Departamento de Física y Matemáticas, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de

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1 Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 6, núm. 2 (2011), pp Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales Linda Margarita Medina Herrera Ernesto Pacheco Velázquez Recibido 12 de enero de Aceptado 15 de abril de 2011 Resumen En este artículo se analiza la correlación de los principales índices financieros mundiales. Se compara la estructura del árbol de expansión mínima construido a partir de la matriz de correlación (distancia euclídea) con los árboles de expansión mínima obtenidos usando tres distancias no euclideas. Se encuentra que los mercados en Europa Occidental, Asia y Norteamérica forman grandes conglomerados; mientras que los índices de las bolsas de Sudamérica, Europa del Este y África forman bloques menos fuertes. Se encuentra, además, que las distancias City Block y Chi-City Block permiten distinguir de una manera más clara los conglomerados y el vértice central del árbol, siendo preferibles sobre el coeficiente de correlación de Pearson para analizar la estructura de correlación de los árboles. Abstract This paper analyzes the correlation of the world main financial indexes. We compare the structure of the minimum spanning tree constructed from the correlation matrix (Euclidean distance) with minimum spanning trees obtained using three Non-Euclidean distances. It is found that indexes in Western Europe, Asia and North America form large clusters, while the indexes of South America, Eastern Europe and Africa are less strong blocks. It is also found that the distances Chi-City Block and City Block, best separate clusters and point exactly the central vertex of the tree. The above distances are preferable to Pearson correlation coefficient to analyze the correlation structure of the trees. Clasificación JEL: C02, C22, C38, C45, C61,C81,D85 Palabras clave: Índices Financieros. Correlación. Distancias. Árboles de expansión mínima. 1. Introducción La globalización financiera es un fenómeno que se ha venido desarrollando en las últimas décadas. Las crisis financieras que han azotado a numerosos países Departamento de Física y Matemáticas, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México, Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 2, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, México, D.F., Teléfono +52(55) , linda.medina@itesm.mx Departamento de Ingeniería Industrial, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México, Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 3, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, México, D.F., Teléfono +52(55) , epacheco@itesm.mx

2 Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales 89 y regiones del mundo, han sido frecuentes y con repercusiones que se han hecho notar en zonas geográficas muy distantes de su origen. La estrecha interrelación entre los mercados, la inestabilidad financiera y las crisis económicas han producido una abundante literatura tratando de encontrar las causas de estos procesos, anticiparlos y analizar y comprender la manera en que estos efectos son transferidos. Desde hace unos veinte años se ha venido desarrollando una literatura paralela que entiende los mercados financieros como sistemas que son influenciados por una gran cantidad de información en tiempo real. Esta literatura estadística se ha denominado Econofísica y ha tratado, especialmente, de establecer estructuras jerárquicas, taxonomías y simular el proceso aleatorio de los valores o los tipos de cambio de diversas acciones o monedas con el objeto de analizar el grado de correlación que existe entre las acciones y los diferentes mercados financieros (Mantegna, 1999; Bonano, 2001; Ortega, 2005; Medina, 2010; entre muchos otros). En artículos recientes se ha mostrado la importancia de los árboles de expansión mínima en el análisis del comportamiento de activos financieros. La mayoría de estas investigaciones utilizan la distancia euclidea para construir los árboles, una de las razones más importantes para que esto suceda es la facilidad para obtener esta distancia a partir de la matriz de correlación. No obstante, no existe ninguna evidencia de que esta distancia sea la más adecuada para la construcción y el análisis de estos árboles. De hecho, en este artículo se mostrará que otras distancias no euclideas permiten analizar de una manera más adecuada, la estructura de correlación de los índices mundiales. El presente artículo analiza la estructura jerárquica y la dinámica de las relaciones existentes en un conjunto de índices mundiales. Para ello, se construye árboles de expansión mínima (MST) y se calcula las medidas más importantes sobre dichas redes. 2. Revisión de la Literatura Desde los trabajos fundamentales de Mantegna, Bonano y otros (1989), una gran cantidad de literatura ha proporcionado pruebas abrumadoras de que los mercados de valores se comportan como sistemas complejos. Existe una amplia evidencia de que es posible estudiar las propiedades topológicas de las redes financieras, que tienen asociada un taxonomía económica significativa. M. Tumminello, F. Lillo, R.N. Mantegna, (2010) presentan una novedosa e interesante revisión de esta literatura. Los árboles de expansión mínima han sido usados en la optimización de portafolios (Bonano, 2004), Onnela, Chakraborti, Kaski y Kertész (2002) explotando la idea de que los activos del portafolio óptimo de Markowitz están prácticamente todo el tiempo en las ramas externas del árbol. Se han definido importantes medidas topológicas, con el fin de caracterizar los árboles y clasificar los vértices dependiendo de sus distancias a un vértice especial que simula el centro de masa del árbol (M. Barthélemy, A. Barrat, R. Pastor-Satorras, 2005). Algunos estudios empíricos han mostrado que estas medidas son altamente susceptibles a las crisis del mercado y que clasifican los sectores económicos de acuerdo a su importancia relativa en el árbol (Kim, D., and Jeong, H.,2005),

3 90 Revista de Administración, Finanzas y Economía (Tabak, B. Serra, T. Cajueiro, D., 2010), (Medina, L. Mansilla, R.,2007) y (Medina, L. Díaz, B.,2011). La investigación reciente ha aportado indicios de que las redes financieras evolucionan con el tiempo (R. Coelho, S. Hutzler, P. Repetowicz, P. Richmond, 2007). Sin embargo, hasta ahora no hay una prueba clara de si los parámetros que caracterizan a las redes financieras cambian en cierto plazo. Tampoco existe evidencia de que la distancia euclidea y el coeficiente de correlación que se obtiene a partir de ella, sea la forma más adecuada de obtener la taxonomía de los árboles. Este documento pretende contribuir a este debate, comparando distancias y analizando la taxonomía de los árboles. 3. Distancias y árboles de expansión mínima Sea N el número de acciones con precio P i (t) para el activo i en el tiempo t, con t = 0, 1, 2,, T. Tomamos S i (t) como el logaritmo de los rendimientos de los activos S i (t) = lnp i (t) lnp i (t 1) y al estandarizar la serie, obtenemos Z i (t) = Z it. Las distancias que usaremos son: 1. La distancia euclidea. d 2 (Z i, Z j ) = T (Z ik Zjk) 2 = 2 2 ρij k=1 donde: ρ it es el coeficiente de correlación entre Z i y Z j. 2. Distancia de Manhattan o city block. 3. Distancia chi-cuadrado. d M (Z i, Z j ) = d X 2(Z i, Z j ) = 4. Distancia chi-city block. d X (Z i, Z j ) = T Z ik Z jk k=1 T w k (Z ik Z jk ) 2 k=1 T w k Z ik Z jk k=1 La distancia chi-cuadrado permite estandarizar las distancias en términos de sus rangos o desviaciones estándar. En este caso el análisis se realizó utilizando los rangos. El cálculo de los pesos se realizó usando w i = 1 R i donde R i es el rango de los precios de las acciones del día i con i = 1, 2,...,T. Una vez calculada la matriz de distancia para cada una de estas distancias, se construyen los correspondientes árboles de expansión mínima. Un árbol de expansión es una gráfica de N objetos (vértices o nodos) unidos por N 1 arcos que permiten ir de un vértice a cualquier otro. Si cada arco

4 Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales 91 representa una distancia o costo, o en general si a cada arco se le asocia un peso (número real), la suma de los pesos de todos los lados de un árbol, será el peso total del árbol. Un árbol de expansión mínima es un árbol de expansión que minimiza el peso total del árbol. Revisaremos brevemente las diferentes medidas y parámetros que nos permitirán una primera caracterización estadística de los árboles. Fortaleza del vértice: la fortaleza del vértice si se define como: S i = jɛv (i) La fortaleza del vértice integra la información de su conectividad y de la importancia de los pesos de sus vértices conectados. Grado del vértice: El grado del vértice i, K(i), es el número de nodos que están conectados directamente al nodo i, esto es, el número de elementos que integran la vecindad de i, (V (i)). El Promedio de ocupación: es la distancia promedio del vértice v i a los demás vértices, esto es: l(v i ) = 1 N El nodo con promedio de ocupación más baja es el centro de masa del árbol. El vértice central: El vértice central V c es considerado como la raíz de todos los vértices del árbol. Se usa como punto de referencia en el árbol, contra el cual la posición de los demás vértices es relativa. Hay un poco de arbitrariedad en la elección del vértice central, usaremos los siguientes criterios que pueden ayudar a escoger al mejor candidato: el vértice de mayor grado, el vértice de mayor peso y el centro de masa. Árboles empíricos Las series de tiempo que conforman la base de datos para este estudio están formadas por los precios de cierre diario de 45 índices: América del Norte (6), América del Sur y el Caribe (7), Europa Occidental (8), Europa Oriental (7), África (6), Asia y Oceanía (11) en el periodo comprendido entre 01/01/2005 y 27/09/2011. La Fig. 1 Muestra el árbol de expansión mínima de los índices financieros cuando se utiliza la distancia euclidea. En el árbol se distinguen claramente tres grandes conglomerados: el de América del Norte, liderado por S&P500 de USA; el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; y el de Asia y Australia liderado por HSI de Hong Kong. México aparece unido al conglomerado de América del Norte, pero también unido a los países Sudamericanos, en particular, por el índice brasileño. Un cuarto conglomerado, corresponde a países Sudamericanos, que parecen tener más influencia de los índices Europeos (excepto por Jamaica y Venezuela, quienes muestran comportamientos atípicos al resto de los países de esta región). Los países de Europa Oriental también forman un pequeño conglomerado alrededor de los índices de los países de Europa Occidental. Los índices de d ij n j=1 v ij

5 92 Revista de Administración, Finanzas y Economía países Africanos no forman conglomerados. Sin embargo, llama la atención que el índice de Sudáfrica parece estar influenciada por el índice FTSE250 del Reino Unido. Fig.1. El árbol de expansión mínima utilizando la distancia euclidea. Se distinguen tres grandes conglomerados: Asia, Europa y Norteamérica. En la tabla 1 se presenta un análisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio de Ocupación de los vértices con mejores puntuaciones en las diversas regiones. El vértice central es ocupado por el índice francés CAC40. Tabla 1. Esta tabla muestra los índices que obtuvieron los valores óptimos por región cuando se utiliza la distancia euclidea. Los cinco mejores clasificados son el CAC40, HSI de Hong Kong, el AS51de Australia, El FTSE250 del Reino Unido y el S&P500 de USA. El CAC40 es el vértice con mayor grado y fortaleza y menor promedio de ocupación, lo cual lo convierte en el vértice central del árbol.

6 Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales 93 La Fig. 2 Muestra el árbol de expansión mínima de los índices financieros cuando se utiliza la distancia City Block. En el árbol se distinguen cinco conglomerados: el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; el de Asia y Oceanía liderado por HSI de Hong Kong; el de Europa del Este, que está liderado por el WIG de Polonia; el bloque de América (que reúne a todos los países del continente) liderado por el S&P500 de Estados Unidos y un bloque africano liderado por el índice BGSMDC de Botswana. El único país africano que aparece fuera del bloque es Sudáfrica, quien nuevamente aparece unido al índice FTSE250 de Reino Unido; Jamaica y Venezuela muestran nuevamente un comportamiento atípico con respecto a su región; Serbia también aparece separado del resto de los países de Europa del Este; finalmente, México nuevamente aparece unido al índice S&P500 (USA2) y al índice brasileño. Fig.2. El árbol de expansión mínima utilizando la distancia City Block. Se distinguen una mejor distribución en los conglomerados. La tabla 2 presenta un análisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio de Ocupación de los vértices con mejores puntuaciones en las diversas regiones. El vértice central nuevamente es ocupado por el índice francés CAC40

7 94 Revista de Administración, Finanzas y Economía Tabla 2. Esta tabla muestra los índices que obtuvieron los valores óptimos por región cuando se utiliza la distancia City Block. Un índice de un país africano y uno de Europa del Este pasan a formar parte de esta lista. La Fig. 3 muestra el árbol de expansión mínima cuando se utiliza la distancia Chi Cuadrada. En el árbol se distinguen tres conglomerados: el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; el de Asia y Oceanía liderado por índice australiano AS51 y el de América (que nuevamente reúne a la mayoría de los países de este continente) y liderado por el índice MERVAL de Argentina. Sudáfrica nuevamente aparece unido al índice de Reino Unido; Jamaica y Venezuela nuevamente se encuentran separados del resto de países de su región; Perú, Colombia y Chile están más unidos a Europa que a los países del continente americano. Los países de Europa del Este se encuentran un poco más dispersos que en las figuras anteriores, aunque nuevamente aparecen unidos a países de Europa Occidental; México nuevamente aparece unido al índice S&P y al índice brasileño. La tabla 3 presenta un análisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio de Ocupación de los vértices con mejores puntuaciones en las diversas regiones. Como puede notarse, la fortaleza de los vértices se encuentra repartida entre varios índices aunque definitivamente el vértice central nuevamente se encuentra en el índice francés CAC40.

8 Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales 95 Fig.3. El árbol de expansión mínima utilizando la distancia Chi Cuadrada. Los conglomerados parecen distinguirse de forma menos clara que en los gráficos anteriores. Tabla 3. Esta tabla muestra los índices que obtuvieron los valores óptimos por región cuando se utiliza la distancia Chi Cuadrada. No aparece el índice de la bolsa de Hong Kong ni tampoco ningún índice de Estados Unidos. La Fig. 4 muestra el árbol de expansión mínima cuando se utiliza la distancia Chi City Block. En el árbol se distinguen muy claramente cinco grandes

9 96 Revista de Administración, Finanzas y Economía conglomerados: el de Europa Occidental liderado por el índice CAC40 de Francia; el de Asia y Oceanía liderado por el índice de HSI de Hong Kong y el de América (que nuevamente reúne a la mayoría de los países de este continente) y liderado por el S&P500 de Estados Unidos; Europa del Este está liderado por el índice WIG (de Polonia) y finalmente un bloque más claro de países africanos encabezados por y el índice BGSMDC de Botswana. El índice de Sudáfrica una vez más aparece unido al índice de Reino Unido; Jamaica y Venezuela están separados del resto de países de su región; Colombia y Chile nuevamente están más cercanos a la economía europea. México aparece unido al índice S&P500 pero separado del índice brasileño. Fig.4. El árbol de expansión mínima Chi City Block muestra a Francia como vértice central y cinco conglomerados geográficos. El conglomerado central está liderado por el CAC40 de Francia. Como podrá observarse en la siguiente tabla, existe un índice que lidera claramente cada una de las regiones. La fortaleza de estos vértices no se encuentra disgregada, y se distingue claramente que el índice francés CAC40 vuelve a ser el vértice central del árbol.

10 Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales 97 Tabla 4. Esta tabla muestra los índices que obtuvieron los valores óptimos por región cuando se utiliza la distancia Chi City. Aparece nuevamente el índice de la bolsa de Hong Kong y el índice de la bolsa S&P500 de Estados Unidos. Conclusiones El árbol construido con la distancia euclidea muestra tres grandes conglomerados: el de América del Norte, liderado por S&P500 de USA; el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; y el de Asia y Australia liderado por HSI de Hong Kong. El vértice central es el CAC40 seguido por HSI de Hong Kong. Las relaciones entre los índices fuera de estos tres grandes conglomerados no son tan claras. Las distancias City Block y Chi City Block nos permiten distinguir de una manera más clara los conglomerados, el vértice central y los índices que lideran cada región. Con estas distancias se logra vislumbrar dos conglomerados adicionales y encontrar relaciones entre índices que no eran claras con la distancia euclidea. Europa, Asia y Norteamérica son las regiones en donde más claramente se distinguen los conglomerados. El índice francés CAC40 es el vértice central bajo cualquiera de estas distancias. Investigaciones futuras podrían analizar el comportamiento de las medidas en diferentes horizontes de tiempo y su relación con las crisis financieras. Esta metodología también puede aplicarse a otras variables financieras y económicas. 6. Referencias Eom, C., Oh, G., Woo-Sing Jung., Jeong, S. & Kim, S. (2009) Topological properties of stock networks based on minimal spanning tree and random matrix theory in financial time series, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 388. Bonanno, G., Caldarelli, G., Lillo, F., Mantegna, R.N. Topology of correlationbased minimal spanning trees in real and model markets, (2003) Physical Review E 68.

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