Problemas de Programación Entera

Transcripción

1 Problemas de Programación Entera 1. Se está estudiando la manufactura de tres nuevos productos textiles, que denominaremos P1, P2 y P3. Cada producto requiere para su producción el alquiler de una máquina, con un costo semanal de 200 E. para P1, 150 E. para P2 y 0 E. para P3. La manufactura de cada unidad requiere cierta cantidad de tela (en md 2 y mano de obra (en horas) que vienen dados en la siguiente tabla, así como el precio de venta y el coste del material, en Euros. Producto Horas Tela Pr. venta Costo P P P Formular el problema de maximizar los beneficios semanales, si se dispone de 150 horas de trabajo y dm 2 de tela. 2. Lavor SA fabrica diferentes modelos de lavadoras, y dispone de dos plantas de montaje (F1 y F2). Lavor está estudiando la fabricación de 4 nuevos modelos (P1, P2, P3 y P4) para aprovechar el exceso de capacidad de 2500 horas y horas respectivamentey, y ha recolectado los siguientes datos de interés (tiempos en horas y costes en cientos de Euros): P1 P2 P3 P4 tiempo/u en F tiempo/u en F coste/u en F coste/u en F coste lanzamiento precio venta a) Formular un modelo de optimización que se pueda utilizar para maximizar el beneficio de Lavor, y escribir el modelo en AMPL. b) Obtener la solución óptima e indicar si va a quedar exceso de capacidad en alguna de las plantas. 3. Motorsa, un fabricante de automóviles, tiene cinco plantas obsoletas, que indicaremos como P1 hasta P5. La administración está considerando la modernización de estas plantas para la producción de los bloques motor y transmisiones de un nuevo modelo. El costo de modernizar cada una de las plantas (en millones de Euros) y la capacidad de producción después de la modernización (en miles de unidades) son: Planta Costo Capacidad bloques motor Capacidad transmisiones P P P P P Se tiene prevista la producción de unidades del nuevo modelo. a) Formular un modelo para determinar qué plantas va a modernizar Motorsa, y en cuales se fabricará cada componente. 1

2 b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles para este problema. c) Añadir las siguientes restricciones impuestas por razones de política comercial: 1) Las plantas P2 y P3 no pueden ser modernizadas simultáneamente, 2) Si una planta va a producir alguno de los componentes (bloques motor o transmisiones), debe producir al menos unidades y 3) Como máximo se pueden modernizar 3 plantas. d) Escribir un modelo genérico para un problema del tipo anterior, con n productos y m plantas. 4. Una compañía considera la apertura de almacenes en cuatro ciudades: Nueva York, Los Angeles, Chicago y Atlanta. Cada almacén puede enviar 0 unidades a la semana. El coste semanal fijo para mantener abierto cada almacén es de 400 dólares en Nueva York, de 500 dólares en Los Ángeles, de 300 dólares en Chicago y de 150 dólares en Atlanta. La región 1 del país requiere semanalmente 80 unidades; la región 2, 70 unidades; y la región 3, 40 unidades. En la siguiente Tabla se muestran los costes (incluyendo los costes de producción y de envío ) para enviar 1 unidad desde cada almacén hasta cada región. Se desea satisfacer las demandas semanales a un coste mínimo, sujetas a la información anterior y a las restricciones siguientes: a) Si se abre el almacén en Nueva York, entonces hay que abrir el almacén en Los Ángeles. b) Se pueden abrir a lo más dos almacenes. c) Hay que abrir el almacén en Atlanta o en Los Ángeles. d) Formular un problema de PE que se utilice para minimizar los costes semanales de satisfacer la demanda. HACIA DE Región 1 Región 2 Región 3 Nueva York Los Ángeles Chicago Atlanta Speker s Clearinshouse debe desembolsar cheques a los ganadores de la lotería en cuatro regiones diferentes de país: Sureste (SE), Noreste (NE), Lejano Oeste (LO), y Medio Oeste (MO). El promedio anual de la cantidad de los cheques extendidos a ganadores en cada región del país se da a continuación: SE, Euros; NE, Euros; LO, Euros y MO, Euros. Speaker debería extender el cheque el mismo día que un cliente ha ganado el premio, pero puede retrasar el cobro rápido por parte de los ganadores, al extender al ganador un cheque girado en un banco remoto (esto hace más lenta la liquidación del cheque). Se están considerando cuatro lugares de bancos, situados en ciudades abreviadas como F, R, P y B. El costo anual para mantener una cuenta abierta en cada uno de los bancos es: F, Euros; R, Euros; P, Euros y B, Euros respectivamente. Cada banco tiene como restricción que el promedio de cheques girados no puede ser superior a 0.000$. En la siguiente tabla se da el promedio del número de días que tarda la liquidación de un cheque. F R P B SE NE LO MO

3 a) Dónde tendría que tener Speaker s sus cuentas bancarias y de qué banco tendría que recibir un cliente dado su cheque, suponiendo que Speaker s puede ganar un 15% al añ con el dinero invertido? Plantear el problema en los siguientes casos: Caso 1: cada región puede mandar cheques a varias ciudades. Caso 2: cada región tiene que mandar todos los cheques a la misma ciudad. b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su costo (pueden abrirse ciertos bancos y resolver el problema de transporte asociado) c) Añadir las siguientes restricciones lógicas: R1: al menos una de las cuentas en las ciudades F o P debe estar abierta. R2: si se abre cuenta en el banco de la ciudad B, no puede abrirse en R. R3: si la cuenta de la ciudad F tiene asignada Euros o más, entonces la cuenta de la ciudad F debe tener asignada al menos la misma cantidad.. En la Figura adjunta aparecen los 5 puntos de interés para un sistema de distribución de gas de cierta compañía. F1 80 S T F2 140 S2 F1 y F2 corresponden a las plantas de extracción, S1 y S2 a dos puntos de almacenamiento y T a un terminal de distribución. Se trata de llevar el gas desde las plantas de extracción hasta el terminal. El número sobre cada arco indica los kilómetros del tramo correspondiente que hay que construir, y el coste de construcción es de 0000 Euros por kilómetro. Las conducciones desde los puntos de almacenamiento al terminal están ya disponibles. Se ha estimado que se van a transportar 800 millones de metros cúbicos anuales desde la planta 1 hasta el terminal, y 00 millones desde la planta 2 al terminal. El coste de transporte es de 2000 Euros por millón de metros cúbicos para cualquier tramo de la red. Además hay una capacidad anual de 1 billón de metros cúbicos para cualquier tramo. La compañía busca minimizar los costes anuales de la distribución del gas (costes de construcción más costes de transporte). a. Formular un modelo de Programación Entera para este problema de distribución. b. Encontrar una solución factible razonablemente buena. 7. La compañía Nickles recibe pagos con tarjetas de crédito de cuatro regiones, indicadas por R1, R2, R3 y R4. El valor promediado anualmente de los pagos diarios enviados por correo por los clientes de cada región es el siguiente: R Euros, R Euros, R Euros y R Euros. Nickles debe decidir hacia donde deben 3

4 enviar los clientes los pagos. Como Nickles puede obtener un 12% de interés anual al invertir estos ingresos, le gustaría recibir los pagos lo antes posible. Las operaciones para procesar los pagos (conocidas frecuentemente como lockboxes) pueden hacerse en cuatro ciudades que denominaremos C1, C2, C3 y C4. El número promedio de días desde el envío del pago hasta que el dinero está disponible depende del lugar de orígen del pago y de la ciudad destino, y viene dado en la siguiente tabla: Hacia Desde C1 C2 C3 C4 R R R R El costo de mantener una lockbox en cualquier ciudad es de Euros, y hay un límite de Euros que puede gestionar cualquier lockbox. a) Formular un modelo de optimización que pueda usar Nikles para minimizar la suma de costos provocados por intereses perdidos y por la gestión de lockboxes, en los siguientes casos: Caso 1: cada región puede mandar cheques a varias ciudades. Caso 2: cada región tiene que mandar todos los cheques a la misma ciudad. b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su costo (pueden abrirse ciertas lockboxes y resolver el problema de transporte asociado). c) Encontrar una solución óptima con AMPL. 8. En la siguiente figura aparecen puntos de demanda de cierto producto, y el grafo con las conexiones entre ellos. Se trata de determinar en qué puntos van a ubicarse almacenes de distribución para servir a todos los puntos, y qué almacén va a quedar asignado a cada uno de ellos. En cada arco del grafo está la distancia en Km. entre los dos puntos correspondientes, y al lado de cada nodo en un cuadrado aparece en la parte superior la demanda del producto en ese nodo, y en la parte inferior el coste fijo si se abre un almacén de distribución en ese nodo. El coste de transporte es de 1 Euro por unidad de demanda y Kilómetro. 8 40E A B 0E E D 7 C 50E 70E E F 0E 4

5 a) Formular un modelo de Programación Lineal Entera para minimizar el coste total (costes fijos de apertura más costes variables de transporte) dependiendo de si cada punto puede ser servido por varios almacenes, o tiene que ser servido por un único almacén. b) Añadir la condición de que como mucho pueden abrirse 3 almacenes. c) Encontrar dos soluciones factibles para el problema y calcular su costo.. Cierta Universidad va a efectuar una compra de 1.0 ordenadores y dispone de ofertas de tres vendedores. El vendedor 1 cobra 00 Euros por cada ordenador, más un costo de transporte de Euros y puede proporcionar como mucho 500 ordenadores. El vendedor 2 cobra 850 Euros por cada ordenador más un costo de transporte de Euros, y puede proporcionar como mucho 500 ordenadores. El vendedor 3 cobra 50 Euros por cada ordenador más un costo de transporte de Euros, y no puede proporcionar más de 400 ordenadores. a) Formular un modelo de optimización para minimizar el costo de la adquisición de los ordenadores. b) Encontrar dos soluciones factibles y su correspondiente costo. El responsable de mantenimiento de una fábrica debe decidir qué generadores se van a conectar a lo largo del día para proveer los requerimientos de energía. Dispone para ello de cuatro generadores cuyas características se dan en la siguiente tabla: Generador Coste fijo por Coste por Kilowatio Capacidad máxi- conexión y período ma por período A 3200 u.m. 5 u.m. 20 kw B 2000 u.m. 7 u.m kw C 1500 u.m. 8 u.m. 30 kw D 3500 u.m. u.m kw Se considera el día dividido en tres períodos, en los que se requieren 5500, 300 y 500 kilowatios respectivamente. Se sabe que si un generador está conectado durante un período, puede ser utilizado en el período siguiente sin causar nuevo gasto de conexión. Además, todos los generadores son apagados al final del día para efectuar una labor de mantenimiento, y es conocido que los generadores B y C no pueden ser conectados simultáneamente. a) Formular un modelo de optimización que permita determinar qué generadores deben ser conectados en cada período y qué potencia deben suministrar de forma que se minimize el costo diario. b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su correspondiente costo 11. Fagosa se dedica a la fabricación de componentes para automóviles y dispone de tres líneas de montaje con exceso de capacidad para los meses próximos. Recientemente ha firmado un contrato para la fabricación de 5 productos, y después de un estudio inicial se han recopilado los siguientes datos de fabricación: Producto Coste/u fabricación Tiempo/u fabricación Demanda L1 L2 L3 L1 L2 L3 P P P P P

6 En esta tabla, los tiempos de montaje de cada producto en cada línea están dados en minutos, y el símbolo indica que no es posible el montaje en esa línea, y los costes están en cíertas unidades monetarias. Además, cada vez que se arranca una línea se incurre en unos elevados costes fijos de preparación, que están dados en la siguiente tabla, junto a las capacidades de cada línea (en horas). Línea Coste Fijo Capacidad (horas) L L L a) Describir en unas líneas qué tipo de modelo es el más adecuado para resolver el problema de Fagosa, y qué representa cada tipo de variable. b) Escribir el modelo y los datos en AMPL, y resolver el problema. c) Efectuar un pequeño análisis de la solución.