markov Cadeas de Markov de Tempo Cotíuo Procesos de Posso Procesos de Nacmeto y Muerte Sstemas de Colas Propedad PASTA SIMULACIÓN Itroduccó Modelos Smulacó de sstemas Etapas e el proceso de Smulacó de Sstemas Clasfcacó de tpos de smulacó Geeracó de úmeros aleatoros Geeracó de varables aleatoras Método Motecarlo... 6

2 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes. INTRODUCCION El obetvo del curso es que el estudate apreda a recoocer los problemas tpo de la Ivestgacó de Operacoes de modo que sepa a qué técco recurrr e cada caso, para u adecuado estudo y solucó del msmo. Como su ombre lo dca, la Ivestgacó de Operacoes (IO, o Ivestgacó Operatva, es la vestgacó de las operacoes a realzar para el logro óptmo de los obetvos de u sstema o la meora del msmo. Esta dscpla brda y utlza la metodología cetífca e la búsqueda de solucoes óptmas, como apoyo e los procesos de decsó, e cuato a lo que se refere a la toma de decsoes óptmas y e sstemas que se orga e la vda real. Atecedetes hstórcos El térmo IO se utlza por prmera vez e el año 939 durate la da Guerra Mudal, específcamete cuado surge la ecesdad de vestgar las operacoes táctcas y estratégcas de la defesa aérea, ate la corporacó de u uevo radar, e oportudad de los ataques alemaes a Gra Bretaña. El avace acelerado de la tecología mltar hace que los eecutvos y admstradores mltares brtácos deba recurrr a los cetífcos, e pos de apoyo y oretacó e la plafcacó de su defesa. El éto de u pequeño grupo de cetífcos que trabaaro e couto co el eecutvo mltar a cargo de las operacoes e la líea, dervó e ua mayor demada de sus servcos y la etesó del uso de la metodología a USA, Caadá y Fraca etre otros. S embargo, el orge de la Ivestgacó Operatva puede cosderarse como ateror a la Revolucó Idustral, auque fue durate este período que comeza a orgarse los problemas tpo que la Ivestgacó Operatva trata de resolver. A partr de la Revolucó Idustral y a través de los años se orga ua segmetacó fucoal y geográfca de la admstracó, lo que da orge a la fucó eecutva o de tegracó de la admstracó para servr a los tereses del sstema como u todo. La Ivestgacó Operatva tarda e desarrollarse e el campo de la admstracó dustral. El uso de la metodología cetífca e la dustra se corpora al prcpar los años 5, a partr de la da Revolucó Idustral, propcada por los avaces de las Comucacoes, y la Computacó, que seta las bases para la automatzacó, y por sobre todo por el florecmeto y beestar ecoómco de ese período. Los prmeros desarrollos de esta dscpla (IO se refrero a problemas de ordeameto de tareas, reparto de cargas de trabao, plafcacó y asgacó de recursos e el ámbto mltar e sus cos, dversfcádose luego, y etedédose falmete a orgazacoes dustrales, académcas y guberametales. Alguas fechas, ombres y temas 759 Quesay (ecóomo - Programacó Matemátca 874 Walras 873 Jorda - Precursor de modelos leales 896 Mkowsky - Precursor de modelos leales 93 Farkas - Precursor de modelos leales 89~ Markov - Precursor modelos dámcos probablístcos 9~ - Prmer desarrollo de modelos de vetaros 9~ Erlag - Prmeros estudos de líeas de espera 9-3 Kog y Egervary - Métodos de asgacó (aalítcos 937 vo Neuma - Teoría de uegos y de preferecas 939 Katorovch - Problemas de dstrbucó

3 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes da guerra - Logístca estratégca para vecer al eemgo 945 Fales da guerra - Logístca de dstrbucó de recursos de los alados (Rad Corporato- Fuerza aérea orteamercaa. 947 Datzg, George - Método smple e base al trabao de precursores, co a la Programacó Leal Bellma - Programacó dámca. - Kuh y Tucker - Programacó No Leal. - Gomory - Programacó Etera. - Ford y Fulkerso - Redes de optmzacó. - Markowtz - Smulacó. - Arrow, Karlo, Scarf, Wht - Ivetaros. 97 y parte década e delate - Rafa - Aálss de Decsoes. - Howard - Procesos Markovaos de Decsó. - Churchma, Ackoff, Aroff - Oretacó a sstemas, geeralzacó de la Ivestgacó Operatva. - Receso e el uso de la Ivestgacó de Operacoes Reflorecmeto de la dscpla co el dever del cotrol automátco dustral, las mcrocomputadoras y las uevas terfaces gráfcas que mpulsa el desarrollo de los Sstemas Automatzados de Apoyo a la Toma de Decsoes, dode la Ivestgacó Operatva uega u papel prepoderate. Actualmete IO se aplca al sector prvado y públco, a la dustra, los sstemas de comercalzacó, faceros, de trasportes, de salud etc., e los países desarrollados, e vías de y e los del tercer mudo. Este varas asocacoes e todo el mud, que agrupa a persoas (estudates, cetífcos y profesoales teresados por el estudo y aplcacó de la Ivestgacó Operatva. La mas grade de todas es INFORMS, de Estados Udos de Norteamérca asocacó que ace de la uó de la ORSA Operato Research Socety of Amerca, co 8 membros y la TIMS Isttute of Maagmet Scece co 6 membros. També este Asocacoes Caadeses, Europeas, Latoamercaas y Asátcas federadas e la IFORS, Iteratoal Federato of Operato Research Socetes. La Asocacó Latoamercaa de Ivestgacó de Operacoes, ALIO, coglomera a la mayor parte de las Asocacoes de Amerca Cetral y Sur. Se publca deceas de revstas dferetes e todo el mudo. Este programas de Posgrado (maestría y doctorado e la especaldad, e Amérca y Europa.. Qué es la Ivestgacó de Operacoes E esta dscpla se destaca las sguetes característcas esecales: ua fuerte oretacó a Teoría de Sstemas, la partcpacó de equpos terdscplaros, la aplcacó del método cetífco e apoyo a la toma de decsoes. E base a estas propedades, ua posble defcó es: la Ivestgacó Operatva es la aplcacó del método cetífco por equpos terdscplaros a problemas que comprede el cotrol y gestó de sstemas orgazados (hombre- máqua; co el obetvo de ecotrar solucoes que srva meor a los propóstos del sstema (u orgazacó como u todo, emarcados e procesos de toma de decsoes. 3

4 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes Los pasos a segur e la aplcacó del método cetífco (cocdetes co los de la Teoría Geeral de Sstemas so, e su epresó mas smple:.- Plateo y Aálss del problema.- Costruccó de u modelo 3.- Deduccó de la(s soluco(es 4.- Prueba del modelo y evaluacó de la(s soluco(es 5.- Eecucó y Cotrol de la(s soluco(es Otra defcó: la Ivestgacó Operatva es la aplcacó del método cetífco a u msmo problema por dversas cecas y téccas, e apoyo a la seleccó de solucoes, e lo posble óptmas. Observar que el problema es UNO SOLO, s embargo este maeras dsttas de observar u msmo problema, depededo de los obetvos que se platee para resolverlo. Eemplo: U proceso de decsó respecto a la polítca de vetaros e ua orgazacó. Este 4 fucoes admstratvas que ha dado lugar a departametos cuyos obetvos so: Fucó Produccó Comercalzacó Fazas Persoal Obetvo Mamzar la catdad de bees (servcos producdos y mmzar el costo utaro de la produccó. Mamzar la catdad vedda y mmzar el costo utaro de las vetas. Mmzar el captal requerdo para mateer certo vel del egoco. Mateer la moral y la alta productvdad etre los empleados. Co respecto al INVENTARIO y segú estos OBJETIVOS: El departameto de produccó ecesta producr tato como sea posble a u costo mímo, lo que se logra fabrcado u solo producto e forma cotua, pues se logra mayor efceca y se mmza el tempo perddo por cambo de equpo, al cambar de artículo. Co este procedmeto se logra u gra vetaro co ua líea de productos pequeña. El departameto de mercado també ecesta u gra vetaro, pero para veder tato como sea posble, debe surtr de la mas ampla varedad de productos. Motvos de desecuetro co el departameto de produccó. Para mmzar el captal ecesaro para que el egoco marche, el departameto de Fazas debe reducr la catdad de dero "comprometdo", lo mas drecto es reducr los vetaros. Se propoe que los vetaros debe aumetar o dsmur e proporcó a la fluctuacó de las vetas. E cotraposcó, cuado la vetas so baas, produccó persoal requere dsmur la produccó, reducr persoal. Persoal le teresa mateer la produccó a u vel ta costate como sea posble, ya que el despdo mplca repercusoes e la moral del persoal, pérdda de persoal calfcado, uevos costos de formacó de uevo persoal cuado así se requera. Esto se traduce e producr hasta el vel del vetaro cuado las vetas so baas y agotarlo cuado éstas so altas. Los obetvos eumerados y defdos de esta maera so dfcles de llevar a la práctca por su cossteca desde el puto de vsta de la orgazacó y del sstema e su couto. Es tarea y resposabldad del eecutvo (gerete determar 4

5 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes ua polítca de vetaro que covega a los tereses de toda la compaía y o de ua sola de las fucoes subordadas. La tarea de orgazacó y gerecameto requere que se cosdere al SISTEMA e su couto y ésta es la eseca del trabao gerecal. El eecutvo debe decdr y para ello recurrrá a algú método. Le covedrá recurrr a u Ivestgador de Operacoes, dado que supuestamete éste estará apto para utlzar la vestgacó cetífca e apoyo a las decsoes que el eecutvo deba tomar. Este apoyo se hace especalmete ecesaro cuado se trata de la búsqueda de solucoes óptmas a problemas que se orga e las orgazacoes y servcos e geeral.. I.O como apoyo a la toma de decsoes Los procesos de decsó puede desarrollarse bao stuacoes determstas, aleatoras, de certdumbre, o de competeca (adversas. Estas stuacoes se modela a través de sstemas que també será de tpo determstas, aleatoros, certos o basados e stuacoes de competeca (adversas. Los sstemas determístcos terpreta la realdad bao el prcpo de que todo es coocdo co certeza. Los sstemas basados e stuacoes aleatoras, de certdumbre o de competeca, asoca la certdumbre a los feómeos a aalzar, certdumbre que puede resultar de la varacó propa de los feómeos (varacoes que elude a uestro cotrol, pero que tee u patró específco o certdumbre resultate de la propa cossteca de esos feómeos. Aplcado el método cetífco, el Ivestgador de Operacoes costrurá uo o mas modelos (represetacoes del sstema, co sus operacoes correspodetes y sobre él realzará su vestgacó. Los modelos de IO se puede represetar co ecuacoes las que, auque pueda resultar compleas, tee ua estructura muy seclla: U f (, y segú restrccoes U es la utldad o valor de eecucó del sstema, so las varables o cotrolables, o depedetes, cuyos valores depederá de las terrelacoes y valores de las varables depedetes. y so las varables cotrolables, o depedetes, co valores dados. f es ua fucó e e y. Frecuetemete se requere ua o más ecuacoes o ecuacoes de las llamadas restrccoes, para epresar el hecho de que alguas de las varables o cotrolables (o todas, puede maearse detro de certos límtes. Por eemplo, el tempo de máqua asgado a la produccó de u producto sempre tedrá valor postvo, y o será mayor que el tempo total dspoble o asgado para tal f; otro eemplo, la suma del dero presupuestado para cada departameto e u orgazacó o dustra o puede eceder la suma de dero dspoble, etc. Ua vez obtedo el modelo, éste puede usarse para ecotrar eacta o apromadamete los valores óptmos de las varables o cotrolables, aquellas que produce la meor eecucó del sstema, es decr, la solucó al problema. 5

6 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes EJEMPLO: Modelo de u problema agrícola. Supogamos que ua empresa ctrícola y el Estado pretede hacer versoes cuatosas e el cultvo de araa, lmó, pomelo y madaras, co u doble obetvo: a reducr el desempleo rural y b aumetar las eportacoes para equlbrar la balaza de pagos. Segú estudos realzados, se maea la sguete formacó (datos vetados: Tpo de árbol Produccó promedo aual e kgs / árbol Area míma por árbol (m Preco promedo mudal por kg Costo por árbol Horas-hombre de cudado aual por árbol Naraa 5 4 $ $. 36 Lmó 5 $ 4 $.5 7 Pomelo 5 3 $ 5 $. 5 Madara 5 6 $ 7 $.5. Este ua etesó propca para este tpo de cultvo de 5. m. Se asegura el sumstro de agua, apromadamete por años (esteca de aguadas e la zoa. 3. La facera pretede hacer ua versó de mlloes, pesado eportar toda su produccó a partr del 3 er año, que es cuado los árboles comeza a ser productvos. 4. El gobero ha determado que éste proyecto emplee al meos persoas terrumpdamete. Decsó a tomar: Cuátos árboles de araa, lmó, pomelo y madara, deberá sembrarse co el obetvo de mamzar el valor de la futura eportacó aual? Formulacó del problema: Sea X : úmero de árboles de araa a ser sembrados. X : úmero de árboles de lmó a ser sembrados. X 3 : úmero de árboles de pomelo a ser sembrados. X 4 : úmero de árboles de madaras a ser sembrados. Valor medo de la eport. aual: U 5X + 4 X + 5 5X X 4 Segú las sguetes restrccoes: Etesó de terra: 4X + 5X + 3X 3 + 6X 4 5 m Iversó cal: X +.5X + X 3 +.5X 4 $ Desempleo mímo: 36X + 7X + 5X 3 + X (horas hombre/día/año Número de árboles a sembrar: X, X, X3, X4 Obtuvmos u modelo del problema de tpo: Mamzar U f ( Sueto a: Restrccoes Para certos tpos de fucoes, como ser relacoes algebracas elemetales, s las restrccoes o so demasado umerosas, este métodos aalítcos que resuelve el problema eemplo que hemos modelado como u problema de programacó matemátca leal. Para problemas co gra úmero de restrccoes, llamados de gra tamaño, se ha desarrollado téccas que los resuelve, la mayor de las veces e forma apromada. La fucó f, puede cosstr e u couto de reglas de cómputo (u algortmo p. e.; reglas lógcas que os permte calcular la utldad (U de eecucó para 6

7 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes cualquer couto específco de valores de las varables tato cotrolables como o cotrolables; geeralmete obteemos solucoes apromadas a los valores óptmos de las varables correspodetes. Otras veces, os vemos forzados a epermetar co el modelo y smularlo, seleccoado valores de las varables segú ua dstrbucó de probabldad, lo que os permte calcular o muestrear u valor apromado de la fucó U. Eemplo que muestrea u valor apromado de la cofabldad de u grafo medate el Método Motecarlo: Fucó de Utldad de la Cofabldad de G cot : ; Para :, N sortear G S G coeo: co : cot + f para Cof (G cot / N. Ua vez obtedo u valor (o muestra de la fucó de utldad, podemos especfcar u procedmeto que permta seleccoar valores sucesvos (de prueba de varables o cotrolables, de maera que covera haca ua solucó óptma. Ua SOLUCIÓN ÓPTIMA es aquella que mamza o mmza (segú covega la medda de eecucó de u modelo, sueto a las codcoes y restrccoes pertetes al sstema. Muchas veces, depedetemete del procedmeto utlzado, se busca ua solucó mas óptma, o meor dcho, mas cercaa a la óptma. E cosecueca, la optmzacó produce la meor solucó para el problema que se está modelado. La solucó óptma será la meor para el modelo e cosderacó, ya que u modelo uca es ua represetacó eacta del problema; e el meor de los casos, el modelo es ua "buea" represetacó del problema, de ahí que la solucó óptma o cercaa a la óptma dervada de ese modelo, es ua "buea" apromacó a la solucó óptma y, por lo tato, se supoe que será la meor para el problema que se pretede resolver..3 Problemas tpo e Ivestgacó Operatva Desde sus comezos la Ivestgacó de Operacoes se ha aplcado a ua gra varedad de problemas; la gra mayoría de ellos ha sdo de aturaleza táctca, mas que estratégca. U problema es más táctco que estratégco s cumple co las sguetes codcoes: su solucó puede modfcarse o aularse fáclmete, tee efecto de corta duracó; su solucó afecta a ua parte meor de la orgazacó; 3 los resultados deseados se cosdera como proporcoados (obtedos, s que mede ua seleccó de medos, fes, metas u obetvos a largo plazo. La plafcacó de ua empresa u orgazacó, co sus metas y obetvos, es u problema más estratégco que táctco. El mmzar los costos del trasporte, e el que la mmzacó e sí es el resultado coveete, es cosderado u problema más táctco que estratégco. La aplcacó de la Ivestgacó Operatva a ua ampla varedad de problemas táctcos, y la frecuete recurreca de esos problemas, ha permtdo detfcar problemas tpo que se agrupa segú los modelos y procedmetos (téccas smlares para su resolucó. Esos problemas tpo so: asgacó de 7

8 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes recursos escasos, ordeameto, secuecacó y coordacó de tareas, líeas de espera, matemeto y reemplazo de equpos, vetaros, costos y tempos, gestó de proyectos. Asgacó de recursos, Ordeameto Los prmeros desarrollos de la Ivestgacó Operatva se refrero a problemas de asgacó de recursos, ordeametos de tareas, reparto de cargas de trabao, plafcacó, todos co u obetvo precso de optmzacó de la fucó ecoómca U e u mudo determsta. Etre las téccas de optmzacó ctamos: la Programacó Leal (se verá e el curso, No leal, Los métodos de ordeameto, Programacó Dámca, Combatora, algortmos de teoría de Grafos, etc. U eemplo clásco: determar el úmero de pezas, de cada tpo, que debe producr u determado taller, a f de obteer el mámo beefco. Este varas máquas, cada ua de las cuales tee determadas propedades y característcas, segú las categorías o partes de pezas a producr por cada ua de ellas; por lo geeral se cooce la capacdad máma del taller y el beefco que se obtedrá co cada categoría de peza producda. Líeas de espera, Reemplazo de equpos Estos temas se desarrolla e mudo aleatoro por lo geeral. Se estuda las esperas y retrasos ocurrdos e el sstema, o las fallas e las stalacoes, su reparacó y posbles polítcas de matemeto y/o reemplazo. Ivetaro, Costos y tempos Se trata de la operacó mas smple, la de almacear y/o mateer recursos; se estuda cuáto y cuádo adqurr. Muchos casos se resuelve modeládolos como leas de espera. Gestó de proyectos El couto de tareas de u proyecto se modela medate u grafo, sobre el que se determa cuáles so los tempos y las tareas crítcas ("cuellos de botellas" del proyecto. Téccas usadas: CPM-PERT, método del Camo Crítco. Alguos de estos problemas, se estudará e el curso Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes. 8

9 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes. OPTIMIZACIÓN. Itroduccó.. Motvos para estudar Optmzacó Este ua eorme varedad de actvdades e el mudo cotdao que puede ser útlmete descrtas como sstemas, desde sstemas físcos tales como ua plata dustral hasta etdades teórcas tales como los modelos ecoómcos. La operacó efcete de esos sstemas usualmete requere u teto por optmzar varos ídces que mde el desempeño del sstema. Alguas veces, esos ídces so cuatfcados y represetados como varables algebracas. Etoces se debe ecotrar valores para esas varables, que mamce la gaaca o beefco del sstema, o be mmce los gastos o pérddas. Se asume que las varables depede de certos factores. Alguos de esos factores a veces está bao el cotrol (al meos parcalmete del aalsta resposable del desempeño del sstema. El proceso de admstracó de los recursos escasos de u sstema se suele dvdr e ses fases: aálss matemátco del sstema costruccó de u modelo matemátco que reflea los aspectos mportates del sstema valdacó del modelo v mapulacó del modelo a f de obteer ua solucó satsfactora, s o óptma v mplemetacó de la solucó seleccoada v troduccó de ua estratega de cotrol del desempeño del sstema después de la mplemetacó efectuada. La cuarta fase, la mapulacó del modelo, es la que cocere a la teoría de la optmzacó. Las otras fases so muy mportates e la admstracó de cualquer sstema y probablemete requerrá mayor esfuerzo total que la fase de optmzacó. S embargo, e esta presetacó de la optmzacó se asumrá que las demás fases fuero o será resueltas aparte. Debdo a que la teoría de la optmzacó brda este eslabó e la cadea de la admstracó de sstemas costtuye u cuerpo mportate del coocmeto matemátco... El Alcace de la Optmzacó Ua de las herrametas más mportates de la optmzacó es la programacó leal. U problema de programacó leal está dado por ua fucó leal de varas varables que debe ser optmzada (mamzada o mmzada cumpledo co certo úmero de restrccoes també leales. El matemátco G.B. Datzg desarrolló u algortmo llamado el método smple para resolver problemas de este tpo. El método smple orgal ha sdo modfcado a f de obteer u algortmo efcete para resolver grades problemas de programacó leal por computadora. 9

10 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes Por medo de la programacó leal se puede formular y resolver problemas de ua gra varedad de campos del quehacer humao, etre los que se puede mecoar: asgacó de recursos e la plafcacó de gobero, aálss de redes para plafcacó urbaa y regoal, plafcacó de la produccó e la dustra, y la admstracó de sstemas de trasporte y dstrbucó. Por esto la programacó leal es uo de los étos de la modera teoría de la optmzacó. La programacó etera está relacoada co la resolucó de problemas de optmzacó e los cuales al meos alguas de las varables debe tomar sólo valores eteros. Cuado todos los térmos so leales se habla de programacó leal etera. Muchos problemas de aturaleza combatora se puede formular e térmos de programacó etera. Etre los eemplos práctcos se puede ctar: ubcacó de sumos, secuecameto de trabaos e líeas de produccó, balace de líeas de motae, problemas de asgacó buívoca, cotrol de vetaros, y reemplazo de máquas. Uo de los métodos mportates para resolver esos problemas, debdo a R.E. Gomory, se basa e parte, e el método smple ates mecoado. Otro método es de aturaleza combatora y cosste e reducr el problema orgal a otros más pequeños, y tal vez más fácles, y partr el couto de solucoes posbles e subcoutos más pequeños que puede ser aalzados más fáclmete. Este método se llama brach ad boud (ramfcacó y acotacó o brach ad backtrack. Dos de las cotrbucoes mportates a éste método las ha hecho Balas y Dak. Pese a las meoras realzadas o este aú u método ufcado que sea efcaz para resolver problemas de programacó etera de tamaño realsta. Otra clase de problemas volucra la admstracó de ua red. Problemas de fluo de tráfco, comucacoes, dstrbucó de bees, y plafcacó de proyectos so geeralmete de este tpo. Muchos de estos problemas se puede resolver por los métodos mecoados prevamete (programacó etera o leal. S embargo debdo a que esos problemas usualmete tee ua estructura especal, se ha desarrollado téccas especalzadas más efcetes para su resolucó. E este campo las mayores cotrbucoes se debe a Ford y Fulkerso; quees desarrollaro el método de etquetado para mamzar el fluo de u producto a través de ua red y u método para mmzar el costo de trasportar ua catdad dada de producto a través de ua red. Esas deas se puede combar co las de programacó etera para aalzar toda ua famla de problemas práctcos de redes. Alguos problemas se puede descompoer e partes y se optmza los procesos de decsó de éstas. E alguas stacas es posble alcazar el óptmo del problema orgal solamete descubredo como optmzar esas partes costtuyetes. Este proceso de descomposcó es muy potete, pues permte resolver ua sere de problemas más pequeños y fácles e vez de uo grade que podría ser tratable. Los sstemas para los cuales esta apromacó brda u óptmo váldo se llama sstemas serales mult-etapa. Ua de las téccas más coocdas para abordarlos fue bautzada programacó dámca por R. E. Bellma, el matemátco que la desarrolló,. Los sstemas serales mult etapa se caracterza por u proceso que se realza e etapas, como los procesos de maufactura. E vez de tetar optmzar algua medda de desempeño vedo a todo el problema como ua udad, la

11 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes programacó dámca optmza ua etapa por vez a f de producr u couto de decsoes óptmas para todo el proceso. Ua varada gama de problemas tales como versó de captal, cofabldad de máquas, y aálss de redes se puede ver como sstemas serales mult etapa; de modo que la programacó dámca tee ua ampla aplcabldad. E la formulacó de muchos problemas de optmzacó o se puede hacer la hpótess de lealdad que caracterza a la programacó leal. No este procedmetos geerales para problemas o leales. Se ha desarrollado u gra úmero de algortmos especales para tratar casos partculares. Muchos de esos procedmetos se basa e la teoría matemátca relacoada co el aálss de la estructura de tales problemas. Esta teoría se llama geeralmete optmzacó clásca. Ua de las prcpales cotrbucoes moderas a esta teoría fue hecha por Kuh y Tucker quees desarrollaro lo que se cooce como las codcoes de Kuh Tucker. La coleccó de téccas desarrolladas por esta teoría se llama programacó o leal. Pese a que muchos problemas de programacó o leal so muy dfícles de resolver, hay certo úmero de problemas práctcos que puede ser formulados de maera o leal y resueltos por los métodos estetes. Esto cluye el dseño de etdades tales como trasformadores eléctrcos, procesos químcos, codesadores de vapor y fltros dgtales...3 La Optmzacó como ua rama de las Matemátcas Se puede ver, por lo dcho e la seccó ateror, que la teoría de la optmzacó es matemátca por aturaleza. Típcamete volucra la mamzacó o mmzacó de ua fucó (a veces descoocda que represeta el desempeño de algú sstema. Esto se resuelve ecotrado los valores de las varables (cuatfcables y cotrolables que hace que la fucó alcace su meor valor. A f de eteder como opera los algortmos se requere coocmetos de álgebra leal y cálculo dferecal co varas varables. Alguos de los problemas de la teoría de optmzacó se puede resolver por las téccas cláscas del cálculo avazado (tales como métodos Jacobaos y el uso de multplcadores de Lagrage. S embargo, la mayoría de los problemas de optmzacó o satsface las codcoes ecesaras para ser resueltos de esta maera. Muchos de los otros problemas, pese a poder ser tratados co las téccas cláscas, se resuelve más efcazmete s se utlza métodos dseñados para cada caso partcular. A través de la hstora de las matemátcas se ha costrudo ua coleccó de tales téccas. Alguas ha sdo olvdadas y revetadas, otras recbero poca atecó hasta que las computadoras las hcero utlzables. El grueso de materal al respecto es de orge recete debdo a que muchos de los problemas, tales como el fluo de tráfco, recé ahora cobra terés y també debdo al gra úmero de vestgadores dspobles actualmete para aalzar tales problemas. Cuado ese materal es catalogado detro de u cuerpo autocotedo de coocmetos el resultado es ua ueva rama de las matemátcas aplcadas.

12 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes..4 Coceptos Báscos de Optmzacó Esta seccó troduce alguos de los coceptos báscos de optmzacó que se utlza a lo largo del presete compedo. Cada cocepto se lustra por medo del sguete eemplo. El problema es: Mamzar: f (, (. sueto a: h (, (. (.3 (.4 Este es u problema típco e la teoría de optmzacó: la mamzacó (o mmzacó de ua fucó real de varables reales (a veces ua sola varable sueta a u úmero de restrccoes (a veces este úmero es cero. La fucó f se llama fucó obetvo, y se llama varables depedetes o varables decsoales. El problema es ecotrar valores reales para y, que satsfaga las restrccoes (., (.3 y (.4, los cuales troducdos e (. haga que f (, tome u valor o meor que para cualquer otro par,. E la fgura sguete se muestra tres cotoros de la fucó obetvo. f (,.5 (, f (,.5 S h (, f (,. (, La fucó obetvo tee el msmo valor e todos los putos de cada líea, de modo que los cotoros puede asmlarse a las sobaras (o sotermas de u mapa clmátco. No es dfícl ver que la solucó del problema es: X (, (,

13 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes Esto sgfca que f ( X f ( X, X S (.5 Cuado ua solucó X S satsface (.5 se llama solucó óptma, y e este caso solucó máma (també solucó optmal o mamal. S el símbolo e (.5 fuera, X sería ua solucó míma. Además, f ( X se llama valor óptmo, y o debe ser cofuddo co solucó óptma. E la fgura se observa que se podría obteer valores mayores de f elgedo certos, fuera de S. Cualquer par ordeado de úmeros reales se llama solucó del problema y el valor correspodete de f se llama valor de la solucó. Ua solucó X tal que X S se llama solucó factble, e tato que S {(, : h (,,, }, que geeralmete es ua regó coea, se llama regó factble.. Covedad Se revé a cotuacó las propedades más mportates de los coutos coveos y de las fucoes coveas, tales coutos y fucoes uega u rol muy mportate e la optmzacó por dos motvos: Cuado se tee fucoes y coutos coveos se puede detfcar co segurdad los llamados óptmos globales. Muchas operacoes y trasformacoes coserva la covedad, por lo que se puede costrur fucoes y coutos coveos más complcados a partr de los más secllos. Defcó: Combacó Covea. Dados (,y R, ua combacó covea de ellos es cualquer puto de la forma: Notas: z α + ( α y co α R α. S α y α, se dce que z es ua combacó covea estrcta (o propa. La terpretacó geométrca es que z es u puto del segmeto de recta determado por (,y. Defcó: Couto Coveo. S R es u couto coveo s [α + ( α y] S (,y S, α R: α 3

14 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes couto coveo couto o coveo Es decr que S es u couto coveo s cotee a todos los segmetos de recta que se puede formar co los putos que le perteece. Defcó: Fucó Covea (e u couto coveo. Sea S R, u couto coveo. La fucó f: S R es covea e S s: S S R, se dce que f es covea. f [α + ( α y] α f ( + ( α f (y (,y S, α R: α f f( α f( + ( α f(y f [α + ( α y] f(y y.. Composcó de coutos y fucoes coveas La mportaca de las fucoes y coutos coveos radca e que las codcoes ecesaras para que ua solucó sea u óptmo local se coverte e codcoes sufcetes para que sea óptmo global, cuado las fucoes y coutos e cuestó so coveos. Sea S y T coutos coveos, α R y f ua fucó covea. Etoces los sguetes coutos també so coveos: αs {α S} S +T {+y S, y T} v { (,µ f( µ} S T v { f( α} Sea f y g fucoes coveas e u couto coveo S, y α. Etoces las sguetes fucoes també so coveas e S. h ( f( + g( h ( α f( h 3 ( ma{f(, g(} Sea f : I R, (,..., fucoes coveas e el tervalo I R. 4

15 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes f ( f ( es ua fucó covea e I { R I }.. Fucoes coveas reales, de ua sola varable Para poder utlzar los resultados aterormete epuestos es ecesaro poder recoocer las fucoes coveas. Por tal motvo, e prmer lugar se aalzará las fucoes de ua sola varable. Ua fucó f : S R es covea e el couto coveo S, s: f(( + y ( f( + f(y, y S, co o be. Ua fucó dferecable f : I R co I R es covea s: f(y f( + f ( (y,y I Ua fucó dferecable f e u tervalo I R es covea s f es o decrecete. Ua fucó f dferecable hasta el segudo orde e u tervalo I R es covea s f e I...3 Fucoes coveas e R Ua fucó dferecable f e u couto coveo S es covea s f(y f( + f ( (y,,y S. Ua fucó f dferecable hasta el segudo órde e S R coveo y aberto es f covea s la matrz de dervadas segudas: es semdefda postva e R. Proposcó: desgualdad de Jese Sea f : C R ua fucó covea sobre u couto coveo y C, m, m co. Etoces se cumple que: m Demostracó por duccó e m: f ( f ( Paso Base (m : Sea / + y, C. f ( + f ( + ( f ( + ( f ( m + f es covea e 5

16 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes 6 Paso Iductvo: (Hpótess, ( ( m k f f k k (Tess m m f f ( ( Demostracó: + + ( ( ( ( m m m m m m m m m f f f ( ( ( ( ( ( ( ( m m m m m m m m m m m f y f f y f + ( ( ( ( ( m m m m m m f f f.3 Optmos Locales y Globales E este capítulo se estuda las propedades de las solucoes óptmas. Se brda además u couto de codcoes ecesaras y sufcetes para que ua solucó sea local o globalmete óptma..3. Optmos locales y globales, dreccoes factbles y dreccoes de desceso La sguete es la forma geeral de u problema de optmzacó: F f G : sueto a ( M ( y los problemas de programacó matemátca, tee la forma sguete: X g f M ( sueto a : ( M ( Todos los problemas de optmzacó puede ser escrtos e la forma geeral (G. Se supodrá que F R y f : F R, dode F es la regó factble y f la fucó obetvo. f covea e C H.I.

17 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes E u problema de programacó matemátca se supoe que X R, g : X Rm y f : X R. E el problema (M la regó factble es el couto: { X g( } Defcó: F es u óptmo global de (G s f ( f ( F Defcó:. F es u óptmo local de (G s ε >, tal que se cumple que f ( f ( F, co < ε. La mayoría de los métodos para hallar u óptmo so por búsqueda dreccoal: partedo de u puto de F, se defe ua dreccó de búsqueda y se determa u uevo puto a lo largo de ésta. Por ese motvo so de terés los coceptos de dreccó factble y dreccó de desceso. Defcó: d es ua dreccó factble de (G e (,τ F s > τ tal que + τ d F τ Defcó: d es ua dreccó de desceso [o asceso] de la fucó f e > tal que τ f ( + d < f ( e el caso de asceso: ( f + d > f τ τ (,τ ( τ ( ] F s Observacó: Sea f ua fucó dferecable e F. S f ( d <, etoces d es ua dreccó de desceso e..3. Codcoes ecesaras y sufcetes para óptmos Co las defcoes que precede, más las de covedad, se puede defr u couto de codcoes de optmaldad. Prevamete se deberá dstgur etre codcó ecesara y codcó sufcete. Ua codcó ecesara para u óptmo (local es ua codcó que se cumple e cada solucó optmal, auque també podría cumplrse e otras solucoes. Puede ser utlzada para descartar, e la búsqueda del óptmo, aquellas solucoes que o cumple la codcó ecesara de optmaldad, o lmtar a pror la búsqueda a aquellas solucoes que cumple dcha codcó. Ua codcó sufcete para u óptmo (local es ua codcó que s se cumple garatza que la solucó es óptma (local. Se puede utlzar e u procedmeto e el que se trata de lograr que la codcó se cumpla, para de ese modo obteer ua solucó óptma. Teorema: S F es u óptmo local de (G o este e ese puto gua dreccó de desceso que además sea factble. E cosecueca: ua codcó ecesara para que F sea u óptmo local, es que e ese puto o esta gua dreccó factble de desceso. Teorema: S e u problema del tpo (G, la fucó obetvo f es dferecable, y F es u óptmo local de (G, etoces f ( d para todas las dreccoes factbles d e. 7

18 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes Corolaro: S la fucó obetvo f de (G es dferecable, y es u puto teror de F que cumple ser óptmo local, etoces: f (. Teorema: S la fucó obetvo f, y la regó factble F de (G so coveas y además o este ua dreccó factble de desceso e F, etoces es u óptmo global del problema (G. Nótese que el teorema precedete establece ua codcó sufcete de optmaldad para u problema e que la fucó obetvo y la regó factble so coveas. Teorema: Sea f y F coveas e el problema (G, co f dferecable. S este F tal que f ( d para todas las dreccoes factbles d e, etoces es u óptmo global de (G..4 Codcoes de Kuh Tucker Para problemas de programacó matemátca també se puede aplcar los teoremas aterores. Para este tpo de problemas este además codcoes de optmaldad especales, las llamadas codcoes de Kuh Tucker. Estas será troducdas a través de ua aalogía co la mecáca. Cosdérese el sguete problema: M f ( sueto a : ( M g (,,..., m X Los óptmos locales de (M puede ser vstos como las poscoes de equlbro estable de ua partícula que se mueve e u campo de fuerza cuyo potecal es f, e ua regó X, y codcoada a moverse e el teror de ua regó delmtada por V g ( certas paredes : { }. Supógase que la partícula está e reposo e, puto teror de X. La partícula está epuesta a fuerzas de reaccó r perpedculares a las paredes y oretadas haca el teror, como los gradetes g so també perpedculares a las paredes, pero oretados haca el eteror, las fuerzas reactvas de las paredes puede epresarse como: r g ( para parámetros, supoedo que g (. Las fuerzas reactvas sólo actúa e las paredes que está e cotacto co la partícula, es decr que solamete cuado g (. Esto se epresa e la forma sguete: g (,,..., m. Falmete, para que la partícula esté e reposo se ege balace de las fuerzas: m f ( + ( g ( 8

19 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes El resume de estas egecas so las Codcoes de Kuh Tucker: g(, es decr: que el puto esté e la regó factble. g (,,, m, fuerza sólo e las paredes actvas., las fuerzas aputa haca el teror de la regó factble. v f ( + g (, equlbro de fuerzas. Las codcoes de Kuh Tucker so ecesaras para que u puto teror a X, sea óptmo local, salvo que ocurra casos ecepcoales, por eemplo: g (, o que f ( o pueda ser balaceado por las fuerzas reactvas, como ocurre e la fgura sguete: g ( g ( g ( g ( f( Estos casos ecepcoales se evta mpoedo costrat qualfcatos, que so codcoes que debe ser satsfechas por las restrccoes del problema. Muchas de ellas se epresa e el puto óptmo potecal, por lo que o so muy útles e la práctca, ya que o se sabe cual es el óptmo. Suele ser más útl mpoer las sguetes: que las restrccoes sea leales. que las g sea coveas y esta u tal que g < m (,,..., E resume, se formula el: Teorema de Kuh Tucker: Sea X u puto teror que es óptmo local del problema (M, y sea f y g fucoes dferecables. S se cumple las costrat qualfcatos apropadas este R m que satsface las sguetes codcoes de Kuh Tucker: g( g (,,, m v f ( + g ( 9

20 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes El sguete es u caso partcular del Teorema ateror: Teorema: Sea f ua fucó dferecable y ua solucó óptma de: M f ( ( P sueto a : Etoces f ( f ( E caso de teer restrccoes de gualdad, las fuerzas reactvas de la aalogía mecáca ateror puede aputar haca ambos lados de las paredes, y e cosecueca desaparece la egeca de. Además, todas las paredes so tocadas por la partícula e todos los putos factbles, por lo que g ( també desaparece. El teorema correspodete se euca: Teorema: Sea u óptmo local del problema ( M M f ( sueto a : g( y sea las g tales que g ( so lealmete depedetes para,..., m m Etoces R tal que f ( + g (.5 Relaacoes Cuado se efreta u problema dfícl de optmzacó, es posble reformularlo de u modo más fácl por medo de ua relaacó; ésta ueva versó se llama problema relaado.5. Geeraldades sobre relaacoes Cosdérese los sguetes problemas: M f ( ( G sueto a : y F M f L ( ( G L sueto a : F Defcó: Se dce que (GL es ua relaacó de (G s: FL F, f L( f (, F. L

21 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes f f L F F L Observacó: S f está defda fuera de F, o es ecesaro que se cumpla f L f para los eterores al domo F. Teorema : Sea (GL ua relaacó de (G, L y solucoes optmales de (GL y (G respectvamete F. E tales codcoes se cumple: fl( L f ( f ( L. Prueba: fl( L fl ( por ser L solucó optmal de (GL. fl ( f ( por la defcó de relaacó. f ( f ( L por ser solucó optmal de (G. Observacó: E el teorema ateror se supoe que este por lo meos u valor de F e el cual la fucó f alcaza u mímo. Para formular el teorema de u modo más geeral debería decr f{f(: F} e vez de f(, y evetualmete lo msmo para fl( L. De esa maera se perde, lametablemete, algo de clardad. Supodremos, por lo tato, a partr de ahora, que sempre este u valor F que es solucó optmal de (G. Corolaro.: Sea (GL ua relaacó de (G, y L ua solucó optmal de (GL que cumple las sguetes codcoes: L F, fl( L f ( L E tales codcoes se cumple que L es també solucó optmal de (G. Prueba: Para que L sea solucó optmal de (G debe, prmero, ser ua solucó factble, lo cual es certo por. Para demostrar que brda u valor de f meor o gual que el de cualquer otra solucó factble; sea ua solucó factble cualquera de (G.

22 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes f( fl( por ser (GL ua relaacó de (G. fl( fl( L por ser L ua solucó optmal de (GL. fl( L f( L por hpótess luego: f( f( L. Etre las relaacoes más típcas se puede ctar: gorar la egeca de que alguas varables sea úmeros eteros gorar alguas restrccoes de postvdad..5. Relaacó Lagrageaa. E los problemas de Programacó Matemátca, que so del tpo: M f ( sueto a : ( M g (,,, m X se usa comúmete la llamada relaacó lagrageaa que cosste e agregar la varable Rm y costrur el sguete problema: M f ( ( M sueto a : X m + g ( Los valores se llama multplcadores de Lagrage o parámetros lagrageaos. Atecó: los multplcadores de Lagrage o so varables so parámetros, es decr que por cada teemos u problema de optmzacó (M e la varable. T f ( f ( + g( f ( + g ( es la llamada fucó lagrageaa de (M y se escrbe L(,. Teorema : (M es ua relaacó de (M. Prueba: Debe cumplrse las dos codcoes de la defcó de relaacó: La regó de solucoes factbles de M es F { X: g( }, que es u subcouto de X; además la regó de solucoes factbles de M es F X; por lo tato: F F. Sea F, etoces g(,.

23 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes S, es decr:,, se cumple que g (, por lo tato, m f ( f ( + g ( f (. E cosecueca: M es ua relaacó de M E el caso de problemas co restrccoes de gualdad ( M M f ( sueto a : g( X La relaacó lagrageaa se costruye de forma aáloga. Teorema 3: (M es ua relaacó de (M para cualquer Rm. Prueba: Se deduce a partr de la prueba del teorema ateror. m Teorema 4: (Teorema fudametal de la Relaacó Lagrageaa S es ua solucó optmal de M que cumple: g(. g(,...m.. etoces es també ua solucó optmal de M. Prueba: M es ua relaacó de M debdo a la codcó y por el Teorema. es solucó optmal de M por hpótess. F debdo a la codcó. m f ( f ( + g ( f ( por la codcó. De todo lo ateror, y del Corolaro. se deduce la tess. La codcó se llama codcó de complemetaredad porque ege que, o be: que g (. 3

24 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes 4 Eemplo : Cosdérese el sguete problema: ( b a f P,...,, sueto a : ( M ( Se supoe que b y a (,..., so postvos. Se comeza por escrbr la prmera restrccó de la sguete forma: b a. A cotuacó se troduce u parámetro lagrageao (pues hay solamete ua restrccó y se obtee el problema lagrageao relaado (P: + b a f P,...,, : sueto a ( ( M ( E la mmzacó co respecto a, b es ua costate que o cde e la determacó de la solucó optmal. Puesto que e (P las dsttas so varables depedetes, se puede descompoer el problema (P e subproblemas de optmzacó (P depedetes: a f P,...,, : sueto a ( M (, Se tee que f a, ( Luego < < > > a f a f a f s ; ( s ; ( s ; (,,, Por lo tato (P, preseta u mímo global cuado a (, y e cosecueca: (P tee u óptmo global e (.

25 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes Para resolver el problema (P se trata de ecotrar los valores de que satsface las codcoes al del Teorema 4. La codcó (codcó de complemetaredad establece que: ( b a ˆ (, es decr que: a ˆ Se dscute a cotuacó ambos casos., o be : ( b S (, y o se satsface la codcó : a ( b. S b a ( a a b a. Por lo tato b a k k. Co este valor de es váldo que, lo cual equvale a ; y es váldo que a ( b, que equvale a y. Por lo tato satsface el Teorema 4, es decr que ( a b ak es ua solucó óptma de (P. El valor optmal es: f ( a b ( a b a ( a b a k k k k Eemplo : El problema del mochlero o Kapsac Problem (caso cotuo. Cosdérese el problema del mochlero, defdo como sgue: Ma a sueto a : ( KP b Sedo a, b, b >. b Se trata del problema de cargar de víveres ua mochla de volume b para u vae. Se debe elegr etre comestbles; de cada uo de ellos hay estecas por u volume b co u poder utrcoal total a; represeta la parte que el mochlero deberá cargar de las estecas del almeto ésmo. Los almetos tee dstto valor que es su poder utrcoal por udad de volume (c a / b. Parece atural elegr a los comestbles e orde decrecete de valor utrcoal. Supógase que se cumple c c c. Se propoe el sguete procedmeto para llear la mochla: asgar,, etc. hasta llegar al almeto k ésmo, el cual o cabe totalmete, por lo que se coloca todo cuato quepa ( k <. Se probará que ésta es ua solucó óptma utlzado relaacó lagrageaa. 5

26 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes Se costruye la relaacó lagrageaa (KP de (KP (prevamete se platea el problema como uo de mmzacó ( KP M ( sueto a : a + b b (KP se descompoe e u problema (KP, para cada. ( KP, M ( a + b sueto a : Nótese que s a + b >, es decr: s > a / b c, el valor mmal se preseta e (. De la msma forma, s < c se obtee (, y s c, se puede elegr [,]. Sea ck, dode k es el comestble que (de acuerdo a lo ateror o etraba totalmete e la mochla. S < k, etoces c y por lo tato: ( S > k, etoces c <, y por lo tato: (. k ( se puede elegr tal que k (,. La solucó hallada tutvamete, solucoa el problema relaado co ck. Además se cumple y a ( b por lo cual ( satsface las codcoes al del Teorema 4. Por lo tato ( es solucó óptma de (KP. E resume: El Problema del mochlero: Ma a sueto a : ( KP b b (co a, b y b > se solucoa, e el caso cotuo, asgado varables guales a e orde de valor, es decr, e orde descedete de a / b y s eceder la dspobldad b del recurso. 6

27 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes 7 Sea k la varable que volaría la restrccó s le fuera asgado el valor. Para esta varable se elge u valor meor que y de modo que la restrccó se satsfaga eactamete. Eemplo 3: Ecotrar u óptmo global al sguete problema: > + b p a b a P.. sueto a m ( Sabedo que b a p..,, > > > y > b Prmero reescrbmos la restrccó: ( p A b A p b p a p a p a b p a p a p a b p a b Sedo a A. Por lo tato, el problema puede ser reescrto así: ( > + A p b a P.. b sueto a m ( Hallamos el problema P, relaado la restrccó: ( > + + b A p b a P.. sueto a m ( Elmado el térmo depedete y separado el problema, teemos:

28 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes 8 ( > + A p b a P.. sueto a m (, Como, > a la fucó obetvo es covea. Etoces, ecotramos el óptmo dervado: ( ( a p A b p A b a ( + + Impoedo la codcó de complemetaredad, teemos que ( ( b + A p b S, la solucó o es factble pues se volaría la restrccó >. Etoces ( ( ( ( a A p b b b a A p b A p b b A p b Falmete, la solucó óptma se obtee susttuyedo ese valor de : ( ( ( ( a A p b a A p b b a A p b a A p b b Co codcoes de gualdad, el Teorema 4 tee ua forma más seclla. Teorema 5: S es ua solucó optmal del problema (M que cumple: g( etoces es ua solucó optmal de (M. Prueba: Se utlza el Corolaro. y su otacó: (M es ua relaacó de (M Rm por el Teorema 3. es solucó optmal de (M por hpótess. F porque se cumple X, y g(.

29 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes m f ( f ( + g ( f ( L pues g(,. la coclusó se desprede ahora del Corolaro ctado. Teorema 6: Sea f y g fucoes coveas y dferecables. S X y Rm, satsface: g(. g(.. v f ( + g ( m etoces es óptmo de (M. Prueba: so las codcoes del Teorema 4. Se demostrará a cotuacó que v sgfca que es solucó optmal de (M: f f+ g es ua fucó covea porque mplca que g es covea y las sumas de fucoes coveas so coveas. Como f f+ g, la codcó v mplca que f (. Por ser f( ua fucó covea, se cumple X que: f ( f ( + f ( ( f ( y por lo tato, es solucó optmal de (M. La tess se desprede del Teorema 4. La mayoría de los teoremas de esta seccó supoe que L F, o sea que la solucó optmal del problema relaado pertece a la regó factble del problema orgal. S L F se puede, a partr de L, ecotrar u puto L F que o es mucho más caro, lo cual se deduce del sguete teorema: Teorema 7: Sea (GL ua relaacó de (G. L y solucoes optmales de (GL y (G respectvamete. L ua solucó o ecesaramete optmal de (GL, que cumple L F. E estas codcoes se cumple: f f f Prueba: f ( f ( L L, por el Teorema. ( ( (. L L L 9

30 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes f ( f ( L, por ser solucó optmal de (G. luego: f ( f ( f (.6 Dualdad L L L E el capítulo ateror se resolvero problemas de optmzacó determado (aalítcamete los multplcadores de Lagrage. Esto rara vez se puede hacer e la práctca, y e su lugar lo usual es determar los multplcadores de Lagrage resolvedo u uevo problema de optmzacó, llamado Problema Dual el cual cosste e buscar la relaacó más fuerte posble, o sea, ua relaacó cuyo valor optmal esté ta prómo como sea posble del valor óptmo del problema orgal..6. Problemas duales. Codcoes de optmaldad Cosdérese u problema de Programacó Matemátca (P cuyas restrccoes so todas del tpo (esta suposcó será al sólo efecto de far deas: M f ( sueto a : ( P g( X La relaacó lagrageaa de este problema es (P: T M f ( + g( ( P sueto a : X Sea: p el valor optmal de la fucó obetvo de (P y Φ( el valor optmal de la fucó obetvo de (P, para cada. p M Φ( M { f ( g(, X } T { f ( + g( X } Puesto que (P es ua relaacó de (P se cumple que y etoces Φ( p. Es etoces atural elegr la relaacó más fuerte posble, o sea: elegr tal que Φ( sea mamal. Esto os da el problema dual: Ma Φ( ( D sueto a : (P se llama problema prmal del problema (D. S se tee restrccoes de gualdad e el problema prmal o habrá egeca de postvdad e el problema dual. Los teoremas que sgue so váldos també e este 3

31 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes caso, ya que se costruye a partr de que Φ( p para los valores de que da relaacoes. Sea d el valor optmal de (D. p y d so etoces los valores optmales prmal y dual respectvamete. Observacó: d p Prueba: (P es ua relaacó de (P, por lo tato Φ( p, Pero etoces: d Ma {Φ( : } p No sempre ocurre que d p, por eso se defe la dscrepaca de dualdad (dualty gap: δ p d Nótese que sempre se cumple que δ. Eemplo 4: ( P M sueto a : a b co a y b postvos. Se platea el problema relaado lagrageao, tal como se hzo e el capítulo de relaacoes: ( P M sueto a ( : / a + b La solucó de (P es ( a, segú lo vsto e relaacoes. Etoces la fucó obetvo del problema dual es: Φ( (( a a a + b ( a + b De modo que el problema dual es: 3

32 Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes Ma Φ( ( D sueto a : ( a + b Φ es ua fucó cócava y tee, por lo tato, u valor mámo cuado d (supoedo que ésto brde ua solucó factble. Se obtee etoces: dφ a + b d (, o sea: b ( a, que es factble. Φ d Por lo tato b a es ua solucó optmal del problema dual. Este es el msmo multplcador de Lagrage que se halló e el capítulo Relaacoes. Además: d Φ( ( a b ( a + bb a b a El valor optmal del problema prmal, calculado e el capítulo de Relaacoes es: Por lo tato e este caso: δ p d. p b a Nótese que la solucó óptma del problema prmal a b ak ( es gual a la solucó óptma del problema relaado co la solucó óptma del problema dual como multplcador de Lagrage. Por lo tato, se puede determar la solucó prmal óptma co la ayuda de la solucó óptma dual. Teorema 9: S y so solucoes factbles de (P y (D respectvamete, etoces cumple: Prueba: Φ( d p f ( Φ( f ( Corolaro 9.: Sea y solucoes factbles de (P y (D respectvamete, que cumple: Φ( f (. E esas codcoes y so solucoes optmales de (P y (D respectvamete. Prueba: Sea ua solucó factble cualquera del problema dual, de acuerdo al Teorema ateror teemos: Φ( f ( Φ( y e cosecueca: es solucó optmal del problema (D Aálogamete se demuestra que es solucó optmal de (P Este corolaro brda ua ueva terpretacó del Teorema 4. Bao las codcoes del Teorema es váldo que y so factbles para (P y (D y además que Φ( f ( + g ( f (. La optmaldad se desprede també del Corolaro ateror. 3