INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte INTRODUCCIÓN

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1 INTEGRAL DEFINIDA.- INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd. Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre. Ahor y o os dee cusr sorpres el ecotrros co que l defcó de u cocepto tutvo puede presetr grdes dfcultdes y certmete el áre o es gu ecepcó esto. El cálculo de áres de rectos plos es uo de los prolems fudmetles del Cálculo Iftesml y tee sus orígees remotos e l Grec clásc. E geometrí elemetl se deduce fórmuls pr l áres de muchs fgurs pls, pero u poco de refleó hce ver que rrmete se d u defcó ceptle de áre. El áre de u regó se defe veces como el úmero de cudrdos de ldo udd que ce e l regó. Pero est defcó es totlmete decud pr tods ls regoes co ecepcó de ls más smples. Por ejemplo, el círculo de rdo tee por áre el úmero rrcol π, pero o está clro e soluto cul es el sgfcdo de π cudrdos. Icluso s cosdermos u círculo de rdo cuy áre es, result dfícl eplcr de qué mer u cudrdo udd puede ller este π círculo, y que o prece posle dvdr el cudrdo udd e pedzos que pued ser yutpuestos de mer que forme u círculo. Hstórcmete, el Cálculo Itegrl surgó de l ecesdd de resolver el prolem de l otecó del áre de fgurs pls. Los gregos lo ordro, llegdo fórmuls pr el áre de polígoos, círculos, segmeto de práols, etc. El método, que cosstí e promr ehustvmete l fgur-recto cuy áre se dese hllr medte polígoos de áres coocds, e el sglo XVI, se llmó método ehustvo o de ehucó, orgl de Eudoo (46.C. 355.C.) y fue utlzdo esporádcmete por Eucldes hc el ño 3.C. y de form sstemátc por Arquímedes (86.C..C.). Pr coocer este método vmos plcrlo e el cálculo del áre de u segmeto de práol, regó lmtd por el eje OX, l curv y = y ls rects = y =. Arquímedes demostró que el áre de est regó es del áre del rectágulo de se el tervlo [, ] y de ltur 3 A =, es decr, l tercer prte 3. jlmt.es Itegrl defd. Pg.

2 Co des de Arquímedes, pero co otcó moder, vemos como se lleg ese resultdo: pr cd turl dvdmos el segmeto [, ] e prtes gules, cd u de logtud. Sore cd u de ells costrumos dos rectágulos, uo co l ltur de l orded mím (rectágulo feror, por defecto o scrto) y otro co l ltur de l orded mám (rectágulo superor, por eceso o crcuscrto). Es clro que l sum de ls áres de los rectágulos ferores, S, es meor que el áre A del segmeto prólco, y que l sum de ls áres de los rectágulos superores, S, es myor que A, verfcádose que: S A S pr todo N, es decr, ( ) ( ) ( ) ( ) S = A = S que se puede poer: ( ) A A msmo: ( ) o, lo que es lo ( + )( + ) Arquímedes y demostró que =. E ests codcoes, se 6 lleg que ls desgulddes terores equvle : ( ) ( ) ( + )( + ) 3 3 A, ( )( ) ( + )( + ) 3 3 A váldo pr todo N. 6 6 S se hce que el úmero de dvsoes crezc defdmete, es decr, s se tom límte cudo, se otee ( )( ) 3 ( + )( + ) lm A lm, lm A lm por tto: A, co lo que 3 A =. 3 Apoyádoos e el método de ehucó epuesto tes, podemos pesr e medr áres de fgurs más geerles, promdo su vlor medte sums de áres de rectágulos por defecto y sums de áres de rectágulos por eceso y luego tomdo límtes de lgu mer. Los mtemátcos del sglo XVII (Newto, Lez, etc.) trodujero el cocepto de f, cocepto que más trde fue mejordo por Cuchy tegrl defd de u fucó ( ) ( ) y por Rem (86-866). jlmt.es Itegrl defd. Pg.

3 .- NOCIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO [, ] L de que sostee l defcó que vmos dr se dc e l sguete fgur. El tervlo [, ] h sdo dvddo e cutro sutervlos [ t, t ], [ t, t ], [ t, t ] y [ t, t ] por medo de úmeros t, t, t, t3, t 4 co = t < t < t < t3 < t4 = (l umercó de los suídces empez e de modo que el suídce myor será gul l úmero de sutervlos). Sore el prmer tervlo [ t, t ] l fucó f tee el vlor mímo m y el vlor mámo M ; álogmete, se tervlo -ésmo [ t t ] m el vlor mímo y M el vlor mámo de f sore el,. S = m t t + m t t + m t t + m t t represet el áre totl de L sum ( ) ( ) ( ) ( ) los rectágulos que qued detro de l regó lmtd por l gráfc de l fucó, el eje OX y R f,,. ls rects vertcles = y =, covee deotr est regó por ( ) Igulmete, l sum S M ( t t ) M ( t t ) M 3 ( t3 t ) M 4 ( t4 t3 ) áre totl de los rectágulos que cotee l regó R ( f,, ). = represet el El prcpo que os v gur e uestro teto de defr el áre de R ( f,, ) será l oservcó de que A tee que stsfcer S culquer que se l dvsó que se hg del tervlo [, ]. A y A S y que esto dee ser verdd, Se f u fucó rel de vrle rel defd y cotd e [, ]. Defcó: Se llm prtcó de u tervlo cerrdo [, ] putos de [, ] de los cules el prmero es y el últmo es. El cojuto P {,,,..., } de [, ]. u cojuto ordedo y fto de = tl que = < < <... < = es u prtcó jlmt.es Itegrl defd. Pg. 3

4 δ m =,,3,..., Se llm dámetro de l prtcó P l úmero rel ( P) { } =. A veces, por comoddd y s que supog pérdd de geerldd, se tom prtcoes de tl mer que los sutervlos [, ] so todos de l msm logtud. E este cso, el dámetro de l prtcó es δ ( P) =. El tervlo [, ], medte l prtcó P, qued sudvddo e sutervlos; e cd uo de ellos defmos los úmeros reles: m = f f /, { ( ) [ ]} { ( ) / [, ]} M = sup f, que este por ser f cotd. S l fucó f fuese cotu, estos úmeros mímo y el mámo de f e [ ],. m y M serí respectvmete el Defcó: Se llm sum feror de f ( ) pr l prtcó P del tervlo [, ] por S ( f, P ) l sum: (, ) ( ) ( )... ( ) ( ) S f P = m + m + + m = m = m = =, y se desg S f es postv e [, ] se oserv que, geométrcmete, l sum feror S ( f, P ) mde l sum de ls áres de los rectágulos scrtos cuys ses so los tervlos [ ] y cuys lturs mde m., Defcó: Se llm sum superor de f ( ) pr l prtcó P del tervlo [, ] por S ( f, P ) l sum: (, ) ( ) ( )... ( ) ( ), y se desg S f P = M + M + + M = M = M = = S f es postv e [, ] se oserv que, geométrcmete, l sum superor S ( f, P ) mde l sum de ls áres de los rectágulos crcuscrtos cuys ses so los tervlos [, ] y cuys lturs mde M. U cos es evdete e relcó co ls sums ferores y superores: s P es u, S f, P S f, P, puesto que prtcó culquer del tervlo [ ], etoces ( ) ( ) (, ) = ( ), S ( f, P) = M ( ) S f P m = y pr cd teemos que m ( ) M ( ), =. jlmt.es Itegrl defd. Pg. 4

5 Por otr prte, deerí cumplrse otr cos meos evdete: s P y P so dos prtcoes culesquer del tervlo [, ], etoces prece lógco pesr que S ( f, P ) S ( f, P ) puesto que S ( f, P ) deerí ser áre R ( f,, ), y S ( f, P ) deerí ser áre R ( f,, ). Est oservcó o demuestr d (puesto que el áre de R ( f,, ) o h sdo todví squer defd), pero sí dc que s hemos de lergr lgu esperz de poder defr el,, S f, P S f, P. áre de R ( f ), lo prmero que deemos cosegur es demostrr que ( ) ( ) Esto depede de u Lem referete l comportmeto de ls sums ferores y superores l ñdr más putos u prtcó. Defcó: Se dce que u prtcó Q de [, ] es más f que otr prtcó P de [, ] verfc que todo puto de P está e Q. Se dc escredo P que o sempre so comprles dos prtcoes. s se Q. Hy que hcer costr Ahor estmos e codcoes de eucr u Lem y u Teorem de los que omtmos su demostrcó por o etederos demsdo. Lem: S P y Q so dos prtcoes de [, ] y Q es más f que P se tee que S ( f, P) S ( f, Q) S ( f, Q) S ( f, P) Teorem: Se P y P prtcoes de [, ], y se f u fucó cotd sore [, ] (, ) (, ). S f P S f P. Etoces Esto os dce que culquer sum feror es meor o gul que culquer sum superor depedetemete de l prtcó cosderd, lo cul er tutvo pr fucoes postvs. El cojuto de ls sums ferores de tods ls prtcoes de [, ], { (, )} S f P, es o vcío y está cotdo superormete por culquer sum superor; por tto, por el Aom del Sup S f, P. etremo, este { ( )} Aálogmete, el cojuto (, ) { } S f P es o vcío y está cotdo ferormete por { } culquer sum feror; por el msmo Aom del etremo se tee que este (, ) y se verfc { } { (, )} (, ) Sup S f P If S f P If S f P, Defcó: El úmero Sup{ S ( f, P )} se llm tegrl feror de f e [, ] I f,[, ] = Sup{ S f, P } ( ) ( ) y se escre sí: jlmt.es Itegrl defd. Pg. 5

6 Defcó: { } (,[, ]) = { (, )} El úmero If S ( f, P ) se llm tegrl superor de f e [, ] I f If S f P y se escre sí: Defcó: () U fucó f ( ) defd y cotd e [, ] de Rem) sore [, ] cudo [ ] (,, ) (,[, ]) I f = I f. se dce que es tegrle (e el setdo E este cso, este úmero comú rece el omre de tegrl defd de f sore [, ] y se escre: I ( f,[, ]) o ( ) f d. Ejemplos.- Se f ( ) = k pr todo [, ], sedo k R. f ( ) = k = o = S P = { } es u prtcó culquer de [, ] pr todo y sí:,,,...,, y (, ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) S f P m k k k = = =. (, ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) S f P M k k k = = = E este cso tods ls sums ferores y superores so gules y { (, )} (, ) { } ( ) Sup S f P = If S f P = k. Se tee, pues, que l fucó f ( ) = k es tegrle e [, ] ( ) = = ( ) f d kd k., etoces m = M = k y su tegrl vle: jlmt.es Itegrl defd. Pg. 6

7 .- Se l fucó de Drchlet, defd de l sguete form: f ( ) = s es rrcol s es rcol S P = {,,,..., } es u prtcó culquer de [, ] e [ ] M = puesto que e [ ], sempre este lgú úmero rrcol, y este lgú úmero rcol. Así, S ( f P) m ( ) ( ), = = = = = y S f, P M ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = = { } E cosecuec, Sup{ S ( f, P )} = e (, ) If S f P, se tee que m = pues, sempre = y f o es tegrle e [, ]. 3.- LA INTEGRAL DEFINIDA CONSIDERADA COMO UN LÍMITE Se f ( ) cotd e [, ]. S e cd sutervlo [, ] ξ, etoces m f ( ξ ) M m ( ) f ( ξ )( ) M ( ), es decr, elge u puto culquer ( ξ ) m f M, y sumdo. Result, pues que: (, ) = ( ξ ) = (, ) S f P m f M S f P = = = S se tom P P P3... P de u prtcó P se, u sucesó culquer de prtcoes de [, ] e l que el úmero de putos de cd prtcó v umetdo de tl mer que el límte de lm P =, se tee que: sus dámetros se cero, δ ( ) ( ) ( ξ ) δ ( P ) δ ( P ) δ ( P ) ( ) lm S f, P lm f lm S f, P Por lo tto, f es tegrle precsmete s este el lm f ( ) ( ξ ) lm f ( ξ ) ). Defcó: Esto os permte dr u uev defcó de l tegrl defd: U fucó f ( ) defd y cotd e [, ] de Rem) sore [, ] cudo este lm sucesó de prtcoes elegd y del puto δ ( P ) (tmé deotdo δ P se dce que es tegrle (e el setdo f ( ξ ), depedetemete de l jlmt.es Itegrl defd. Pg. 7 ξ cosderdo e [ ],

8 escre: E este cso, este úmero rece el omre de tegrl defd de f sore [, ] y se I ( f,[, ]) o ( ) f d. Est últm versó de l tegrl defd, ( ) lm ( ξ ) f d = f, justfc el empleo del sgo, troducdo por Lez e 675, u ese lrgd y estlzd como dctvo de que se está relzdo u sum de ftos térmos. E tod l dscusó teror se h supuesto coveo f ( ) d =. <. Cudo = se tom como 4.- INTEGRABILIDAD DE FUNCIONES Teorem: (Crtero de tegrldd de Rem), Se f u fucó cotd sore [ ]. Etoces f es tegrle e [, ] precsmete s pr todo úmero rel ε > este u prtcó P tl que S f, P S f, P < ε ( ) ( ) El teorem sólo os proporco de otro modo l defcó de tegrldd; este crtero es mucho más opertvo que l defcó () puesto que y o tedremos que usr supremos e ífmos. Apoyádoos e el teorem teror podrímos demostrr dos mporttes proposcoes. Proposcó : Ls fucoes cotds y moótos e [, ] so tegrles. Proposcó : Ls fucoes cotus e [, ] so tegrles. Evtmos ls demostrcoes. 5.- PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA L tegrl defd verfc ls sguetes propeddes: -. Leldd respecto del tegrdo: S f ( ) y g ( ) so fucoes tegrles e [, ] tmé lo es α f ( ) + β g ( ) pr todo α, β R y se tee: ( ) + ( ) = ( ) + ( ) α f β g d α f d β g d jlmt.es Itegrl defd. Pg. 8

9 .- Adtvdd respecto del tervlo de tegrcó: Se f ( ) u fucó tegrle e u tervlo [, ]. S c es tl que < c <, etoces f ( ) es tegrle e [, c ] y e [ c, ]. Recíprocmete, s f ( ) es tegrle e [, c ] y e [ c, ], etoces f ( ) es tegrle e [, ]. E mos csos se verfc que: ( ) = ( ) + ( ) c f d f d f d c 3-. Comprcó: S f ( ) y g ( ) so fucoes tegrles e [, ] y g ( ) f ( ) todo [, ] se verfc: ( ) ( ) g d f d pr 4.- Comutcó del vlor soluto: S f ( ) es u fucó tegrle e u tervlo [, ] tmé lo es f ( ) y se verfc que: ( ) ( ) f d f d 6.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cudo f es o egtv e tegrle e [, ], el áre de l regó lmtd por l = y = (áre de R ( f,, ) ) gráfc de l fucó, el eje OX y ls rects vertcles es l tegrl f ( ) d. Áre de R ( f,, ) ( ) = f d jlmt.es Itegrl defd. Pg. 9

10 Cudo f es egtv e tegrle e [, ], l tegrl ( ) recto, co sgo egtvo. E este cso el áre de R ( f,, ) vle: Áre de R ( f,, ) = ( ) = ( ) = ( ) f d f d f d f d epres el áre del 7.- TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Como s se trtr de u med rtmétc orml y correte, s tommos todos los, dode se tegrle (cosderdos como vlores de u fucó f e u tervlo [ ] rrs vertcles de ltur f ( ) sore cd puto del tervlo) y los summos, completmos l regó R ( f,, ), co lo que oteemos ( ) dvdmos por el úmero de vlores del tervlo ( ) med de f e [, ]. Defcó: f d. S est sum l (logtud del tervlo) llegmos l S u fucó f es tegrle e [, ], el vlor medo de f e [, ] se defe por: ( ) = ( ) Vm f f d Cudo f es o egtv, l fórmul teror se puede escrr ( ) ( ) ( ) Vm f = f d y epres que el rectágulo de se [, ] y ltur m ( ) jo l curv R ( f,, ). V f tee el msmo áre que l regó El prolem que se plte hor es s el vlor medo Vm ( f ) es lczdo por f e lgú puto de [, ]. Es tutvo que, s f es cotu, s se lcz. Teorem: (del vlor medo pr tegrles) S f es u fucó cotu e [, ], etoces este l meos u puto c (, ). tl que ( ) = ( ) f c f d jlmt.es Itegrl defd. Pg.

11 Demostrcó: Cosdermos l prtcó P = {, } de [, ] termedos); se tee que S f, P = m y S f, P = M ( ) ( ) ( ) ( ) sedo m y M el mímo y el mámo de f e [, ] respectvmete. Como S ( f, P) f ( ) d S ( f, P) ( ) ( ) ( ) (u solo tervlo, s putos, se puede escrr:, dvdedo por el úmero postvo m f d M teemos ( ), y plcdo l Propedd de Drou, este l meos u m f d M c, tl que puto ( ). ( ) = ( ) f c f d 8.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL. REGLA DE BARROW E este prtdo relcoremos ls prmtvs de u fucó f ( ) co l tegrl defd de f ( ) e u tervlo [, ], lo que os permtrá oteer u método de cálculo de l tegrl defd. Se f tegrle e cd sutervlo [, ] de [, ], es decr, tl que este l tegrl f ( t ) dt pr cd [, ]. Etoces está defd l fucó A( ) ( ) pr todo [, ] = f t dt ; efectvmete es u fucó rel porque sg cd úmero rel u úco úmero rel que es el vlor de l tegrl. Cudo ( ) A = f t dt os v ddo l medd del áre de l regó f, ( ) ( ) lmtd por l fucó, el eje OX etre ls scss y. Teorem: S f ( ) es tegrle e [, ], l fucó A( ) = f ( t) dt es cotu e [, ]. jlmt.es Itegrl defd. Pg.

12 Demostrcó: Se ( ), vemos que lm A( ) = A( ), ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) = ( ) A A f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt Como f está cotd e [, ], y que f es tegrle, este M > tl que M f ( t) M pr todo t [, ]. >, tegrmos ls desgulddes terores e el tervlo [ ] y oteemos S S ( ) ( ) ( ) M f t dt M M ( ) A( ) A( ) M ( ) <, tegrmos ls desgulddes e el tervlo [, ] M ( ) A( ) A( ) M ( ) E mos csos, l tomr límtes cudo result A( ) A( ) =, es decr lm A( ) = A( ) lm, y oteemos Cudo se u etremo del tervlo, los límtes se cosder lterles y l demostrcó es álog. Teorem: (Fudmetl del cálculo tegrl) = es dervle e S f ( ) es cotu e [, ] etoces l fucó A( ) f ( t) dt [, ] y A ( ) = f ( ) pr todo [, ], es decr, A( ) es u prmtv de f ( ) e [, ]. Demostrcó: Se y + h putos de (, ), etoces + h + h + h ( + ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) = ( ) A h A f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt ( + ) ( ) A h A h + f ( t) dt f ( ξ ) co (, h) Por lo tto: = = h h el teorem del vlor medo pr tegrles. Tomdo límtes cudo h e l guldd oteemos ( + ) ( ) A h A A ( ) = lm = lm f = f lm = f h h h h ( ξ ) ( ξ ) ( ) ξ +, esto es por Ls últms gulddes se produce porque el límte comut co ls fucoes ξ, + h, cudo h etoces ξ. cotus y f lo es; posterormete como ( ) E cosecuec A ( ) este y cocde co ( ) f. Cudo se u etremo del tervlo, los límtes se cosder lterles y l demostrcó es álog. jlmt.es Itegrl defd. Pg.

13 Teorem: (Regl de Brrow) Se f ( ) cotu e u tervlo I y se F ( ) u prmtv culquer de f ( ) e I. Etoces, pr cd pr de putos y de I se verfc: ( ) = ( ) ( ) f d F F Demostrcó: = f t dt y ( ) Como A( ) ( ) F so prmtvs de f ( ) dfere e u costte, es decr A( ) F ( ) = k. Tomdo =, qued: A( ) F ( ) = k, como A( ) = etoces F ( ) Tomdo =, qued: A( ) F ( ) k ; A( ) F ( ) F ( ) oteemos que A( ) = F ( ) F ( ), o lo que es lo msmo e I, ms fucoes = k = =, co lo que ( ) = ( ) ( ) f d F F De est fórmul, llmd regl de Brrow, se deduce l mportc decsv de coocer f pr poder clculr l tegrl defd. lgu prmtv de ( ) CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA Se y = f ( ) u fucó cotu e u tervlo [, ] y se g ( t) cotu y estrctmete moóto e [ t, t ] que verfc: g ( t ) =, g ( t ) = g ( t) es cotu e [ t, t ] f g ( t) está defd e [ t, t ] t Etoces ( ) = ( ) ( ) f d f g t g t dt t = otr fucó S l curv vee dd e ecucoes prmétrcs: ( ) ( ) = t y = y t Hcedo los cmos pertetes e l tegrl teemos que t y d = y ( t) ( t) dt, dode = ( t ), = ( t ) t jlmt.es Itegrl defd. Pg. 3