10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría"

Transcripción

1 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente, t, en el punto A 5 y = 6 A B r t a) b) /3 Aplica la teoría. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f() = 3 en [, ] b) f() = 4 en [, 3] c) f() = en [, 4] + c) d) f() = + en [, ] a) 3 b) 5 c) /5 d) /3. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los valores que se indican: a) f() = 5 en = b) f() = en = 5 c) f() = 3 + en = 4 d) f() = en = a) 0 b) c) 3 d) 4 3. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de f() = 4 en = b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = Representa la gráfica de f() y la recta tangente para = a) b) y + 3 = ( ) y = 4. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de f() = en = 4 b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = 4 Representa la gráfica de f() y la recta tangente para = 4 a) /4 b) y = ( 4) y = c) 5. La recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto A(, ) pasa por el punto B(6, ). Calcula el valor de f() y f'() f() = f'() = = = SOLUCIONARIO

2 . Continuidad y derivabilidad Piensa y calcula a) Observando la función del margen, f() = /, calcula las pendientes de las rectas tangentes r y s b) Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f() en =? f() = s r a) La pendiente de r es La pendiente de s es b) No, hay dos. Aplica la teoría 6. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() = 7 b) f() = c) f() = d) f() = a) f'() = 0 b) f'() = c) f'() = d) f'() = 7. Dada la gráfica de la función f() =, analiza si la función es derivable en = 8. Dadas las gráficas de las funciones siguientes, analiza si dichas funciones son derivables en los puntos que se indican: a) f() = + en = b) g() = en = f() = + g() = a) La función f() no es derivable en =, ya que tiene un pico en ese valor. Las derivadas laterales son distintas. f'( ) = y f'( + ) = Por lo tanto, no es derivable. La función solo admitiría derivada por la derecha, puesto que la función no está definida para <. La derivada por la derecha no eiste porque, como se ve gráficamente, la tangente sería una recta vertical de ecuación =. La pendiente de la recta sería Luego no eiste la derivada en = b) La función g() no es derivable en =, ya que es discontinua en ese valor. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 9

3 3. Reglas de derivación. Tablas de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de : 8. y = sen 3 8. y = 8 sen 5 9. y = cos 3 9. y = cos 5 9. y = cos 0. y = ( ) 5 0( ) 4. y = cotg 3 3 cosec 3. y = y = arc sen y = e e 5. y = tg tg + sec 6. y = L ( + ) y = cos L y = cos L ( cos sen L + ) cos ) L 3 0. y = arc tg + 4. y = (5) 3. y = tg ( + ) sec ( + ) 3. y = 4 (3 ) 5 4. y = sec 5 5 sec 5 tg 5 5. y = L y = L ( + L ) 6. y = arc cos y = L 4 5 (3 ) sen 30. y = L ( 4) y = log (5 + ) 5 log e y = cosec cosec cotg 33. y = 5 5 ( + ) sen 34. y = cos sen y = + y 0 y 36. y + y = 4 y y' + y 0 y y 5 + y = 4 9 yy' + = y 9 SOLUCIONARIO

4 4. Problemas de derivadas Piensa y calcula Escribe la función valor absoluto f() = como una función definida a trozos y represéntala. si < 0 f() = si Ó 0 Aplica la teoría 38. Halla la función derivada de la función siguiente: 3 si Ì f() = L si > si < f'() = si > 4 si 3 Ì Ì Dada la función f() = 7 si 3 < < 7 justifica si f() es derivable en = 3. Cuál es el significado geométrico del resultado obtenido? f(3) = 4 lím f() = lím f() = lím f() = f(3) = La función es continua en = 3 0 si 3 < < 3 f'() = si 3 < < 7 f'(3 ) = lím 0 = 0 si 3 < < f'(3 + ) = lím ( ) = si 3 < < f'(3 )? f'(3 + ) La función no es derivable en = 3 La función es continua y no es derivable en = 3; la función tiene en el punto de abscisa = 3 un pico, y en ese punto se pueden dibujar dos tangentes. + 5 si Ì 40. Dada la función f() = + k si > determina el valor de k para que la función sea derivable en = lím f() = lím ( + 5) = k = 7 lím f() = lím ( + k) = + k k = 6 si < f'() = si > lím f'() = lím = 8 8 lím f'() = lím = Para k = 6, la función es continua y las derivadas laterales son iguales; luego la función es derivable en = 4. Estudia la derivabilidad de la función f() = en = + si Ì f() = si > si < f'() = si > lím f'() = lím ( ) = 8 8 lím f'() = lím = f'( )? f'( + ) f() no es derivable en = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 93

5 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 3 Calcula la tasa de variación media de la función: f() = sen () en el intervalo [0, π/] π/ /π 0 Halla la recta tangente a la función: f() = en el punto = / y = y = 4 4 y = 4 4 y = Halla la derivada de la función: y = e cos sen e cos cos e cos sen e sen sen e cos 7 8 Dadas las funciones: f() = 3, g() = sen calcula la derivada de (f g)() (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 cos (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 sen cos (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 cos cos (f g)() = sen 3, (f g)'() = 3 cos sen Dada la función: 0 si Ì f() = + si > Es f() continua en =? Es f() derivable en =? es continua y no derivable. es continua y derivable. no es continua ni derivable. no es continua y sí es derivable Halla la derivada de la función: y = ( + L ) ( L ) ( + L ) ( L ) Halla los puntos de la curva de ecuación: y = 3 + donde la recta tangente es paralela a la recta: y + = 0 A(, 0), B(/3, /7) A(, 0), B(3, ) A(0, ), B(, 3) A(, 0), B( /3, 5) Dada la función: f() = halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f() tiene pendiente A(, 4), B(, 6) A(, 4), B(, 6) A(, 4),B(,6) A(, 4), B(, 6) 9 Encuentra el valor de k para el cual la función: 6, < f() = + k, Ó es continua. Estudia si su derivada es una función continua. k = / y la derivada es continua. k = y la derivada es continua. k = y la derivada es continua. k = / y la derivada no es continua. 0 La función dada por: (a f() = + b + g)e + si > sen ( ) si Ì Encuentra los valores a, b y g que hacen que f() sea continua y admita primera y segunda derivada en el punto = a =, b =, g = 0 a =, b =, g = a = 0, b =, g = a =, b = 0, g = 94 SOLUCIONARIO

6 Ejercicios y problemas. La derivada 4. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f() = 3 en [, ] b) f() = 3 en [, 3] c) f() = 3 + en [0, ] d) f() = en [, 5] a) b) c) d) /3 43. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los valores que se indican: a) f() = 3 + en = b) f() = en = c) f() = + en = 3 d) f() = 3 + en = a) 3 b) 6 c) /4 d) 3. Continuidad y derivabilidad 46. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() = + b) f() = + c) f() = 3 d) f() = + a) f'() = b) f'() = + c) f'() = 3 d) f'() = ( + ) 47. Dada la gráfica de la función f() = + 3, analiza si la función es derivable en = Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de f() = 3/ en = b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = Representa la gráfica de f() y la recta tangente para = a) 3 b) y 3 = 3( ) y = c) No es derivable en = 3.Tiene una recta tangente vertical de ecuación = Dada la gráfica de la función f() = 45. La recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto A(, 5) pasa por el punto B(, 3). Calcula el valor de f( ) y f'( ) f( ) = 5 f'( ) = 4 analiza si dicha función es derivable en el punto = La función tiene un pico en =. No es derivable. Sus derivadas laterales son f'( ) = y f'( + ) = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 95

7 Ejercicios y problemas 49. Dada la gráfica de la función f() = + analiza si dicha función es derivable en = 0 analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función es discontinua en ese valor. 50. Dada la gráfica de la función f() = 3 ( ) No es derivable porque es discontinua en = 0 3. Reglas de derivación. Tablas de derivadas Halla la derivada de la función: 53. y = ( 3)e ( + 3)e 54. y = sen sen cos analiza si dicha función es derivable en = La función tiene un pico en =. No es derivable.tiene una tangente vertical de ecuación = 5. Dada la gráfica de la función f() = y = 7 tg 3 sec y = ( + 3) 4( + 3) 57. y = sen cos sen analiza si dicha función es derivable en = 0 Sí es derivable en = 0. La tangente es la recta y = Dada la gráfica de la función f() = si Ì 0 4 si > y = e + 3 e y = 3 + sec 3 + sec tg 96 SOLUCIONARIO

8 60. y = y = 5 arc sen y = L (3 ) y = 3 L y = 3 L 3 3 (L + ) 64. y = tg ( 3 + ) 3 sec ( 3 + ) 65. y = L 66. y = arc tg y = ( ) 70. y = (sen ) L y = L sen (sen ) (L sen + cotg ) 7. y = arc cos 4 7. y = ( ) 73. y = L y = L sen cotg y = cosec (5 + ) 5 cosec (5 + ) cotg (5 + ) 67. y = ( + ) 68. y = cos 5 0 sen y = log 77. y = tg sec tg TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 97

9 Ejercicios y problemas 78. y = sen + cos cos sen 79. Halla la derivada de la función implícita y = 4 y + 0 y 80. Halla la derivada de la función implícita y 3 = 0 3y 0 3y 8. Halla la derivada de la función implícita y = 6 y 0 y Se observa que las tangentes por la izquierda y por la derecha tienen la misma pendiente, pero la función no es derivable. 83. Halla el valor de a y b para que la función a f() = + 3 si Ì b 4 si > sea derivable en = lím f() = lím (a + 3) = 4a lím f() = lím ( b 4) = b a + 6 = b a + b = 3 a + 3 si < f'() = b si > lím f'() = lím (a + 3) = 4a lím f'() = lím ( b) = 4 b a + 3 = 4 b 4a + b = 4. Problemas de derivadas 8. Estudia la derivabilidad de la función f() = + si Ì 4 5 si > en el punto = La continuidad de la función f() = 5 lím f() = lím ( + ) = lím f() = lím (4 5) = La función no es es continua en = La función no es derivable en = lím 8 f() f() Se resuelve el sistema: a + b = 3 4a + b = a =, b = Estudia la derivabilidad de la función f() = f() = si < 0 si Ó 0 La función es continua y derivable por estar definida por polinomios. El único punto que hay que estudiar es el correspondiente al valor de la abscisa = 0 si < 0 f'() = si > 0 lím f'() = lím ( ) = lím f'() = lím = f'(0 ) = f'(0 + ) La función es derivable en = 0 98 SOLUCIONARIO

10 Para ampliar 85. Asocia cada gráfica de la función f() con su función derivada f'() 3 4 f() f() f() f() a b c d f'() f'() f'() f'() f() 3 4 f'() b c d a 86. Dada la gráfica de la función f() = 5 analiza si dicha función es derivable en = 0 No es derivable en = 0 porque tiene una tangente vertical de ecuación = 0 analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función no es continua en ese valor. 88. Dada la gráfica de la función si Ì f() = 4 si > 87. Dada la gráfica de la función f() = si > si Ì analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función tiene un pico. La gráfica en ese valor tiene dos tangentes distintas. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 99

11 Ejercicios y problemas Halla las derivadas de las funciones siguientes: 89. y = ( +) + ( + ) L 90. y = sen sen + cos 9. y = 9. y = 4 ( ) sen sen cos sen 98. y = (sen ) cos L y = cos L sen (sen ) cos ( sen L sen + cos cotg ) 99. y = 5 ( ) 00. y = arc cos 4 0. y = + 3 sec sec tg sec 93. y = cos cos sen 94. y = ( + )e ( + 3) e 95. y = 96. y = tg sec 97. y = + sen sen cos ( sen ) 0. y = + sen + cos + sen 03. y = 8 ( 3) 04. y = sen tg cos tg + tg sec = tg (cos + sec ) 05. y = L L y = L L L y = (L ) L 9 3 L 06. y = L (cos ) tg 300 SOLUCIONARIO

12 07. y = arc sen y = cotg (π + ) 4π cotg (π + ) cosec (π + ) 6. y = L (L ) y = 3 6 ( 3) 3 3 = ( 3) y = ( + ) ( 3 + sec 0. y = 5 5 tg (sec 5 sec 3 ). y = arc tg 4 +. y = sen cos (cos sen ) = cos 4 3. y = sen cos sen L + 4. y = L y = [L( + ) L( )] ) ( sec 3 3 ) L 7. y = e 5 5e 5 8. y = sec 4 sec tg 9. y = sec 4 sec tg 0. y = log + y = log( + ) log e ( + ) e. y = + e e e. y = L e y = 3. y = log y = log log ( ) log e ( ) TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 30

13 Ejercicios y problemas 4. y = e + e ( + ) + 5. y = (arc sen ) L y = L arc sen (arc sen ) L arc sen y = 5 cos ( 3 6. y = (cos sen ) 8. y = ( + ) tg tg + ( + ) sec arc sen ) 33. y = (cos sen ) 34. y = arc sen + arc cos (arc sen ) 35. y = arc cos e sen + cos cos sen arc cos arc sen e e 36. y = cotg cosec cotg 37. y = L (sen ) 9. y = L L L y = sen y = cos ( tg cos cos + sen cos 3 3. y = L ( L ) L 3. y = arc sen arc sen + ) L(sen ) cotg 38. y = arc tg L ( + L ) 39. y = arc tg L y = arc tg (L L ) = arc tg ( L ) ( + L ) 40. y = e sec e sec sec tg 30 SOLUCIONARIO

14 4. y = L cos sen = tg cos 4. Halla la derivada de la siguiente función implícita: 3 y = 4 3 y 0 3 y 43. Halla la derivada de la siguiente función implícita: ( ) + (y ) = ( ) + (y ) 0 ( ) (y ) 44. Halla la derivada de la siguiente función implícita: y + y = y + y' + y + y 0 ( + y) y y 45. Halla la recta tangente a la curva + y 4y = en el punto A(, 4) + yy' 4y yy' y 0 (y ) y y y 7 Para el punto (, 4) 7 y 4 = ( ) 7 y + = Halla las tres primeras derivadas de la función: y= y''' = 6 y + y + y y'' = Dada la función y = 3 3 a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. a) 3 6 y'' = 6 6 y''' = 6 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = 0, = Si = 0 y = 0 O(0, 0) Si = y = 4 A(, 4) 48. Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. a) y'' = 6 y''' = 6 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 =, = 3 Si = y = 4 A(, 4) Si = 3 y = 0 B(3, 0) 49. Halla las tres primeras derivadas de la función: y = y'' = y''' = Halla las tres primeras derivadas de la función: y= y'' = 6 + y''' = 6 5. Dada la función y = + a) halla las tres primeras derivadas de la función. b) halla los puntos en los que la recta tangente es horizontal. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 303

15 Ejercicios y problemas a) y'' = 3 y''' = 6 4 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 =, = Si = y = A(, ) Si = y = B(, ) 5. Halla las tres primeras derivadas de la función: 4 y = y'' = ( + ) 4 y''' = ( + ) Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si puede haber algún punto de la gráfica que tenga tangente horizontal. a) ( ) y'' = ( ) 3 6 y''' = ( ) 4 b) Si la recta tangente es horizontal, la pendiente es cero. y' 0 para todo valor de No hay ningún punto de la gráfica que tenga recta tangente horizontal. 54. Halla las tres primeras derivadas de la función: y = + 4 y'' = ( ) 48 y''' = 3 48 ( ) ( + ) ( ) Halla las tres primeras derivadas de la función: 5 y = + 0 ( + ) 30 y'' = 0 ( + ) 3 y''' = ( + ) Dada la función y = e a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente es horizontal. a) ( + )e y'' = ( + )e y''' = ( + 3)e b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = Si =, y = /e A(, /e) 57. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente función: y = e ( + )e y'' = ( )e y''' = ( )e 58. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente función: y = L + L y'' = y''' = 59. Dada la función y = L a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. a) y'' = y''' = 4 3 b) No hay ningún punto con tangente horizontal porque y'? 0 para todo valor de 304 SOLUCIONARIO

16 60. Dada la función y = L ( + ) a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. a) y'' = + y''' = 4( 3) ( + ) 3 ( ) ( + ) b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = 0 Si = 0, y = 0 O(0, 0) L 6. Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. L a) y'' = y''' = 6 L 4 L 3 3 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = e Si = e, y = /e A(e, /e) Problemas 6. Halla las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función y = = 3, = 3 Si = 3, y = 54 A( 3, 54) Si = 3, y = 54 A(3, 54) Recta tangente en A: y = 54 Recta tangente en B: y = Determina los puntos donde la gráfica de la función f() = + sen tiene una tangente horizontal en el intervalo [0, π] + cos 0 = π Si = π,y = πa(π, π) 64. Encuentra el valor de k tal que la recta y = 4 9 sea tangente a la gráfica de la función f() = k 65. Estudia la derivabilidad de la función ( ) f() = 3 si Ì ( ) si > en el punto = Se estudia el punto = f() = 0 lím f() = lím ( ) 3 = lím f() = lím ( ) = lím f() = f() La función es continua en = 3( ) f'() = si < ( ) si > lím f'() = lím 3( ) = lím f'() = lím ( ) = f'( ) = f'( + ) La función es derivable en = 8 Sea el punto A(, y) el punto de tangencia. Se tiene: 4 f'() = k k = 4 () El punto A es común a la tangente y a la curva: 4 9 = k () Resolviendo el sistema de () y (): = 3, k = = 3, k = Determina los valores de a y b para que la función a + b si Ì f() = si > sea continua y derivable en = f() = a + b lím f() = lím (a + b) = a + b 8 8 lím f() = lím = a + b = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 305

17 Ejercicios y problemas a si < f'() = si > lím f'() = lím a = a 8 8 lím f'() = lím = Resolviendo el sistema: a =, b = a = 67. Determina el valor de a para que la función f() = si Ó 3 + a si < 3 sea derivable en = 3 lím f() = lím ( + a) = 6 + a lím f() = lím ( ) = a = 3 a = 3 si > 3 f'() = si < 3 lím f'() = lím = lím f'() = lím ( ) = f'(3 ) f'(3 + ) La función no es derivable en = 3 para ningún valor de a 68. Estudia la derivabilidad de la función ( ) f() = 3 si Ì si > en el punto = Se estudia el punto = f() = lím f() = lím ( ) 3 = 8 8 lím f() = lím = La función es continua en = lím f() = f() 8 3( ) f'() = si < si > lím f'() = lím 3( ) = lím f'() = lím = f'( )? f'( + ) La función no es derivable en = 69. Halla los valores de a y b para que la función a + 5 si Ì f() = b a + si > sea derivable en = f() = a + 5 lím f() = lím (a + 5) = a b lím f() = lím ( a + ) = a + b a + 5 = a + b b = 5 a si < f'() = a b si > lím f'() = lím a = a 8 8 a b a lím f'() = lím ( ) = b a a = b a = b Resolviendo el sistema: a = 0, b = Dada la función si Ì f() = si < Ì 4 si > halla los puntos en los que f() es derivable. si < 0 f() = si 0 Ì Ì si < Ì 4 si > La función es continua y derivable por estar definida por polinomios. Los valores que hay que estudiar son = 0, =, = En una función con tantos trozos la mejor estrategia es hacer la representación gráfica: 306 SOLUCIONARIO

18 Se estudian los puntos de enlace La función es continua en todos los puntos de enlace. f'(0 ) = 0 = f'(0 + ) La función es derivable en = 0 f'( ) =? f'( + ) = La función no es derivable en = f'( ) =? f'( + ) = La función no es derivable en = 7. Halla el valor de a para que la función f() = + a + a si Ì L ( ) si > sea continua y estudia si para dicho valor es derivable. La función está definida por dos funciones que son continuas y derivables en sus dominios. Se tiene que estudiar el valor = f() = 3a + 3 3a + 3 = 0 a = Para a =, la función es continua en = + a si < f'() = si > lím f() = lím ( + a + a ) = 3a lím f() = lím L( ) = lím f'() = lím ( + a) = 4 + a 8 8 lím f'() = lím = Para a = se tiene f'( ) = 3 f'( + ) = La función no es derivable en = 7. Determina el valor de a y b para que la función f() = 3 si < a + b si Ó sea derivable en = f() = a + b lím f() = lím ( 3 ) = lím f() = lím (a + b) = a + b a + b = 0 3 f'() = si < a si > lím f'() = lím 3 = lím f'() = lím a = a Resolviendo el sistema: a = 3, b = 3 a = Determina el valor de a y b para que la función a + b si < 0 f() = a cos + b sen si Ó 0 sea derivable en = 0 f(0) = a lím f() = lím (a + b) = b lím f() = lím (a cos + b sen ) = a a = b a si < 0 f'() = a sen + b cos si > 0 lím f'() = lím a = a lím f'() = lím ( a sen + b cos ) = b a = b Resolviendo el sistema: La función es continua y derivable siempre que a = b 74. Determina el valor de a y b para que la función ( + a)e f() = b si < 0 a + b + si Ó 0 sea derivable en = 0 TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 307

19 Ejercicios y problemas f(0) = a = e f'() = f() = b b( + a)e b si < 0 a + b si > 0 ab = b Resolviendo el sistema: a =, b = / 75. Estudia la derivabilidad de f() = 3 ( ) Se escribe la función a trozos: f() = 4 3 si [, si 0 < < La función queda definida por dos polinomios que son continuos y derivables. Los valores que hay que estudiar son = 0 y = En = 0 lím ( 4 3 ) = lím ( ) = 0 = f(0) 8 0 f() es continua en = 0 f'() = si (, si 0 < < f'(0 ) = f'(0 + ) = 0 f() derivable en = 0 En = lím ( ) = lím ( 4 3 ) = 0 = f() 8 lím f() = lím ( + a)e b = a lím f() = lím (a + b + ) = lím f'() = lím e b b( + a)e b = ab lím f'() = lím (a + b) = b f() es continua en = f'( ) =? f'( + ) = f() no es derivable en = 76. Estudia la derivabilidad de f() = f() = + si < si Ó La función queda definida por dos polinomios que son continuos y derivables. El valor que hay que estudiar es = f() = 0 lím f() = lím ( + ) = lím f() = lím ( ) = lím f() = f() f() es continua en = + si < f'() = si > lím f'() = lím ( + ) = 8 8 lím f'() = lím ( ) = f'( ) =? f'( + ) = f() no es derivable en = 77. Estudia la derivabilidad de f() = si < 0 f() = si 0 + La función está definida por dos funciones racionales que son continuas y derivables en su dominio. El valor que hay que estudiar es = 0 f(0) = 0 lím f() = lím = lím f() = lím = lím f() = f(0) La función es continua en = 0 si < 0 ( ) f'() = si > 0 ( + ) lím f'() = lím = ( ) lím f'() = lím = ( + ) f'(0 ) = f'(0 + ) = f() es derivable en = 78. Se sabe que una población de 400 bacterias de un cultivo varía según la función f() = SOLUCIONARIO

20 donde se mide en minutos. Qué velocidad de crecimiento instantáneo tendrá la población en t = 3 minutos? El crecimiento instantáneo es la derivada de la función f'() = 400 ( + ) f'(3) = 3 El signo menos indica que están disminuyendo las bacterias. Para profundizar 79. Halla la ecuación de la parábola y = a + b + c, que pasa por el punto A(0, ) y es tangente a la recta y = en el punto B(, 0) a) Si pasa por A(0, ) c = b) Si es tangente a la recta y = en B(, 0), la derivada de la parábola en = es la pendiente de la recta tangente. a + b = c) Como pasa por B(, 0) a + b + c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones: a =, b = 3, c = 80. Sea una función f() = g(), donde g() es una función continua en = 0 pero no derivable. Cuánto vale f'(0)? Para calcular f'(0) hay que demostrar que f() es derivable en = 0 y hallar su valor. f(0 + h) f(0) h g(h) 0 f'(0) = lím = lím = 8 0 h 8 0 h = lím g(h) = g(0) 8 0 Luego f'(0) = g(0) En = 0 [f(g(0))]' = cos 0 = g(f()) = sen f() + cos f() [g(f())]' = g'(f()) f'() = = f'() cos f() f'() sen f() = = cos( + π) sen ( + π) = = ( cos + sen ) [g(f(0))]' = 0 8. La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f() f'() a) Eiste algún punto de tangente horizontal en la gráfica de f()? b) Puede ser la derivada de una función polinómica? De qué grado? a) En = la derivada se hace cero y, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es cero. La tangente es horizontal. b) Si la derivada es un polinomio de primer grado, la función es un polinomio de segundo grado. 83. La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f() f'() 8. Dadas f() = + π y g() = sen + cos, calcula la derivada en = 0 de f(g()) y g(f()) f(g()) = g() + π [f(g())]' = f'(g()) g'() = g() g'() = = (sen + cos ) ( cos sen ) = cos a) Eiste algún punto de tangente horizontal en la gráfica de f()? b) Escribe la ecuación de la gráfica de f'() c) Da una función cuya derivada sea la de la gráfica. a) No, porque f'() no corta al eje b) f'() = / c) f() = L TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 309

21 Ejercicios y problemas 84. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones y encuentra la epresión de la derivada enésima. a) y = e b) y = a) e y'' = 4e y''' = 8e y n = n e b) y'' = 3 y''' = 6 4 y n = ( ) n n! n + 30 SOLUCIONARIO

22 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 85. Halla la derivada de la función: 3 f() = L + 4 Resuelto en el libro del alumnado. 86. Halla la recta tangente a la curva: f() = en = 3 Representa la función y la recta tangente. Resuelto en el libro del alumnado. 87. Estudia la derivabilidad de la función para = : f() = si Ì si > Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Resuelto en el libro del alumnado. 88. Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función a f() = + b si Ì b si > sea derivable en =. Representa la función y la recta tangente para = Resuelto en el libro del alumnado. 89. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Halla las derivadas de las siguientes funciones: 90. f() = e cos 9. f() = sen 9. f() = L 93. f() = L ( 4) TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 3

23 Linu/Windows 94. f() = 5 + Representa la función y la recta o rectas tangentes para = 95. Halla la recta tangente a la curva: f() = 5 en = Representa la función y la recta tangente. 97. Estudia la derivabilidad de la función para = 0 3 f() = Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Estudia la derivabilidad de la función en = f() = 3 si Ì si > 3 SOLUCIONARIO

24 Windows Derive 98. Estudia la derivabilidad de la función para = 3 f() = + 4 si Ì 3 4 si > 3 Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Estudia la derivabilidad de la función para = f() = si Ì si > Representa la función y la recta o rectas tangentes para = TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 33

25 Linu/Windows 00. Estudia la derivabilidad de la función para = f() = 4 Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Halla las tres primeras derivadas de las siguientes funciones: 0. f() = f() = + 34 SOLUCIONARIO

26 Windows Derive 03. f() = e 06. Estudia la derivabilidad de la función para = 0 f() = Representa la función y la recta o rectas tangentes para = f() = L 05. Dada la función: (a f() = + b + g )e + si > sen ( ) si Ì encuentra los valores a, b y g que hacen que f() sea continua, y que admita primera y segunda derivada en el punto =. Representa la función obtenida. TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 35

13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría

13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría Integral indefinida. Reglas de integración Piensa y calcula Calcula: a y =, y' = b y' =, y = c y = cos, y' = d y' = cos, y = a y' = b y = c y' = sen d y = sen Aplica la teoría. 7 Se aplica la integral

Más detalles

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.

8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12. 7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CAPÍTULO V. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de derivada. B. Reglas de derivación. C. Derivadas sucesivas. D. Funciones implícitas. Derivación logarítmica. E. Ecuaciones paramétricas.

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);

Más detalles

Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa

Más detalles

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() 4 3 0 Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver límites que involucran funciones circulares directas, resulta conveniente conocer los límites de las

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU 48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU Unidad. Funciones. Derivabilidad TEMA FUNCIONES.DERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

Página 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales:

Página 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: Página. Representa: e e a) y = b) y = c) y = cos + cos e a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f () = +@ 8 0 f () = +@ 8 0 + Asíntota vertical: = 0 f () = 0. Además, f () > 0

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

Límites de funciones y continuidad

Límites de funciones y continuidad Capítulo 4 Límites de funciones y continuidad 4.. Definición Sea f definida en un entorno reducido de 0 0 < 0 < δ), pero no necesariamente en el mismo punto 0. Diremos que f tiene el ite L en 0 cuando

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

5Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones:

5Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: Pág. y 6 Puntos de corte con los ejes: 9 (, 9) Eje : 6 0 8 ± + 8 ± 7 8 8 + 7 ( ), 0 (,8; 0) 7 ( ),

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta 5 Operaciones con polinomios 1. Polinomios. Suma y resta Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = 6 2 b) V() = 3 P I E N S A Y C A L C U L A 1 Dado el prisma

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím

x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado

Más detalles

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica.

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. ) Dada la función definida por f) 3 5 5 3,

Más detalles

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida Concepto de integral definida: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INTEGRAL DEFINIDA Sea una función continua definida en [a, b]. Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a, ], [,

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

Continuidad, límites y asíntotas

Continuidad, límites y asíntotas 9 Continuidad, ites y asíntotas. Funciones especiales Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: Parte entera de Parte decimal de Valor absoluto de 0,3 0,3,8,8 2,4 2,4 3,9 Ent () Dec () 3,9 0,3 0,3,8,8

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

3x2 2x x 1 + x 3x 5 5x2 5x x3 3x 2. 1

3x2 2x x 1 + x 3x 5 5x2 5x x3 3x 2. 1 1. Calcula la derivada de las funciones: y = Ln3 4 3 ) 5 y = Ln [ 1) )]. Calcula la derivada de las funciones: y = sen y = sen 3 y = sen 3 y = sen 3 3 y = sen 3 ) y = sen 4 3 4 5) 3 3. Calcula la derivada

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

BLOQUE III Funciones y gráficas

BLOQUE III Funciones y gráficas BLOQUE III Funciones y gráficas. Características globales de las funciones 9. Rectas e hipérbolas 0. Función cuadrática Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con

Más detalles

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo

Más detalles

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO página / Problemas Tema Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO Hoja. Calcula las medidas de un rectángulo cuya superficie es de 40 metros cuadrados, sabiendo que el largo es 6 metros mayor que el triple

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física ESTATICA Es la parte de la física que estudia las fuerzas en equilibrio. Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o actúan varias fuerzas cuya resultante es cero, decimos que el cuerpo está en equilibrio.

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas

Tipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 1: FUNCIONES

Más detalles

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27.

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27. . Determina el dominio de la función:. f() = -. f() =. f() = 4. f() = -6. f() = 6. f() = + 7. f() = - 8. f() = e 9. f() = + 0. f() = -. f() = -. f() = -. f() = + 4. f() = +. f() = + 6. f() = - + 7. f()

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 55 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f ( 5 5 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Di otros tres puntos

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12 Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero Matemáticas 4º E.S.O. ACTIVIDADES DE LOS TEMAS Y. Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: y = - ; b) y = ; c) y = +. Representa

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un Selectividad Andalucía Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Bloque Funciones EJERCICIOS DE EXÁMENES DE SELECTIVIDAD ANDALUCÍABLOQUE FUNCIONES 1 JUNIO 014 OPCIÓN A La función de beneficios f en

Más detalles

Funciones reales de variable real: límites y continuidad

Funciones reales de variable real: límites y continuidad Capítulo 3 Funciones reales de variable real: límites y continuidad 3.. Funciones reales de variable real 3... ntroducción Una función f : A B consiste en dos conjuntos, el dominio A = Dom(f) y el rango

Más detalles

Departamento de Matemáticas Página 1 I.E.S. Antonio Gala

Departamento de Matemáticas Página 1 I.E.S. Antonio Gala PRIMERA EVALUACIÓN ATENCIÓN: No olvides poner tu nombre y apellidos Cuidado con las faltas de No tengas prisa en acabar Revisa todo antes de entregar Suerte Ejercicio nº 1.- Racionaliza: a) + 6, b) 1 +

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Interpretación de gráficas símbolos Con la finalidad de reafirmar la relación eistente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo

Más detalles

Guía 2 Del estudiante Modalidad a distancia. Modulo CÁLCULO UNIVARIADO ADMINISTRACIÓN TURÍSTICA Y HOTELERA II SEMESTRE

Guía 2 Del estudiante Modalidad a distancia. Modulo CÁLCULO UNIVARIADO ADMINISTRACIÓN TURÍSTICA Y HOTELERA II SEMESTRE Guía 2 Del estudiante Modalidad a distancia Modulo CÁLCULO UNIVARIADO ADMINISTRACIÓN TURÍSTICA Y HOTELERA II SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono 435 29 52 CEL.

Más detalles

CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD. Noción intuitiva de límite

CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD. Noción intuitiva de límite CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD Noción intuitiva de límite Leer con cuidado [S1, ] o bien [S, 6] L1- Para la función que aparece abajo determinar los valores que se solicitan

Más detalles

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]

Más detalles

5 Funciones. Límites y continuidad

5 Funciones. Límites y continuidad Solucionario 5 Funciones. Límites y continuidad ACTIVIDADES INICIALES 5.I. Representa la función: < si f ( ) si < 4 5 si 4 f 5.II. Factoriza estos polinomios: P() 4 5 P() 4 c) P() 4 7 8 P() 4 5 ( )( 5)

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:

DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población: DERIVADAS INTRODUCCIÓN Una recta es tangente a una curva en un punto si solo tiene en común con la curva dicho punto. y 5 4 Recta tangente en (,) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que

Más detalles