Notas sobre control óptimo. Aplicaciones a la Teoría del Crecimiento Económico

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1 Notas sobre control óptimo Aplicaciones a la Teoría del Crecimiento Económico Calcagno, Juan Carlos Licari, Juan Manuel Pellegrini, Santiago Instituto de Economía y Finanzas Facultad de Ciencias Económicas Universidad Nacional de Córdoba Resumen: El presente ensayo procura integrar los principios matemáticos de la optimización dinámica con comandos computacionales, para resolver modelos de crecimiento con fundamentos microeconómicos Con este fin, se resuelve el modelo de Ramsey utilizando la técnica de control óptimo y se presenta un análisis cualitativo de la solución Por último, los avances en materia computacional permiten obtener soluciones numéricas explícitas, enriqueciendo el estudio de los mismos La presente nota forma parte de una serie de trabajos de investigación a publicar como resultado del Programa Métodos Cuantitativos Optimización Dinámica Correo electrónico de los autores: calca@ecounceduar; licarijm@ecounceduar; sanpelle@ecounceduar

2 La limitación fundamental que presenta la optimización estática es la imposibilidad de obtener decisiones que aseguren intertemporalmente el óptimo en una función objetivo La optimización dinámica, en cambio, resuelve este problema al obtener sendas temporales de cada variable en un período previamente definido El herramental matemático utilizado en la optimización dinámica permitió que la nueva teoría del crecimiento económico se focalice en el comportamiento optimizador de los agentes, suponiendo una maximización intertemporal de la utilidad y de los beneficios Sin embargo, su compleja resolución limita el análisis al aspecto cualitativo Los avances en materia computacional y su incorporación al espectro económico, permitieron obtener soluciones numéricas explícitas para determinados modelos de crecimiento, enriqueciendo el estudio de los mismos El objetivo principal del presente ensayo es integrar principios matemáticos y económicos con comandos computacionales para resolver modelos de crecimiento con fundamentos microeconómicos El trabajo sigue la siguiente estructura: en la sección 1 se realiza una revisión teórica sobre la técnica del control óptimo, generalmente utilizada para los problemas de optimización intertemporal A continuación, la sección está enfocada al planteo y análisis cualitativo de la resolución del modelo de crecimiento de Ramsey El instrumental computacional permite obtener soluciones numéricas utilizando distintas metodologías en la sección 3 Las conclusiones finales intentan verter luz sobre los aportes del análisis cuantitativo de la solución en contraste con el estudio meramente cualitativo 1 - La teoría del control óptimo La formulación del control óptimo en la optimización dinámica se basa en la utilización de variables de control que permiten maximizar una función objetivo sujeta a restricciones Son utilizadas como instrumento en la optimización y se buscará encontrar sus sendas óptimas Una vez halladas se obtendrá la trayectoria óptima de las variables de estado a partir de la relación que las une, la ecuación de movimiento Para poder determinar cuál de las variables intervinientes en un problema será de control, deben considerarse sólo aquéllas que afectarán a las de estado en su curso a través del tiempo Un ejemplo claro sería cuando se toma como variable de control a la tasa de cambio respecto del tiempo de una variable de estado Según lo explicitado brevemente líneas arriba, se establece un problema simple de control óptimo:

3 T V = u 0 dt (1) Maximizar F( t, y, u) Sujeto a a) y = f ( t, y, u ) b) y ( 0) = A y( T) libre ( A,T, dados ) c) u( t ) µ t [ 0,T] donde V es la función a optimizar 1 que depende del tiempo t ; de una variable de estado y ; y de una variable de control u Estas últimas se encuentran relacionadas por la ecuación de movimiento 1a), una ecuación diferencial en y que expresa el efecto de la variable de control sobre el curso de la variable de estado Existen además, condiciones iniciales y finales de la variable de estado (1b) Mientras que en el primer caso se refiere únicamente a valores dados para y ( 0), puede resultar que el valor final de y sea totalmente libre o se sujete a cotas mínimas y/o máximas, modificaciones que transforman ciertos requisitos para maximizar el funcional V El problema se completa con restricciones particulares Para el caso presentado, el horizonte temporal se encuentra acotado por un T dado El período de tiempo, por lo tanto, es finito presentándose también alternativas de tiempo infinito Dadas las condiciones iniciales, las variables t e y quedan determinadas, por lo tanto u puede considerarse como una variable de elección La trayectoria elegida para ésta implicará una determinada trayectoria para la variable de estado a partir de la ecuación de movimiento El objetivo del método, por lo tanto, es determinar una trayectoria óptima para la variable de control en el tiempo u*(t), que garantice el óptimo de la función objetivo V 11 - El principio del máximo Antes de describir cómo se determina el principio de máximo, se debe hacer alusión a la introducción de la función de Hamilton Esta función se construye utilizando la función F() y la ecuación de movimiento f() 3 de tal manera que: H ( t, y, u, ) = F( t, y, u) + λ( t) f ( t, y, u) λ () La variable auxiliar λ ( t), también denominada de co-estado, es análoga en su significado al multiplicador de Langrange para la optimización estática Cabe aclarar que en este caso poseerá una trayectoria respecto al tiempo, tal como las variables de estado y de control En términos económicos, su trayectoria expresa un precio sombra 1 Para el caso analizado, se busca maximizar la función objetivo Sin embargo, minimizar un determinado funcional es equivalente a maximizar el funcional con signo inverso Restringida a un determinado dominio de valores, en general, para el caso básico R 3 Se asume que ambas son continuas en todos sus argumentos y sus derivadas primeras parciales son continuas con respecto a t e y, pero no necesariamente con respecto a u 3

4 La función en () deberá maximizarse con respecto a la variable de control u Max u H t [0,T] (3) Utilizando las condiciones de óptimo en la programación clásica, se podría igualar a cero la derivada de H respecto a u Sin embargo, esta condición no abarcaría aquellos casos donde, dado el rango de u, la función H no posee un máximo interior De esta manera, es posible demostrar que las siguientes condiciones son necesarias para la obtención del máximo de H y, por consiguiente de V: y = H (4) λ H λ = (5) y λ ( T ) = 0 (6) donde (4) representa la ecuación de movimiento para la variable de estado, (5) la ecuación de movimiento para la variable de co-estado, y (6) la condición de transversalidad para los problemas de horizonte terminal fijo Esta última sufre modificaciones ante diferentes situaciones en la frontera Si el valor de y T es conocido pero el punto en el tiempo (T) es libre, la condición (6) cambia a: [ H ] 0 t = T = Puede existir una situación híbrida presentada por un límite vertical definido por T pero también por cotas para los valores terminales de y T En este caso, la existencia de, por ejemplo, un valor y min dado, generaría como condición de transversalidad estas restricciones: λ ( T) 0 y y ( y y ) λ( T) 0 T min T min = Si supone que el valor mínimo de la variable de estado es cero (como sería el caso de ejemplos económicos en donde deben ser no negativas), las expresiones anterior se transforman en: λ ( T) 0 y 0 y λ( T) 0 T T = Por último, si el horizonte elegido no es finito, por lo que T no es un valor realizable, se debe recurrir a la noción de límite: lim λ t ( t) 0 lim y(t) 0 lim [ y(t) λ( t )] = 0 t t Las condiciones precedentes en (6 ) serán relevantes en la resolución del modelo a desarrollar (6 ) 1 - El Hamiltoniano de valor corriente Una variante en los problemas económicos es la presencia de un factor de descuento e ρt sobre el integrando de la función objetivo F() Su introducción permite valorar 4

5 subjetivamente de manera diferente el tiempo presente del tiempo futuro, especialmente ante funciones de utilidad de las familias Considerando esta modificación, el nuevo problema de control óptimo será: T Máx V = G(t, y, u) e u sa y = f (t, y,u) 0 y( 0) = A u (t) µ ρt dt y (T ) libre t [ 0, T ] (A, T) dados (7) Por definición, el Hamiltoniano adopta la forma t H(t,y,u, λ) = G(t, y,u, λ) e ρ + λ(t) f (t,y,u, λ) (8) El principio del máximo definido en la sección anterior exige la diferenciación de H con respecto a la variable de control, y a la variable de estado, pero con la complicación adicional que añade la presencia del factor de descuento En virtud de ello, resulta conveniente librar al Hamiltoniano del factor H t e ρ mediante una simple transformación algebraica: ρ t H e = G(t, y, u) m(t) f (t, y, u) (9) C + definido como el valor corriente del Hamiltoniano y a m(t) como el multiplicador de valor corriente m e igual a la siguiente expresión: m(t) ρt = λ(t) e (10) Las ecuaciones (7) y (8) pueden rescribirse como: H H e ρt c (9 ) ρt λ ( t) = m(t) e (10 ) 13 El principio del máximo revisado La transformación aplicada implica cambios en la función de Hamilton, por lo tanto, el principio del máximo obtenido en la sección 11 debe revisarse convenientemente El problema inicial planteado en (3), maximizar H respecto de u para cada momento del tiempo, no se t modifica El término exponencial e ρ es constante para cualquier t, por lo tanto la maximización solo debe considerar H c en lugar de H La condición revisada se simplifica a: Máx H u C t [0, T] (3 ) La primera condición del principio del máximo definida en (4), la ecuación de movimiento para la variable de estado, debe reformularse teniendo en cuenta que: H y = = f λ (t, y, u) Hc = m 5

6 La segunda condición del principio del máximo definida en (5), la ecuación de movimiento para la variable de co-estado debe modificarse a partir de la ecuación definida como (10 ) Diferenciando λ (t) con respecto a t se obtiene: λ = m e ρt ρ me ρt reemplazando este resultado y uniendo las ecuaciones (5) y (7 ), se obtiene la nueva condición revisada para la variable de co-estado: HC m = + ρm (5 ) y Por último, las condiciones de transversalidad revisadas son similares a las presentadas anteriormente en (6 ), pero considerando la transformación realizada en (10 ): lim t [m(t) e ρt ] 0 lim [y(t) m(t) e t ρt ] = 0 (6 ) - Modelo de Ramsey El modelo de Solow-Swan para describir el crecimiento en una economía tiene la virtud de relacionar básicamente todos los determinantes de la tasa de crecimiento del producto nacional Sin embargo, la tasa de ahorro es exógena y no surge de un proceso de optimización a nivel microeconómico El modelo de Ramsey supera estas limitaciones explicando como resultado la porción del producto nacional en el tiempo t que debe dirigirse hacia el consumo o hacia el proceso ahorro-inversión considerando una maximización de la utilidad corriente y futura de las familias y el beneficio de las empresas La naturaleza dinámica de este problema imposibilita el uso de la programación estática tradicional De esta manera, los postulados y condiciones que brinda el control óptimo para encontrar las trayectorias óptimas de las variables otorgan al investigador la información suficiente para analizar las conclusiones en términos económicos La teoría neoclásica de crecimiento óptimo toma como punto de partida el modelo original de Ramsey suponiendo a la población igual a la fuerza de trabajo L y que crece a una tasa n dada exógenamente Se asume que las familia s viven ilimitadamente (T= ) y que su función de utilidad es la misma para cada una de ellas Esta se encuentra sujeta a una tasa de preferencia intertemporal de la utilidad definida como ρ > 0 Por otro lado, la función de producción es constante a lo largo del tiempo y depende de dos factores el capital y el trabajo El producto puede consumirse o ahorrarse, donde este último se canaliza totalmente a la inversión y, por ende, a la acumulación de capital 6

7 1 - El problema del agente representativo el funcional: Cada uno de los agentes de esta economía cerrada desea maximizar su utilidad dada por 0 [ c(t) ] ρ V = u L(t) e t dt (15) asumiendo que u (c)>0 y u (c)<0 y que u(c) satisface las condiciones de Inada, u (c) cuando c 0 y u (c) 0 cuando c Teniendo en cuenta que L crece a una tasa n positiva y con una adecuada elección de la unidad (L en cero es igual a uno), es posible presentar el problema de la siguiente manera: 0 [ c(t) ] ( ρ t V = u e n) dt (16) Se asume ρ > n para acotar la función de utilidad V cuando c es constante Los agentes cuentan con un stock de activos netos, a(t), no comercializables en el exterior dado que la economía es cerrada La tasa de retorno que reciben por estos activos es igual a r(t), medida en unidades de consumo Se asume además que cada individuo posee una dotación de trabajo por unidad de tiempo, cuyo ingreso por salario es w(t) De esta manera, el ingreso per cápita total de cada agente es la suma de la renta por la posesión de sus activos (que puede ser negativa en caso de ser deudor) y del ingreso por trabajo La restricción presupuestaria intertemporal queda definida entonces de la siguiente manera: a(t) = w(t) + r(t) a(t) c(t) n a(t) (17) Se deduce que los activos aumentan con las retribuciones a los factores, w(t) + r(t) a(t), y disminuyen con el consumo y la propagación de la población, c (t) + n a(t) Este último término se explica por la definición del stock de activos per cápita a = A/L, ya que al diferenciarla respecto al tiempo, a(t) disminuye a una tasa igual a la que crece la población (n) El problema del agente, caracterizado por (16) y (17) es determinar la trayectoria del consumo que maximiza la utilidad en el tiempo, y, con ella, controlar la senda del stock de activos que actúa como variable de estado Así definido, puede ser resuelto utilizando la teoría del control óptimo con un horizonte infinito y con un valor terminal de c(t) no negativo pero menor que la función de producción sección 1 4 : Para resolverlo se construye el Hamiltoniano de valor corriente desarrollado en la Max = u(c) + m[w + r a c n a ] (18) H C 4 Se ha suprimido el tiempo en los índices de las variables para mayor claridad en la comprensión 7

8 donde m n) t e ( ρ = λ es la variable de co-estado de valor corriente Aplicando las condiciones de máximo revisado descriptas en la sección 13 se obtiene: H C c = u'(c) m 0 λ = u'(c) e ( ρ n)t (19) H C m = + ( ρ n) m = ( ρ r) m λ = (r n) λ (0) a En este caso, la variable de co-estado de valor presente λ se define como el precio sombra del ingreso y representa el impacto en la utilidad del período 0 ante un incremento en el ingreso del período t La condición (0) es conocida como la ecuación de Euler o la regla de ahorro óptimo de Ramsey Diferenciando (19) respecto al tiempo, e ( ρ n) t λ = u''(c) c ( ρ n) u'(c) (19 ) [ ] e incorporando este resultado en (0), se obtiene la condición para la elección del consumo intertemporal: u''(c) c r = ρ c / c u'(c) (1) La cual explicita que los agentes modifican su consumo en función de una relación entre la tasa de retorno del ahorro y del consumo Una estructura de consumo constante en el tiempo será óptima cuando r = ρ La decisión de modificar esta estructura para posponer consumo ( c > 0 ) se dará sólo cuando los consumidores se vean recompensados por una tasa de retorno de sus activos lo suficientemente mayor que su tasa de preferencia en el consumo 5 El término entre corchetes de (1), definido como la elasticidad de u (c) respecto a c, proporciona una medida de la concavidad de la función de utilidad y debe ser asintóticamente constante si se pretende encontrar un estado estacionario A fin de cumplir con esta condición, se trabajará con una función de utilidad cuya elasticidad de sustitución no depende del nivel de c La misma adopta la forma: θ c 1 u ( c) = 1 () 1 θ Los signos de las derivadas primera y segunda coinciden con los supuestos por el modelo: ( c) = c θ > 0 c 0 u ' > ( c) = θc θ < 0 c 0 1 u'' > y tomando límites para c en las funciones (19) y (0) se comprueba que la función satisface las condiciones de Inada: 5 Esto sucede gracias a las características de la función de utilidad, donde u (c)>0 y u (c)<0 Por lo tanto, el término entre corchetes se hace negativo 8

9 lim u' ( c) = lim u' c 0 ( c) = 0 c lim u'' ( c) = lim u' ' c 0 ( c) = 0 c Utilizando la función explícita (), la elasticidad de u (c) respecto a c queda determinada por: u''(c) c u'(c) θc (1+θ) = θ c c = θ donde la elasticidad de sustitución intertemporal se definiría como la ecuación (1) se puede rescribir como: 1 / θ A partir de lo hallado, 1 c / c = ( r ρ) (3) θ Esta ecuación muestra más cabalmente la relación entre la posposición de consumo y (r-ρ) Según (3), un menor deseo de sustituir consumo intertemporalmente (θ mayor), implica una menor sensibilidad de c / c a la diferencia r - ρ Por último, y para caracterizar la solución del problema del agente representativo, se debe especificar cómo se comportarán las variables de control y co-estado en el momento final T, utilizando la condición de transversalidad: lim[ λ(t) a(t)] = 0 t La cual revela que el valor del stock de activos de los consumidores (definido como el producto entre a(t) y el precio sombra λ (t)) debe anularse cuando t tiende a infinito A partir de (19) y (0): λ( t) = λ(0) exp [r(v) n]dv = u'[c(0)]exp t 0 [r(v) n]dv se incorpora el resultado en (4), obteniendo la siguiente expresión: t lim a(t) u'[c(0)] exp [r(v) n]dv = 0 t 0 La condición (5) expresa que los activos de cada persona a(t) no deben crecer a una tasa mayor que r n No sería óptimo para el agente acumular activos por siempre, ya que su utilidad se incrementaría si esos activos se consumieran en algún momento t 0 (4) (5) - El problema de la firma Las firmas producen bienes combinando trabajo y capital a través de una relación técnica con rendimientos constantes a escala y deben pagar las retribuciones de estos factores a sus propietarios, los consumidores Se define una función de producción con las siguientes características: 9

10 Y = L φ ( k ) Y Y Y = L φ > K L ( k) = φ' ( k) > 0 = φ(k) k φ' ( k) 0 φ ''(k) < 0 donde K k = L Además, se asume que cumple las condiciones de Inada que: lim φ' ( k) = lim φ' k 0 ( k) = 0 k lim φ'' ( k) = lim φ'' k 0 ( k) = 0 k En cada período de tiempo la firma representativa desea maximizar su beneficio, definido como: Π = L[ φ(k) (r + δ)k w] (6) donde δ 0 es la tasa de depreciación del capital A partir de las condiciones de primer orden usuales se pueden extraer las siguientes relaciones: φ' (k) = r + δ (7) φ ( k) k φ'(k) = w (8) Estas ecuaciones indican que el nivel de producto de beneficio óptimo implica la igualdad entre las productividades marginales de cada factor y sus costos marginales respectivos 3 - El equilibrio Luego de determinar cuáles son las decisiones óptimas de consumo y producción puede procederse a analizar la estructura del equilibrio competitivo En primer lugar, debe estar presente que el stock de activos per cápita a(t) se compone de activos de capital k(t) y préstamos entre los agentes Sin embargo, la economía agregada no puede poseer una deuda neta no nula al no comercializar con otro país, siendo A(t) = K(t) De esta identidad se deduce que a(t) = k(t) y la restricción presupuestaria (17) se torna en: k = w + r n k (17 ) ( ) c Aplicando a (17 ) las condiciones de óptimo beneficio para las firmas dadas por (7) y (8): k = φ k c n + δ (9) ( ) ( )k donde k(0) está dado La ecuación (9) es la restricción presupuestaria para toda la economía, ya que determina que la inversión neta per cápita está definida por el ahorro (producción menos consumo), neto de la depreciación y de la tasa de crecimiento de la población El ejercicio de determinación de las sendas óptimas de consumo y capital de la economía es análogo al desarrollado para el problema del agente, ya que sólo se incorporaron a la restricción las condiciones de máximo beneficio de las firmas Así, maximizar (15) sujeto a (9) llevaría a los mismo resultados, sólo que en términos del consumo c(t) y el capital k(t) per 10

11 cápita Tomando en cuenta que, por (7), r = φ'(k) δ, la condición para la elección del consumo intertemporal (3) se convierte en: c / c 1 = [ φ' (k) δ ρ] (30) θ La ecuación (30) conjuntamente con (9) conforman un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineal, para c(t) y k(t) Una única solución para el mismo requiere, además del nivel de capital k(0), que se cumpla la condición de transversalidad (5), redefinida como: t lim k(t)exp [ '(k) n]dv φ δ = 0 t 0 Suponiendo que se logra la convergencia del capital hacia un valor constante k*, el límite (31) señala que la tasa de retorno de ese estado estacionario, que la tasa de crecimiento de K 6 φ '(k*) δ (31), debe ser mayor 4 - El estado estacionario Como fue explicitado anteriormente existirá un estado estacionario cuando las variables no se modifiquen a medida que pasa el tiempo El sistema de ecuaciones determinado por (9) y (30) permite hallar los niveles de consumo y capital de estado estacionario haciendo k& = 0 y c = 0 Aplicando estas condiciones, el sistema ahora se reduce a: c* = φ(k*) (n + δ)k* (3) φ '(k*) = δ + ρ (33) donde el asterisco representa a las variables en su estado estacionario La primera de las ecuaciones representa la relación entre el consumo y el capital que surge de hacer k & = 0 Su forma curvada, descripta en la figura 1, está íntimamente ligada a las características de la función de producción neoclásica Por otro lado, la ecuación (33) surge como condición para c = 0 El aspecto más sobresaliente de esta relación es que no depende de c, sino que existirá un único nivel de capital que haga que el consumo no varíe en el tiempo La figura 1 muestra este nivel como una recta paralela el eje de las ordenadas La intersección entre las dos líneas marcada por el punto E, donde se satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones, implica que la economía se encuentra en estado estacionario De esta manera, tanto c* y k* se mantienen constantes en el tiempo 6 La variable K crece a la tasa que lo hace L (n), de la misma manera que en el caso Solow-Swan 11

12 Figura 1 Estado estacionario c(k) c = 0 c gold c* E k & = 0 k* k gold k Un aspecto llamativo que se observa es que k* es menor a aquél que hace máximo la curva k & = 0 Este último puede obtenerse derivando (3) respecto a k e igualando a cero El resultado es el reconocido capital de regla de oro (k gold ) y se deduce de: φ '(kgold) = δ + n (34) Comparando (34) con (33), se puede afirmar que φ '(k*) > φ'(k ), dado que ρ > n Por las gold características de la función de producción, se concluye que k * < kgold y c * < cgold, tal como lo muestra la gráfica La idea subyacente en esta diferencia es que los agentes son más impacientes en este modelo que en Solow-Swan Esta característica está reflejada por el término ρ, que impide que se ahorre lo suficiente para obtener un capital y un consumo de estado estacionario mayor 5 - El comportamiento dinámico El modelo puede ser estudiado analizando el comportamiento dinámico de las variables, a partir de un nivel inicial y hasta alcanzar el estado estacionario En primera instancia, el estudio será cualitativo, a través del diagrama de fase Sin embargo, se reforzarán las conclusiones obtenidas a través del estudio algebraico de la solución Para analizar cómo se comportan las trayectorias alternativas de c y k, se deben determinar regiones en las cuales las variables se muevan en diferentes direcciones Analizando la ecuación (9) se desprende que, para un mismo nivel de capital (y por ende del producto), valores de c cada vez mayores harán que la inversión disminuya hasta que se anule en la curva k & = 0 Seguir aumentando el consumo llevará a disminuciones netas de k De esta manera, para niveles por debajo de la curva k & = 0, el capital se desplazará hacia la derecha; y para niveles 1

13 por arriba de ella, k se desplazará hacia la izquierda El diagrama de fase en la figura muestra este comportamiento c(k) Figura Diagrama de fase c = 0 c* E k& = 0 c(0) k(0) k* k Por otro lado, a medida que k va aumentando, su productividad marginal decrece hasta igualar a ρ + δ, de la curva c = 0 Así, para valores de k menores que k*, el consumo aumenta y para valores a la derecha de k*, el consumo disminuye La combinación de signos brinda cuatro regiones detalladas en la siguiente tabla: Zona c& k & c < c* ; k < k* (+) (+) Posible convergencia c > c* ; k < k* (+) (-) Divergencia c > c* ; k > k* (-) (-) Posible convergencia c < c* ; k > k* (-) (+) Divergencia Se concluye del análisis cualitativo que la solución del sistema de ecuaciones diferenciales determina una estabilidad de punto de silla Este proceso tiene como particularidad la existencia de sólo dos rutas que converjan hacia el equilibrio, dependiendo la estabilidad del sistema, de las condiciones iniciales (c 0, k 0 ) En el caso de que k(0) < k*, existirá una única trayectoria que asegure el arribo al punto E Sin embargo, el cumplimiento de las condiciones del principio de máximo asegura que, en el óptimo, se alcanza dicha trayectoria convergente Para analizarlo basta observar qué ocurre cuando inicialmente el consumo es mayor o menor que el correspondiente c(0) Si se parte de c 1 (0) > c(0), el ahorro inicial será escaso La dinámica del modelo hará que se cruce la curva k & = 0, produciéndose, luego del ello, inversiones negativas que 13

14 desgastarán el capital hasta que k(t 1 ) = 0, para un t 1 finito (la trayectoria que se sitúa por encima de la convergente en el diagrama de fase) Cuando k = 0, la producción también se anula, no hay posibilidad de consumir bienes y, por lo tanto, c(t 1 ) = 0 Este salto observado en la trayectoria de c(t) no está contemplado en la condición (30) Tomando límites para t que tiende a t 1 (por izquierda): 1 1 lim φ'[k(t)] ( δ + ρ =, dado que lim φ'(k) = t θ θ k 0 lim c/ c = ) t t1 t 1 Debido a que en t 1, c(t 1 ) = 0, no se satisface la condición (30) y, por lo tanto, c 1 (0) no es óptimo Cuando el consumo inicial es demasiado bajo, c (0) < c(0), la dinámica de acumulación de capital llevará a la economía a niveles mayores que k* Incluso será mayor que k gold definido anteriormente Según la ecuación (34), y considerando que la productividad φ '(k) decrece para valores mayores de k; en cualquier nivel donde k(t) > k gold, se dará también que φ '(k) < δ + n Esta desigualdad viola la condición de transversalidad (31) y, por lo tanto, c (0) tampoco es óptimo Los dos análisis anteriores afirman lo enunciado respecto a que el cumplimiento de (9), (30) y (31) simultáneamente implica desplazarse sobre la única senda convergente 3 Aplicación del modelo con un ejercicio numérico En el siguiente desarrollo se cuantificará la solución analítica del modelo de Ramsey para un conjunto de parámetros numéricos dados Se describirán dos métodos para obtener la senda consumo-capital que resuelve el problema intertemporal de la economía, a partir de un determinado nivel de capital inicial El primero de estos métodos sugiere la linearización del sistema en el entorno al estado estacionario El segundo propone redefinir el sistema de ecuaciones diferenciales, eliminando el componente temporal y rescatando la relación entre el capital y el consumo únicamente Se utilizará el software Mathematica 40 para hallar las soluciones numéricas en cada caso 31 - El modelo de Ramsey para una función producción Cobb-Douglas La función de producción define una relación técnica que combina los factores para producir bienes finales Se propone una función del tipo Cobb-Douglas definida de la siguiente manera: α β ( L) = A K Y = AF K, L donde 0 < α, β < 1 y α + β = 1 Los rendimientos constantes a escala de esta función permiten hacer la siguiente transformación: 14

15 ( L) AF K, α y = = A k L = φ ( k) K k = (35) L y obtener una función explícita de la producción respecto al capital per cápita Las características de la función (35) coinciden con las expuestas anteriormente: ( k) = A α k α > 0 k 0 1 φ' > ( k) = A α ( α 1) k < 0 k 0 φ' ' α > dado que α < 1 lim φ' ( k) = lim φ' k 0 ( k) = 0 k lim φ'' ( k) = lim φ'' k 0 ( k) = 0 k Conociendo la forma funcional de φ (k), el sistema de ecuaciones diferenciales (9) y (30) queda totalmente explicitado Luego de sustituir las expresiones correspondientes: ( + δ) α k& = A k c k n (36) [ A α k ( δ + ρ) ] α 1 c c = (37) θ El sistema ahora expuesto puede resolverse para c y k, dado un conjunto conocido de parámetros numéricos El próximo paso es describir los dos métodos de resolución, analizando sus ventajas comparativas 3 Método de aproximación de Taylor Antes de obtener un sistema lineal a partir de (36) y (37), es conveniente redefinir las variables A ser las tasas de crecimiento de k y c, justamente, las derivadas de los logaritmos de las variables respecto al tiempo, se tiene que: d log( k) α k & (1 ) log(k) / k = = A e e log(c / k) ( n + δ) (36 ) dt (1 )log(k) [ A αe ( δ + ρ) ] d log(c) 1 α c / c = = (37 ) dt θ Esta redefinición permite obtener un nuevo sistema de ecuaciones diferenciales donde las variables están expresadas en logaritmos Nótese que (36 ) y (37 ) son equivalentes a sus originales y no transformaciones monótonas En estado estacionario, se deben cumplir las condiciones: d *) log( k*) dt dlog( c) dt ( n + δ) ( 1 α) log(k*) log(c*/ k = 0 A e e = (38) (1 α = 0 A αe )log(k*) = ( δ + ρ) Aproximando el segundo miembro de (36 ) y (37 ) por el desarrollo de Taylor de primer orden en torno al estado estacionario, se obtiene: (39) 15

16 dlog( k) dt log( k) log( k*) J (k*,c*) (40) dlog( c) log( c) log( c*) dt donde la matriz J de orden dos está compuesta por las derivadas parciales de las funciones (36 ) y (37 ) respecto de log(k) y log(c), evaluadas en el estado estacionario (k*,c*) Luego de hallar las derivadas correspondientes y reemplazar por lo encontrado en (38) y (39), el sistema (40) queda expresado analíticamente de la siguiente manera: dlog( k) dt dlog( c) dt ( ρ n) ( n + δ) ( δ + ρ) / α ( α)( δ + ρ) θ log( k / k*) 1 / 0 log( c / c*) Esta nueva versión del sistema original tiene la ventaja de ser lineal en log(k) y log(c), ya que la matriz J está compuesta por parámetros únicamente Dada la relativa facilidad para resolver (41), está transformación puede ser muy útil para encontrar las sendas temporales del capital y el consumo óptimo en el modelo de Ramsey No obstante, la gran desventaja del método es que el error de aproximación puede incrementarse sustancialmente a medida que se aleja del nivel de estado estacionario Nótese que el determinante de la matriz J, en (41) posee signo negativo dados los supuestos sobre los parámetros: ( 1 α)( δ + ρ) [ α( n + δ) ( δ + ρ) ] J = < 0, por < 1 θ α α y ( n + δ) < ( δ + ρ) Se concluye entonces que el sistema posee una estabilidad de punto de silla, con sólo dos sendas convergentes posibles Este resultado es acorde al hallado cualitativamente a través del diagrama de fase La solución para log(k) del sistema (41) tendrá la forma: ( ε t) + ψ exp( t ) (41) log[ k(t)] = log(k*) + ψ1 exp 1 ε (4) donde ( ψ ) son las constantes arbitrarias y ( ) 1 ;ψ ε son los valores propios de la matriz J 1 ;ε La característica de una solución de punto de silla hace que ( ) de cada signo Conociendo a la matriz J, se demuestra que: ( ρ n) + ( ρ n) 4 0 ε sean reales, distintos y uno 1 ;ε ε1 = 05 J > (43) ( ρ n) ( ρ n) 4 0 ε = 05 J < (44) Para hallar la solución explícita de (4) se debe tener en cuenta que, por las condiciones del principio de máximo, se asegura la estabilidad en las sendas del capital y consumo hacia el estado estacionario Matemáticamente, esto implica que el término cuyo exponente es explosivo al aumentar t ( ψ1 asociado a ε 1 > 0) se anula En otras palabras, se debe trabajar en el 16

17 subespacio definido por el vector propio asociado a ε < 0 Sabiendo además que k(0) = k 0, se puede determinar la constante ψ obteniendo: [ log( k ) log( k*) ] exp( t ) log[ k(t)] = log( k*) + 0 ε (45) La ecuación (45) muestra que la senda del capital en el tiempo puede interpretarse como un promedio ponderado entre su valor de estado estacionario y su nivel inicial Para poder observar su trayectoria se explicitan los siguientes valores numéricos para cada parámetro 7 : A 1 α 05 θ = n 0014 δ 01 ρ 0065 Con ayuda del Math 40 se obtiene la matriz J, sus valores propios y los niveles de estado estacionario 8 : In[1]:= Clear@c, q, k, a, r, d, n, A, b, J, e1, ed In[]:= J = i r -n Hn + dl - Hr+dL y a k -H1 - al * Hr + dl q 0 { Out[]= ::-n + r, n + d - d + r H-1 + al Hd + rl >, :, 0>> a q In[3]:= 8A, a, q, n, d, r< = 81, 05, 05, 0014, 01, 0065< Out[3]= 81, 05, 05, 0014, 01, 0065< In[4]:= J MatrixForm J N In[5]:= 8e1, e< = Eigenvalues@JD FullSimplify Out[5]= 8016, -0165< In[6]:= kk:= i 1 a *A y 1-a k r + d { cc:= A *kk a - Hd +nl *kk Out[6]= Out[7]= Suponiendo que el capital inicial es una proporción del nivel de estado estacionario (explícitamente, k 0 = k* / 80 ), la ecuación (45) queda ahora definida como: In[8]:= k0:= kk 80 logk@t_d = Log@kkD + HLog@k0D -Log@kkDLExp@etD Out[9]= ª t 7 Para un análisis exhaustivo del valor de los parámetros véase Barro y Sala-i-Martin (1995) Estos se mantendrán constantes desde ahora en adelante 17

18 La figura 3 muestra la trayectoria de log[k(t)] Se puede notar cómo converge monótonamente hacia log(k*) log@khtld 3 Figura 3 Trayectoria aproximada para log[k(t)] t -1 - Tomando anti-logaritmo a ambos miembros de la ecuación (45), se encuentra la trayectoria aproximada para k(t): k(t) k k* ( ε t) exp 0 = k* (46) A partir de la relación determinada en la condición (36), se puede obtener también la senda aproximada del consumo en el tiempo: c (t) α = Ak(t) ( n + δ) k(t) k(t & ) donde k& (t) = k(t) ε [ log[ k(t)] log(k*) ] sustituyendo convenientemente Así, c(t) queda expresado como:, se logra derivando (46) respecto del tiempo y ( n + δ) k(t) k(t) ε [ log[ k(t)] log( k*) ] α c(t) = Ak(t) (47) Nuevamente, con ayuda del Math 40 se grafican las sendas aproximadas de k(t) y c(t), dados los parámetros numéricos In[10]:= k@t_d = Exp@logk@tDD FullSimplify c@t_d = Ak@tD a - Hn + dlk@td -D@k@tD, td FullSimplify ª t Out[10]= ª Out[11]= ª ª t t i k ª t i k yy Iª ª t M 05 {{ In[1]:= $TextStyle = 8FontFamily fi "Times", FontSize fi 11<; figure4 = Plot@8c@tD, k@td<, 8t, 0, 150<, AxesLabel fi 8"t", "khtl, chtl"<d; 8 En la programación del Math 40 las variables kk y cc se refieren a k* y c* respectivamente 18

19 khtl, chtl Figura 4 Trayectorias aproximadas para k(t) y c(t) k(t) c(t) t En la ecuación (47) se puede observar la existencia de una relación funcional entre el consumo y capital que surge de la solución convergente En definitiva, parametrizando al tiempo en (47), se encuentra a c(k) que define la senda estable del diagrama de fase Esta función se la denomina policy function y se halla simplemente redefiniendo el conjunto dominio en (47): ( n + δ) k kε [ log(k) log(k*) ] α c(k) = Ak (48) La figura 5 muestra la forma funcional descripta en (48) Por construcción, a medida que k se acerque a k*, el último término se va acercando a cero, lo que es igual a decir que c(k) va convergiendo hacia la función k & = 0 Además, es fácil visualizar que cuando ε tiende a cero, la curva c(k) se hace también muy similar a la k & = 0 Teniendo en cuenta que d ε / dθ < 0, ceteris paribus, se puede concluir que un θ alto respecto al valor de α determina una curva marcadamente cóncava, mientras un θ bajo define una curva convexa, tal como se señala en la figura 5 5 chkl 3 Figura 5 Diferentes trayectorias convergentes c = 0 k& = 0 15 E 1 05 θ alto θ bajo k 19

20 33 - Método de eliminación del tiempo Mulligan y Sala i Martin demostraron otra manera de encontrar la policy function a través del método de eliminación del tiempo para resolución de modelos dinámicos recursivos La ventaja principal de obtener a c(k) utilizando esta metodología se refiere a la mejora en la aproximación, ya que la curva no se determina en el entorno del estado estacionario Unicamente es necesario un software que permita resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales en forma numérica El problema que imposibilita resolver el sistema (36) y (37) numéricamente es que la condición de transversalidad no se define en un tiempo finito y realizable, como es el caso de las condiciones iniciales para el capital El método propuesto por los autores consiste en transformar el sistema de ecuaciones diferenciales (36) y (37) en sólo una ecuación donde se defina la pendiente de la policy function Si se hace (37) / (36) se tiene que: dc / dt c(k) c / k = = c' (k) = dk / dt θ α 1 { A α k ( δ + ρ) } α c(k) ( n + δ) k { A k } Se obtiene así una nueva ecuación diferencial no lineal, cuya solución c(k) determina sendas para el consumo en cada nivel de capital Sin embargo, la solución de (49) no necesariamente lleva a determinar la trayectoria de la policy function Para ello, se debe definir como condición algún punto conocido de tal función El único par de valores (c;k) que posee estas características es c* y k*, ya que por allí pasa la trayectoria convergente El problema que suscita al imponer esta condición es que por el punto de estado estacionario, pasa también la rama divergente del punto de silla Algebraicamente, ello se evidencia en (49): 0 c '(k*) = indeterminado 0 Una forma sencilla de solucionar este inconveniente es hallar la pendiente de la versión aproximada de c(k) en (47) y valuarla en k*: ( n + δ) ε = ( ρ n) ε > 0 (49) 1 c' (k*) = Aα(k*) α (50) La ecuación (50) muestra que en este tipo de modelos, la trayectoria convergente posee pendiente positiva cuando cruza el nivel de estado estacionario Con (49) y (50) ya se puede obtener una función para c (k) definida en todo el dominio, haciendo posible esto la resolución numérica de la ecuación diferencial para hallar c(k) En primer lugar, se define la función c (k) en (49) In[14]:= Clear@c, k, td In[15]:= cdot@k_d:= IfAk kk, Evaluate@Hr -nl - ed, EvaluateA c@kd * HA * a *ka-1 - Hr + dll q * HA *k a -c@kd - Hn + dl *kl EE 0

21 Nótese cómo esta función se define de otra manera en k* El segundo paso es simplemente resolver numéricamente para hallar c(k) según los parámetros escogidos con anterioridad In[16]:= sol1 = NDSolve@8c'@kD cdot@kd, c@kkd cc<, c@kd, 8k, kk 80, kk *15<D Out[16]= 88c@kD fi InterpolatingFunction@ , <<, <>D@kD<< Finalmente, para replicar el diagrama de fase de la figura, se definen las funciones k & = 0 y c = 0 y se grafica la policy function encontrada In[17]:= c1@k_d:= A*k a - Hn + dl *k In[18]:= g1 =ImplicitPlot@8c1@kD c, k kk<, 8k, kk 800, kk *15<, 8c, cc 800, cc*15<, DisplayFunction fiidentityd; In[19]:= g = Plot@Evaluate@c@kD sol1d, 8k, kk 80, kk *15<, PlotStyle -> Dashing@800, 001<D, DisplayFunction fi IdentityD; In[0]:= figure6 = Show@8g, g1<, PlotRange fi 880, kk *15<, 80, cc *15<<, AxesLabel fi 8"k", "chkl"<, DisplayFunction fi $DisplayFunctionD; 5 chkl Figura 6 La función c(k) de la rama convergente c = 0 c(k) k = k 34 - Contraste entre los dos métodos para hallar c(k) Para conocer las ventajas relativas de los métodos desarrollados, se contrastarán la función c(k) dada por (48) y la que surge de c (k) en (49), para dos valores diferentes de θ y α 9 El primer escenario es mantener los valores originales ( θ = > α = 0 5 ) y observar la diferencia entre las dos curvas In[1]:= c@k_d:= A *k a - Hn + dl *k -k * HeL * HLog@kD -Log@kkDL In[]:= g3 = Plot@c@kD, 8k, kk 80, kk *15<, DisplayFunction fi IdentityD; In[3]:= figure7 = Show@8g, g3<, PlotRange fi 880, kk *15<, 80, cc *15<<, AxesLabel fi 8"k", "chkl"<, DisplayFunction fi $DisplayFunctionD; 1

22 chkl Figura 7 Contraste de métodos para θ > α 5 c(k) aproximada c(k) por el método de eliminación del tiempo k Se observa en la figura 7 que la diferencia entre las dos curvas c(k) se incrementa para niveles más alejados del punto (k*, c*), aunque no parece ser muy significativa Sin embargo; este resultado no se mantiene para cualquier par de valores ( θ, α ) Suponiendo un segundo escenario donde θ = α = 0 3, se producen dos efectos diferentes En primer lugar, φ(k) se hace más cóncava, al disminuir α En segundo lugar, se puede demostrar que la verdadera curva c(k) se hace lineal en k La figura 8 ilustra el comportamiento de las funciones logradas por cada método chkl Figura 8 Contraste de métodos para θ = α c(k) aproximada c(k) por el método de eliminación del tiempo k La figura 8 refleja claramente en la figura 8 que para niveles de k alejados del estado estacionario, la aproximación por Taylor ofrece una muy pobre estimación de la verdadera 9 Se ha elegido modificar estos parámetros debido al rol que cumplen para determinar la forma de la

23 curva c(k); en contraste con la función que surge del método de eliminación del tiempo Como conclusión, se puede afirmar que, con funciones muy cóncavas y valores de θ cercanos a α, ceteris paribus, es conveniente trabajar con el método de eliminación del tiempo para describir el consumo en niveles de k bajos respecto de su estado estacionario 4 - Comentarios finales Las aplicaciones a la teoría del crecimiento económico que surgen de la metodología del control óptimo, permitió a los investigadores incorporar nuevos componentes a sus modelos agregados tradicionales De esta manera, la macroeconomía fundamentada con agentes optimizadores estableció un nuevo vínculo con la microeconomía Sumado a esto, los avances en los programas computacionales, ofrecieron la posibilidad de hallar soluciones numéricas explícitas a este tipo de modelos Así, el estudio y análisis de los mismo se enriqueció sustancialmente En la primera parte del desarrollo del modelo de Ramsey, se analiza cualitativamente su resolución, observando el comportamiento del consumo y capital per cápita que surge del diagrama de fase En la segunda parte, se hace uso del herramental computacional para hallar una resolución numérica de las sendas del consumo y capital en el tiempo, así como la relación óptima entre ellos, denominada policy function Uno de los métodos utilizados surge de la aproximación lineal del sistema de ecuaciones diferenciales en torno al estado estacionario Aunque simple en la aplicación, este método posee la desventaja de ofrecer una pobre estimación para niveles alejados de los de largo plazo en las variables Además, el error de aproximación no es independiente del valor de los parámetros intevinientes en el modelo Una segunda metodología propone hallar directamente la relación consumo-capital óptima a partir de la resolución de una única ecuación diferencial no lineal Este método ofrece una muy buena estimación de esta relación y no depende de cuán alejados se encuentre del estado estacionario Además, el error de aproximación es independiente del valor de los parámetros Las conclusiones halladas en cuanto a la implementación y las ventajas relativas de cada método, pueden servir de guía para investigaciones empíricas de este u otros modelos de crecimiento Es hacia este sentido que apuntan los futuros desarrollos del programa de optimización dinámica función c(k) 3

24 5 Referencias bibliográficas Barro, Robert y Xavier Sala-i-Martin Economic Growth Mc Graw-Hill New York, 1995 Chiang, Alpha C, Elements of dynamic optimization Mc Graw-Hill New York, 199 Crooke, Philip S y Cliff J Huang Mathematics and Mathematica for Economists Oxford: Blackwell Publishers, 1997 Mulligan, Casey B y Xavier Sala-i-Martin A Note on the Time-Elimination Method For Solving Recursive Dynamic Economic Models NBER Technical Working Paper no 116, November