REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL VOL., 32, NO. 1, 38-52, 2011

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1 REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL VOL., 32, NO. 1, 38-52, 2011 LOCALIZACIÓN EN UNA RED CON PATRÓN DE ELECCIÓN DEFINIDO POR UNA DISTANCIA UMBRAL Blas Pelegrín Pelegrín 1, Saúl Cano Hernández 2 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva, Unversdad de Murca. 1. INTRODUCCIÓN ABSTRACT We consder the faclty locaton problem on a network for an enterng frm, n competton wth other already establshed facltes, wth the objectve of market share maxmzaton. The consumers choose the faclty from whch they obtan a maxmum utlty (bnary preference). If a consumer obtans the maxmum utlty from a preexstng center and a new one, a proporton of hs demand s captured by the new faclty. The locaton canddates are the nodes and the ponts n the edges of the network. If the hghest utlty s obtaned from a faclty located to a dstance wthn a certan threshold from the customer, t s proved that the set of canddates to optmal soluton s a fnte set of ponts n the network. A procedure to generate the canddates to optmal locaton s gven and a formulaton as a mxed nteger lnear programmng problem s presented. A senstvty analyss related to the proporton, the number of preexstng facltes and the number of new facltes, appled to the Regon of Murca (Span), s shown. KEYWORDS: Compettve locaton, bnary choce, threshold dstance, dscrete optmzaton. MSC: 90C10 RESUMEN Se consdera el problema de localzacón de centros para una frma entrante en una red de transporte, en competenca con otros centros ya establecdos y con el objetvo de maxmzar la cuota de mercado. Los consumdores compran en el centro del que obtengan la mayor utldad (patrón bnaro). S un consumdor obtene la msma utldad en un centro preexstente y uno nuevo, una proporcón de su demanda es capturada por el nuevo. Las posbles localzacones son los nodos y los puntos en los tramos de la red de transporte. S la mayor utldad se obtene en un centro stuado a una dstanca dentro de un certo umbral, se demuestra que el conjunto de canddatos a solucón óptma se puede reducr a un conjunto fnto de puntos de la red. Se da un procedmento para generar los posbles canddatos, y se presenta una formulacón como problema de programacón lneal entera mxta para encontrar las localzacones óptmas. Se realza un análss de sensbldad respecto de la proporcón, el número de centros preexstentes y el número de nuevos centros, aplcado a la Regón de Murca (España). Se consdera el problema de localzacón de una frma entrante que tene que competr con otras ya establecdas. Los consumdores compran de la frma que les proporcona la máxma utldad. El objetvo de la frma nueva es encontrar la localzacón de sus establecmentos que le proporcone la mayor cuota de mercado. En los modelos estudados en la lteratura, la utldad de un establecmento depende de su dstanca al consumdor y de otros factores, entre los que destacan la caldad y el preco (véase Eselt y Laporte (1998), y García y otros (2004)). Los modelos que tenen en cuenta la caldad consderan la utldad como una atraccón por el centro, que es defnda por alguna funcón drectamente proporconal a la caldad e nversamente proporconal a la dstanca (véase Hakm (1983), Serra y ReVelle (1995), Plastra (2001)). Algunos trabajos consderan un comportamento bnaro de los consumdores, que consste en comprar del centro con mayor utldad, desarrollando algortmos para encontrar las localzacones óptmas (véase Suárez-Vega y otros (2004)). En otros modelos se tene en cuenta el preco del producto, y la utldad es mayor cuanto menor es el coste total para adqurr el producto (véase Gabszewcz y Thsse (1992), y Pelegrín y otros (2006))

2 En este trabajo se generalzan algunos de los modelos anterores, ncluyendo todos los casos en los que la máxma utldad se obtene cuando el consumdor se encuentra a una dstanca de la frma no superor a un determnado (dstanca umbral). Este comportamento es determnsta con nformacón completa. Sólo en el caso de empate en máxma utldad de la frma entrante con otra frma ya establecda, los consumdores se repartrán entre ellas para adqurr el producto. En los modelos con precos, el producto suele ser homogéneo, ya que en esos modelos es el preco el factor que afecta a la eleccón de los consumdores. En los modelos que usan funcones de atraccón, podemos consderar dferencacón de producto o que los consumdores adqueren varos productos al desplazarse al establecmento. Esto se tene en cuenta junto con otros factores al determnar la atraccón por el centro (véase Nakansh y Cooper (1974)). Se supone que la demanda está concentrada en los nodos de una red de transporte (véase Francs y otros (2002) para la agregacón de la demanda) y es una cantdad fja para cada nodo. A dferenca de otros modelos, que consderan sólo los nodos de la red como posbles canddatos a localzacón, aquí todos los puntos de la red son consderados. Se demuestra que hay un conjunto fnto de puntos entre los cuales se encuentran las localzacones óptmas. Se presenta un algortmo que genera de manera efcente la lsta de canddatos y una vez dscretzado el problema se procede a su resolucón medante su formulacón como programacón lneal entera mxta. Se realza un expermento computaconal y unos análss de sensbldad, aplcados a la regón de Murca, España, y fnalmente se presentan algunas conclusones. 2. NOTACIÓN Y DEFINICIONES BÁSICAS Sea NV (, El, ) una red de transporte no drgda, donde : 1,2, es un conjunto de nodos o vértces, :, ;, es un conjunto de tramos o arstas,: es una funcón que asgna su longtud a cada tramo e. Sea Γ() el conjunto de nodos adyacentes al nodo. Con dxy (, ) denotaremos la dstanca (longtud del camno más corto) entre los puntos x y y. Por smplcdad, denotaremos por dx a la dstanca del nodo al punto. Sea X un conjunto fnto de puntos sobre la red N, entonces : denotará la mínma dstanca del nodo a los punto de X. Sea D una dstanca fja asocada al nodo. Defncón 1. Decmos que un punto x en N es sodstante relatvo a un nodo s dx = D. Como la funcón dstanca d x es una funcón cóncava lneal en dos partes cuando x varía a lo largo de cualquer tramo [ uv,, ] resulta que a lo más puede haber dos puntos sodstantes en el tramo [ uv, ] relatvos al nodo. Cada punto sodstante relatvo a un nodo puede ser de uno de los tres tpos de puntos que se l r lr muestran en Fgura 1, denotados por x, x y x, respectvamente. Se verfca que s, ; dx < D s;,; dx < D s;,, Fgura 1 Defncón 2. Un punto es llamado sodstante s éste es sodstante relatvo a algún nodo. La defncón anteror nos dce que un punto es sodstante s se encuentra a una predetermnada dstanca de algún nodo de la red. 39

3 Un segmento [ x, y ] en un tramo [ uv, ] es el subconjunto de puntos de [ uv, ] entre los puntos x y y, ncluyendo a estos puntos. El segmento aberto es,,, y los segmentos semabertos son,, y,,. Defncón 3. S consderamos todos los puntos sodstantes sobre,, cualquer segmento aberto defndo por dos puntos sodstantes consecutvos o por un nodo y su punto sodstante más cercano, es llamado segmento so-aberto. En la Fgura 2, pueden verse segmentos so-abertos determnados por puntos sodstantes. Fgura 2 Un punto sodstante en, puede ser sodstante relatvo a más de un nodo. Sea V x el conjunto de nodos tales que x es sodstante relatvo a. La sguente defncón de puntos sodstantes se usará para consderar tres clases de puntos sodstantes en el nteror de cada tramo,, el cual depende del nodo por el cual se pase para obtener D. Defncón 4. Sea x un punto sodstante en el nteror de algún tramo: l ) S x = x para todo, el punto x es llamado sodstante-zquerdo. r ) S x = x para todo, el punto x es llamado sodstante-derecho. ) En otro caso, el punto x es llamado sodstante-mxto. S no hay puntos sodstantes en,, este segmento es el únco segmento so-aberto en el tramo,. 3. MODELOS DE LOCALIZACIÓN COMPETITIVA CON PATRÓN DE ELECCIÓN BINARIO Una frma desea entrar al mercado tenendo que decdr la localzacón de r nuevos centros en puntos de una red N, con el objetvo de maxmzar su cuota de mercado. La demanda se encuentra en algunos nodos de la red, llamados nodos poblacón, la cual es conocda y fja. Exsten otro tpo de nodos en la red, llamados nodos cruce, los cuales no tenen demanda. Sea w la cantdad de producto requerda por los consumdores en el nodo. El coste margnal de transporte de los consumdores que se encuentran en el nodo a un punto localzado a una dstanca d de, vene dado por t( d ), donde t( d ) es una funcón crecente de la dstanca y con la condcón t (0) = 0. e En el mercado hay establecdos un conjunto F = { 1,2,...,q } de centros. Esto es, hay q centros preexstentes en la red, que son propedad de otras frmas con las que va a competr la frma entrante. El conjunto de todos los centros preexstentes y nuevos, es representado por 1, 2,,. Denotaremos por X = { xq+ 1, xq+ 2,... x q + r} al conjunto de r puntos de la red donde los nuevos centros son localzados. Para cada,, defnmos uj( d j ) como la utldad que supone comprar en el centro j para los consumdores del nodo. Los consumdores de cada nodo compran en un centro k, s la utldad que obtenen es la mayor, es decr,,. Este tpo de comportamento recbe el nombre de bnaro. S para un nodo la máxma utldad se obtene en un centro de la frma entrante y otro de las frmas preexstentes, entonces supondremos que una proporcón q de los consumdores compran en la frma entrante. La cantdad q es desconocda y habría que estmarla para cada stuacón. Vamos a ver que en ocasones, este comportamento equvale a que los consumdores en el nodo compran en un nuevo centro s, para algún valor D. Ejemplo 1. Un modelo con precos en orgen. 40

4 En este tpo de modelos los consumdores se desplazan al centro a satsfacer su demanda, y por consguente pagan los costos de transporte. Sea p j el preco en orgen de una undad de producto en el centro. Entonces los consumdores en el nodo compran en el centro k, s,. En este caso, la utldad u j de un consumdor vene dada en térmnos del valor negatvo del costo total (preco del producto más coste de transporte) expresada por: u ( d ) = - ( p + t ( d )). j j j j Sean p mn el preco mínmo de venta al que se puede ofertar el producto, y p prod el coste de produccón del producto, pmn > pprod. Asumendo que estos precos son comunes a todos los centros, pj = pmn, la frma entrante tene máxma utldad para los consumdores en un nodo s: :, es decr, s la dstanca a algún nuevo centro no es mayor que la mínma dstanca a algún centro preexstente. e Para este ejemplo, la dstanca umbral es D = d( F ). Luego, la gananca de la frma entrante conseguda de los consumdores en el nodo es: Sean M X = { : d( X) < D} y M X = { : d( X) = D} los conjuntos de nodos donde los consumdores se encuentran a una dstanca menor o gual a la dstanca umbral, respectvamente, y pnet = p mn - p prod el preco neto. Entonces, el problema de maxmzacón de la gananca para la frma entrante es: :, Para este escenaro el problema de maxmzacón de la gananca para la frma entrante es equvalente a maxmzar la cuota de mercado:. :, A dferenca del modelo MAXCAP (Serra y Revelle, 1995) que sólo consdera a un conjunto de nodos como canddatos a localzacón, aquí se consderan nodos y puntos en el nteror de los tramos. Ejemplo 2. Un modelo tpo-huff bnaro. Sea a j la caldad del centro, donde la caldad de un centro puede estar dada por su capacdad, su tamaño, o por alguna aglomeracón de característcas del centro (Plasta, 2001). La utldad u j que obtene un consumdor por un centro vene determnada en térmnos de la atraccón que el consumdor percbe de los centros, dada por el cocente del parámetro caldad y el tempo de desplazamento al centro: a j uj( d j ) =. t ( d ) j 41

5 Entonces los consumdores en el nodo compran en el centro k, s la atraccón que percben por este centro es mayor que la atraccón que percben por cualquer otro centro, es decr, s, La máxma atraccón percbda por los consumdores en de los centros preexstentes vene dada por:, S todos los nuevos centros tene la msma caldad, esto es, aj = a para j = q + 1, q + 2,...,q + r, la frma entrante sólo puede capturar el mercado de los consumdores en s para alguno de sus centros k se verfca que su atraccón es mayor que la máxma atraccón de los centros preexstentes: Como la funcón dstanca t es crecente, la desgualdad anteror es equvalente a: Luego, s X es el conjunto de localzacones para la frma entrante, entonces dcha frma sólo puede capturar mercado de los consumdores en el nodo s: - a Para este ejemplo, la dstanca umbral es D = t 1 ( ), y la cuota de mercado que la frma e A( F ) entrante consgue en es: 0 Como en el ejemplo anteror, se pueden defnr los conjuntos de nodos donde los consumdores se encuentran a una dstanca menor o gual a la dstanca umbral. Sean : d ( X) < D y M = { } = { : d( X ) = D }, entonces el problema de maxmzacón de la cuota de mercado para la frma entrante es: 1 X 2 M X :, Observemos que este problema es equvalente al problema de maxmzacón de la cuota de mercado del Ejemplo 1, s ben los nveles umbrales son dstntos. Acabamos de ver que la frma entrante tendrá máxma utldad para los consumdores en un nodo s se encuentran a una dstanca de algún nuevo centro a menor o gual que una dstanca umbral, que depende de cada modelo. En lo que sgue vamos a analzar este tpo de problemas cuando el objetvo es maxmzar la cuota de mercado. 4. LOCALIZACIONES ÓPTIMAS Vamos a ver que los resultados obtendos para el del problema de localzacón de un centro con costos de transportacón lneal en Pelegrín y otros (2006), se extenden al problema de localzacón de varos centros con costos de transportacón crecentes. Para ello realzaremos el análss de la funcón cuota de mercado F( X ) fjando todas las localzacones excepto una de ellas. 42

6 Propedad 1. La funcón F( X ) es constante s X \ {} x es fjo y x varía en algún segmento soberto. Demostracón. Supongamos que todas las localzacones de X están fjadas excepto x, la cual se consdera que varía en algún segmento so-aberto contendo en algún tramo [ uv., ] De la defncón de 1 2 segmento so-aberto se desprende que nnguno de los conjuntos M X y M X camban cuando x varía en el segmento so-aberto. Por lo tanto, F( X ) es una funcón constante s x varía en algún segmento so-aberto de [ uv,, ] y las otras localdades están fjas. W La Fgura 3, muestra la gráfca de F( X ) cuando X \ {} x es fjo y x varía en un tramo de la red. Como una consecuenca del la propedad anteror, el problema de maxmzar F( X ) se reduce a un problema de optmzacón dscreta. El sguente corolaro determna quenes son los canddatos a localzacón óptma. Fgura 3 Corolaro 1. Los canddatos a maxmzar la funcón F( X ) son los nodos, los puntos sodstantes en el nteror de cada tramo y un punto por cada segmento so-aberto. El número total de canddatos a localzacón es n + 2ISO + m, donde n es el número de nodos, ISO es el número puntos sodstantes en el nteror de cada tramo y m es el número de tramos de la red (véase Fgura 4). Fgura 4 Veamos que es posble reducr el número total de canddatos a localzacón: a) Los puntos sodstantes-zquerdos e sodstantes-derechos pueden ser removdos de la lsta ncal de canddatos, ya que sempre exste un punto la zquerda o la derecha, respectvamente, en el que la cuota de mercado es mayor o gual al que se obtene en el punto sodstante. Por consguente, el * * número de canddatos se reduce a n + ISO + m + ISO, donde ISO es el número de puntos sodstantes-mxtos en el nteror de los tramos. b) S 1 para todo, los consumdores en el nodo compran en un nuevo centro s este se encuentra a una dstanca menor o gual que sus competdores. Los canddatos que se encuentran en los segmentos so-abertos pueden ser remplazados por uno de los extremos del segmento so-aberto, sn que dsmnuya la cuota de mercado. Entonces, los puntos de los segmentos so-abertos pueden ser removdos de la lsta ncal de canddatos, reducéndose el número de canddatos a n + ISO, como se lustra en la Fgura 5. 43

7 Fgura 5 c) S para todo, la mayoría de los consumdores en el nodo preferen comprar en un centro preexstente que en un nuevo centro. Entonces, s x es un punto sodstante mxto, puede comprobarse que se obtene una cuota de mercado mayor o gual que en x, s susttumos x por un punto próxmo a * x stuado a la zquerda o a la derecha de x. Así, los puntos ISO pueden ser elmnados y por consguente el número de canddatos se reduce a n + ISO + m, como se muestra en la Fgura 6. Fgura 6 5. GENERACIÓN DE LA LISTA DE CANDIDATOS En esta seccón se presenta un algortmo que genera la lsta completa de canddatos L, para una red que contene nodos poblacón y nodos cruce. Los elementos de la lsta son puntos de la red defndos de la forma ( uvx,,, ), sendo x la dstanca al nodo u del punto sodstante relatvo al nodo que se encuentra en el tramo [ uv., ] Algortmo Paso 1. Generacón de la lsta de puntos sodstantes: Determnar la dstanca umbral D para cada nodo poblacón. Incar la lsta Obtener las matrces de dstancas y predecesores entre cada par de nodos, D = ( d j ) y P = ( p j ). Para cada nodo poblacón, hacer: Para cada elemento u en la fla tal que, hacer: S d u = D : El nodo u es un punto sodstante, agregar el nodo u a la lsta,,, 0 En otro caso ( d u < D ): S u es un nodo poblacón, examnar los adyacentes de u, que sean nodos poblacón y que no estén en el camno más corto de a u, es decr, los nodos poblacón en el conjunto: Γ\, Para cada, hacer: S 2, el punto, tal que l ux = D - d es sodstante, agregar dcho punto a la lsta,,,, u Paso 2. Agrupar y ordenar los puntos sodstantes de la lsta L, para cada tramo de la red. Paso 3. Selecconar el valor de la proporcón q. Paso 4. S el valor de q = 1, la lsta L está completa. En otro caso, modfcamos la lsta L en cada segmento so-aberto, dependendo del valor de : 0,, (Fgura 7): a) S los extremos del segmento so-aberto son: un nodo poblacón y un punto sodstante, o dos puntos sodstantes; s hay un nodo cruce en dcho segmento, reemplazar el punto del extremo derecho del segmento por el nodo cruce en la lsta L. En otro caso, reemplazar el punto del extremo derecho del segmento por el punto medo de dcho segmento en la lsta L. 44

8 b) S los extremos del segmento so-aberto son: un punto sodstante y un nodo poblacón; s hay un nodo cruce en dcho segmento, agregar a la lsta L el nodo cruce. En otro caso, agregar a la lsta L el punto medo de dcho segmento. Fgura 7 S 1, (Fgura 8): a) S los extremos del segmento so-aberto son: un nodo poblacón y un punto sodstante (o vceversa), o dos puntos sodstantes; s hay un nodo cruce en dcho segmento, agregar a la lsta L el nodo cruce. En otro caso, agregar a la lsta L el punto medo de dcho segmento. Fgura 8 Una vez obtenda la lsta de canddatos, se encontraran las solucones óptmas medante la resolucón de un problema de programacón lneal entera mxta. 6. FORMULACIÓN COMO PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA Consderando las deas centrales de las formulacones para resolver problemas de localzacón dscreta hechas en Serra y ReVelle (1995) y Fernández y otros (2007). Sean L el conjunto de todos los canddatos a localzacón, : el conjunto de canddatos que se encuentran a una dstanca menor a la dstanca umbral, : el conjunto de canddatos que se encuentran a una dstanca gual a la dstanca umbral y : el conjunto de nodos que se encuentran a una dstanca de un canddato no mayor a su dstanca umbral. Las varables de localzacón son: 1 0 Las varables de asgnacón total de la demanda son: 1 ó 0 Las varables de asgnacón parcal de la demanda son: 1 0 Entonces el problema de localzacón se puede formular como: Sujeto a: 1,,,

9 0, 1 5 0, 0 6 donde el prmer conjunto de restrccones mpone que la demanda de los consumdores en el nodo puede ser capturada total o parcalmente por la nueva frma o ben por sus competdores s la suma de las varables de asgnacón es cero. El segundo conjunto de restrccones oblga que sólo se puede asgnar la demanda totalmente de a, s se localza un centro en j ( x j = 1). El tercer conjunto de restrccones mpone que sólo se puede asgnar parcalmente la demanda de a la frma entrante s se localza algún centro en. La cuarta restrccón oblga a que el número de centros de la nueva frma sea r. El qunto conjunto de restrccones mpone que las varables de localzacón x j sean bnaras. El últmo conjunto de restrccones oblgan a que las varable de asgnacón y j y z sean no negatvas, en vez de bnaras. Esto se hace para reducr el número de varables bnaras en el modelo y permtr que el optmzador resuelva problemas de mayor tamaño. Ello no altera el planteamento, ya que s se fjan los valores de las varables x j en la formulacón presentada, se puede comprobar que sempre hay solucones óptmas con valores bnaros para las restantes varables. 7. EXPERIMENTO COMPUTACIONAL Para analzar la sensbldad respecto de los parámetros r y q, utlzaremos datos de la red de transporte de la Regón de Murca, España. Esta red contene 84 nodos (los prmeros 45 son nodos poblacón y 39 son nodos cruce) y 132 tramos, como se muestra en Fgura 9. La demanda w, = 1, 2,..., 45 de los nodos poblacón corresponde al censo de 2007 (Tabla 1) de acuerdo al Centro Regonal de Estadístca de Murca. Se consderan cuatro conjuntos de centros preexstentes stuados en las cudades con mayor poblacón: 1 F = { Murca }, 2 F = { Murca, Cartagena }, 3 F = { Murca, Cartagena, Lorca }, 4 F = { Murca, Cartagena, Lorca, Molna de Segura}. La dstanca umbral asocada a los nodos poblacón está dada por: : = 1,2,...,45. El rango de valores que hemos tomado para la proporcón es q = { ,,,, }, = 1,2,.., 45 y el número de nuevos centros a localzar es r = 1,2,3,4. Se han consderado 16 escenaros dstntos correspondentes a las dferentes combnacones entre número de centros a localzar y número de centros preexstentes. Utlzando el optmzador Xpress-MP (Xpresse MP, 2007) se resolveron 80 problemas con patrón de eleccón bnaro que resultan de varar, F y r. El algortmo que genera la lsta completa de canddatos ha sdo dseñado en Borland C, versón 5.02 y utlzando un equpo Dell Lattude D810, con procesador Intel Pentum M a 2.26 GHz y 1 GB de Ram. Las tablas 2 a 5 muestran los resultados para cada conjunto de centros preexstentes. La prmera columna de cada tabla ndca el número de nuevos centros de la frma entrante, la proporcón se refleja en la segunda columna, el número de canddatos vene dado en la tercera columna, las localzacones óptmas se representan en la cuarta columna, donde un número entre 1 y 45 corresponde a nodo poblacón, entre 46 y 84 corresponde a un nodo cruce y un número mayor a un punto sodstante. En la qunta columna se muestra la cuota de mercada capturada, los porcentajes de cuota capturados total y parcalmente están expresados en la sexta y séptma columnas, respectvamente. Fnalmente, el tempo en segundos para generar la lsta completa de canddatos y en obtener las solucones medante el optmzador Xpress-MP, se muestran en las columnas ocho y nueve respectvamente. 4 46

10 Fgura 9. Tabla 1: Nodos Poblaconales A modo de lustracón, la Fgura 10 muestra las localzacones óptmas de 4 nuevos centros para q = 1 4, sendo Murca, Cartagena y Lorca, los centros preexstentes. Los nuevos centros están localzados en el nodo poblacón Murca y los puntos sodstantes 194, 240 y 247. La cuota de mercado capturada es de 47

11 663, Esta cantdad corresponde a un % de la demanda total, la cual es totalmente capturada en los correspondentes nodos por los centros localzados en los puntos sodstantes 194, 240 y 247, y a un 7.77% de la demanda total, la cual es parcalmente capturada en los correspondentes nodos por el centro localzado en Murca. El tempo de cómputo es de segundos para generar la lsta completa de canddatos y el optmzador Xpress-MP utlzó segundos para encontrar las solucones óptmas del modelo. 1 Tabla 2: F = { Murca} 2 Tabla 3: F = { Murca, Cartagena} 48

12 3 Tabla 4: F = { Murca, Catagena, Lorca} 4 Tabla 5: F = { Murca, Cartagena, Lorca, Molna de Segura} 8. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Respecto al número de canddatos en los dferentes escenaros, se observa lo sguente: El número de canddatos a localzacón óptma decrece al aumentar el número de centros preexstentes para cada valor de, Para el número de canddatos es mayor que para 0,, pero esa dferenca en número va decrecendo porcentualmente al aumentar el número de centros preexstentes. Así, en la Tabla la dferenca porcentual es 100 = 71.97% y en la Tabla 5 es 100 = %. Para 1, el número de canddatos tambén es menor que para 0,, pero ahora la 49

13 dferenca en número va crecendo porcentualmente al aumentar el número de centros preexstentes. En la Tabla 2 la dferenca es 100 = % y en la Tabla 5 es 100 = %. Fgura 10. En cuanto a las localzacones óptmas, resulta que son bastante estables en relacón a la varacón de. Los cambos de localzacón se producen al aumentar sgnfcatvamente, y algunas localzacones permanecen óptmas para un gran rango de valores. Para valores de elevados las cudades más pobladas suelen ser las localzacones óptmas y esté hecho se constata más cuanto mayor es el número de competdores. Como era de esperar, la cuota de mercado dsmnuye conforme al número de centros preexstentes es mayor. Sn embargo, se observa que esta dsmnucón es mayor para valores de pequeños, sobre todo s el número de centros localzados es bajo. S los valores de son altos y se localzan muchos centros, se observa que la cuota de mercado decrece muy lentamente con el número de centros preexstentes. En partcular, para 1 y cuatro nuevos centros la cuota de mercado obtenda por la frma entrante no se ve afectada al aumentar el número de centros preexstentes. Además, en cada uno de los 16 escenaros, se observa que para valores pequeños de sólo en muy pocos nodos la demanda es compartda por la frma entrante y sus competdores. Para valores grandes de ocurre lo contraro. El tempo máxmo de cómputo para generar la lsta de canddatos y encontrar las localzacones óptmas se alcanza para. El tempo para generar la lsta de canddatos se ncrementa al aumentar el número de centros preexstentes para cada valor pero ocurre lo contraro para encontrar las localzacones óptmas. Los tempos que se requeren para encontrar las localzacones óptmas dsmnuyen sgnfcatvamente, mentras que los tempos que se requeren para generar la lsta de canddatos se ncrementan en menor proporcón conforme aumenta el número de centros preexstentes. 50

14 9. CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES Se ha vsto que bajo certas condcones los modelos de precos en orgen y tpo Huff, el número de canddatos a localzacón para una nueva frma que desea entrar en competenca con otras ya exstentes con el objetvo de maxmzar su cuota de mercado, se reduce a un conjunto fnto de puntos, y medante su correspondente formulacón como un problema de programacón lneal entera mxta se pueden encontrar sus solucones óptmas. Además, cuando ocurre que la demanda de los consumdores se tene que repartr entre las frmas que compten por el mercado, un análss del parámetro de la proporcón de la demanda nos permte determnar quénes serán los canddatos a localzacón. Como trabajos futuros de nvestgacón, será de nterés analzar bajo qué condcones otros tpo de modelos de localzacón compettva, por ejemplo modelos con funcones de eleccón no determnstas, o modelos donde la demanda sea varable, la búsqueda de los canddatos a localzacón se reduzca a un conjunto fnto de puntos de la red, los cuales se encuentren dentro de una dstanca umbral de los consumdores. Agradecmentos: Este trabajo ha sdo realzado como parte del proyecto ECO /ECON fnancado por el Mnstero de Cenca e Innovacón de España y del Fondo Europeo para el Desarrollo Regonal (FEDER). RECEIVED JANUARY 2010 REVISED JUNE 2010 REFERENCIAS [1] DREZNER T. and EISELT H.A. (2002): Consumers n compettve locaton models. In: Faclty Locaton: Applcaton and Theory (Drezner Z. and Hamacher H. Eds.), Sprnger Verlag, Berln. [2] EISELT H.A. and LAPORTE G. (1998): Demand allocaton functons. Locaton Scence, 6, [3] FERNÁNDEZ P., PELEGRÍN B., GARCÍA M.D. and PEETERS P. (2007): A dscrete locaton-prce problem under the assumpton of dscrmnatory prcng: Formulatons and parametrc analyss. European Journal of Operatons Research, 179, [4] FRANCIS R.L., LOWE T.J. and TAMIR A. (2002): Demand pont aggregaton for locaton models. In: Faclty Locaton: Applcaton and Theory (Drezner Z. and Hamacher H. Eds.), Sprnger Verlag, Berln. [5] GABSZEWICZ J.J. and THISSE J.F. (1992): Locaton. In: Handbook of Game Theory wth Economc Applcatons (Aumann R. and Hart S. Eds.), Elsever Scence Publshers, Amsterdam. [6] GARCIA M.D. FERNÁNDEZ P. and PELEGRÍN B. (2004): On prce compettve n locaton-prce models wth spatally separated markets. TOP, 12, [7] HAKIMI L. (1983): On locatng new facltes n a compettve envronment. European Journal of Operatons Research, 12, [8] NAKANISHI M. and COOPER L.G. (1974): Parameter estmate for multplcatve nteractve choce model: Least square approach. Journal of Marketng Research, 11, [9] PELEGRÍN B., FERNÁNDEZ P., SUÁREZ R. and GARCÍA M.D. (2006): Sngle faclty locaton on a network under mll and delvered prcng. IMA Journal of Management Mathematcs, 17,

15 [10] PLASTRIA F. (2001): Statc compettve faclty locaton: An overvew of optmzaton approaches. European Journal of Operatonal Research, 129, [11] SERRA D. and REVELLE C. (1995): Compettve locaton n dscrete space. In: Faclty Locaton: A Survey of Applcatons and Methods (Drezner Z. Ed.), Sprnger Verlag, Berln. [12] SUÁREZ-VEGA R., SANTOS PEÑATE D.R. and DORTA-GONZÁLEZ P. (1994): Dscretzaton and Resoluton of the ( r X )-Medanod Problem Involvng Qualty Crtera. TOP, 12, p [13] Xpress-MP. (2007). Dash Optmzaton. 52

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