Aplicando Teorı a de Colas en Direccio n de Operaciones

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1 Aplado Teorı a de Colas e Dreo de Operaoes José edro Garía Sabater Grupo ROGLE Departameto de Orgazaó de Empresas Uversdad oltéa de Valea. Curso 25 / 26 arte de estos aputes está basados e la fudametal obra Fudametals of Queueg Theory por Doald Gross y Carl Harrs. També Fatory hyss (Hopps ad Spearma y Maufaturg Systems Modellg ad Aalyss (Curry y Feldma juto o u aporte del que frma omo autor ha otrbudo. ága de 86

2 Cotedo. INTRODUCCIÓN DESCRICIÓN DE UN SISTEMA DE COLAS Caraterístas de los sstemas de olas atró de llegada de los letes atroes de servo de los servdores Dspla de ola Capadad del sstema Número de aales del servo Etapas de servo Resume Notaó bása Nomelatura Clasfaó y Notaó de los roblemas de Teoría de Colas Alguos resultados geerales Como medr el redmeto de u sstema Resultados y relaoes Como reoger datos e u sstema de olas Los proesos de osso y la dstrbuó expoeal ropedades del atró de llegadas (o servo osso-expoeal Geeralzaoes al roeso osso-expoeal roesos de ameto y muerte e el estado estaoaro Dstrbuoes Estadístas e teoría de olas rpales dstrbuoes estadístas de tpo Dsreto rpales dstrbuoes estadístas de tpo Cotuo ága 2 de 86

3 3. MODELOS DE COLAS SIMLES El sstema M/M/ Colas o servdores e paralelo M/M/C Colas o servdores e paralelo y lmte de apadad M/M//K La fórmula de Erlag (M/M/C/C Colas s límtes de servdores (M/M/ Colas o límte e la fuete Cuado el servo depede del úmero de letes Colas o mpaea Los que o se ue a la ola Los que abadoa Aproxmaó a los roblemas G/G/ M/G/ G/G/ G/G/ Otras fuetes de varabldad e el tempo de servo Fallos (averías y Reparaoes Iteraó hombre máqua SERIES Y REDES Itroduó Colas e sere Redes de Jakso abertas Redes de Jakso abertas o múltples tpos de letes ága 3 de 86

4 4.4 Redes de Jakso erradas El aálss del valor medo SIMULACIÓN Elemetos de u Modelo de Smulaó Modelzaó de las Etradas Aálss de Resultados Valdaó del Modelo ROBLEMAS Eargado de Bbloteas Matemeto de Cohes Comdas Rápdas Coordaó de trasmsoes Suursal Baara Matemeto de Maquara Alquler de Ordeadores Lavadero de Cohes Dmesoado el uerto Cetral Telefóa Cursos OLe Matemeto Dspesadores eluquería Marpur Dspesaro Gratuto Estaó ITV ága 4 de 86

5 6.6 Matemeto de Robots uledo automóvles Nuevo oepto de supermerado Cetralta Telefóa Matemeto Reparaoes Eletróas Restaurate Cho Gra Muralla Aglomerados JK Asesores KJu Juguetes K Mejora de U Servo de Ateó Telefóo Ateó e u Servo Téo CASOS Colas e el parque de atraoes Automatsmos JC Asesores KJu (I suermercado JU Matemeto ECAJU ága 5 de 86

6 . Itroduó U Dretor de Operaoes gestoa reursos lmtados para dar servo a los dferetes requermetos que la orgazaó tee. E fuó de la aldad de su gestó (y de los reursos dspobles el tempo de espera (de letes, produtos y reursos será mayor o meor. Desde ese puto de vsta se podría der que la fuó de u Dretor de Operaoes es dedr qué (o qué debe esperar a qué (o a que. Todos hemos expermetado e algua oasó la sesaó de estar perdedo el tempo al esperar e ua ola. El feómeo de las olas os paree atural: esperamos e el ohe al estar e u tapó, o u semáforo mal regulado, o e u peaje; esperamos e el teléfoo a que os ateda u operador y e la ola de u supermerado para pagar... ero a vees las esperas so bueas. Nos hae vsualzar la mportaa del produto o servo que vamos a adqurr, os permte pesar y reofgurar uestro requermeto. ero e geeral omo letes o queremos esperar, los gestores de los tados servos o quere que esperemos... or qué hay que esperar? Cuáto hay que esperar? La respuesta es as sempre smple, e algú mometo la apadad de servo ha sdo (o es meor que la apadad demadada. Esta lmtaó se puede elmar vrtedo e elemetos que aumete la apadad. E estos asos la preguta es: Compesa vertr e máquas? O mejor vertmos e salas de espera? E ese aso ómo de grades? La teoría de olas teta respoder a estas pregutas utlzado métodos matemátos aalítos. ága 6 de 86

7 2. Desrpó de u sstema de olas U sstema de olas se puede desrbr omo sgue. U ojuto de letes llega a u sstema busado u servo, espera s este o es medato, y abadoa el sstema ua vez ha sdo ateddos. E alguos asos se puede admtr que los letes abadoa el sstema s se asa de esperar. El térmo lete se usa o u setdo geeral y o mpla que sea u ser humao, puede sgfar pezas esperado su turo para ser proesadas o ua lsta de trabajo esperado para mprmr e ua mpresora e red. letes llegado servo letes servdos letes que abadoa Fgura U sstema de ola báso Auque la mayor parte de los sstemas se pueda represetar omo e la fgura, debe quedar laro que ua represetaó detallada exge defr u úmero elevado de parámetros y fuoes. La teoría de olas fue orgaramete u trabajo práto. La prmera aplaó de la que se tee ota es del matemáto daés Erlag sobre oversaoes telefóas e 99, para el álulo de tamaño de etraltas. Después se ovrtó e u oepto teóro que osguó u gra desarrollo, y desde hae uos años se vuelve a hablar de u oepto aplado auque exge u mportate trabajo de aálss para overtr las fórmulas e realdades, o veversa. 2. Caraterístas de los sstemas de olas Ses so las araterístas básas que se debe utlzar para desrbr adeuadamete u sstema de olas: a atró de llegada de los letes b atró de servo de los servdores Dspla de ola d Capadad del sstema e Número de aales de servo f Número de etapas de servo ága 7 de 86

8 Alguos autores luye ua séptma araterísta que es la poblaó de posbles letes. 2.. atró de llegada de los letes E stuaoes de ola habtuales, la llegada es estoásta, es der la llegada depede de ua erta varable aleatora, e este aso es eesaro ooer la dstrbuó probablísta etre dos llegadas de lete suesvas. Además habría que teer e ueta s los letes llega depedete o smultáeamete. E este segudo aso (es der, s llega lotes habría que defr la dstrbuó probablísta de éstos. També es posble que los letes sea mpaetes. Es der, que llegue a la ola y s es demasado larga se vaya, o que tras esperar muho rato e la ola deda abadoar. or últmo es posble que el patró de llegada varíe o el tempo. S se matee ostate le llamamos estaoaro, s por ejemplo varía o las horas del día es o-estaoaro atroes de servo de los servdores Los servdores puede teer u tempo de servo varable, e uyo aso hay que asoarle, para defrlo, ua fuó de probabldad. També puede ateder e lotes o de modo dvdual. El tempo de servo també puede varar o el úmero de letes e la ola, trabajado más rápdo o más leto, y e este aso se llama patroes de servo depedetes. Al gual que el patró de llegadas el patró de servo puede ser oestaoaro, varado o el tempo trasurrdo Dspla de ola La dspla de ola es la maera e que los letes se ordea e el mometo de ser servdos de etre los de la ola. Cuado se pesa e olas se admte que la dspla de ola ormal es FIFO (ateder prmero a que llegó prmero S embargo e muhas olas es habtual el uso de la dspla LIFO ága 8 de 86

9 (ateder prmero al últmo. També es posble eotrar reglas de seuea o prordades, omo por ejemplo seuear prmero las tareas o meor duraó o segú tpos de letes. E ualquer aso dos so las stuaoes geerales e las que trabajar. E la prmera, llamada e glés preemptve, s u lete llega a la ola o ua orde de prordad superor al lete que está sedo ateddo, este se retra dado paso al más mportate. Dos uevos subasos aparee: el lete retrado ha de volver a empezar, o el lete retora dode se había quedado. La seguda stuaó es la deomada o-preemptve dode el lete o mayor prordad espera a que aabe el que está sedo ateddo Capadad del sstema E alguos sstemas exste ua lmtaó respeto al úmero de letes que puede esperar e la ola. A estos asos se les deoma stuaoes de ola ftas. Esta lmtaó puede ser osderada omo ua smplfaó e la modelzaó de la mpaea de los letes Número de aales del servo Es evdete que es preferble utlzar sstemas multservdos o ua úa líea de espera para todos que o ua ola por servdor. or tato, uado se habla de aales de servo paralelos, se habla geeralmete de ua ola que almeta a varos servdores metras que el aso de olas depedetes se asemeja a múltples sstemas o sólo u servdor. E la fgura se dbujó u sstema moo-aal, e la fgura 2 se preseta dos varates de sstema multaal. El prmero tee ua sóla ola de espera, metras que el segudo tee ua sola ola para ada aal. Fg. 2 Sstemas de ola multaal ága 9 de 86

10 Se asume que e ualquera de los dos asos, los measmos de servo opera de maera depedete Etapas de servo U sstema de olas puede ser uetapa o multetapa. E los sstemas multetapa el lete puede pasar por u úmero de etapas mayor que uo. Ua peluquería es u sstema uetapa, salvo que haya dferetes servos (maura, maqullaje y ada uo de estos servos sea desarrollado por u servdor dferete. E alguos sstemas multetapa se puede admtr la vuelta atrás o relado, esto es habtual e sstemas produtvos omo otroles de aldad y reproesos. U sstema multetapa se lustra e la fgura.3 Fgura 3: Sstema Multetapa o retroalmetaó Resume Las aterores araterístas basta, de modo geeral, para desrbr ualquer proeso. Evdetemete se puede eotrar ua gra atdad de problemas dsttos y, por tato, ates de omezar ualquer aálss matemáto se debería desrbr adeuadamete el proeso atededo a las aterores araterístas. Ua eleó equvoada del modelo lleva a uos resultados erróeos, y e muhos asos o aalzar adeuadamete os puede llevar a pesar que el sstema o es posble de modelar. 2.2 Notaó bása 2.2. Nomelatura Número de llegadas por udad de tempo ága de 86

11 Número de servos por udad de tempo s el servdor está oupado Número de servdores e paralelo : Cogestó de u sstema o parámetros: (,, N(t: Número de letes e el sstema e el state t Nq(t: Número de letes e la ola e e el state t Ns(t: Número de letes e servo e el state t (t: robabldad que haya letes e el sstema e el state tr{n(t} N: Número de letes e el sstema e el estado estable : robabldad de que haya letes e estado estable r{n} L : Número medo de letes e el sstema Lq : Número medo de letes e la ola Tq : Represeta el tempo que u lete verte e la ola S : Represeta el tempo de servo T Tq+S: Represeta el tempo total que u lete verte e el sstema Wq E[Tq]: Tempo medo de espera de los letes e la ola WE[T]: Tempo medo de estaa de los letes e el sstema r: úmero medo de letes que se atede por térmo medo b : probabldad de que ualquer servdor esté oupado Tabla 2: Nomelatura bása Clasfaó y Notaó de los roblemas de Teoría de Colas Co el paso del tempo se ha mplatado ua otaó para represetar los problemas de olas que osta de 5 símbolos separados por barras. ága de 86

12 A / B / X /Y / Z A: da la dstrbuó de tempo etre llegadas oseutvas B: alude al patró de servo de servdores X: es el úmero de aales de servo Y: es la restró e la apadad del sstema Z: es la dspla de ola E la tabla se preseta u resume de los símbolos más utlzados. Caraterísta Símbolo Explaó Dstrbuó de tempos de llegada (A Dstrbuó de tempos de servo (B Número de servdores Dspla de ola Tabla Smbología de la otaó M D Ek Hk H G,2,..., FIFO LIFO RSS R GD Expoeal Determsta Erlag tpo-k (k,2,... Mezla de k expoeales Tpo fase Geeral Servr al prmero que llega El últmo que llega se srve prmero Seleó aleatora de servo rordad Dspla geeral El símbolo G represeta ua dstrbuó geeral de probabldad, es der, que el modelo presetado y sus resultados so aplables a ualquer dstrbuó estadísta (sempre que sea Varables IID- Idepedetes e Idétamete Dstrbudas. ága 2 de 86

13 S o exste restró de apadad (Y y la políta de servo es FIFO, o se suele orporar dhos símbolos e la otaó así: M/D/3 es equvalete a M/D/3/ /FIFO y sgfa que los letes etra segú ua dstrbuó expoeal, se srve de maera determsta o tres servdores s lmtaó de apadad e el sstema y sguedo ua estratega FIFO de servo. La otaó aterormete represetada, por geeral, deja demasados asos por resolver, pero es sufete para los asos más mportates. 2.3 Alguos resultados geerales Se preseta e este apartado alguos resultados y relaoes para problemas G/G/ o G/G/. Estos resultados so váldos para ualquer problema de olas y por tato será utlzados e el resto de desarrollo Como medr el redmeto de u sstema La tarea de u aalsta de olas puede ser de dos tpo: a estableer measmos para medr la efetvdad del sstema o b dseñar u sstema óptmo (de auerdo a algú rtero. Dseñar efetemete osste, básamete, e defr u sstema uyo oste (de dseño y de operaó se justfque por el servo que da. Dho servo se puede evaluar medate el oste de o darlo. De este modo al dseñar se pretede mmzar uos supuestos ostes totales. A partr de los datos que os sumstra la teoría de olas se puede obteer la formaó eesara para defr el úmero de asetos eesaros e ua sala de espera, o la estrutura de etapas de u proeso de ateó al lete. E ualquer aso, para poder tomar desoes hae falta datos que la teoría de olas puede dar e alguo de los sguetes tres aspetos: a tempo de espera (e el total del sstema o e la ola b atdad de letes esperado (e el sstema o e las olas ága 3 de 86

14 tempo ooso de los servdores (total o partular de ada servo Resultados y relaoes S el sstema tederá a reer exorablemete. El úmero de letes e el state t, (t, es el úmero de llegadas que ha ourrdo hasta t meos el úmero de servos ompletados hasta t. El úmero medo de letes e el sstema y e la ola se puede alular de dferetes maeras: L E [ ] p L q E [ ] ( q + Lttle, e su famosa fórmula, establee ua relaó etre la logtud de la ola y el tempo de espera: L W L q W q El tempo de estaa de u lete e el sstema se relaoa o el tempo de espera de u lete e la ola, W W q + El úmero de letes que por térmo medo se está atededo e ualquer mometo es: ( W W r L Lq q E u sstema de u úo servdor: L L q p ( p p p ága 4 de 86

15 La probabldad de que u sstema de u úo servdor esté vaío es p - La probabldad de que u servdor (de u sstema de servdores e paralelo esté oupado e el estado estable es: p b El tempo de estaa del lete (+ e la ola es: W + q W ( q + S ( T ( s s W W ( q ( q + S + S ( ( T T ( ( > dode S ( es el tempo de servo del lete, y T ( es el tempo que trasurre desde la llegada del lete y hasta la llegada del lete (+ 2.4 Como reoger datos e u sstema de olas A pror se puede pesar que el método más adeuado para reoger datos al aalzar u sstema es estableer ua platlla y reoger los datos sobre el sstema ada erto tempo. Esta téa es oretada al tempo Es mejor, s embargo, utlzar ua téa de reogda de formaó asoada a evetos. La formaó se reoge uado algo ourre E ua ola oveoal los úos datos a reoger so: a ada uáto llega u lete b uáto se tarda e servr a ada lete No es eesaro reoger más formaó para, a partr de las relaoes expuestas e el apartado ateror, defr ualquer medda de efetvdad. Ejemplo Sea u sstema G/G/. Sea los sguetes datos de etrada: 2 ága 5 de 86

16 Tempo etre llegadas etre + e Tempo de servo al lete De la tabla ateror se puede extraer la sguete formaó: R E Tem Tem T T Ta Cl el trada/ po e po e e e maño etes oj sald que el que el m- m de e el t ( a de l let e lete etra e servo lete sale del servo po e la ol a po e el ss te m olas despu és de t sstem a despu és de t a - E - S 2 2- E 3 3- E 5 2- S 6 4- E 7 5- E ága 6 de 86

17 A 2 3 D A D A;5-D D A;7-D -A D A 2 -A;9- D -D -D 2 -D ága 7 de 86

18 A partr de la ateror formaó obteda se puede der que: 2 letes por udad de tempo 3 2 letes por udad de tempo 3 4 El tempo medo de estaa e la ola es de 2 7 El tempo medo de estaa e el sstema es de 2 De aquí y a partr de la fórmula de Lttle L W L q W q Los proesos de osso y la dstrbuó expoeal La mayor parte de los modelos de olas estoástas asume que el tempo etre dferetes llegadas de letes sgue ua dstrbuó expoeal. O lo que es lo msmo que el rtmo de llegada sgue ua dstrbuó de osso *. E esta seó se verá las araterístas de ua dstrbuó de osso y omo se relaoa o la dstrbuó expoeal. osterormete se aalza las más mportates propedades y alguas geeralzaoes al adoptar tal patró de llegadas. Se erra el apartado o argumetos que apoya el uso de la dstrbuó de osso. Adoptar la dstrbuó de osso mpla que la probabldad de que llegue letes e u tervalo de tempo t es: * Es habtual també admtr que el rtmo de ateó de lete uado el servdor está oupado tee ua dstrbuó de osso y la duraó de la ateó al lete ua dstrbuó expoeal. ága 8 de 86

19 ( p ( t t t! e El tempo etre llegadas se defe, de este modo, omo la probabldad de que o llegue gú lete: p ( t e t sedo por tato ua dstrbuó expoeal ropedades del atró de llegadas (o servo osso- Expoeal El uso de este patró de llegada (o de servo tee, etre otras las sguetes propedades: El úmero de llegadas e tervalos de tempo o superpuestos es estadístamete depedete 2 La probabldad de que ua llegada ourra etre el tempo t y t+ t es o( t t+o( t, dode es la tasa de llegada y o( t umple lm. De heho t o t o( t se podría eteder omo la probabldad de que llegue más de uo. 3 La dstrbuó estadísta del úmero de llegadas e tervalos de tempo guales es estadístamete equvalete ( t s [ ( t s ] ( ts e t, s, t >! 4 S el úmero de llegadas sgue ua dstrbuó de osso el tempo etre llegadas sgue ua dstrbuó expoeal de meda (/ y al otraro ( t ( t! t e o ( t e t 5 S el proeso de llegada es osso, los tempos de llegada so ompletamete aleatoros o ua fuó de probabldad uforme sobre el perodo aalzado. s ága 9 de 86

20 f t t,..., t / k llegadas e [, T ] k τ (, 2 k k! T 6 ara ooer los datos que defe u proeso de osso solo es eesaro ooer el úmero medo de llegadas 7 Amesa de la Dstrbuó expoeal: La probabldad de que falte t udades para que llegue el sguete lete es depedete de uato tempo llevamos s que llegue gú lete. r { T / T t } { T t t } r Geeralzaoes al roeso osso-expoeal a Varabldad de Se puede admtr que varíe o el tempo. E este aso t m( t ( m( t ( t e, m( t ( s ds! o b Llegadas múltples Se puede admtr que e ada eveto de llegada apareza letes, dode: E este aso la probabldad de que e el state t haya aparedo m letes es: r { N( t m} e t ( t k! k ( k m dode letes. (k m es la probabldad de que k ourreas de u resultado total de m ága 2 de 86

21 2.6 roesos de ameto y muerte e el estado estaoaro U proeso estoásto es la abstraó matemáta de u proeso empíro, uyo desarrollo está goberado por algua ley de probabldad. Desde el puto de vsta de la teoría de probabldades, u proeso estoásto se defe omo ua famla de varables aleatoras {X(t,t T} defdas sobre u horzote T. X(t es el estado del sstema. Se de que u proeso estoásto {X(t,t,,...} es u proeso de Markov s, para ualquer ojuto de states t <t 2 <...<t, la dstrbuó de X(t depede úamete del valor de X(t -. Es der: Dada la stuaó presete, el futuro es depedete del pasado y el proeso aree de memora Ua ola, o proeso de llegada osso-expoeal de meda, y o proeso de servo osso-expoeal de meda, se puede modelzar omo ua adea de Markov otua, dode e ada tervalo ftesmal de tempo puede ourrr u ameto (llegada o ua muerte (salda r r { + e ( t, t + t } t + o( t { e ( t, t + t } t + o( t Al represetar las aterores probabldades se ha osderado que las tasas de llegada y de servo ( y respetvamete depede del úmero de elemetos e el sstema. Ua represetaó gráfa de u fragmeto de la adea de Markov geerada es la represetada e la sguete fgura: - + Fgura 4: Fragmeto de adea de Markov ága 2 de 86

22 Es teresate ooer las probabldades e el estado estaoaro de que haya elemetos e el sstema. elemetos e el sstema se refleja porque la adea de Markov está e el estado. E stuaó estaoara, se puede der que el balae de flujo alrededor del estado debe ser (so o sería estable. Así las probabldades de etrada e el estado, debe ser guales a la probabldad de las saldas: > E el orge De las aterores euaoes se puede extraer que: y dado que se puede alular + Auque la resoluó de las aterores euaoes paree omplada, o es estrtamete eesaro ooer ómo se puede resolver para poderlas aplar. Sólo e el aso de que uestra realdad o sea aplable a u problema ya resuelto deberíamos profudzar e los dferetes métodos que permte resolver uestro problema. 2.7 Dstrbuoes Estadístas e teoría de olas. No todas las llegadas todos los servos se puede smular medate ua posso/expoeal. Exste otras dstrbuoes que se ajusta mejor a otros ága 22 de 86

23 proesos reales. Es fuó del modelador elegr la fuó que mejor se ajusta a la realdad, y que permte obteer resultados razoables. Los etífos que se deda a la dspla que e glés rebe el ombre de quueg theory ha desarrollado y otúa desarrollado soluoes exatas para asos partulares de sstemas de olas o tasas de etrada y de servo represetadas medate fuoes oretas. Asmsmo otra orrete de vestgaó desarrolla aproxmaoes sufetes que puede ser utlzadas s eesdad de ooer la fuó estadísta oreta que mejor represetaría la ola. E la práta se puede osderar que so eesaros tres elemetos: a Cooer todas las dstrbuoes para teer u oometo laro de las posbldades de araterzaó ua determada dstrbuó. b Cooer u proedmeto para estableer, vía ferea estadísta, ual es la dstrbuó de ua determada muestra. Ser apaz de alular la meda y la desvaó típa (y o ella el oefete de varaó de u proeso e fuó de ua muestra rpales dstrbuoes estadístas de tpo Dsreto. Las dstrbuoes estadístas de tpo dsreto toma valores de u ojuto fto de posbldades. E teoría de olas so relevates porque permte represetar el úmero de letes e u tervalo de tempo. S las posbles ourreas so u ojuto fto y uforme de valores (e.g. el lazameto de u dado perfeto se ooe omo varable Uforme Dsreta. S la varable se da etre los valores a y b eteros, la meda de la dstrbuó es (a+b/2 y la varaza es ((b-a+^2-/2 S la probabldad de ada ourrea es dferete, la más sella de todas las dstrbuoes de Beroull dode la varable puede sólo tomar dos valores (e.g. ho o ha, A o B o ua erta probabldad p para el prmero membro del par, que suele deomarse éxto. La meda es p y la varaza es p(-p La dstrbuó Bomal represeta la probabldad de obteer k suesos A o probabldad p, a partr de tetos. Es por tato la suma de Beroull de probabldad p. La meda es p y la varaza es p(-p ága 23 de 86

24 La dstrbuó Geométra represeta la probabldad de obteer la prmera ourrea A e el lazameto. Esta varable tee u rago fto auque sgue sedo dsreta. La meda es /p y la varaza es (-p/p^2 També tee u rago fto la ooda omo osso e la que se represeta ourreas para u ojuto grade e depedete de evetos dstrbudos a lo largo del espao o del tempo La dstrbuó tee propedades matemátas teresates que la hae muy utlzada. La meda es y la varaza es també rpales dstrbuoes estadístas de tpo Cotuo. Cuado las ourreas puede tomar valores detro de u rago otuo las dstrbuoes so de tpo otuo. E teoría de olas so espealmete adeuadas para represetar tervalos de tempo etre evetos oseutvos. La Cotua Uforme toma valores equprobables e u determado rago [a,b]. La meda de esa fuó es (a+b/2 y la varaza es (b-a^2/2 La expoeal (o egatva expoeal es la omplemetara de la dstrbuó de osso. Su meda es / y la varaza es /^2. Se utlza e teoría de olas para expresar el tempo que trasurre etre dos ourreas oseutvas de evetos depedetes. La Erlag[k,β] es ua dstrbuó que es la suma de k expoeales de meda β/k. La meda de dha dstrbuó es β y la varaza es β^2/k. De heho la dstrbuó Erlag es ua parte de ua lase más ampla que so las dstrbuoes gamma. Cada fuó gamma es defda por dos parámetros α y β. La meda es βα y la varaza es αβ^2 La Dstrbuó Webull es la que habtualmete se utlza para desrbr el tempo que trasurre etre dos averías oseutvas de la msma máqua, metras que la dstrbuó lognormal se utlza para desrbr el tempo que se utlza para la reparaó de las máquas. La seleó de la dstrbuó estadísta que mejor se ajusta a la realdad observada se debe realzar utlzado los proedmetos estadístos estádar de aptura de datos y valdaó de hpótess. S se utlza fórmulas aproxmadas, omo las expladas más adelate e este msmo lbro, hay que ooer la meda y ága 24 de 86

25 el oefete de varaó a partr de la muestra tomada, lo ual exge ua aproxmaó que utlza també proedmetos estadístos básos. ága 25 de 86

26 3. Modelos de olas smples El propósto de este apartado es expoer dferetes modelos de olas. No es exesvamete omplado ooer el orge de las fórmulas, y puede ser u ejero teresate uado las odoes de partda o so exatamete las aquí osderadas. S embargo se ha optado por la exposó de los resultados dretos ya que se pretede la aplaó de éstos y o su oseuó. Todos los resultados se ha obtedo para el estado estaoaro. Los lbros de teoría de olas de la bblografía propoe los métodos segú ha sdo dervadas las fórmulas. Expresamete e este maual se ha elmado esta formaó, pues desde el puto de vsta del autor, dstrae de lo verdaderamete relevate para los que utlza este maual los resultados exatos que puede ser utlzados para ayudar a la toma de desoes. 3. El sstema M/M/ Ua ola M/M/ es u sstema al que los letes llega segú ua dstrbuó de osso, la ateó se presta segú ua egatva expoeal y tee u u úo servdor. or tato: La tasa de llegada es a(t e -t La tasa de salda es a(te.t A partr de estos datos se puede dervar (Gross y Harrs, 24 medate el aálss de proesos de ameto y muerte explados e el apítulo ateror que la probabldad de que haya letes e el sstema es: ( - o Y por tato se puede El úmero medo de letes e la ola es: L E Dado que [ ] p ( ( ága 26 de 86

27 ága 27 de 86 2 ( ( ( Se oluye que L De este modo aplado las relaoes fudametales del apartado.5 L W ( 2 q L q W Se puede estmar també La ola meda uado el sstema o está vaío. Y el resultado es. ' q q q N N E L Es muy teresate observar omo la ola observada por el lete que espera depede de la tasa de servo, metras que la ola observada por el servdor que espera depede de la tasa de llegada. Otro resultado teresate es ooer ual es la probabldad de que haya X o más elemetos e el sstema, pues os permtrá tomar desoes respeto al dmesoameto del msmo. X X (

28 ága 28 de Colas o servdores e paralelo M/M/C U sstema o servdores e paralelo se araterza porque hay más de u servdor que ejeuta la msma fuó o la msma efea. E u sstema o servdores e paralelo o hay varas olas, so ua úa ola. ero Se defe r metras que la tasa de oupaó del sstema es Cuado se osdera servdores e paralelo, las tasas de llegada y de servo pasa a ser: } t t e t a e t b ( ( dode < La probabldad de que haga letes e u sstema de este tpo es: <!! Sedo la probabldad de que el sstema esté vaío:!(! < + r r r La logtud de la ola medda es: 2!( r L q El tempo medo de espera e la ola:

29 ága 29 de 86 2 (!( r L W q q Y por tato, 2 (!( r W W q + + 2!( r r L + ara faltar el álulo de Lq se ha osderado teresate lur el sguete ábao que relaoa el valor de o Lq para dsttos valores de. Ábao para el álulo de la logtud de la ola (Lq Medate el ateror ábao se puede estmar la logtud de la ola promedo para u sstema e fuó del úmero de servdores y de la saturaó de los msmos. Se adjuta també a otuaó ua tabla que e las flas preseta el vel de saturaó del sstema, y e las olumas el úmero de servdores e paralelo.

30 Dada la araterísta o leal del medble, la terpolaó leal de los resultados o da el valor exato pero permte haerse ua dea razoablemete aproxmada. um servdores saturaó ,5,5,33,24,7,3,,8,6,5,4,,,,,,6,9,68,53,43,35,29,25,2,8,5,7,4,2,,,7,63,35,5,,88,78,7,63,57,52,33,22,5,,7,8 3,2 2,84 2,59 2,39 2,22 2,7,94,83,73,64,28,2,84,69,58,9 8, 7,67 7,35 7,9 6,86 6,66 6,48 6,3 6,6 6,2 5,42 4,96 4,57 4,24 3,96,9 9,2 8,77 8,44 8,7 7,94 7,73 7,54 7,37 7,2 7,6 6,44 5,95 5,54 5,9 4,88,92,58,4 9,8 9,53 9,29 9,8 8,88 8,7 8,54 8,39 7,74 7,22 6,79 6,4 6,8,93 2,36,9,57,28,4,82,62,44,27, 9,43 8,89 8,43 8,2 7,67,94 4,73 4,27 3,92 3,63 3,38 3,6 2,95 2,76 2,59 2,42,72,4,66,23 9,85,95 8,5 7,59 7,23 6,94 6,68 6,45 6,23 6,4 5,86 5,69 4,95 4,35 3,84 3,39 2,98,955 2,27 9,8 9,44 9,4 8,88 8,65 8,43 8,23 8,5 7,87 7,3 6,5 5,98 5,52 5,,96 23,4 22,57 22,2 2,9 2,64 2,4 2,8 2,98 2,79 2,62 9,85 9,23 8,69 8,2 7,77,965 26,6 26,3 25,77 25,46 25,9 24,95 24,73 24,53 24,34 24,6 23,38 22,73 22,8 2,68 2,24,97 3,36 3,89 3,52 3,2 29,94 29,69 29,47 29,26 29,7 28,88 28,9 27,43 26,86 26,35 25,89,975 38,3 37,54 37,7 36,86 36,58 36,34 36, 35,9 35,7 35,5 34,7 34,3 33,45 32,93 32,45,98 48,2 47,53 47,6 46,84 46,57 46,3 46,8 45,87 45,67 45,48 44,66 43,97 43,37 42,83 42,34,985 64,68 64,9 63,8 63,49 63,2 62,96 62,73 62,5 62,3 62, 6,27 6,57 59,96 59,4 58,9,99 98, 97,52 97,4 96,8 96,53 96,27 96,3 95,8 95,6 95,4 94,56 93,84 93,2 92,64 92,2,995 98, 97,5 97,2 96,8 96,5 96,25 96, 95,78 95,57 95,38 94,5 93,77 93,3 92,55 92, Tabla o valores de Lq e fuó de rho y (queuemaros o tabla mm-xls 3.3 Colas o servdores e paralelo y lmte de apadad M/M//K E alguos sstemas la ola o puede albergar a u úmero defdo de letes. E este aso se de que el sstema es de apadad lmtada. El límte lo fja el parámetro K que luye a los servdores. Las probabldades de ada estado del sstema!! < K K + r r +!! r r + ( K +!! La logtud meda de la ola es: ága 3 de 86

31 L q K + K [ ( ( K + ] r 2!( L L q + r( K W L L W q ( ( K K ara faltar el álulo de Lq se ha osderado teresate lur los sguetes ábaos que relaoa el valor de o Lq para dsttos valores de K-. ága 3 de 86

32 ága 32 de 86

33 3.4 La fórmula de Erlag (M/M/C/C Exste u aso espeal de la ola o límte de apadad y es uado este límte ode o el úmero de servdores. Es der, o se puede geerar ola. Esta stuaó da lugar a la dstrbuó de probabldad ooda omo Erlag. La probabldad de que haya elemetos e el sstema. ( /!! ( / La probabldad de que el sstema esté lleo es: r! r, r! Lo sorpredete de esta fórmula es que es válda, depedetemete del tpo de dstrbuó del servo y por tato es válda para M/G/C/C ága 33 de 86

34 Los valores más relevates so: L r ( C W L ( C 3.5 Colas s límtes de servdores (M/M/ E oasoes se puede estar dseñado u sstema dode el úmero de servdores smultáeos o sea u límte (por ejemplo aeso a u servdor de red. S el tempo de servo tee gual dstrbuó o el úmero de servdores (. La probabldad de que haya letes smultáeamete es: r e! r r L W 3.6 Colas o límte e la fuete Hasta ahora se ha asumdo que la poblaó que almeta a la ola es fta. També se puede trabajar o la suposó de olas ftas. Éstas está ompuestas de u úmero M lmtado de letes, que e aso de etrar e el sstema tedría u tempo de servo medo de. Y la probabldad de que u lete fuera del sstema etre e el perodo t y t+ t es: t + o( t Co las aterores suposoes ága 34 de 86

35 ága 35 de 86 { M M M < ( { < Usado los msmos oeptos que sempre ( ( < M r r M M!! ( +!! M M r r De aquí puede salr El úmero medo de letes e el sstema y el resto de relaoes es: M L ( L M r L L q ( L M L W ( L M L W q q 3.7 Cuado el servo depede del úmero de letes E oasoes el tempo de ateó a los letes puede varar depededo del tamaño de la ola < k k Asumedo que la llegada de letes sgue ua dstrbuó de osso de meda, se puede der que: k k < + k k

36 ága 36 de 86 < + < +,, k k k El tamaño de ola meda es: [ ] [ ] ( ( ( ( k k k k L k k k ( L L q L W q q L W 3.8 Colas o mpaea Se de que los letes so mpaetes s tede a urse a la ola sólo s o es demasado larga, o s el tempo que ree que les queda por esperar es sufetemete orto. U terer tpo de mpaete es el que va ambado de ola etre olas paralelas. La lteratura úamete osdera los dos prmero tpos de letes mpaetes: los que o se ue a la ola o las que la abadoa ates de tempo 3.8. Los que o se ue a la ola El lete que o se ue a la ola lo hae porque ya hay demasados letes ates. S para todos los letes demasados fuera la msma atdad (k el problema sería M/M//K. S embargo lo ormal es que k o sea ostate para ada lete. or tato la modelzaó es u poo dferete. Se puede asumr para ello que el rato de llegada, se ve afetado por ua sere moótoa dereete tal que + b b b E este aso b (

37 ága 37 de Los que abadoa Se puede asumr que este tpo de letes tee ua erta probabldad de rse s hay letes e la ola r(, dode r(r( Este uevo proeso tee u rato de salda + r( or tato + r b ( dode ( r b + + Π

38 3.9 Aproxmaó a los roblemas G/G/ Todos los desarrollos aterores se basa e que las etradas y el servo se dstrbuye medate proesos que sgue ua dstrbuó de osso/expoeal. ero, y s o sgue dhos proesos? 3.9. M/G/ Los letes, e este modelo, sgue llegado o ua dstrbuó de osso de meda, pero asummos que so ateddos por u proeso más geeral de duraó meda / y de desvaó típa σ. E 932 ollazek y Khthe desarrollaro la fórmula deomada -K que permte evaluar la logtud de la ola meda. 2 2 σ + L De la ateror relaó se extrae dretamete el tempo de estaa e ola. W q σ + 2 (Curry y Feldma, 2 propoe ua modfaó de la fórmula que es bastate teresate (además de exata pues proporoa ua relaó dreta etre las olas M/M/ y las olas M/G/ permtedo utlzar tablas ya oodas. Es de destaar que 2 2 σ es el oefete de varaó al uadrado de los tempos de servo. ága 38 de 86

39 3.9.2 G/G/ Cuado la etrada tampoo sgue ua dstrbuó expoeal se puede utlzar la aproxmaó de dfusó Kgma para alular el valor del tempo de espera e ola e fuó de los oefetes de varaó al uadrado de la etrada y de la salda. De heho esta es ua aproxmaó que además es sempre ua ota superor. U otra forma de esrbrla sería la sguete. Exste otras aproxmaoes omo la de Kraemer y Lagebah que mejora la aldad del resultado. E ualquer aso es teresate otar el efeto que tee la varabldad (ya sea a la etrada o a la salda e el tempo de estaa e ola G/G/ S el aso G/G/ ya es ua geeralzaó o exata, meos exata aú es la geeralzaó G/G/. E ualquer aso dado que el error es pequeño es teresate la sguete fórmula que permte alular el tempo de estaa medo e ola para u sstema ualquera.. 3. Otras fuetes de varabldad e el tempo de servo. A partr de los resultados aterores se puede dervar que redur la varabldad e el tempo de servo tee el msmo efeto que aumetar la apadad de la máqua. Las fuetes prpales de varabldad e el tempo que u elemeto ha de estar e el sstema so las sguetes: ága 39 de 86

40 a Varabldad del tempo de proeso atural (lo aalzado hasta ahora. b aradas y reparaoes aleatoras. Dspobldad de operaros. d Tempos de preparaó y desarga de máquas. Este tpo de varabldad se debe aalzar desde la osderaó de lotes. 3.. Fallos (averías y Reparaoes. Las averías o Fallos (y su orrespodete tempo de reparaó redue la dspobldad de la máqua, remetado su saturaó, pero també remeta la duraó del tempo de servo de aquel produto que tee la mala suerte de quedarse atasado durate la avería. La dspobldad (avalablty de la máqua sujeta a Fallos y Reparaó se alula del sguete modo: a EF [ ] EF [ ] + ER [ ] A partr de esta defó Hopp ad Spearma desarrolla la expresó para el tempo de servo efetvo y su oefete de varaó asoado [ ] ET e ET [ a ] a [ ] C C T C e e s 2 ( + C [ R] a( a ER [ ] ET [ ] S A partr de estos valores es posble alular los tempos de espera utlzado la aproxmaó al problema M/G/ ya expresada aterormete o la sguete formulaó. W q 2 2 Ca + C e e ET 2 e [ ] e E esta fórmula hay que destaar que la tasa de utlzaó efetva vee afetada por la dspobldad del reurso tras elmar el tempo que está parado. e a ága 4 de 86

41 3..2 Iteraó hombre máqua. Hasta este mometo sempre se ha osderado que sólo u reurso (o ojuto de los msmos era lmtador de la apadad de la máqua. odría ser que tuvéramos que osderar que hay dos reursos asoados a la utlzaó de la máqua: por ejemplo la máqua msma y u operaro que le haga la preparaó ates de empezar a ejeutar. Desafortuadamete para este aso ta habtual o hay ua soluó geeral y habría que reurrr a dagramas de estado para alular todos los parámetros básos. E ese aso la odfaó de ada uo de los estados es bása para obteer e terpretar algú resultado. La propuesta de Curry y Feldma para u sstema o dos máquas détas y u operador es que ada estado lo represeta ua trpleta (,,j dode es el úmero de trabajos e el sstema, y j so el estado de ada ua de las máquas, pudedo ser ;s;p. da que la máqua está vaía y parada, s da que la máqua está sometda a u setup y p da que la máqua está e produó. 4. Seres y Redes 4. Itroduó E este apítulo se realza ua troduó al tema de las redes de olas. Esta es u área de gra terés vestgador y de aplaó, o problemas muy omplados de platear y de resolver. or este motvo se preseta úamete ua troduó de los oeptos básos auque su aplabldad e el modelado de sstemas de fabraó es más que evdete. Las Redes de Colas se puede desrbr omo u grupo de odos (sea k, e el que ada odo represeta ua stalaó de servo. Dha stalaó puede ostar de servdores (,...k E el aso más geeral los letes puede etrar e ualquer odo y, después de moverse por la red, puede salr e ualquer odo. ága 4 de 86

42 Detro de las Redes de Colas, se podrá espeal terés e las deomadas Redes de Jakso. Estas tee las sguetes araterístas:. Las llegadas desde el exteror al odo sgue u proeso de osso de meda γ 2. Los tempos de servo e ada odo y so depedetes y sgue ua dstrbuó egatva expoeal o parámetro, que podría ser depedete del estado 3. La probabldad de que u lete que haya ompletado su servo e el odo vaya al odo j es r j o,2,...,k, j,,...,k. 4. r, da la probabldad de que u lete abadoe desde el odo S añadmos las araterístas γ y r, para todo estamos e el aso de las Redes de Jakso erradas S o se da el aso ateror el problema se deoma de Redes de Jakso abertas Se osdera tres tpo de redes de Jakso: a Las redes de Jakso e sere b Las redes de Jakso e geeral Las redes de Jakso erradas E ualquer aso las prmeras so ua varate reduda de las segudas. ága 42 de 86

43 4.2 Colas e sere Se de que u sstema de olas es e sere s r y r j j + k k j e los demás asos.. Fgura 6: Sstema e sere. Los letes etra e el odo y sale e el odo k, después de pasar por ada uo de los odos. Cosderaremos úamete el aso de apadad fta de almaé etre ada etapa de la sere. Dado que o exste lmtaó e la apadad, ada estaó puede aalzarse de modo separado. or tato es eesaro eteder omo sale los letes de la prmera etapa dada las araterístas de la etrada y de la etapa de servo (,, Se puede demostrar que la salda de los letes de u sstema M/M// tee ua dstrbuó déta a la de la etrada, es der osso o meda. or tato ua sere se ompoe de k M/M/ / olas depedetes, sempre que la etrada sea osso, el servo sea expoeal y o haya restroes de apadad. La probabldad de que e u state dado haya letes e la etapa, 2 e la etapa 2... k e la etapa k es smplemete,2...k 2... k ága 43 de 86

44 4.3 Redes de Jakso abertas Se osdera que so redes de Jakso abertas uado: a La llegada extera a ualquer odo es osso γ b Todos los servdores de ada etapa tee u servo expoeal de meda De ada etapa u lete se mueve a otra etapa o probabldad r j, y al exteror o probabldad r, γ r, γ r, γ r, j r, γ r, γ r, Fgura 7: Ejemplo de ua Red Aberta de Jakso El rato de llegada a ada etapa se obtee medate las deomadas euaoes de tráfo γ + k j r de dode γ + R y por tato j j γ + ( I R Defedo La probabldad de que e el estado estaoaro haya letes e el odo, 2 e el odo 2, etétera: k r o a ( dode r! < r a( o, / o a ( oretamete s ága 44 de 86

45 2 k ( (...( k k k Cada etapa se omporta de modo depedete. Esto o sgfa que se omporte omo osso, auque el omportameto del valor medo permte osderar ada ola omo ua M/M/ depedete. Así pues: L L W La espera total esperada e el sstema es: W L γ 4.3. Redes de Jakso abertas o múltples tpos de letes Es ua geeralzaó bastate evdete que ada lete tega ua matrz de ruta R (t, sedo t... el tpo de lete. ara abordar este problema e prmer lugar hay que resolver las euaoes de tráfo de modo separado ( t γ ( t + ( I R ( t A partr del resultado ateror t ( t Todos los resultados aterores so ahora aplables. Además la presea meda de u lete de tpo t se puede alular omo: ( t ( t L ( (2 ( L 4.4 Redes de Jakso erradas S r y r, para todo, teemos u sstema de olas erradas lo que es equvalete a u sstema o N letes otuamete vajado a través de la red. ága 45 de 86

46 ága 46 de 86 Fgura 8: Ejemplo de Red Cerrada S para todo, las euaoes de tráfo so: k j j j j k j j j r r Como estas euaoes so redudates es posble asgar u valor ualquera a ualquer (por ejemplo. Las probabldades e el estado estaoaro so: k k k N G... ( dode + + N k k k N G ( E geeral, para ualquer valor de ( ( ( 2... k k a N G Π Dode < a!! ( Π N k k a N G... 2 ( ( ( 4.4. El aálss del valor medo El método ateror de aalzar las redes de olas erradas de Jakso tee u oste omputaoal elevado. Fudametalmete debdo a la oste de alular G(N r,j

47 El método del Aálss del Valor Medo (MVA, que se expla e este apartado, o requere alular G(N reduedo de este modo el tado oste omputaoal. Este método se basa e que la fórmula de Lttle es aplable a través de toda la red. Sea + L ( N W ( N dode W (N Tempo medo de espera e el odo para ua red o N letes Rato de servo medo e el odo L (N- Número medo de letes e el odo s hay N- letes e el sstema Segú la fórmula de Lttle: L (N (NW (N S pudéramos alular (N, podríamos evaluar W y L empezado desde N hasta N de modo reursvo. Sea v, etoes, por las euaoes de tráfo: v j v r j j j Dado que la ateror relaó es redudate porque la red es errada, estableemos v l y resolvemos para los otros odos. Defmos (,N omo la probabldad margal de que e el odo haya letes s e la red errada hay N letes E geeral ( N (, N (, N α ( dode ága 47 de 86

48 ága 48 de 86 < j j a a ( ( ( α El algortmo MVA osderado múltples servdores es el expresado a otuaó sguete: aso Resolver las euaoes de tráfo k j j j r v v asumedo v l aso 2 Ialzar L (, p (,, p (j,..k, j aso 3 ara hasta N, alular aso , ( ( ( ( ( j j p j L W aso 3.2 k l v W ( ( o l v aso 3.3 l v l, ( ( aso 3.4 W L ( ( ( aso 3.5 j k j j j..,.., ( ( (, ( α

49 5. Smulaó Alguos problemas o se puede resolver medate métodos aalítos. Etre otras razoes podría tarse la exstea de patroes o ormalzados de etrada y de servo, ua gra omplejdad del sstema a modelar o la aturaleza de la dspla de ola. Además, e oasoes, los resultados aalítos so para u estado estaoaro que ua se alaza, porque el sstema se terrumpe ates de abadoar el estado trastoro. E estos asos el aálss de las olas medate smulaó puede ser ua buea téa para eotrar el resultado. Hay que destaar, e ualquer aso que, s exste los modelos aalítos, éstos se debería utlzar. Auque la smulaó permte resolver, o aproxmar la resoluó, de muhos problemas tratables o es la paaea dado que resolver medate smulaó es equparable a realzar ua expermetaó. or tato hay que utlzar todas las herrametas asoadas al dseño y aálss de expermetos: Reogda y Aálss de Datos, realzaó de la expermetaó, aálss y osstea de resultados, et. Otro de los defetos del uso de la smulaó frete a los métodos aalítos, se preseta uado el objetvo es el dseño de u sstema y o su evaluaó. E ese aso el aálss por smulaó o permte utlzar téas de optmzaó oveoales, auque hay que admtr que alguas herrametas de smulaó orpora téas de optmzaó estoásta para resolver este tpo de problemas 5. Elemetos de u Modelo de Smulaó Cuatro so los elemetos a teer e ueta al abordar u modelo de smulaó de teoría de olas, supuesto dseñado el modelo físo : a Seleó de los datos de etrada b Smulaó. Aálss de los resultados d Valdaó del modelo. ága 49 de 86

50 Dado que estamos teresados e modelzar sstemas estoástos, los datos de etrada debe represetar del modo más fable posble la realdad. E oasoes se usa datos extraídos de la msma para reooer la estrutura de los datos de etrada. La ejeuó de la smulaó atualmete se realza medate paquetes formátos avazados (los deomados VIMS. El aálss de resultados tee que ver o el álulo de la efetvdad del sstema medate las téas estadístas apropadas. Además la valdaó del modelo es ua exgea que muhas vees se olvda al realzar modelos, q osste e omprobar que el sstema reaoa omo lo hae la realdad. 5.2 Modelzaó de las Etradas La Modelzaó de las Etradas es u requermeto o sólo de la smulaó, so de ualquer tpo de aálss probablísto y uméro. Los dos mayores problemas e la modelzaó de los datos de etrada so la seleó de la famla de dstrbuoes estadístas y ua vez estmada la famla estmar los parámetros que defe la fuó de los dferetes etradas. El prmero de los dos problemas es evdetemete el más omplado metras que el segudo sólo es abordable ua vez se ha resuelto la seleó de la famla de dstrbuoes estadístas. E muhos asos los paquetes de smulaó suele llevar ua herrameta de ajuste estadísto. Cuado esto o ourra deberemos reurrr a las dferetes téas estadístas para defr tato las famlas omo los parámetros. 5.3 Aálss de Resultados Alazar olusoes váldas a partr de los resultados requere u gra y udadoso esfuerzo. Cuado se smula sstemas estoástos, o es posble extraer olusoes a partr de ua úa smulaó que por aturaleza es estadísta. or tato para obteer olusoes es eesaro dseñar y ejeutar expermetos de ua maera lóga y omprehesva. Exste dos tpos de modelos de smulaó: otuos o terrumpdos. U modelo terrumpdo smularía por ejemplo u bao que abre a las 8: y erra a ága 5 de 86

51 las 4:, vaado la ola al fal del servo. S embargo u modelo otuo se podría asoar a u sstema produtvo dode el trabajo o el que se aaba u día, es o el que se omeza al día sguete. E este últmo aso es uado teresa los resultados e el estado estaoaro. E los sstemas que odue a modelos terrumpdos el estado estaoaro es geeralmete rrelevate. Lo que mporta es el valor medo alulable al reoger u erto úmero de resultados, admtedo sempre que lo que se obtee es u valor medo estmado e u tervalo de ofaza. E los sstemas que odue a modelos otuos el problema es u poo más omplado, porque hay que elmar de las muestras el estado trastoro, auque la defó de estado trastoro exgría el reoometo del estado estable y por tato del estado trastoro. Los más mportates paquetes de smulaó lleva orporado herrametas que realza estos ejeros medate los uales se puede alular los aterormete tados tervalos de ofaza. 5.4 Valdaó del Modelo La valdaó de los modelos es probablemete el paso más mportate, y probablemete també el paso más obvado por aquellos que modelza. Ates de ar el proeso de realzar u modelo de smulaó es eesaro que el modelzador se famlare o el sstema que tee que estudar. ara ello es eesaro volurar a todos los veles de persoal mplados e el proeso que va a ser smulado. E ese aso uo de los problemas que aparee es el exeso de detalles e el modelo que lo overte e mprodutvo. El prmer y fudametal paso e la valdaó es verfar que el programa hae lo que está prevsto que haga. Otro paso es defr el grado de redbldad, es der hasta que puto los que va a usar el modelo osdera que el msmo tee ua utldad y represeta la realdad e la meda que os teresa. ara ello es eesaro que los objetvos del estudo, las meddas de redmeto y el vel de detalle debe patarse y mateerse e el vel más smple posble. ága 5 de 86

52 Cuado sea posble, los resultados de las smulaoes se debe omprobar o la realdad. S esta o estuvera dspoble habría que tetar reprodur modelos teóros o soluoes oodas medate métodos aalítos. ága 52 de 86

53 6. roblemas 6. Eargado de Bbloteas U estudate trabaja omo eargado de ua bblotea por las ohes y es el úo e el mostrador durate todo su turo de trabajo. Las llegadas al mostrador sgue ua dstrbuó de osso o ua meda de 8 por hora. Cada usuaro de la bblotea es ateddo de uo e uo, y el tempo de servo sgue ua dstrbuó expoeal o ua meda de 5 mutos. a Cuál es la probabldad de que se forme ola? b Cuál es la logtud meda de la ola? Cuál es el tempo medo que u lete pasa e la bblotea hasta que le ha ateddo? d Cuál es el tempo medo que u lete pasa e la ola esperado a que le ateda? e El estudate pasa su tempo e que o hay letes lasfado artíulos de revstas. S puede lasfar 22 fhas por hora omo meda uado trabaja otuamete, uátas fhas puede ordear durate su trabajo? 6.2 Matemeto de Cohes Ua ompañía de alquler de ohes tee u servo de matemeto de ohes (revsó del aete, freos, lavado que sólo es apaz de ateder los ohes de uo e uo y que trabaja 24 horas al día. Los ohes llega al taller o ua meda de 3 ohes por día. El tempo que dura el servo de matemeto de u ohe sgue ua dstrbuó expoeal de meda 7 horas. El servo de matemeto uesta a la ompañía 375 euros por día. La ompañía estma e 25 euros/día el oste de teer el ohe parado s poderse alqular. La ompañía se platea la posbldad de ambar el servo de matemeto por uo más rápdo que puede bajar el tempo de matemeto a ua meda de 5 horas, pero esto també supoe u remeto del oste. Hasta que valor puede aumetar el oste para que la ompañía otrate los uevos servos de matemeto? ága 53 de 86

54 6.3 Comdas Rápdas Nuestro loal de omda rápda, as, tee muho que apreder sobre teoría de olas. Ista a los letes a que forme 3 olas e las que se dstrbuye de forma aleatora delate de los empleados durate el perodo de omdas daro. Además ha stalado etre las tres olas barreras para que los letes o se pase a otras olas para prever que la gete se ambe de ola. Llega los letes segú ua dstrbuó de osso o ua meda de 6 por hora y el tempo e que u lete es servdo varía segú ua dstrbuó expoeal de meda 5 segudos. Asumedo el estado permaete del sstema, uál es el tempo medo de estaa del lete hasta que ha sdo ateddo? El gerete de as ha reído ahora que es preferble ua úa ola para dstrbur falmete a los tres servdores y por tato las barreras so elmadas. uál es el tempo de espera de este modo? 6.4 Coordaó de trasmsoes Ua orgazaó está atualmete evuelta e el establemeto de u etro de teleomuaoes para teer ua mejor apadad de las msmas. El etro deberá ser el resposable de la salda de los mesajes así omo de la etrada y dstrbuó detro de la orgazaó. El eargado del etro es el resposable de determar los operadores que debe trabajar e él. Los operaros eargados de la salda de mesajes so resposables de haer pequeñas orreoes a los mesajes, mateer u íde de ódgos y u fhero o los mesajes saletes e los últmos 3 días, y por supuesto, trasmtr el mesaje. Se ha establedo que este proeso es expoeal y requere ua meda de 28 m/mesaje. Los operaros de trasmsó trabajará e el etro 7 horas al día y o días a la semaa. Todos los mesajes saletes será proesados segú el orde e que se vaya rebedo y sgue ua dstrbuó de osso o ua meda de 2 por ada 7 horas daras. Los mesajes debe ser ateddos e 2 horas omo máxmo. Determe el úmero mímo de persoal que se eesta para umplr este rtero de servo. ága 54 de 86

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