RESUMEN. Palabras clave: Ecuación de Richards, drenaje, infiltración de fluidos, zonas saturadas. 1. INTRODUCCIÓN

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1 INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) ISSN UNA NUEVA ALTERNATIVA NUMÉRICA PARA LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE RICHARDS: ESTUDIO DE DRENAJE E INFILTRACIÓN DE FLUIDOS EN LA ZONA NO SATURADA RESUMEN Evelyn Álvarez Serra*, Lllam Álvarez Díaz** y Mara Teresa Alonso González*** * Unversdad Prvada Bolvana **Mnstero de Cenca y Tecnología, Cuba ***Unversdad de la Habana, Cuba En el trabajo se comparan dos métodos numércos para resolver el modelo undmensonal de nfltracón y drenaje de agua en la zona no saturada en medos porosos, el cual es modelado respecto al contendo de humedad utlzando la ecuacón no-lneal de Rchards. El prmer método está basado en el método clásco de Dferencas Fntas y el segundo en el método de Líneas combnado con el códgo DASSL para la solucón de las ecuacones dferencales-algebracas resultantes. Se muestra que el últmo método proporcona una vía numérca efcente para la solucón de problemas de EDPs que tenen un comportamento sngular de shock u ondas vajeras, como es el caso de la ecuacón de Rchard, los cuales se pueden resolver numércamente con éxto sólo utlzando esquemas muy estables. Los métodos numércos dscutdos en el trabajo se aplcan a dos tpos de suelos reales: Yolo Lght Clay y Brndabella Slty Clay Loam, usando las propedades hdráulcas referdas en Broadbrdge y Whte [6]. Para valdar el modelo, se comparan los perfles de humedad con los resultados reportados por Warrck, Lomen e Islas [8]. Igualmente, se demuestra con datos reales la ventaja de resolver numércamente el comportamento del flujo undmensonal en la zona no saturada de un medo poroso. Fnalmente, el modelo propuesto y los resultados numércos obtendos posbltan brndar un pronóstco sobre la utlzacón de recursos hídrcos para el caso de rego en agrcultura y tambén para el transporte de contamnantes. Palabras clave: Ecuacón de Rchards, drenaje, nfltracón de fludos, zonas saturadas.. INTRODUCCIÓN En los últmos años se observa en el ámbto mundal una tendenca crecente al estudo de problemas relatvos al agua subterránea. S a prncpos del sglo XX era posble resolver los problemas de explotacón de depóstos de agua subterránea por métodos relatvamente aproxmados y sn una base centífca rgurosa, la necesdad de poder determnar con la mayor precsón posble los recursos de agua subterránea y la forma óptma de su explotacón, undo al carácter complejo de los factores que ncden en su ocurrenca y aprovechamento, mplca necesaramente la utlzacón de métodos más rgurosos y de técncas modernas. El estudo en la Zona Saturada es mucho más sencllo debdo prncpalmente a que el valor de la conductvdad hdráulca (K), se mantene constante a efectos práctcos. Revste gran mportanca el estudo del flujo de agua en suelos No Saturados, caso típco de los problemas de rego en cualquera de sus varantes (por gravedad, por aspersón ó rego localzado). Es por ello que, durante las últmas tres décadas, han sdo desarrollados modelos numércos para flujos no saturados. Una de las prmeras aplcacones al estudo del flujo multfase en medos porosos para suelos parcalmente ocupados por are fue desarrollado por Rchards en 93 [] medante un modelo de ecuacones dferencales parcales no lneales, (EDPs). Estos flujos son nherentemente no lneales, por lo que la smulacón numérca es la únca estratega efectva para estudar su comportamento cuanttatvo. Se conoce que la smulacón numérca de la nfltracón de agua en suelos no saturados es un problema numérco muy dfícl cuando se tene en cuenta la presón de are [ 6]. Varos son los métodos numércos utlzados para resolver este tpo de problema, entre ellos el de Dferencas Fntas [4 y 5], Elementos Fntos y los Métodos de Elementos de Contorno [7]. Otro de los métodos utlzados para la solucón de la ecuacón de flujo en la zona no saturada es el Método de Líneas, el cual comenzó a desarrollarse en la década del 80 a partr de la aparcón de códgos que resolvían efcentemente las Ecuacones Dferencales Algebracas (EDAs) resultantes [8 y 9]. Los resultados de Grepentrog y März [0], así como los de Petzold [9] en la década de los 80, fueron fundamentales tanto UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) 33

2 UNA NUEVA ALTERNATIVA NUMÉRICA para el avance en la comprensón teórca de las EDAs como para el dseño de algortmos efcentes para su solucón numérca. Al estar dsponble para el públco el códgo DASSL [8], se abreron las puertas a la solucón de las EDAs, lo cual causó un boom en la década de los 80 con el uso de paquetes altamente efcentes como ODEPACK, las famlas LSODE, LSODI y LSODA para problemas no-stff y stff, hoy tambén dsponbles en MATLAB [ y ]. Con el códgo DASSL quedó entonces despejado el problema de poder resolver las EDAs obtendas al aplcar el Método de Líneas a los sstemas de EDPs con restrccones algebracas añaddas, como es el ejemplo que se plantea en el presente trabajo. El Método de Líneas ha sdo aplcado para resolver EDPs en los años recentes [3 y 4]. En este trabajo se propone calcular el contendo de humedad de dferentes tpos de suelos resolvendo numércamente la ecuacón de Rchards, especfcada en la seccón, el desarrollo de su solucón numérca a través de un esquema en Dferencas Fntas y el Método de Líneas apoyado en el códgo DASSL, seccón 3. En la seccón 4, a modo de valdacón, se aplcó esta técnca a dos suelos reales: el Yolo Lght Clay y Brndabella Slty Clay Loam, usando las propedades hdráulcas referdas en Whte and Broadbrge [5 y 6], obtenéndose los perfles de humedad para cada suelo.. MODELO MATEMÁTICO DE INFILTRACIÓN El proceso de ntroducr suavemente un líqudo entre los poros de un sóldo, por ejemplo el suelo, ya sea debdo a causas naturales como las lluvas o causas externas como un derrame de petróleo, se denomna nfltracón. S la porcón de suelo está compuesta por moléculas de agua, suelo y are báscamente, se trata de un problema de nfltracón en Zona No Saturada, lo contraro sgnfca suponer ausenca de are y una saturacón de agua en los poros del suelo, es decr, la Zona Saturada, Fgura. X = 0 Nvel freátco Fgura Composcón de un suelo. Para la modelacón del proceso de nfltracón de agua en Zona No Saturada se utlzan los sguentes parámetros: Contendo de humedad, El contendo de humedad de una porcón de suelo se defne como: ( x, t) 34 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) V a = () V donde V a es el volumen de agua y V el volumen total de la porcón de suelo. La funcón ( ) depende de la profunddad (x) y el tempo (t). Conductvdad hdráulca, K() La conductvdad hdraúlca, tambén conocda como permeabldad, es la capacdad del suelo para conducr agua a través de una red de conductos nterconectados y contnuos. Cuando el contendo de agua

3 ÁLVAREZ, ÁLVAREZ Y ALONSO decrece, el tamaño y el número de estos conductos se reduce, por eso la capacdad de conduccón de agua decrece; por el contraro, cuando el suelo está completamente saturado, los conductos están dsponbles y por tanto la conductvdad hdráulca estará en su máxmo. En la zona no saturada, la conductvdad hdraúlca K se calcula como el producto de la conductvdad hdraúlca en la zona saturada con la conductvdad hdraúlca relatva. La prmera es una constante propa de la zona saturada, la segunda es una funcón que varía según el contendo de humedad: ( ) La conductvdad hdráulca relatva K r se defne por la relacón: K( ) = KsKr () r Kr ( ) = r s a = H S a (3) donde, S: succón o potencal mátrco, H: capacdad de retencón de agua, r : contendo de humedad resdual (constante que representa la cantdad de agua que se mantendrá en el suelo aún s se presenta un proceso de drenaje), s : contendo de humedad saturado (en la zona saturada), (valor constante). Para la ecuacón de conductvdad hdráulca se tomaron resultados empírcos referdos en [] y [5], donde: β = K [+ C( C )] K s K = K K s ( ) λ = C C K = b= + C r s r r K( ) = β + γ ( b ) + λ [ ( b )] (4) C es una constante que mde el factor de textura del suelo, es decr, s la proporcón de poros en el suelo es grande o pequeña. Dfusvdad hdráulca, D() La dfusvdad hdráulca es la capacdad de dfusón de agua en dferentes tpos de suelos. Se utlzará la sguente ecuacón de dfusvdad hdráulca: ( ) D( ) = a b (5) Fnalmente, la ecuacón del flujo expresada en funcón del contendo de humedad (), está dada por la ecuacón de Rchards, que surge de la ecuacón de contnudad tenendo en cuanta la exstenca del proceso de dfusón desde el nvel del suelo (x > 0) hasta el nvel freátco (x < L): K = D( ) t x x x (6) Tomando como condcón ncal: UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) 35

4 UNA NUEVA ALTERNATIVA NUMÉRICA s 0< x l ( x, 0) = (6.) r x> l donde l es la profunddad de cambo entre el contendo de humedad resdual y saturado. Este valor es determnado por las medcones de campo en un tempo ncal y debe ser menor al valor de frontera L. A la ecuacón (6) se añaden las sguentes condcones de fronteras: x= 0 : K( (0, t) ) D( (0, t) ) = v ( x) = R, x x= L : ( L, t) = r (6.) con R la recarga hdráulca, es decr la velocdad con que se mueve el agua dentro del suelo. Normalmente, R = v(x) depende de la profunddad, pero en este trabajo se tomó como constante dentro de la zona no saturada y con sgno postvo contraro a la gravedad. Los valores de S, C, K, son dados en la Tabla (admensonados) []. TABLA - PROPIEDADES HIDRÁULICAS DE LOS SUELOS Parámetro Suelo Yolo Lght Clay Suelo Brndabella Slty Clay Loam K s K r.6 (0) (0) -5 K r.(0) -0 0 S( s, r).54(0) (0) -3 s - r r C h(c) / (C-) λ TÉCNICA NUMÉRICA Los métodos numércos cláscos para resolver Ecuacones en Dervadas Parcales requeren de una dscretzacón de todas las dervadas por Dferencas Fntas o por Elementos Fntos. En esta seccón prmeramente se mostrarán dos esquemas mplíctos en dferencas: el método de Dferencas Fntas haca delante y el método de Lax Fredch y luego se desarrolla el Método de Líneas donde solamente se dscretzan las dervadas espacales (x), converte el problema de dervadas parcales en un sstema de ecuacones dferencales algebracas (EDAs) en el tempo. 3. MÉTODO EN DIFERENCIAS FINITAS En la ecuacón (6) se dscretza la varable espacal, medante un esquema en dferencas fntas de tpo mplícto [7], consderando un tamaño de paso constante x, o sea: donde ( t) =, D ) x, ( ) ( ) + D( ) = ( D + D ) ( D + D ) + + x x x x x K = x = y K K( ) D( K =. K x (7) (8) 36 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006)

5 ÁLVAREZ, ÁLVAREZ Y ALONSO En el caso de la dscretzacón del tempo se consderan dos esquemas, uno de tpo mplícto haca delante, con tamaño del paso gualmente constante t, o sea: n+ n = t t (9) y el esquema de Lax Fredrch, donde se remplaza n por un promedo en el espaco: ( + ) = t t n+ n n + (0) Las funcones D( ) y K ( ) son no lneales, por lo que en la construccón de los esquemas en dferencas sguentes, se toman sus valores en el tempo anteror. Así, la solucón del modelo se obtene resolvendo un sstema de ecuacones algebracas lneales. Para el caso del esquema haca delante, susttuyendo (7), (8) y (9) en (6) resulta: n+ n n+ n+ n+ n+ n n n n ( + ) n n ( ) K K = ( D+ + D ) ( D + D ) t x x x () n n n n n donde = ( x, t ) ; D = D( ) K = K ( ); =,, k. n En el esquema de Lax-Fredrch, se susttuyendo (7), (8) y (0) en (6) se tene: ( + + ) n+ n+ n+ n+ n n ( + ) n n ( ) = ( D+ + D ) ( D + D ) t x x n+ n n Con las condcones de fronteras (6.) para ambos esquemas en x= 0 ( = ): () y en x = L ( = k + ): n+ n+ n+ n+ K D = R (3) x (( ) ) n+ + + k = k n+ t (4) Además de la condcón ncal (6.) en t = 0: con =,..., k+ 3. MÉTODO DE LÍNEAS 0 0 ( x) = (5) Para el método de Líneas, la dscretzacón en el espaco se mantene gual que en Dferencas Fntas. Agregando las condcones de frontera como restrccones algebracas, se converte el problema en el sguente sstema de ecuacones dferencales algebracas de valor ncal. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) 37

6 UNA NUEVA ALTERNATIVA NUMÉRICA ( ) K D = R x ( ) ( ) ( ) ( ) + ( K K ) D D D D = , =,..., k t x x x ( L, t) = k+ 0 ( x, 0) =, =,..., k (6) 4. APLICACIONES Para resolver numércamente los esquemas (, 3, 4 y 5) y (-5) obtendos en la seccón 3, se escrbó prmeramente un códgo en Matlab para resolver un sstema de ecuacones lneales. En el caso del esquema (6), se utlzó el códgo DASSL para resolver Sstemas de Ecuacones Dferencales Algebracas (EDA). El códgo DASSL es un software dseñado por L. Petzold en 98 [9] en FORTRAN 77, que resuelve numércamente sstemas de Ecuacones Dferencales Algebracas mplíctas y explíctas de índce 0 o con condcones de valor ncal. Entendéndose como índce de una EDA, las veces que es necesaro dervar la ecuacón hasta obtener la dervada de la varable dependente como una funcón contnua de la ndependente. El tratamento numérco de estos problemas por el DASSL está basado en las fórmulas en dferencas haca atrás, (Backward Dfference Formulas) [8], una herramenta poderosa en cuanto a la establdad del esquema. Dependendo del comportamento de la solucón, el códgo seleccona automátcamente el tamaño del paso en el tempo y el orden de las BDF. El análss teórco de la convergenca de las BDFs aplcadas a las EDAs, la manera en que se mplementan los métodos de multpasos del predctor corrector, así como las estrategas de seleccón automátca del paso y del orden del método, están ben documentadas en la referenca [8]. A contnuacón se smula el proceso de nfltracón y drenaje con dferentes condcones de frontera. En todos los casos las varables fueron consderadas sn dmensones, de acuerdo con las expresones en [8]. Los ejemplos escogdos pertenecen a los suelos tpo Yolo Lght Clay y Brndabella Slty Clay Loam caracterzados por las propedades hdráulcas referdas en [5], Tabla. Caso : Proceso de nfltracón en un suelo de tpo Brndabella Slty Clay La condcón ncal se caracterza por: ( x, 0) < x 0.5 = 0. x> 0.5 y la condcón de frontera fnal ( L, t ) = 0., con L = 0.4 y la recarga R = -(4.58)(0) -6. Las gráfca a, b y c de la Fgura representan las solucones obtendas al resolver el Caso por los métodos de Dferencas Fntas, Lax Fredrch y de Líneas, respectvamente. Los valores del tempo osclan entre 0 y 80 horas, con un t = 0. Según los dos prmeros métodos, gráfcosa y b, en el ntervalo [0., 0.3] de profunddad, la solucón se comporta de manera nestable, sendo mposble segur el comportamento de la solucón de un problema stff, como es el caso de la ecuacón de Rchard. Sn embargo, en la gráfca c, que muestra la solucón por el Método de Líneas, no aparecen nestabldades en este ntervalo, lo cual es una prmera ventaja del método para este tpo de ecuacones, rechazando así los métodos en dferencas fntas en la solucón de la ecuacón de Rchard. 38 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006)

7 ÁLVAREZ, ÁLVAREZ Y ALONSO a) Drencas Fntas b) Lax-Fredrch c) Método de Líneas Fgura - Comparacón de métodos para el Caso Para la valdacón del modelo se utlzó los datos expermentales reportados en [8]. En este caso, se conocen valores luego de transcurrr 5 horas y hasta una profunddad de L=0.4. Las condcones ncales sufren una lgera transformacón con respecto al caso anteror ( x, 0) y los demás parámetros se mantenen nalterados < x 0.5 = 0. x> 0.5 En la Tabla se comparan los resultados expermentales con los numércos, estos últmos obtendos por el Método de Líneas y el códgo DASSL luego de un proceso de nterpolacón. Se observa que el mayor error relatvo que aparece en la tabla es del orden de 3 0 -, una cantdad aceptable para este tpo de resultados en el área de la ngenería hdráulca, además no se aprecan osclacones de dvergenca como en los casos de los esquemas en dferencas, a pesar de que la solucón sgue un comportamento de shock u ondas vajeras, un cambo brusco tendendo a la dscontnudad de la funcón. Para una mejor comparacón vsual de los resultados de la Tabla, se realzó la Fgura. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) 39

8 UNA NUEVA ALTERNATIVA NUMÉRICA TABLA COMPARACIÓN DE RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMÉRICOS Profunddad Contendo de Humedad Numérco Contendo de Humedad Expermental Error Relatvo E E E E E E E E E E+00 Fgura - Comparacón gráfca del análss expermental y numérco. Caso : Infltracón con dstrbucón de humedad ncal constante Para un segundo caso de nfltracón, se consdera como condcón ncal (x,0) = 0., con gual flujo de recarga que en el anteror caso R = -(4.58)(0) -6. Este tpo de condcón ncal sgnfca que para un tempo ncal el perfl del suelo tene una dstrbucón de humedad constante a cualquer nvel de profunddad, lo que representa en el modelo matemátco una condcón de tpo Drchlet. Este tpo de dstrbucón del contendo de humedad nfluye en el comportamento de la conductvdad y dfusvdad. En las gráfcas de la Fgura 3 se comparan los resultados obtendos utlzando los Métodos en Dferencas Fntas y el de Líneas para los perfles de contendo de humedad versus profunddad. Se consdera un paso de tempo de 0 horas. En las gráfcas 3a y 3b de la Fgura 3 se apreca claramente la nestabldad del método en Dferencas Fntas y Lax-Fredrch en el ntervalo [0.5, 0.6]. Sn embargo, en la gráfca 3c, que corresponde al Método de Líneas, la solucón es estable y sgue el comportamento esperado, en la medda que aumenta el tempo el perfl de humedad baja lentamente con la profunddad, Tabla UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006)

9 ÁLVAREZ, ÁLVAREZ Y ALONSO 0. Dferenca Fnta Lax-Fredrch Método de Líneas Fgura 3 - Comparacón de métodos para el Caso TABLA 3 PERFIL DE HUMEDAD TIEMPO PROF Además, para una condcón ncal más seca, la propagacón del frente húmedo se transporta a mayor profunddad que cuando la condcón ncal del suelo es más húmeda, como en el Caso. Caso 3: Drenaje desde un perfl húmedo sn evaporacón para un suelo tpo Yolo Lght Clay Los parámetros que se utlzan en este caso son de un suelo tpo Yolo Lght Clay, con drenaje desde un perfl húmedo sn evaporacón, con flujo de recarga R = 0. Se toma como condcón ncal una de tpo Remann: ( x,0) < x 0.5 = 0. x > 0.5 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) 4

10 UNA NUEVA ALTERNATIVA NUMÉRICA a) Dferencas Fntas b) Lax -Fredrch c) Método de Líneas Fgura 4 - Comparacón de métodos para el Caso 3. A pesar de que en este caso se trabajó con otro tpo de suelo, los resultados numércos con los tres métodos sguen el msmo comportamento que con el suelo Brndabella Slty Clay, Fgura 4. Con el Método de Líneas se obtene una solucón estable, con el de Dferencas y Lax-Fredrch la solucón presenta nestabldades en el ntervalo [0., 0.35]. Fnalmente, con estos ejemplos reales se puede verfcar que a pesar de ser la ecuacón de Rchard muy stff, con una solucón de tpo shock, el Método de Líneas es una herramenta muy poderosa que permte segur su comportamento, valdando de esta manera el modelo matemátco y su solucón numérca. 4 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006)

11 ÁLVAREZ, ÁLVAREZ Y ALONSO 5. CONCLUSIONES Para resolver la ecuacón de Rchards, el Método de Líneas combnado con las fórmulas en dferencas haca atrás demostró ser el más apropado. En cuanto al método en Dferencas Fntas, el esquema mplícto centrado no converge en nngún caso, sn embargo el de Lax Fredrch puede segur el comportamento de la solucón sempre y cuando la condcón ncal no sea constante. La precsón en el cálculo del contendo de humedad posblta brndar un pronóstco adecuado necesaro en los estudos de recursos hídrcos y medo ambentales como por ejemplo, el rego en la agrcultura, el transporte de contamnantes, derrames hdrocarburíferos, lluvas ácdas, etc. 6. BIBLIOGRAFÍA [] L. A. Rchards, Capllary conducton of lquds n porous meda, Physcs, No 5, (93), pp [] R. G. Hlls, I. Porro, D. B. Hudson, and P. J. Werenga, Modelng one-dmensonal nfltraton nto very dray sols, Water Resources Research, (989), pp [3] P. J. Ross, Effcent numercal methods for nfltraton usng Rchards equaton, Water Resources Research, Vol. 6, (990), pp [4] M. R. Krkland, R.G. Hlls, Algorthms for solvng Rchards equaton for varably saturated sols, Water Resources Research, (99). [5] B. N. Wlson and D. C. Slack, A comparson of three Infltraton Models, (98). [6] A. G. Wllams, C. T. Mller, C.T. Kelley and M. D. Tocc, Approaches to Modelng Rchards Equaton, (996). [7] V. Letâo, M. H. Alabad and D. P. Rooke, The dual boundary elements formulaton for elastopalastc fractury mechancs, Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng. [8] K. E. Brenam, S. L. Campbell and L. Petzold, Numercal soluton of ntal value problems of dfferental-algebrac equatons, Elsever Publs., (989). [9] L. R. Petzold, A descrpton of DASSL, a dfferental/algebrac solver, SANDIA Report, SAND , (98). [0] E. Grepentrog and R. März, Dfferental-Algebrac Equatons and ther Numercal Treatment, Teubner, Lepzg, (986). [] Hndmarsh, LSODE and LSODI, Two ntal value ordnary dfferental equaton solvers, ACM SIGNUM Newsletter, 5, (980), pp0-. [] L. Shampne and M. W. Rechelt, The Matlab ODE, Sute (999). [3] C. Cunha, L. Alvarez, Numercal soluton of the Rapoport-Leas equaton usng the method of lnes and the DASSL code, Relatoro de Pesqusa No.50/997, IMECC, Brazl; Journal on Computatonal Mathematcs and Math. Phys, Vol., (998), pp [4] J. M. Sanz - Serna, Converge analyss of one-step schemes n the method of lnes, Appled Math and Comput., (993), pp [5] P. Broadbrge P, and I. Whte, Constant rate ranfall nfltraton: A versatle nonlnear model,. Analytcal soluton, Water Resources Res., 4, NO.45-54, 988(a). [6] I. Whte and P. Broadbrge, Constant rate ranfall nfltraton: A versatle nonlnear model, : Applcatons of Solutons, Water Resources Research, 4, (988), pp [7] A. A. Samarsk, Introduccón a los Métodos Numércos, Ed. Mr, (98). [8] A. W. Warrck, D. O. Lomen and A. Islas, An analytcal soluton to Rchards Equaton for dranng sol profle, Water Resources Research, Vol. 6, No., (990), pp UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO 6: (006) 43