La Probabilidad. Heraldo Gonzalez S.

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1 La Probabilidad Heraldo Gonzalez S.

2 2 Plan de Regularización, Estadistica I LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Quizás es la más importante de las distribuciones continuas, se usa profusamente en Inferencia Estadística dado que muchas estadísticas muestrales convergen a la normal conforme el tamaño de la muestra crece. La distribución normal, fue descrita originalmente por el matemático francés Abraham de Moivre ( ) en 1733 como el límite de la binomial, más tarde fue utilizada por Pierre Simon Laplace en una variedad de fenómenos de la ciencias naturales y sociales, pero fue el Príncipe de los Matemáticos, el alemán Karl Gauss ( ) quien aplicó la distribución normal al estudio de la forma de la tierra y los movimientos de los planetas, dicho trabajo fue tan influyente que la distribución normal se denomina con mucha frecuencia Gaussiana. ; en el siglo XIX se aplica extensamente por científicos que habían notado que los errores al llevar a cabo mediciones físicas, frecuentemente seguían un comportamiento en forma de campana, propia de la normal

3 Heraldo Gonzalez S. 3 Definición. Sea X una variable aleatoria con recorrido los números reales, decimos que la variable X tiene distribución normal o Gaussiana de parámetros µ y σ 2 si su función de probabilidad es: f(x) = 1 e 1 2 ( X µ σ )2, x, µ R, σ R + 2πσ La denotamos X N(µ, σ 2 ) En primer lugar, comprobemos que la función f(x) = 1 2πσ e 1 2 ( X µ σ )2, X R, es una función de densidad. Debemos demostrar que + = f(x) = 1 + 2πσ e 1 2 ( X µ σ )2 dx = 1 Con el cambio de variable y = x µ obtenemos dy = 1 dx, es decir, dx = σdy σ σ + de donde f(x)dx = 1 + e 1 2 y2 σdy = 1 + e 1 2 y2 dy = 2πσ 2π 2 + 2π 0 e 1 2 y2 dy Ahora realizamos el cambio de variable t = y2, obtenemos dt = ydy 2 entonces dy = y 1 dt = 1 2 t 1 2 dt, así,

4 4 Plan de Regularización, Estadistica I + f(x)dx = 2 2π 1 Propiedades t 1 2 e t dt = 1 π Γ( 1 2 ) = 1 π π = 1 a) El gráfico de la normal alcanza su máximo en x = µ b) El gráfico de f(x) es simétrico con respecto del eje x = µ c) El gráfico de la normal es asintótico con respecto del eje X d) Tiene puntos de inflexión en x = µ σ y x = µ + σ e) Las áreas explicadas se muestran en la figura adjunta f) E(x) = µ, V (x) = σ 2 g) Si µ = 0 y σ 2 = 1 entonces hablamos de una distribución normal estándar y la denotamos: Z N(0; 1) h) Para la normal estándar Z esta calculada la función de distribución F (z) para diversos valores de z, desde -3,5 hasta 3,5 i) X N(µ; σ 2 ) entonces X µ σ = Z N(0; 1) Uso de la tabla normal estándar. Con un ejemplo resultará fácil. Si deseamos determinar F (1, 23) = P (Z 1, 23) buscamos en la primera columna el número 1,2 y en la primera fila el número 0.03, en la intersección aparece el número 0,8907; hemos evitado el cálculo de la siguiente integral: 1,23 Así entonces P (Z 1, 23) = F (1, 23) = 0, 8907 Ejemplo π e 1 2 t2 σdt. El gerente de crédito de una gran empresa comercial estima que el monto por deudas impagas en el año, es una variable aleatoria que se distribuye aproximadamente normal con media $ y desviación estándar de $ a) Si se analiza una de las deudas impagas, seleccionada al azar Cuál es la probabilidad de que el monto adeudado se encuentre entre $ y $35.000? b) A partir de que monto se encuentra el 10 % de las mayores deudas impagas? c) Si se eligen al azar, 8 cuentas impagas, en forma independiente Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las deudas impagas tenga un monto mayor a $35.000?

5 Heraldo Gonzalez S. 5 Solución: Sea X = Monto de las deudas impagas entonces de los datos tenemos que: X N(µ = 30,000; σ 2 = 4,000 2 ) a) Se pide P (25,000 < X < 35,000) 25,000 30,000 P (25,000 < X < 35,000) = P ( 4,000 < X 30,000 4,000 < 35,000 30,000 ) 4,000 P ( 1, 25 < Z < 1, 25) = F (1, 25) F ( 1, 25) = 0, , 1056 = 0, 7888 b) Se pide x R tal que P (X > k) = 0, 10 P (X > k) = 0, 10 1 P (X k) = 0, 10 P (X k) = 0,90 P ( X 30,000 4,000 k 30,000 4,000 ) = 0, 90 P (Z k 30,000 ) = 0, 90 4,000 Usando la tabla Z obtenemos: k 30,000 4,000 = 1, 28 de donde, resolviendo la ecuación, concluimos que k = $35,120 c) Sea Y = Número de deudas impagas con monto mayor a $ Claramente Y Bin(n = 8, p = P (X > 35,000)) Como p = P (X > 35,000) = 1 P (X 35,000) = 1 P (Z 35,000 30,000 ) = 4,000 1 F (1, 25) = 1 0, , 1056, entonces Y Bin(n = 8, p = 0, 1056) Se pide P (Y 1) ( 8 P (Y 1) = 1 P (Y < 1) = 1 P (Y = 0) = 1 0 ) (0, 1065) 0 (0, 8944) 8 = 0, 5905 Ejemplo 2. Se sabe que la distribución de frecuencias de los montos de impuesto a las contribuciones de bienes raíces (en miles de pesos) pagados en cierta comunidad, es aproximadamente normal con una desviación estándar de

6 6 Plan de Regularización, Estadistica I 100 mil pesos. Además se sabe que el 89,97 % de los montos pagados son inferiores a 378 miles de pesos. a) Determine el monto promedio pagado por contribución. b) Qué porcentaje de los montos pagados se encuentra entre 128 y 425 miles de pesos? c) Sobre que monto se encuentra el 10 % superior de los impuestos? Solución. Sea X= Monto de impuestos pagados en miles de pesos, entonces, de los datos obtenidos: X N(µ, σ 2 = ) y además, P (X < 378) = 0, 8997 a) Se pide el valor de µ. ) = 0, µ 100 = 1, 28, así, P (X < 378) = 0, 8997 P (Z < 378 µ 100 resolviendo la ecuación deducimos que µ = 250, luego, el monto promedio pagado es de $ Tenemos X N(µ = 250, σ 2 = ) b) Se pide P (128 < X < 425) P (128 < X < 425) = P ( 100 < X P ( 1, 22 < Z < 1, 75) = F (1, 75) F ( 1, 22) < ) 100 = 0, , 1112 = 0, 8487 así, el 84,87 % de los contribuyentes pagan entre 128 y 425 miles de pesos. c) Se pide m R tal que P (X > m) = 0, 10 P (X > m) = 0, 10 1 P (X m) = 0, 10 P (X m) = 0, 9 P ( X 250 m 250 m 250 ) = 0, 90 P (Z ) = 0, Usando la tabla Z obtenemos m 250 = 1, 28, resolviendo la ecuación 100 concluimos que m = $378,000. Ejemplo 3. Se sabe que la duración en horas, de los instrumentos electrónicos D 1, D 2, tienen distribución N(40, 36) y N(45, 9) respectivamente. a) Cuál debe preferirse para usarlo durante un período de 46 horas? b) Cuál debe preferirse para un período de 48 horas? Solución. Sean D 1 N(40, 36), D 2 N(45, 9) a) Basta con calcular la probabilidad de que el instrumento dure al menos 46 horas con cada uno de los instrumentos y decidir por aquel que tenga mayor probabilidad; tenemos

7 Heraldo Gonzalez S. 7 P (D 2 46) = 1 P (D 2 < 46) = 1 F ( ) = 1 0, 6293 = 0, 3707 Escogemos el instrumento D 2 b) De manera análoga al caso a) obtenemos: P (D 1 48 = 0, 0918) y además P (D 2 48) = 0, 1584, así, usamos el instrumento D 2 Ejemplo 4. El peso de un producto, en gramos, es una variable aleatoria que se distribuye normal con media de 100 gramos. Se sabe que la probabilidad de que el precio del producto sea superior a $1.055 es de 15,87 %, y que el costo del producto es de $9 más un costo fijo de $50 por producto. a) Cuál es el precio promedio del producto? b) Cuál es la varianza del precio y del peso del producto? c) Cuál es la probabilidad de que el peso del producto supere los 125 gramos? d) Cuál es la probabilidad de que precio del producto se encuentre entre 950 y pesos? Solución. Sean: X = peso del producto, en gramos, X N(µ = 110, σ 2 ) Y = precio del producto, en pesos, Y = 9X + 50 a) Se pide E(Y ) E(Y ) = E(9X + 50) = 9E(X) + 50 = $1,040 b) Se pide V (Y ), V (X) Determinemos primero la varianza de X y luego por propiedades de la varianza calculamos V (Y ) Como P (Y > 1,055) = 0, 1587 entonces P (9X + 50 > 1,055) = 0, 1587 P (9X + 50) = 0, 1587 P (X > 1, ) = 0, P (X > 111, 66667) = 0, P (X 111, 66667) = 0, 1587 P (X 111, 66667) = 0, 8413 P (Z 111, σ x ) = 0, , = 1 σ x = 1, σ x σ 2 x = 1, = 2, Ahora: V (Y ) = V (9X + 50) = 81V (X) = 81(2, ) = 225, c) Se pide P (X > 125)

8 8 Plan de Regularización, Estadistica I P (X > 125) = 1 P (X 125) = 1 P (Z ) = 1 F (8, 999) 1, = 0 d) Se pide P (950 < Y < 1,100) 1,100 1, ,040 P (950 < Y < 1,100) = F ( ) F ( ) = 225, , F (3, 99) F ( 5, 9) 1 Ejemplo 5. El rendimiento de cierto tipo de pintura para muros exteriores se considera que es una variable aleatoria normalmente distribuida con un rendimiento medio de 10 mt2 mt2 y con desviación estándar de 1, 6 galon galon a) Cuál es la probabilidad de que para pintar un muro de 18, 4mt 2 se deba ocupar más de dos galones?. b) Si con un galón ya se ha pintado 12mt 2 de muro Cuál es la probabilidad de que se deba comprara más pintura para terminar de pintar 2mt 2 que faltan de este muro? Solución. Sea X=rendimiento de la pintura en mt2 galon a) Se pide P (X 18, 4 2 ) P (X 18,4 ) = P (X 9, 2) = F 2 z( 9,2 10 b) Se pide P (X 14/X > 12), X N(µ = 10, σ = 1, 6) 1,6 ) = F z ( 0, 5) = 0, 3085 P (12 < X 14) P (X 14/X > 12) = P (X > 12) F z (2, 5) F z (1, 25) 0, , 8944 = = 0, F z (1, 25) 1 0, 8944 Ejemplo 6. = F z( 14 10) F 1,6 z( 12 10) 1,6 1 F z ( 12 10) = 1,6 El tiempo que tarda una persona en ir de la ciudad R a la M es una variable aleatoria normal. Se sabe que si viaja en bus se demora, en promedio, 45 minutos con una desviación estándar de 10 minutos, pero si viaja en colectivo se demora, en promedio, 40 minutos con una desviación estándar de 15 minutos. a) Si un día demoró menos de 49 minutos en ir de R a M Cuál es la probabilidad de que hubiera viajado en bus, sabiendo que el 40 % de las veces viaja en bus?

9 Heraldo Gonzalez S. 9 b) Si el 90 % de las veces que viaja en bus, el tiempo que demora se diferencia del tiempo medio en menos de k minutos Cuál es el valor de k? Solución. a) Sea T = tiempo, en minutos, para viajar de R a M y los sucesos B= viaja en bus, C= viaja en colectivo Tenemos: F (T/A) = P (T t/a) = F ( t ), F (T/C) = P (T t/c) = F (t ), además, P (A) = 0, 4; P (C) = 0, 6 Se pide P (A/T < 49) P (A/T < 49) = P (T < 49/A)P (A) P (T < 49) = P (T < 49/A)P (A) P (T < 49/A)P (A) + P (T < 49/C)P (C) = F ( )(0, 4) 10 F ( )(0, 4) + F ( )(0, 6) = F (0, 4)(0, 4) F (0, 4)(0, 4) + F (0, 6)(0, 6) = 0, 6554(0, 4) 0, 6554(0, 4) + 0, 7257(0, 6) = , = 0, , b) Se pide k tal que P (45 k < T < 45 + k) = 0, 9 Tenemos F ( 45+k 45 ) F ( 45 k 45 ) = 0, 9, es decir, F ( k ) F ( k ) = 0, 9, como la distribución normal estandarizada es simétrica con respecto del eje Y entonces F ( k k ) (1 F ( )) = 0, 9, es decir, queremos k tal que F ( k ) 1 = 0, 9 10 De F ( k ) = 0, 95 y como F (1, 645) 0, 95 entonces k = 1, 645 de donde k = 16, 45 minutos. Aproximación de la binomial por la normal Aunque la distribución normal es continua, algunas veces se puede usar para aproximar distribuciones discretas, en particular a la binomial. Así, si X Bin(n, p) con µ = np y σ 2 = npq entonces si n se cumple: X np npq = Z N(0; 1) Observación. Si p 0, 5 entonces la binomial es simétrica y la aproximación a la normal también funciona.

10 10 Plan de Regularización, Estadistica I Ejemplo 7. Si X Bin(n ( = 15, ) p = 0, 4) entonces 15 P (X = 4) = 0, , 6 11 = 0, Si deseamos calcular P (X = 4) usando la aproximación normal debemos usar el factor de corrección 0,5. Así, P Bin (X = 4) P N (3, 5 < X < 4, 5) donde X N(µ = np, σ 2 = npq), es decir, X N(µ = 6, σ 2 = 3, 6) Tenemos: P (X = 4) P (3, 5 X 4, 5) = F ( 4,5 6 3,6 ) F ( 3,5 6 3,6 ) = F ( 0, 79) F ( 1, 32) = 0, Observación. De manera práctica, la convergencia de la binomial por la normal rige si np, nq es mayor o igual a 5. Ejemplo 8. Una prueba de selección múltiple tiene 200 preguntas, cada una de ellas con 4 posibles respuestas de las cuales una de ellas es la correcta. Cuál es la probabilidad de que al azar se den 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de las cuales el estudiante no tiene conocimiento? Solución. Sea X = número de respuestas correctas entre 80, entonces la variable aleatoria es tal que X Bin(n = 80, p = 0, 25) Como np = 40 > 5 podemos usar la aproximación X N(µ = 20, σ 2 = 5), tenemos: P Bin (25 X 30) P N (24, 5 X 30, 5) = F (4, 7) F (2, 02) 1 0, 9783 = 0, 0217 Ejercicios propuestos. 1) Se sabe que la vida útil de una máquina registradora sigue una distribución normal con media µ = 2000hrs. y una desviación estándar de σ = 200hrs. Determine la probabilidad de que una máquina seleccionada al azar: a) dure más de 2200 hrs. Resp. 0,1587 b) dure entre 2000 y 2400 hrs. Resp. 0,4776 c) dure a lo menos 2050 hrs. Resp. 0,4013 d) dure a lo más 1000 hrs. Resp.

11 Heraldo Gonzalez S. 11 2) Stoller Inc. ofrece servicio de reparación a otras organizaciones empresariales, y es de la naturaleza de esta empresa Stoller Inc. que todos los contratos se obtengan por licitación. Como los costos siempre son estimados, no todas las licitaciones resultan rentables. En efecto, la utilidad bruta por contrato, como porcentaje del valor del contrato parece tener distribución normal con media del 12 por ciento y una desviación estándar del 6 por ciento. El gerente esta empezando a trabajar con un nuevo contrato importante. Si la utilidad bruta de este contrato es inferior al 10 %, tendrá que asegurarse un préstamo a corto plazo pata apoyar el flujo de caja de la firma. Se espera que las tasas de interés suban sustancialmente en los próximos días. Se debe aconsejar a la firma tomar un préstamo? Por qué? Resp. Si, ya que P (U < 10) = 0, ) Un directivo innovador de la Compañía AB ha deseado siempre utilizar técnicas actuales de selección del personal. Recientemente leyó un artículo sobre un nuevo test de aptitud para seleccionar personas adiestradas en administración. Tal instrumento ha sido ya ensayado por otras compañías con varios centenares de universitarios de último año y las puntuaciones obtenidas tienen distribución normal con media 100 y desviación estándar de 10. Para lo que se propone el directivo en cuestión, decide fijar una puntuación tan elevada que sólo el 20 % superior de los que tomen el test tengan éxito. Cuál sería esa puntuación mínima? Resp. 108,4 puntos 4) El tiempo que requiere un contador auditor para realizar una declaración a la renta simple, se distribuye normal, con una media de 45 minutos y una desviación estándar de 8 minutos. El contador planea comenzar la declaración de un cliente 10 minutos después que haya reunido todos los antecedentes necesarios y le comunica que la tendrá lista en una hora total. Cuál es la probabilidad de que el contador esté equivocado? Resp. 0,2643 5) Una compañía telefónica ha calculado que la duración promedio de las llamadas de larga distancia es de 5 minutos, con una desviación estándar de 0,75 min. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de una llamada fluctué entre 3 y 5 minutos? Resp. 0,4962 b) A partir de que tiempo se encuentra el 2,28 % de las llamadas con mayor tiempo de duración? Resp. 6,5 minutos c) Si el valor de la llamada es de $300 por minuto. Cuál es la probabilidad que una llamada elegida al azar tenga un valor superior a $1800?

12 12 Plan de Regularización, Estadistica I Resp. 0,0918 6) El gerente de un supermercado recientemente abierto en una gran ciudad se ve ante la difícil tarea de atraer clientes. El jefe del departamento de publicidad, le ha aconsejado empezar con una campaña de promoción en la que ciertos clientes seleccionados al azar no tendrían que pagar por lo que adquiriesen. Los clientes se seleccionaran en la registradora de salida para que así no puedan aumentar las compras una vez seleccionados. Como quiere estar seguro en todo, se pregunta al abogado de la compañía que investigue sobre cualquier implicación jurídica o tributaria de la campaña. El abogado averigua que hay que presentar un formulario ante un organismo de gobierno por cada premio que pase de 50 u.m. que se otorgue. Esto parece representar un problema de consideración ya que el gerente o el representante suyo tendría que llenar personalmente el formulario y hacer que los clientes lo firmen. Antes de decidir si se hace o no el concurso de promoción, sería recomendable estimar el porcentaje de premios que sobrepasarían los 50 u.m. Se sabe que las compras en el supermercado tiene distribución aproximadamente normal con media de 32,5 u.m. y desviación estándar de 10,7 u.m. Cuál sería la estimación de tales premios? Resp. el 5,05 % de los premios sobrepasa la cantidad. 7) En el cajero automático disponible a un costado de una importante entidad Bancaria, los clientes retiran dinero de cuentas de ahorro, cuentas corrientes u otras cuentas disponibles. Basado en un estudio realizado por la firma que administra este servicio, se encontró que el dinero retirado dependía del día del mes en que este se efectuaba. Si el retiro era realizado el día 10 del mes, la cantidad de dinero retirado se distribuía normal con media µ = $20,000 y desviación estándar de σ = $4,000; si el retiro era realizado el día 20 del mes, la cantidad de dinero se distribuía normal con media µ = $15,000 y desviación estándar de σ = $2,000, si el retiro era realizado el día 27 del mes, la cantidad de dinero se distribuía normal con media µ = $8,000 y desviación estándar de σ = $2,000. Sabiendo que el dinero retirado cualquier día que se encuentre entre dos de los días señalados se distribuye normal con media µ, la cual es promedio entre las medias de los dos días extremos y con desviación estándar σ igual al promedio entre las desviaciones de los extremos señalados,

13 Heraldo Gonzalez S. 13 a) Cuál es la probabilidad de que el dinero retirado por un cliente el día 13 del mes sea superior a $ ? b) Determine la cantidad de dinero el día 1 del mes, a partir del cual se obtiene el 28 % de los retiros superiores. 8) La vida útil de las llantas radiales de cierta marca sigue una distribución normal con µ = 38,000 millas y σ = 3,000 millas. a) Cuál es la probabilidad de que una llanta seleccionada aleatoriamente tenga una vida útil de por lo menos millas? Resp. 0,8413 b) Un comerciante ordena 500 llantas. Qué cantidad aproximada de llantas tendrá una vida útil entre y millas? Resp. Aproximadamente 121 llantas 9) Se ha comprobado que el tiempo necesario para atender a cada persona en una ventanilla de un banco está distribuido en forma aproximadamente normal con media µ = 130 segundos y σ = 45 seg. a) Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente requiera menos de 100 segundos para terminar sus transacciones? Resp. 0,2514 b) Cuál es la probabilidad de que un individuo pase entre 2 y 3 minutos en la ventanilla? Resp. 0,4536 c) En cuanto tiempo termina sus negocios en la ventanilla el 20 % de los individuos con las transacciones más sencillas? Resp. A lo más en 91,75 segundos d) Cuál es el tiempo mínimo requerido para el 5 % de los individuos con las transacciones más complicadas? Al menos en 204,025 segundos 10) Un auditor encuentra que el valor de las cuentas por cobrar es una variable aleatoria normal, si se sabe que el 50 % de las cuentas son superiores a 240 mil pesos. a) Cuál es el promedio esperado del valor de las cuentas por cobrar? b) Si sabemos además que el 30 % de las cuentas supera los 335 mil pesos. Cuál es la probabilidad de que el valor de las cuentas se encuentre entre 200 y 300 mil pesos? 11) Un analista del departamento de personal determinó que las horas de capacitación mensual que la empresa proporciona a sus empleados sigue una distribución normal. Se sabe que el 25 % de los empleados tiene por lo menos 28 hrs. de

14 14 Plan de Regularización, Estadistica I capacitación mensual y que el 40 % de los empleados tiene por lo menos 25 horas de capacitación. a) Cuál es la esperanza y la varianza de la distribución de las horas de capacitación? b) Si el costo de la capacitación es de pesos por hora. Cuál es la probabilidad de que el costo supere los pesos? 12) El salario de los empleados de una empresa, sigue una distribución normal con media $ a) Si la probabilidad de encontrar un empleado que gane entre 160 y 200 mil pesos es de 24 %. Cuál es la varianza de la distribución? b) Si en la empresa trabajan 452 empleados. Cuantos empleados aproximadamente ganan entre 150 y 180 mil pesos? 13) El peso de un producto en kilos es una variable aleatoria normal con una media de 110 gramos. Si se sabe que la probabilidad de que el precio de dicho producto sea superior a $1055 es de un 15,87 %, sabiendo que el costo del producto es de $9 por gramo más un cargo fijo de $50 por producto. a) Cuál es la esperanza del precio del producto? b) Cuál es la varianza del peso y del precio del producto? c) Cuál es la probabilidad de que el peso del producto supere los 125 grs? d) Cuál es la probabilidad de que el precio del producto se encuentre entre 950 y 100 pesos? 14) El bar Los Buenos Amigos ha instalado una máquina automática para la venta de cerveza. La máquina puede regularse de modo que la cantidad media de cerveza por vaso sea la que se desea, sin embargo, en cualquier caso esta cantidad tendrá una distribución normal con desviación estándar de 5,9 ml a) A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que el 84,13 % de los vasos de cerveza contenga menos de 313,46 ml? b) Si el nivel medio se ajusta a 304,6 ml y Víctor decide pedir vasos hasta que le den uno con menos de 295,7 ml Cuál es la probabilidad que beba sólo 4 vasos? c) Si el nivel medio se ajusta a 298,6 ml y Hugo pide una corrida de 6 vasos de cerveza para él y sus amigos Cuál es la probabilidad que por lo menos 2 vasos contengan a lo más 284,2 ml? d) Si el nivel medio se ajusta a 299 ml y se sabe que un vaso contiene más

15 Heraldo Gonzalez S. 15 de 286,7 ml Cuál es la probabilidad que contenga por lo menos 310,1 ml? 15) El diámetro de cierto tipo de rodamiento es una variable aleatoria normal con media 6,5 cm. y desviación estándar de 1,5 cm. a) Se elige aleatoriamente un rodamiento Cuál es la probabilidad de que el rodamiento tenga un diámetro que mida más de 6,95 cm? b) Se escogen rodamientos al azar, uno tras otro sin reposición hasta encontrar uno con diámetro inferior a 3,5 cm. Cuál es la probabilidad de sacar por lo menos 3 rodamientos? 16) El diámetro de cierto tipo de perno es una variable aleatoria distribuida normalmente con media 12 mm. y desviación estándar de 2 mm, además se sabe que el 10 % de ellos sale sin cabeza, independiente de su diámetro a) Qué porcentaje de los pernos tienen diámetro que mide entre 9,5 y 14,4 cm? b) Qué porcentaje de los pernos tienen diámetro que mide entre 9,5 y 14,4 cm. y que tienen cabeza? c) Se debe reemplazar 3 pernos de este tipo, que tengan cabeza y además que su diámetro mida entre 9,5 y 14,4 mm, pero la persona que debe reemplazarlos trae 5 pernos que seleccionó al azar Cuál es la probabilidad de que pueda reemplazar los pernos que necesita? 17) En el envasado automático de cierto tipo de arroz que viene en cajas de un kilo se ha establecido que el promedio del peso del contenido en cada caja es de 996 gramos con una desviación estándar de 10 gramos; suponiendo que el contenido de arroz en cada caja se distribuye aproximadamente normal a) Calcule la probabilidad que una caja seleccionada al azar contenga al menos un kilo de arroz. b) Si una caja contiene menos de un kilo de arroz Cuál es la probabilidad de que contenga más de 990 gramos? 18) La cantidad que se utiliza en un determinado consultorio de cierto tipo de medicamento para enfermedades respiratorias en un día normal (sin mayor contaminación) es una variable aleatoria con distribución normal. Se ha observado que el 5,71 % de estos días se consume más de 4,87 litros de este medicamento y el 99,34 % de los días sin mayor contaminación se consume a lo más 6,22 litros. a) Si un día normal se consumió menos de 6,22 litros de dicho medicamento

16 16 Plan de Regularización, Estadistica I Cuál es la probabilidad de que consumiera más de 4,87 litros? b) Si un día de pre-emergencia el consumo de este medicamento sube en un 30 % Qué porcentaje de días de pre-emergencia se consume más de 7,15 litros de este medicamento en dicho consultorio? 19) Cierto proceso de manufactura produce pernos que para ser utilizados deben tener un diámetro entre 1,2 y 1,25 pulgadas. Se sabe que el diámetro es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una desviación estándar de 0,02 pulgadas y que el 19,15 % de los pernos tiene un diámetro entre 1,2 y el diámetro esperado. a) Qué porcentaje de los pernos manufacturados no puede ser utilizado? b) Un lote de 25 pernos se somete a un procedimiento que consiste en seleccionar, al azar y sin reemplazo, cinco pernos para medir su diámetro. Si dos o más de ellos están fuera de los límites de tolerancia se acepta el lote, en caso contrario se rechaza el lote. Cuál es la probabilidad de rechazar el lote considerando que hay cuatro pernos que están fuera de los límites de tolerancia? c) En un proceso continuo de embalaje, en cajas con 100 pernos, el número de pernos con diámetro superior a 1,25 pulgadas sigue una distribución de Poisson con media 2,8 pernos por caja. Determine la probabilidad de que al revisar tres de las cajas se encuentren exactamente 9 pernos con diámetro superior a 1,25 pulgadas. 20) La vida útil, en meses, de cierto tipo de ampolleta para automóviles se distribuye normal con media µ y desviación estándar σ. Se sabe que la probabilidad de que una ampolleta dure más de un año es 0,1507 y de que dure menos de 6 meses es de 0,0220. El ingeniero encargado de la línea de producción sostiene que una ampolleta será de baja calidad si tiene una vida útil inferior a dos desviaciones estándar con respecto de la media µ.para tal efecto se realizan controles periódicos que consisten en seleccionar 5 ampolletas en diferentes instantes de la línea de producción. Cuál es la probabilidad de que en un control determinado, no se encuentren ampolletas de baja calidad? Resp. 0, ) En cierta Universidad se sabe que la distribución de la estatura de los alumnos es aproximadamente normal. Se sabe además que el 30,15 % de los alumnos mide a lo menos 1,8 metros y que el 40,13 % mide a lo más 1,6 metros. Se desea formar un equipo de básquetbol y se consideran elegibles todos aquellos alumnos cuya estatura sobrepase 1,8 metros

17 Heraldo Gonzalez S. 17 a) Cuáles son los parámetros de la variable? b) Si seleccionamos al azar a 5 alumnos Cuál es la probabilidad de hallar en esa muestra al menos dos posibles candidatos? c) Si elegimos alumnos, uno tras otro para formar un equipo de básquetbol Cuál es la probabilidad de que el primer alumno elegible sea el quinto seleccionado? Resp. a)µ = 1, 6650, σ 2 = 0, 2597, b) 0,4748, c) 0,0718.