INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS II: CONSTITUCIÓN, PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS

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1 INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS II: CONSTITUCIÓN, PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS Autor: Profesor de la Uiversidad de Graada (Dpto. Ecoomía Fiaciera y Cotabilidad) Profesor Tutor del Cetro Asociado de Málaga y Roda http: - -

2 Nuevamete ate la fializació de este maual, me ecuetro casado por el esfuerzo de estos últimos mometos, pero ilusioado porque creo que ayudaré a muchos alumos a teer u itrumeto de estudio y apredizaje de la mateira. Llegó a ustedes ate la covicció de que estimo haber realizado u trabajo que aportará coteidos educativos que permitirá coocer mejor el mudo de la matemáticas fiacieras, que de habitual, tata dificultad crea al que se adetra por primera vez al mismo, quizá porque hay que coocer su leguaje e istrumetació, para poder etederlo. La razó que justifica la realizació de estos mauales o trabajos, ambos frutos de la docecia que estoy desarrollado e la Uiversidad de Graada, e particular e el Departameto de Ecoomía Fiaciera y Cotabilidad así como e la UNED de los cetros asociados de Málaga y Roda (Departameto de Ecoomía y Admiistració de Empresas), queda justificada por el iterés como docete de dotar al alumo co el que trabajo de u elemeto a través del cual se pueda desarrollar el curos académico, y por tato el apredizaje de la presete materia, desde ua perspectiva de plateamietos teóricos que se va reforzado co desarrollos prácticos. Tato los coteidos teóricos, así como los ejercicios prácticos, e lo que toca pricipalmete a la resolució y plateamieto de los mismos, ha sido trabajado y plateado por el docete que preseta este maual, idicado e particular que la parte práctica, e alguos casos, ha sido euciados que se utiliza y se ha desarrollado por el equipo de trabajo del área de matemáticas fiacieras al que perteezco e los idicados departametos. Especial meció e tal setido, quizá por su calidad pedagógica y por el especial coocimieto de las persoas que ha trabajado e la realizació de alguos de ellos se determia e lo que respecta al departameto de la Uiversidad de Graada. No he querido perder mis raices docetes de la UNED, por lo que he idicado alguas referecias e dode docetes de la sede cetral de Madrid muestra u trabajo iteresates tambié y eriquecedor a estos mauales, dode se poe a disposició del alumo diversidad de problemas co sus respectivas solucioes, así como iteresates cuestioarios, tambié resueltos. Fializadas estas precisioes, etiedo que ecesarias, para poder compreder el setido y trabajo desarrollado, me es ecesario recordar alguos detalles importates si los cuales este material o habría llegado a tomar forma. E primer lugar ombrar a mi familia, e dode mis padres Mauel y Atoia, así como mis hermaos Victor y Atoio, mi cuñada María José y mis sobrias Maria José y Patricia Gómez López, ha sido y so permaetemete los que me apoya e todo mometo, respectado y asumiedo la gra catidad de ausecias y aislamieto que produce el teer ua actividad solitaria y costate cuyo fruto está más a favor de ua causa de amor hacia la docecia, por la privació de tiempo libre y disfrute e geeral que se platea e cualquiera de estas misioes, e la mayoría de los casos poco aprecida por la sociedad e geeral. Hay amigos y compañeros que ha sido apoyos morales, si los que el talate de hombre altruista y geeroso co los demás o habría sido posible, e tal setido tego que ombrar a mis amigos y compañeros de los Guidos, e particular a la Escuela de Balocesto de Málaga, e dode siempre se me ha etedido, apreciado y querido, co ua especial meció, a mi amigo Nicolás García Chichilla, y a Erique Moyao Carballo, quie co mucha paciecia y colaboració ha creado la web dode se ecuetra las diversas ivestigacioes y publicacioes, solvetado los umeroso y cotiuados problemas iformáticos E la parte docete, o puedo olvidar, putualmete a mis jefes del departameto de Ecoomía Fiaciera y Cotabilidad que me ha dado apoyo y compresió e mi relació docete co la Uiversidad de Graada, especial meció he de realizar al profesor y Director del Departameto Do Atoio María López Herádez, quié desde el iicio ha apostado por mí, al permitirme asumir docecia e este departameto. E defiitiva, agradecer a todo el que me apoya y cofía e mi. Gracias de corazó. Roberto. http:

3 Operacioes de capital Operacioes de préstamo Préstamos Operacioes de Costitució y Préstamos Operacioes de empréstito Empréstitos cuarta Programa aalítico Operacioes de capital 8.. Coceptos geerales 8.2. Costitució de u capital co imposició costate 8.3. Costitució de u capital co imposició geométrico 8.4. Costitució de u capital co imposició aritmética 8.5. Costitució de u capital co cuotas de costitució costates 8.6. Características costates: tatos efectivos Operacioes de préstamo 9.. Coceptos geerales 9.2. Amortizació co reembolso úico 9.3. Pago periódico de iterese o sistema americao 9.4. Amortizació mediate ua reta costate o sistema fracés 9.5. Amortizació mediate ua reta geométrica 9.6. Amortizació mediate ua reta aritmética 9.7. Amortizació co cuotas de amortizació costates 9.8. Operacioes se préstamo co itereses fraccioados 9.9. Fodo de amortizació 9.0. Sistema alemá 9.. Características comerciales, tato efectivos y TAE 9.2. Valor, usufructo y uda propiedad de u préstamo http:

4 Operacioes de empréstito 0.. Coceptos geerales 0.2. Clasificació de los empréstitos 0.3. Estudios fiacieros de los empréstitos ormales o puros 0.4. Estudio fiaciero de los empréstitos co características comerciales 0.5. Tato efectivos de los agetes que iterviee e u empréstito 0.6. Valor del empréstito y valor de ua obligació 0.7. Operacioes de mercado co boos y obligacioes http:

5 TEMA 8: OPERACIONES DE CONSTITUCIÓN 8.. Coceptos geerales Las operacioes de costitució so operacioes fiacieras compuestas e las que la prestació múltiple (os referimos a los capitales etregados por el ahorrador) y la cocetració es úica (os referimos al capital costituido e t y que le será devuelto al ahorrador). Está operació está formada por los distitos igresos co sus itereses geerados durate el tiempo que dure la operació. E la mecioada operació fiaciera u elemeto fudametal so los térmios impositivos o costitutivos o tambié llamados imposicioes, los cuales queda defiidos como los capitales fiacieros que forma la prestació. Gráficamete podemos represetar tal operació de la siguiete maera: Cotraprestació C Prestació a 0 a a 2 a - Las cuestioes que se platea e estas operacioes ormalmete so de dos tipos: a) Coocidas las imposicioes a realizar, calcular el capital a costituir. b) Coocido el capital que se desea costituir, calcular las imposicioes. Observacioes: El capital costituido e el mometo p : e tal situació el capital a obteer será C p, el cual se defiirá como la suma fiaciera de los igresos realizados hasta la fecha. http:

6 Método retrosprectivo Gráficamete podríamos idicar que la situació sería: C p 0 p- p a 0 a a p- a p Método recurrete Aalíticamete podríamos destacar lo siguiete: C p = (C p- + a p- ) (+i ) = C p = C p i + a p a p i R - ( i) a p C p + + C p = C p- (+i ) + a p R + Cuota de costitució: expresa el icremeto de la cuatía del capital costituido e el periodo (p -, p). Si R - A C p = (C p- + a p- ) (+i)- C p- = C p- + a p- + C p- i + a p- i C p- = C p = C p C p- = =( C p- + a p- ) i +a p- Si R + A C p = C p- (+i) + a p C p- = = C p- + C p- i + a p C p- = = C p- i + a p RECORDAR a p ( + i) = a + a i = a p p p http:

7 Capital pediete de costitució: es la cuatía que queda por satisfacer desde el istate e el que os posicioamos e C p hasta el valor fial de la cotraprestació C. Aalíticamete se presetaría de la siguiete forma: Cp C 0 Mp M p = C C p Cuadro de costitució: la expresió aalítica que recoge los distitos valores a lo largo del periodo objeto de estudio de las magitudes más represetativas o defiidoras de la operació fiaciera objeto de estudio E cuato a su represetació: K Imposicioes Itereses Cuota de Costitució Capital cost. Mp a 0 a 0 i 2 a i (C o + a )... a a i (C o + a - ) 8.2. Costitució de u capital co imposicioes costates a k = costate = a - C a a a a C = a a i (+i) (+i) = a S i (+i) a = C S i (+i) http:

8 8.3. Costitució de u capital co imposicioes geométricas C a 0 a a 2 a - q C = A (+i) ( +i) Prepagable desde el mometo 0 al (fial) RECORDAR Reta Prepagable Geométrica " q ( + i) A = C + i q 8.4. Costitució de u capital co imposicioes aritméticas C a 0 a a 2 a - d C = A (+i) (+i) RECORDAR Térmio Prepagable Valor de la reta (e ) Reta Prepagable Aritmética A ó A d d = C ai + ai i i = C + d i ( + i) d d ai i http:

9 8.5. Costitució de u capital co cuotas de costitució costates C a 0 a a 2 a - a C + Itereses = A (Cuotas de costitució) A a = (+i) I = A a a 2 = a - A i I 2 = A- a 2 +i http:

10 TEMA 9: OPERACIONES DE PRÉSTAMO 9.. Coceptos geerales E ua operació de préstamo ua persoa (prestamista) etrega a otra (prestatario) ua cierta suma de diero C o, que ésta se compromete a reembolsar e determiadas codicioes, pagado además, durate el tiempo de vigecia de la operació el iterés coveido que puede ser fijo o variable. Existe diferetes maeras por las cuales u prestatario puede devolver u préstamo co sus itereses, procesos que se deomia Sistema o métodos de amortizació del préstamo, etre los que cabe destacar:. Sistema de amortizació de u solo pago: el capital recibido se devuelve de ua sola vez. Atediedo al pago de los itereses se puede distiguir dos casos: a) Préstamo simple o elemetal: el pago del capital prestado más los itereses, se realiza al fial del período de amortizació. b) Amortizació americao o pago úico: pago periódico de itereses y reembolso del capital e el mometo de la cacelació del préstamo. 2. Sistema de amortizació mediate retas: so préstamos amortizables, mediate ua distribució de pagos que forma ua reta y que icluye parte de la devolució del capital prestado (itereses de la deuda pediete). Podemos distiguir: a) Prestamos amortizables, mediate retas costates: los térmios amortizables so costates ( C, C 2,...C = C). Destacar: a.) Método fracés o progresivo. a.2) Método Alemá. b) Préstamos amortizables mediate retas variables,(e progresió aritmética o geométrica). 3. Método de cuotas de amortizació costate. 4. Amortizació co fraccioamieto de itereses. http:

11 9.2. Amortizació co reembolso úico Este tipo de préstamo se caracteriza por que la amortizació del mismo se produce a su vecimieto mediate la etrega de ua sola cuatía que comprederá al pricipal del préstamo y sus itereses correspodietes. Supogamos u capital prestado C al tato efectivo i, siedo el plazo de reembolso t, el prestatario deberá rembolsar a la coclusió del año t, el motate alcazado por el capital Co al tato i durate t años, el reembolso será Ct=Co(+i) t Se defie como ua operació de amortizació e la que la prestació y la cotraprestació está formados por ua sola cuatía. C o Pago periódico de itereses o sistema americao. C = C o (+i) Se caracteriza porque el prestatario debe pagar periódicamete los itereses del capital prestado y amortizarlo de ua sola vez al fial de la operació. Esta modalidad de préstamo, el pricipal del préstamo Co, se reembolsa mediate u solo pago al fializar el cotrato del año t y aualmete se va pagado los itereses Co i. El préstamo debe pagar periódicamete los itereses del capital prestado y amortizarlo de ua sola vez al fial de la operació. C o C o i C o i C o i C o i C o i C o i C o i C o i+c o =C o (+i) http: - -

12 9.4. Amortizació mediate ua reta costate o sistema fracés Se caracteriza porque los térmios amortizativos permaece costates, y el tato de valoració tambié, ambos, durate toda la vida del préstamo. De esta forma al pricipio la mayor parte de la cuota so itereses, siedo la catidad destiada a amortizació muy pequeña. Esta proporció va cambiado a medida que el tiempo va trascurriedo. Cosiste e amortizar u capital prestado Co mediate térmios amortizativos costates (C) y siedo el tato de iterés tambié costate. Gráficamete lo podemos represetar de la siguiete forma: C o C C C C C Equivalecia fiaciera. Co = C a i C = C o a i El saldo del préstamo o deuda pediete o capital vivo al pricipio del periodo K + es: C a i (+i) k Deuda pediete C o C o (+i) k S K X K+ - C C C C C C http:

13 http: Rva matemático calculado por el método retrospectivo C o a i S k = C o (+i) k c a k i (+i) k C o k k+ k k K + K C C C C C C C C La cuota de iterés del año K es: I k = S k- i = C a -k+ i i La cuota de amortizació del año K es: α k = C - I k = - C a -k+ i i = C - I k = S k- i [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + + = + = + = k k k k k k i i i i i i i C i i i i C i i i C i i a C i i i i a C i i a i a C Aclaració k i 2 Rva matemática calculado por el método prospectivo S k = C a -k i Aclaració 2

14 C ( + i) C k 0 k ( + i) = ( + i) 0 Si i Aclaració ( + i) ( + i) i ( + i) = ( + i) ( + i) ( + i) i ( + i) = ( + i) i ( + i) Aclaració 2 ( + i) ( + i) = ( + i) = ( + i) 0 = Aclaració 3 ( + i) i ( + i) = i ( + i) ( + i) 9.5. Amortizació mediate ua reta geométrica Se caracteriza porque los térmios amortizativos varía e progresió geométrica, y el tato de valoració y la razó de la progresió permaece costates, durate toda la operació. De esta razó va a depeder la variació que se irá produciedo e las cuotas. Así, a mayor razó meor es la cuota iicial y mayor será la fial. Además se poe de maifiesto que cuato mayor es la razó de la progresió mayor es el importe de los itereses pagados a lo largo de toda la operació. C o C C C C - C = C q - C o = A http:

15 Si q +i C o = C Si q = +i C o = C q +i C = q = + i C = - q (+i) - +i-q +i C o (+i-q) -q (+i) - C o (+i) De estas expresioes se despeja la primera aualidad A partir de ella, C 2 = C q C = C q - Si el primer térmio o puedo hacer la progresió geométrica Primera cuota de amortizació: α = C I = C C o i Si comparamos las aualidades, de dos años cosecutivos. C k = α k + I k S k- i C k+ = α k +I k+ S k i C k C k+ = α k α k+ + i (S k- S K ) C k - C k+ = α k α k+ + i α k C k - C k- = α k (+i) - α k+ α K+ = α k (+i) - C k + C k+ α K+ = α k (+i) C k + C k + C k q Al ser progresió geométrica => C k+ =C k q α k+ = α k (+i) + C k (q-) http:

16 Saldo al pricipio del periodo K +: 0 k K+ - C k+ C - C Reta geométrica postpagable C K C K+ C - C S k (periodo -k) K K+ - Segú sea q S - q -k (+i) -(-k) k = C k + para q +i +i-q S k =C k + (-k) para q = +i +i Método prospectivo 9.6. Amortizació mediate ua reta aritmética Cosiste e la amortizació de u préstamo Co mediate aualidades que varía e progresió aritmética de razó d. Se caracteriza porque los térmios amortizativos varía e progresió aritmética, y el tato de valoració y la razó de la progresió permaece costates, durate toda la operació. Es importate el estudio de la razó aplicada. De esta razó va a depeder la variació que se irá produciedo e las cuotas. Así, a mayor razó meor es la cuota iicial y mayor será la fial. http:

17 Prestació C o INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICAS Además el importe de la razó es proporcioal al total de los itereses pagados. Así, teemos que a mayor razó, mayor es el importe de los itereses pagados y a la iversa. Esto se debe a que ua mayor razó hace que al pricipio amorticemos u meor capital, o que icluso el importe de la cuota o llegue a cubrir el importe de los itereses, co lo que éstos se acumulará al capital y volverá a geerar itereses. 0 - Cotraprestacioes: C C 2 C 3 C - C C 2 = C + d C = C - + d = C + (-) d Equivalecia fiaciera: C o = C a i + d a i i d i Préstamo Cotraprestació Primera cuota de amortizació: Para el periodo : α = C I = C C o i C C k + k α k + + I k + = d α + I k k + d = d E geeral: C k + = C k +d Α k+ + I K+ = α K + I k +d C k+ C k Sabemos * Recordatorio I = Co i I k+ = S k i I k = S k- i S k Capital e el mometo k pediete de amortizar. S k+ e el mometo k + pediete de amortizar http:

18 α k+ α k + I k+ - I k+ - I K = d α k+ α k + S k i S k- i = d α k+ α k + i [S k S k- ] = d α k+ α k + i (-α k ) = d α k+ α k (+i) = d La diferecia es ua cuota de amortizació. El capital pediete de amortizar al fial del año K: C o K K+ - 0 k K+ - C k+ C - C f C a i + d (-d) a i - (+i) - i i S k = C K+ a -k i + d a -k i - (- k)-d (+i) -(-k) i i Método prospectivo 9.7. Amortizació co cuotas de amortizació costates Es ua operació de préstamo e la que el prestatario destia catidades iguales e todos los periodos para amortizar el capital prestado C o, es decir, α = α 2 =...= α = α ; Luego: α = C o http:

19 E este préstamo los itereses se hará efectivos fraccioadamete detro del período de amortizació, mietras que las cuotas de amortizació costates o se fraccioa y se aboa al fial del período. Capital pediete de amortizar al fial del periodo K (después de hacer efectivo el térmio amortizativo Ck) S k = C o α k = α α k = α (-k) --- Vamos a comprobar que las aualidades decrece e progresió aritmética : C k+ = α +I k+ C k = α + I k S k = Capital pediete de amortizar C k+ C k = I k+ I k C k+ C k = S k i S k- i C k+ C k = (S k S k- ) i S k- S k C k+ C k = -α i C k+ = -α i + C k C k+ = C k - α i S k+ = C k -α k S k -S k- =-α k Las aualidades sigue ua progresió aritmética decreciete de razó d = -α i --- Vamos a comprobar que las cuotas de iterés, tambié varía co la misma ley de recurrecia. I K+ = S k i = (S k- α ) i = S k- i α i = I k -α i I k+ = I k -α i http:

20 9.8. Operacioes de préstamo co itereses fraccioados No es método de amortizació distito, sio ua variació que puede ocurrir co cualquier sistema de amortizació. Se produce al amortizar los préstamos, cuado e vez de pagar la cuota de iterés al fial de cada periodo (por ej.: aualmete) se va pagado fraccioadamete a lo largo del mismo (por ej.: trimestralmete) co u iterés i k de frecuecia equivalete al tato efectivo aual i. i k = (+i) /k /k 2/k 3/k k/k P P+ Demostració: S p S p i k S p i k S p i k S p i k S p i k a k ik (+i k ) K = S p i k -(+i k ) -k (+i k ) k = S p [ (+i k ) k ] = i k = S p [(+i)-]= i Igualdad = S p i Esta expresió demuestra que, efectivamete, es equivalete realizar los pagos de itereses por K-ésimo de año que realizar u pago úico al fial del año. http:

21 Este fraccioamieto, por tato, o afectará a: - Las cuotas de amortizació que se paga al fial de cada periodo αp+. - Al capital pediete de amortizar Sp Si será idicativo el matizar que sí afectará a los térmios amortizativos cuya expresió aalítica quedará de la siguiete maera: C K = α k + S k- i k α k = C k S k- i k Gráficamete : - Si o hay fraccioamieto de itereses: P P+ C p+ = S p i + α P+ - Si hay fraccioamieto de itereses: /k 2/k P S p i k S p i k P+ C p+ = S p i k + α p+ http:

22 9.9. Fodo de amortizació La aualidad a satisfacer por el prestatario es la suma de: a) Los itereses del capital al tato de iterés omial para préstamos e el plazo cosiderado, Co i. b) Ua cuota costate, a ecesaria para poder recostruir e años el capital Co, mediate su colocació al tato i que rija para iversioes complemetarias. a) Co C o i C o i C o i C o i C o i C o i b) a a a a a a C o C o = a a i (+i) = a A i a = C o i C o La aualidad será: C = C o i + i = C o i + a C o 2 0 C C - C C C o C o = c a ie a ie = i efectivo? C http:

23 9.0. Sistema alemá Este método cosiste e amortizació u capital (Co, to) co uos térmios amortizativos costates y tipo de iterés costate co la particularidad de que la cuota de iterés de cada periodo se pago al pricipio del periodo correspodiete. Este colleva varias características destacables: a) La cuota de iterés que el prestatario paga cada periodo se calcula sobre el capital pediete de amortizar del periodo y o del periodo aterior (sistema fracés). b) E el mometo de coceder el préstamo, el prestamista retiee del capital prestado C o los itereses correspodietes al primer periodo (Co i*). c) El térmio amortizativo del último periodo está formado sólo por la última cuota de amortizació α. Prestació C o 2 - C o i C = α + S i* C = α 2 + S 2 i* C = α - + S - i* C = α C o - α C o - α α 2 C o C o i * = c a i, siedo i = = d, i* = = c i* -i -d i +i i * i = = d + i ( + i) = ( d ) Recordatorio Cuota de amortizació: varias a comprobar que surge ua progresió geométrica de razó (-i*) C = α k + S k i* C = α k+ + S k+ i* C = α k α k+ + S k + i* - S k+ i* http:

24 C = α k α k+ + S k + i* - (S k -α k+ ) i* C = α k α k+ + S k + i* - S k i* + α k+ i* α k+ (-i*) = α k α = C α - = α (-i*) α - = α - (-i*) = α (-i*) 2 α = α 2 (-i*) = α (-i*) - Como sabemos C o = ξi= α i = α [ (-i*) (-i*) 2 + (-i*) + ] Suma de ua progresió geométrica de razó (-i*) - a = (-i*) - E tal setido precisamos que S a = (-i*) - = Suma de los térmios de u progresió geométrica de razó = (-i) A [(-i*) - (-i*) - ] (-i*) (-i*) S - a r = - r = [- (-i*) - ] (-i*) = (-i*) = = (-i*) = i* -(-i*) i* -(-i*) -(-i*) C o = α i* α = i* = c Α = c Codició modelo alemá 3ª http:

25 9.2. Valor, usufructo y uda propiedad de u préstamo C C p- C p C p+ C p+2 C 0 P P+ P+2 C o Valor: de todas las aualidades pedietes, actualizar al pricipio del periodo (p+) ó fial del periodo (p) al tipo de iterés vigete e le mercado. Valor P = ξ K=P+ C k (+i M ) -(k-p) I k + α k Usufructo: valor de todas las cuotas de iterés pedietes valorados al tipo de mercado. p = ξk=p+ I k (+i M ) -(k-p) Nuda propiedad: represeta el valor actualizado de las cuotas de amortizació pedietes, valoradas al tipo de iterés de mercado. p = ξ k=p+ α k (+i M ) -(k-p) V p = U p + N p http:

26 EJERCICIOS DE OPERACIONES DE CONSTITUCIÓN Y PRÉSTAMOS ) Se cotrata u préstamo de Eu, al 6% durate 8 años co la codició de poder pagarlo co pago total aticipado. Supuesto que se cacele 3 años ates del vecimieto cuado el iterés e el mercado de del 5%. Hallad el importe de la cacelació. C o = i = 6% i = 5% t = 8 Co(+i) T (.06) 8 A= ; = (+i) T-W (.05) 3 2) Se obtiee u préstamo de a 0 años y al 6%. Calcula el pago úico que hay que hacer a la cacelació. C o = i= 6% t = 0 C t = C o ( + i) t C t = ( 06) 0 C t = ) Al cabo de 4 años se amortizó u préstamo co el pago de si el tato aual es del 5%. Hallar el pricipal del préstamo. C t = t = 4 i = 5% C t = C o ( + i) t = C o ( 05) 4 C o = http:

27 4) Hace 4 años que ua istitució fiaciera os cocedió u préstamo de Eu, al 8 % para se amortizado al cabo de 9 años, co reembolso úico de capital e iterese. Si hoy el tato de iterés del mercado es de 8 %. Calcular: A) La catidad que habrá que etregar para cacelar totalme4e el préstamo e el día de hoy. B) La catidad que había que pagar al fializar el préstamo, si e el día de hoy hubiese etregado C) La cuatía pediete de amortizar e el mometo de etregar Eu. C o = i = 8% t = 9 t-w = 5 i = 8% C t = C o ( + i) w A) C t = (.08) 4 = B) R ( + i ) t-w + S = C o ( + i) t (.08) 5 + S = (.08) 9 ; S = S = euros C) (.08) 5 = euros 5) Calcula el tato de iterés aual al que se prestó u capital de hace 3 años para amortizar mediate reembolso úico de capital e iterés sabiedo que e el día de hoy el importe de su cacelació total asciede a el tato de mercado actual coicide co el tato de iterés al que se cocerta el préstamo. I= C o = A = W = 3 A ( + i ) t-w = C o ( + i) t ( + i) t-3 = ( + i) t ( ) t i ( ) t = + i ( + i) t-3 = ( + i) t http:

28 t ( + i) ( + i) 3 33 = t 33 = ( + i) 3 33 = ( + i) 3 i = 0 i = 0 % 6) Calcular la cuatía que meor de etregar como devolució de u préstamo de al 8% de 6 años de duració que se cocertó co ua amortizació úica si quisiéramos cacelarla aticipadamete a los 4 años siedo el iterés e este mometo del 7%. C o = A = 7% i = 8% t = 6 w= 4 A ( + i ) t-w = C o ( + i) t A ( ) 6-4 = ( ) 6 A = ) 8. Qué cuatía tedríamos que etregar para cacelar el préstamo aterior al fializar el mismo, si e el cuarto año hubiérmos etregado A = C o = i = 8% i = 7% S = t = 6 w = 4 R = R ( + i) t-w + S = C o ( + i) t 8000 ( 07) S = ( 08) 6 S = http:

29 8) Hallar el iterés que produce u préstamo de cacelado mediate pagos úicos al cabo de 5 años si el tato aual es del 3%. C o = i = 3% I = t = 5 C t = C o ( + i) t C t = ( ) 5 C t = I = C t - C o I = I = ) Se cotrata u préstamo de durate 0 años co la codició de poder cacelarlo co pago total aticipado. Si el tato de iterés es del 5% y la cacelació se realiza 4 años ates del vecimieto. Calcula el pago efectuado. C o = t = 0 i = 5% t w = 0 6 A ( + i ) t-w = C o ( + i) t A ( ) 0-6 = ( ) 0 A = ) U préstamo de cotratado a 6 años al 8% se cacela 3 años ates del vecimieto, cuado el iterés del mercado es del 5%. Hallar el importe de la cacelació. C o = t = 6 w = 6-3 i = 8% i =5% A =? A ( + i ) t-w = C o ( + i) t A ( ) 3 = ( ) 6 A = http:

30 ) U préstamo de cotratado al 6% durate 8 años recacela de la siguiete forma. U primer pago de años ates del vecimieto y u segudo pago al vecimieto fial. Hallar el importe del segudo pago. C o = i = 6% t = 8 Pagos = º , 5 años y 2º 8 años R ( + i ) t-w + S = C o ( + i) t ( ) 8 + S = ( 06) 8 S = R: el reembolso parcial de u termio valorado al fializar el plazo. S: la cuatía e el mometo del vecimieto del préstamo. 2) Supuesto el problema aterior pero coociedo que el efectivo del primer pago el tato estaba al 4%. Hallar el importe del 2º pago. R ( + i ) t-w + S = C o ( + i) t ( ) 8 + S = ( ) 8 S = ) Se cotrata u préstamo de al 8% para amortizarse co reembolso úico de capital e itereses al cabo de 0 años. Hallar: a) El importe que pagará el pretatario al cacelar el préstamo a los 0 años. b) La cuatía que exigirá el prestamista para cacelar el préstamo fializado el 6º año, si el tipo de cuota fuese del 7%. c) Cuatía elegida por el pretamista al fializar el cotrato si al fializar el 6º año el prestatario hubiese etregado d) Pediete amortizar e el mometo de etregar los a) C o = i = 8% t = 0 C t = C o ( + i) t C t = ( ) 0 C t = b) A ( + i ) t-w = C o ( + i) t A ( ) 0-6 = A = http:

31 c) S =? ( ) S = C o ( + i) t S = d) B = S ( + i) -t-w B = ( 08) -w B = ) U préstamo de cocertado por 0 años al 6% co pago periódico de itereses y reembolso úico se desea cacelar ua vez pagado el iterés del 4º año, sabiedo que el iterés e el mercado e dicho año es del 4%, cuáto comportaba la amortizació?. C o = t = 0 i = 6% A = i = 4% t-w = 0 4 = 6 w = 4 a = C o + C o ( + i ) A t-w i u A = ( ) i 6 ( ) A = A= t w 5) Si e el ejercicio aterior e la coclusió del 4º año se hubieses etregado que cuatía queda por amortizar?. C o = t = 0 w = 4 i = 6% i = 4% R = B = B = C o R ( + i ) t-w + i S t-w i http:

32 ( ) ( ) 0000 B = B = B = ) Se amortiza u préstamo de para amrtizar e 6 años co pago periódico de itereses al 5%. Calcular la aualidad sabiedo que se va a establecer ua cuota de amortizació para recuperar el capital siedo el iterés del fodo del 3%. Establecer así mismo el cuadro de amortizació correspodiete al fodo. C o = T = 6 I = 5% I = 3% 6 ( 03) k = = 0 03 k = Amort = ) K S i = C o K = C o = S i = ) Iterés del fodo: x 0 03 = ) = ) = S i = ( ) = = AÑO FONDO AL PRIN INTERESES DEL FOND CTA. AMORT AUMENTO DEL FOND FONDO AL FINA http:

33 7) Ua persoa cotrata u préstamo de acordado el pago aual de iterés al 9% y amortizació mediate reembolso úico al cabo de 0 años. Para hacer frete a pago aual de itereses retira cada año el 80% de los igresos que obtiee de ua fica. Al cabo de 4 años vede la fica y cacela totalmete el préstamo siedo e este mometo el tato del mercado del 8%. Calcular: a) Los igresos auales que percibe de la fica. b) El precio al que vedió la fica si después de saldar el préstamo le robaro 609. a) C o = i = 9 % t = 0 I = C o i I = I = % igresos de fica si 00 X Igresos auales de la fica: X = b) 4 años w i = 8% sobró = 609 A = C o + C o (i i ) a t-w i A = ( ) A = A = Vedió la fica = A + sobró Vedió la fica = Vedió la fica = ( 08) ) U préstamo de hizo de amortizarse a los 6 años por el sistema americao siedo el tato de iterés del 6%. Cofeccioar el cuadro de http: