ESQUEMAS DE REESTRUCTURACION DE PASIVOS ANTE DIVERSOS ESCENARIOS DE TASAS DE INTERES Y DE INFLACION

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1 ESQUEMAS DE REESTRUCTURACION DE PASIVOS ANTE DIVERSOS ESCENARIOS DE TASAS DE INTERES Y DE INFLACION Abdón Sánchez Arroyo Julio 995 Documeno de Invesigación No El auor es Invesigador Económico en la Dirección de Esudios Económicos de la Dirección General de Invesigación Económica en el Banco de México. Los punos de visa expresados en ese rabao son aribuibles exclusivamene al auor y no represenan el puno de visa del Insiuo Cenral. Ese es un arículo de invesigación y el auor recibirá con agrado comenarios sobre el exo.

2 2 ESQUEMAS DE REESTRUCTURACION DE PASIVOS ANTE DIVERSOS ESCENARIOS DE TASAS DE INTERES Y DE INFLACION ABDÓN SÁNCHEZ ARROYO JULIO 995 DOCUMENTO DE INVESTIGACIÓN NO RESUMEN En economías con ala inflación los esquemas radicionales de amorización de crédio resulan en un pago acelerado del capial en érminos reales. Para eviar eso úlimo, en la década de los 80s se diseñaron esquemas de amorización de pagos crecienes, que se fiaban de anemano. Eemplos de esos esquemas son los "crédios aficorcados" que garanizan pagos consanes a valor presene, los esquemas de crédio para la vivienda que garanizan pagos consanes en érminos de la asa salarial, y finalmene los esquemas de pago que garanizan amorizaciones reales deerminadas. En ese arículo se discuen diversos esquemas de liquidación de crédios incluyendo los arriba mencionados, con el obeivo de proporcionar mecanismos de reesrucuración de la carera crediicia del sisema bancario nacional, lo cual puede llegar a ser necesario debido a las alas asas de inerés que imperan en el mercado nacional hoy en día. Además, se inroduce un esquema de pago que en érminos generales engloba a odos los esquemas de pagos descrios con anerioridad y que en siuaciones como la que hoy araviesa la economía mexicana puede ser de gran uilidad en las areas de reesrucuración de la deuda ano inerna como exerna.

3 3 ESQUEMAS DE REESTRUCTURACION DE PASIVOS ANTE DIVERSOS ESCENARIOS DE TASAS DE INTERES Y DE INFLACION ABDÓN SÁNCHEZ ARROYO JULIO 995 DOCUMENTO DE INVESTIGACIÓN NO Conenido. INTRODUCCIÓN EL ESQUEMA TRADICIONAL ESQUEMAS DE LIQUIDACIÓN DE CRÉDITOS ALTERNATIVOS EL ESQUEMA DE PAGOS CONSTANTES A VALOR PRESENTE TRADICIONAL EL ESQUEMA DE PAGOS CONSTANTES A VALOR PRESENTE SALARIAL UN ESQUEMA DE PAGOS CON AMORTIZACIONES REALES CONSTANTES VARIANTES DE LOS ESQUEMA DE PAGOS DETERMINADOS EX-ANTE ESQUEMA DE PAGOS CONSTANTES POR TRAMOS ESQUEMA PAGOS CON AMORTIZACIÓN REAL CONSTANTE POR TRAMOS UN ESQUEMA DE PAGOS PARA LA DEUDA EXTERNA UN MODELO GENERAL BIBLIOGRAFÍA APÉNDICE. LAS MATEMÁTICAS DE LOS ESQUEMAS DE PAGOS... 3 APÉNDICE 2. LOS ESQUEMAS DE PAGOS EN DIFERENTES ECONOMÍAS... 36

4 4 ESQUEMAS DE REESTRUCTURACION DE PASIVOS ANTE DIVERSOS ESCENARIOS DE TASAS DE INTERES Y DE INFLACION. Inroducción En economías con ala inflación los esquemas radicionales de amorización de crédio resulan en un pago acelerado del capial en érminos reales. Para eviar eso úlimo en los crédios hipoecarios de inerés social, varios invesigadores del Banco de México se abocaron a resolver ese problema a mediados de 982. El resulado de esos esudios fueron esquemas de pago de crédios con una caracerísica general: el perfil de pagos del acrediado se deerminaba de anemano. Curiosamene no fue en los crédios para vivienda donde primero se aplicaron los referidos esquemas, sino en el Fideicomiso para la Coberura de Riesgos Cambiarios (FICORCA). La caracerísica del esquema adopado por ese fideicomiso fue que el desembolso periódico que realizaba el acrediado era consane, cuando el pago se medía en érminos de valor presene. Lo anerior conrasa con el esquema que se ha venido uilizando para los crédios a la vivienda, en los cuales el referido desembolso se maniene consane al medirse en érminos del poder salarial del acrediado. En ulio de 986, el Banco de México, en su elex-circular 47/86, recomendó a las insiuciones de banca múliple la adopción de fórmulas de pago que eviaran la amorización acelerada, en érminos reales, de crédios a favor de dichas insiuciones. Sin embargo esa recomendación no uvo eco en la banca debido a diversos problemas de ipo conable y financiero. La obeción financiera más imporane con respeco al esquema de pagos uilizado por el FICORCA se presena en siuaciones cuando la asa real es muy ala. Si ese es el caso, el esquema de pagos consanes a valor presene no sólo evia la amorización real acelerada del crédio, sino que produce pagos an pequeños que el saldo real llega a crecer o bien decrecer basane menos rápido que en el esquema radicional. Por oro lado, el esquema de pagos uilizado para los crédios hipoecarios de inerés social ambién esuvo sueo a criicas, sobre odo por su sensibilidad a incremenar el plazo en siuaciones en que la asa real de incremeno salarial es muy pequeña o negaiva. Ane esa siuación se desarrolló un esquema de pago que garanizara amorizaciones reales deerminadas en cada período (Calvillo (988)). Eso quiere decir que el desembolso que efecúa el acrediado es lo suficienemene grande para garanizar que se amorice una porción consane del saldo real. Ese esquema de pagos es muy parecido al uilizado por el FICORCA, inclusive la fórmula que describe la amorización difiere a la que se uilizó en ese Fideicomiso sólo en el parámero de capialización. En érminos generales, se puede afirmar que la fórmulas de cálculo son idénicas. Un esquema de pagos bao el cual se liquida un crédio esa compleamene deerminado al esablecer reglas ransparenes para el cálculo de: el desembolso periódico realizado

5 5 por el acrediado ( P ); los inereses sobre saldos insoluos que se cobran al acrediado (I ); la amorización de capial ( A ); y por úlimo, el saldo insoluo del crédio (S ). En la prácica acual, cuando las pares convienen los érminos de un crédio se esablece el plazo oal en períodos (n) para liquidarlo. Sin embargo, es posible que al especificar la forma del desembolso periódico no se involucre a ese parámero, quedando así como resulado endógeno del esquema de pagos. Los parámeros de la economía que se uilizan en los esquemas de pagos que se esudiarán en ese arículo son: la asa de inerés nominal de mercado, (i ); la asa de inerés real (r ); y la asa de inflación de la economía (π ). Una idenidad económica muy imporane que será uilizada a lo largo del documeno expresa la relación enre esas variables. (+i ) =(+r )(+π ). (.) Así, la asa de inerés real en la economía esa deerminada por la expresión: r = ( + i ) -. (.2) ( + π ) La noación descria en la página anerior para los elemenos de un esquema de pagos y para las variables de la economía será usada consisenemene en cada uno de los esquemas que se revisen en ese rabao. En caso de que se necesie inroducir noación exra, ésa será de uso exclusivo a la sección en que aparezca. El arículo esa organizado como sigue: después de esa sección inroducoria, en la siguiene se describe a dealle el esquema radicional de pagos. En la sección 3 se analizan los esquemas alernaivos de pago que resuelven los problemas asociados al esquema radicional en economías con ala inflación. Poseriormene, la sección 4 presena algunas varianes de los esquemas presenados en la sección 3. Finalmene, la sección 5 inroduce un esquema de pagos que en érminos generales engloba a odos los descrios con anerioridad. Eso sucede por su esrucura paramérica, ya que es posible reproducir cualquier esquema de pagos para la liquidación de un crédio, al asignar valores específicos a los parámeros del modelo. Se incluyen dos Apéndices, en el primero se realizan las demosraciones formales de los principales resulados eóricos obenidos en ese rabao, y en el segundo se presena una inerpreación de la relación enre algunos esquemas de pago cuando son uilizados en economías disinas. 2. El Esquema Tradicional En general, el esquema más común para liquidar un crédio bancario considera períodos de pago homogeneos (es decir mensuales, rimesrales, semesrales anuales, ec), en cada uno de los cuales se pagan los inereses devengados sobre saldos insoluos, más una amorización deerminada del capial. Los inereses sobre saldos insoluos en cada

6 6 período se calculan en base a la asa de inerés nominal de mercado, (i ), aplicada al saldo insoluo del crédio en el período, (S ), es decir: I = i S. (2.) Tradicionalmene, al concerar el crédio se deermina el número de períodos o plazo, (n), con el que cuena el acrediado para liquidar el présamo obenido. Una vez fiado el plazo del crédio, se calcula la amorización periódica por concepo de capial como el cociene del mono del crédio y el plazo, en érminos algebraicos la amorización es: S A = 0. (2.2) n De esa forma, el desembolso periódico que realiza el acrediado queda deerminado por la suma de los inereses devengados en el período y la amorización de capial: P = I + A. (2.3) Finalmene, el saldo insoluo al final del período en consideración es el resulado de la diferencia enre el saldo insoluo del crédio al inicio del período y el mono de la amorización: S = S A. (2.4) Las expresiones (2.) a la (2.4) conforman lo que se conoce como el Esquema Tradicional de pagos para la liquidación de un crédio. La ecuación (2.2) muesra que los pagos por concepo de capial se realizan a parir del primer período del crédio. Sin embargo, exisen siuaciones en las cuales el acreedor oorga al acrediado un período de gracia para el pago del capial Lo anerior quiere decir que, si g denoa el número de períodos de gracia para pagar el capial, enonces desde el primer período hasa el número g el acrediado sólo realiza pagos por concepo de inereses devengados y no se incluye pago alguno por concepo de capial. Eso úlimo, se realiza a parir del período (g+). Para ese caso, la fórmula del pago por concepo de capial se ransforma en la siguiene expresión: A = 0, si g, y A = S0 ( n g) si = g +, L, n. (2.2 ) En una economía de baa inflación, si un crédio se liquida bao un esquema radicional, el saldo real se compora muy similar al saldo nominal y el esquema de pagos cumple con los obeivos para los que fue diseñado. Por el conrario, en una economía con una inflación ala, el saldo real se compora de una manera muy diferene al saldo nominal, en esas condiciones el saldo real se amoriza de una forma muy acelerada. Lo anerior se puede apreciar en la Gráfica. En ese eercicio, se muesra el saldo real de un crédio de nuevos pesos que se liquida a un plazo de 0 años con el esquema radicional de pagos, y donde el acreedor no

7 7 oorga al acrediado un plazo de gracia para el pago de capial. Se realizaron lo cálculos para liquidar ese crédio, considerando diferenes escenarios de inflación, deando la asa real de inerés de la economía a un nivel del 3.0 por cieno. GRAFICA SALDO REAL DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA CON EL ESQUEMA TRADICIONAL EN DIFERENTES ESCENARIOS DE INFLACION, Tasas de Inflación 0.0% 30.0% 60.0% 00.0% Los desembolsos que realizaría el acrediado cuando ésos son medidos en érminos reales en los escenarios descrios en el comenario del párrafo anerior, se presenan en el cuadro. Ese cuadro nos permie precisar la disorsión que inroduce el fenómeno inflacionario a la liquidación de un crédio con el esquema radicional. Por eemplo, observe que en una economía con inflación 60.0 por cieno anual (columna (4) del cuadro ), al efecuar el segundo pago el acrediado ha cubiero en érminos reales el 73.4 por cieno del mono inicial del crédio. Ese fenómeno desvirúa el crédio, pues un crédio que se suponía se iba a pagar en 0 años en realidad se esa liquidando, en érminos reales, casi compleamene en sólo los dos primeros años.

8 8 CUADRO DESEMBOLSO TOTAL DEL ACREDITADO QUE LIQUIDA UN PRESTAMO CON EL ESQUEMA TRADICIONAL DE PAGOS CON DIFERENTES ENTORNOS INFLACIONARIOS Medido en Términos Reales TASAS DE: () (2) (3) (4) (5) Inflación 0.0% 0.0% 30.0% 60.0% 00.0% Inerés(*) 3.0% 3.3% 33.9% 64.8% 06.0% Año (*) resulado de aplicar fórmula (.) Al considerar escenarios con una inflación mayor la siuación se agrava, por eemplo si la inflación anual es del 00.0 por cieno (columna (5) del cuadro ), el porcenae del crédio inicial liquidado durane los dos primeros años se incremena al 84.3 por cieno. Como resulado, se obiene una siuación indeseable para el acrediado así como para el acreedor. La experiencia de una ala inflación en México, originó que se esudiaran nuevos esquemas de pago para la liquidación de crédios ya que, como se mencionó aneriormene, el esquema radicional ane ese fenómeno inflacionario resula en un pago acelerado del capial en érminos reales. Lo anerior sucede porque al uilizar el esquema de pagos radicional el impaco inflacionario se incorpora oalmene a los inereses devengados durane el período. Eso puede observarse en el Cuadro 2, donde se presena la simulación de un crédio que se liquida con ese esquema de pagos en un enorno inflacionario. A mediados de 982, se creía que la inflación en el país evolucionaría a niveles cercanos al supueso descrio en el Cuadro 2, por ello, había que resolver el problema de la amorización acelerada para los crédios oorgados para la adquisición de vivienda de inerés social. Los esquemas de pagos que surgieron de esos esudios se presenarán en la siguiene sección.

9 9 CUADRO 2 SIMULACION DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA BAJO EL ESQUEMA TRADICIONAL DE PAGOS Daos y supuesos Principal N$ Plazo 0 Años Amorización 0 cuoas Tasa de Inflación 60.0% Anual Tasa real 3.0% Anual Tasa Nominal (a) 64.8% Anual Pago de capial e inereses: al final del año () (2) (3) (4) (5) (6) Saldo del Amoriza- Inereses Pago oal Pago oal Año Crédio al ción del devengados del en inicio del Período en el año acrediado érminos año (S - ) ( A ) ( I ) ( P ) reales, (a) resulado de aplicar la fórmula (.) 3. Esquemas de liquidación de crédios alernaivos La invesigación emprendida se concenró en aacar la problemáica de la carera hipoecaria. Sin embargo, no fue en los crédios a la vivienda donde se aplicaron los resulados obenidos sino en el Fideicomiso para la Coberura de Riesgos Cambiarios (FICORCA). El impaco de las operaciones del FICORCA fue al, que el esquema de pago de crédios uilizado por ese fideicomiso se hizo famoso a nivel nacional y en algunos círculos inernacionales se les conoce con el nombre genérico de Crédios Aficorcados. La idea básica uilizada en los esudios realizados consisía en enconrar un esquema de liquidación de crédios en el cual el desembolso periódico que debería realizar el acrediado quedara deerminado al momeno de la conceración del crédio, cuando el referido desembolso fuera medido en érminos reales o a valor presene.

10 0 La asa de descueno uilizada en la valuación del pago en la fecha de conceración del crédio puede ser diferene para disinos usuarios del crédio. Al variar la asa de descueno se obienen diversos esquemas de pagos. Eemplos de las asas que pueden ser uilizadas son: la asa de inerés nominal del mercado, la asa de incremeno salarial (inflación más asa salarial real), y la asa de inflación. Para cada una de esas asas el érmino uilizado por la comunidad financiera para denoar los resulados obenidos son el valor presene radicional, el valor presene salarial, y el valor real, respecivamene. Así, si se desea que los pagos del acrediado medidos a valor presene radicional engan un perfil deerminado, el esquema funcionaría de la siguiene forma: si denoamos con p, p 2, L, p n a los pagos deseados en el esquema a valor presene al inicio del crédio, se obendría que para liquidar oalmene el crédio será necesario que se cumpla la siguiene igualdad: p + p + L + p = S. (3.0.) 2 n 0 Por oro lado, el desembolso nominal que realizará el acrediado en cada período queda deerminado por la siguiene expresión: P = p ( + i ). = (3.0.2) Con esa úlima expresión, el desembolso del acrediado quedaría compleamene definido para ese eemplo. En oros casos, una descripción complea del pago se obiene al especificar la forma que endrá el pago cuando es medido en érminos reales o en érminos salariales. Precisamene, oda la sección 3 se dedica a la descripción de los esquemas de liquidación de crédios en los cuales el pago deflacado es consane en las diversas formas del deflacor, es decir uilizando asas de inerés nominales, asas nominales de incremeno salarial y asas de inflación. Así, en la sección 3. se analizará el esquema de pagos consanes en érminos del valor presene radicional, mienras que en la sección 3.2 se describe el esquema de liquidación de crédios con desembolsos consanes medidos en érminos del valor presene salarial. En la sección 3.3, se presena una esquema de pagos en el cual el desembolso del acrediado es suficiene para cubrir una amorización real de capial consane en cada período. 3. El esquema de pagos consanes a valor presene radicional El caso paricular adopado por el FICORCA consisió en que el desembolso periódico del acrediado fuera consane cuando se medía a valor presene, eso quiere decir que p = p2 = L = pn = p0, lo cual al ser susiuido en la expresión (3.0.) implica que el pago consane es el resulado de dividir el mono del crédio inicial enre el plazo oal en S0 períodos, es decir, p0 =.. n

11 Con ese comenario es posible describir compleamene el desembolso que realiza el acrediado. El desembolso periódico en érminos nominales se obiene de la expresión (3.0.2) al susiuir la forma del pago en ella: P S0 = ( + ii ), (3..) n i = Una expresión alernaiva a (3..) para calcular el desembolso del acrediado fue descubiera en 983 cuando se iniciaron las operaciones del FICORCA 2. Esa fórmula expresa el desembolso periódico en érminos del saldo insoluo del crédio, la asa de inerés nominal y el plazo del crédio: P = S ( + i ). (3.. ) n + Una de las implicaciones inmediaas de esa expresión es la garanía de que el crédio se liquida al efecuar el pago número n, pueso que en ese período se liquida el saldo insoluo más los inereses devengados, es decir, la expresión (3.. ) se conviere en: P = S ( + i ). n n n Los inereses devengados en cada período se calculan de la forma radicional, es decir con la asa de inerés nominal de mercado, aplicada sobre saldos insoluos: I = i S. (3..2) Recuérdese que al momeno de la conceración del crédio se decidió fiar, en pesos del inicio del primer período, el mono del desembolso que realiza el acrediado al final de cada período. Eso ocasiona que el capial incluido en el pago o amorización de capial quede deerminado por la diferencia enre el desembolso y el mono de los inereses, es decir : A = P I. (3..3) Ese forma de deerminar la amorización periódica de capial puede ocasionar que en algunos períodos el desembolso del acrediado no alcance a cubrir el mono de los inereses devengados. En caso de que eso úlimo suceda, en un período deerminado, será necesario que el acreedor oorgue al acrediado un crédio adicional por esa diferencia, en ese período. Así fue como ese concepo fue considerado e insrumenado en la reglas de operación del FICORCA, Banco de México (983). Finalmene, el saldo insoluo del crédio al final del período se obiene con la expresión radicional: la diferencia enre el saldo inicial del período y la amorización. S = S A = S ( + i ) P. (3..4) 2 En el Apéndice, se incluye una demosración formal de la equivalencia de las fórmulas (3..) y (3.. ).

12 2 Las fórmulas (3..), (3..2), (3..3), y la (3..4) deerminan compleamene el esquema de pagos uilizado por el FICORCA, y será llamado el esquema de pagos consanes a valor presene. Ese esquema de pagos resuelve el problema de la amorización no deseada del crédio en érminos reales, que se presena en el esquema de pagos radicional cuando la inflación es ala. Eso úlimo se puede observar en el Cuadro 3, donde se presena la liquidación de crédio uilizando el esquema de pagos descrio. CUADRO 3 SIMULACION DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA CON EL ESQUEMA DE PAGOS CONSTANTES A VALOR PRESENTE Daos y supuesos Principal N$ Plazo 0 Años Amorización 0 Cuoas anuales Tasa de Inflación 60.0% Anual Tasa Real de inerés 3.0% Anual Tasa Nominal 64.8% Anual Fecha de Pago de capial e inereses: al final de cada año () (2) (3) (4) (5) (6) (7) Saldo del Pago oal Inereses Amoriza- Pago oal Saldo real Año Crédio al del Devengados ción del en del crédio inicio del acrediado En el Período érminos al inicio del año(s-) (P) Año (I) (A) reales año, , , , , , , , ,425.68, , , , , , , ,03.5 3, , , , , , , , ,05.9, , , ,80.8 8, Las columnas (6) y (7) presenan el desembolso periódico del acrediado y el saldo del crédio al inicio del período cuando esos se miden en érminos reales. Se puede observar en la abla que el comporamieno del saldo del crédio en érminos reales, bao el esquema descrio, es muy parecido al que se presena cuando el crédio se liquida bao el Esquema Tradicional en una economía sin inflación (ver columna () del cuadro ). Más imporane aún es el hecho de que, al modificar el supueso de inflación que se presena en el Cuadro 3, enonces las dos úlimas columnas no sufren variaciones, es decir, en érminos reales ese esquema es insensible a la asa de inflación.

13 3 Sin embargo, como se mencionó líneas arriba, el hecho de manener el pago del acrediado consane, cuando se mide en érminos de valor presene, puede generar que el acrediado obenga un crédio adicional en algunos períodos. Lo anerior origina que el saldo insoluo del crédio en érminos nominales sea creciene durane los primeros períodos del crédio, y que después sea decreciene. Eso úlimo ambién se puede observar en los eemplos que se muesran en la Gráfica 2, en donde el saldo nominal de un crédio que se liquida con el esquema maneniendo los supuesos del cuadro 3 en diferenes escenarios de inflación. En ulio de 986, el Banco de México recomendó, en su elex-circular 47/86, a las insiuciones de banca múliple la adopción de fórmulas de pago que eviaran la amorización acelerada en érminos reales, de los crédios a favor de dichas insiuciones, como por eemplo la fórmula (3..). Esa recomendación no uvo eco en la banca debido a diversos problemas de ipo conable y financiero. GRAFICA 2 SALDO NOMINAL DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA CON EL ESQUEMA DE PAGOS CONSTANTES A VALOR PRESENTE,600.00,400.00,200.00, Tasas de Inflación 0.0% 0.0% 20.0% La obeción financiera más imporane apunada por los bancos se presena en siuaciones cuando la asa real es muy ala. Si ese es el caso, el esquema de pagos consanes a valor presene no sólo evia la amorización real acelerada del crédio, sino que produce pagos an pequeños que el saldo real llega a crecer o bien decrecer basane menos rápido que en el esquema radicional. Esa observación se ilusra en la Gráfica 3, en donde se muesra

14 4 el saldo real de un crédio que se liquida con el esquema de pagos consanes a valor presene bao los supuesos descrios en el Cuadro 3 en diferenes escenarios de la asa real de inerés de la economía. De la gráfica 3 se puede concluir que para asas reales pequeñas, por eemplo enre el -2.0 y el 2.0 por cieno, el saldo real disminuye de manera muy similar al saldo real del crédio radicional en economías sin inflación. Sin embargo, cuando la asa real se incremena al 20.0 por cieno el saldo real se incremena durane los primeros seis años, en lugar de disminuir. GRAFICA 3. SALDO REAL DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA CON EL ESQUEMA DE PAGOS CONSTANTES A VALOR PRESENTE EN DIFERENTES ESCENARIOS DE TASA REAL,400.00,200.00, Tasas real de inerés -0.0% 0.0% 20.0% La principal conclusión de esa sección respeco al esquema aquí descrio, es que a pesar de que ese esquema es insensible a la asa de inflación, resula ser muy sensible cambios en la asa real de inerés.

15 5 3.2 El esquema de pagos consanes a valor presene salarial Como ya se mencionó, los crédios aficorcados uvieron su origen al buscar esquemas alernaivos para la liquidación de crédios a la vivienda de inerés social. El esquema de pagos adopado para los crédios a la vivienda que oorgaba el Fondo a la Vivienda (FOVI) de Banco de México, se basó en el deseo de las auoridades de deerminar el desembolso periódico que realizaría el acrediado en érminos de la capacidad de pago del acrediado. Una vez deerminada la capacidad de pago del acrediado, ésa debería manenerse consane en érminos del ingreso del acrediado (ora descripción de ese esquema de pagos se puede enconrar en Maydon(988)). Así, el perfil de pagos de crédio fue deerminado por los siguienes facores:. El pago que efecúa el acrediado debe esar esrechamene relacionado a su nivel de ingreso. Esimaciones hechas por el Fondo a la Vivienda (FOVI) consideran que el porcenae de ingreso desinado a vivienda es del 25 por cieno. En base a lo anerior y a esudios del mercado, el FOVI deerminó que el facor del pago mensual, fiado al inicio del crédio, debería ser de 9.5 nuevos pesos por cada mil del mono del crédio. Ese facor de pagos inicial ha sido revisado por el FOVI, por eemplo en 993 el facor se reduo al 7.5 nuevos pesos al millar a fin de que personas de menores ingresos uvieran acceso a una vivienda. 2. La segunda consideración consise en acualizar el facor de pago inicial, considerado en el puno anerior, con la asa de incremeno salarial de cada período. Es decir, en érminos de los ingresos del acrediado, el mono del pago se manendría consane durane la vigencia del crédio. Observe que la asa nominal de incremeno salarial en el período, (denoada por s), cumple la igualdad: ( + s ) = ( + π )( + w ), ( ) donde π denoa a la inflación y w la asa real de incremeno salarial. Así, si f es el facor de pago mensual que deerminó el FOVI en el primer comenario ( f = 9. 5 ) y si se uiliza la noación inroducida en el segundo comenario, 000 obendríamos que el desembolso del acrediado en el período se obiene al acualizar la capacidad de pago por la asa nominal de incremeno salarial: 0 (( )( )) P = fs + π + w. (3.2.) = Como los crédios hipoecarios se conceran a asas de mercado, los inereses devengados, el capial conenido en el pago y el saldo insoluo del crédio al final del período que resulan en ese esquema de pagos, pueden ser calculados con las mismas expresiones que

16 6 se uilizaron en el esquema de pagos consane a valor presene descrio en la sección anerior. Por compleez las lisamos a coninuación en el mismo orden: I = i S, (3.2.2) A = P I, (3.2.3) S = S ( + i ) P = S + I P (3.2.4) Esas fórmulas represenan en conuno el esquema de pagos para la liquidación de crédios hipoecarios seguido por el FOVI (ver Banco de México(993) y Maydon(988)). Como en el caso del esquema de pagos consanes a valor presene, se debe mencionar que la fórmula (3.2.3) describe una amorización sólo en el caso de que el pago efecuado sea mayor que los inereses devengados en el período, en caso conrario se incurre en un crédio adicional. A diferencia de los esquemas de pagos descrios con anerioridad, en los cuales se deerminaba el plazo al concerar el crédio, en el esquema de pagos para la liquidación de crédios descrio por las expresiones (3.2.) a la (3.2.4) el plazo es un resulado del modelo. Lo anerior se debe a que el desembolso periódico que efecúa el acrediado se deermina en érminos del mono del crédio inicial y de la asa de incremeno salarial del acrediado. Por esa razón es de esperarse que, en siuaciones macroeconómicas disinas a las uilizadas como supuesos en el diseño del crédio, se obenga un plazo oal para la liquidación del crédio diferene al que originalmene se planeó. Eso quiere decir, que en esos esquemas de pagos el plazo para liquidar el crédio queda indeerminado. De la expresión (3.2.) se concluye que la modificación del facor de pago inicial o del comporamieno de la asa real de incremeno salarial, origina que necesariamene se modifique el plazo de liquidación del crédio. Los resulados obenidos para diferenes alernaivas de los parámeros descrios en el párrafo anerior se presenan en la Gráfica 4 para un crédio de 000 nuevos pesos que se liquida con el esquema de pagos a una asa de inerés real del 3.0 por cieno. En esa gráfica se muesra el comporamieno del saldo del crédio para diferenes facores de pago inicial y diferenes asas reales de incremeno salarial. Así, podemos observar que si la asa de incremeno salarial real es del 3.0 por cieno y el facor de pago inicial es de 9.5 al millar, enonces el plazo resulane es 0 años, mienras que si se reduce el facor al 8.5 al millar enonces el plazo se incremena a años. Por oro lado si la asa real de incremeno salarial es del -3.0 por cieno, enonces en el primer caso el plazo que resula es 5 años y en el segundo, facor de pago de 8.5, el plazo es de 7 años. El problema que se presena en un esquema de pagos cuando el plazo no se deermina al inicio del crédio, es decir que el plazo dependa de cieras condiciones macroeconómicas, fue considerado por las auoridades del Banco de México en la descripción de las reglas de operación del FOVI.

17 7 GRAFICA 4 SALDO NOMINAL DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA BAJO UN ESQUEMA DE PAGOS TIPO FOVI,200.00, Facor Inicial de Pago (FP) y Tasa salarial real (Sr) FP=9.5, Sr=3% FP=8.5, Sr=3% FP=9.5, Sr=-3% FP=8.5, Sr=-3% Para eviar que un crédio perdure por iempo ilimiado, ese fondo oorga una garanía al acrediado que esablece que si el facor de pago inicial del crédio es de 9.5 nuevos pesos al millar, enonces después de quince años de crédio el fondo asume el saldo insoluo del crédio y el bien pasa a ser del acrediado. Ese esquema ambién ha esado sueo a críicas por pare del sisema bancario, las cuales esán basadas en los comenarios realizados con anerioridad Un esquema de pagos con amorizaciones reales consanes En esa sección se presena un esquema de pagos que resuelve los problemas asociados a los esquemas descrios en 3., y 3.2, es decir que si la asa real es significaivamene ala, enonces el saldo real crece mucho, o bien que si el salario se rezaga, eso resule en un plazo muy amplio.

18 8 La diferencia de ese esquema de pagos con aquellos que se revisaron en 3. y 3.2 consise básicamene en que no se requiere que el pago periódico que realiza el acrediado sea consane en érminos del valor presene o en érminos salariales reales, sino que el desembolso del acrediado garanice que se efecúen amorizaciones en érminos reales en cada período y que ésas sigan un parón deerminado. La idea principal en el desarrollo de ese esquema, es que el desembolso que efecúa el acrediado en cada período es lo suficienemene grande para garanizar que se amorice una porción consane del saldo real (la descripción de ese esquema de pagos fue presenado en Calvillo(988)). Al garanizar que la amorización real sea consane, digamos en un mono a, nos conduce a afirmar que ésa quedaría deerminada por el cociene enre el mono del S crédio y el plazo oal en períodos, es decir a = 0. Así, al evaluar esa expresión en n moneda del período se obiene la siguiene fórmula: A S0 = ( + π ), (3.3.) n = Uilizando el Teorema A.. del Apéndice se puede concluir que esa expresión puede reescribirse de la siguiene forma: A = S ( + π ). (3.3. ) n Los inereses devengados en el período deberán ser calculados a la asa de mercado, lo cual implica que las fórmulas para deerminar los inereses y el saldo insoluo del crédio al final del período son: I = i S, (3.3.2) S = S ( + i ) P, (3.3.4) donde P, denoa el desembolso en érminos nominales que realiza el acrediado en el período. Sin embargo, para deerminar el mono del pago que realizará el acrediado será necesario realizar algunas operaciones algebraicas de la variables medidas en érminos reales. Así, S pueso que la amorización real en cada período es a = 0, se sigue que el saldo del n crédio en érminos reales cumple con la siguiene expresión: s S = s 0, (3.3.a) n

19 9 en donde s denoa el saldo real del crédio en el período. Ahora bien, al evaluar la expresión (3.3.4) en érminos reales se obiene: s = s ( + i ) ( + π ) p, (3.3.b) en donde p denoa el pago que realiza el acrediado en el período medido en érminos reales. Igualando las expresiones (3.3.a) y (3.3.b) y despeando el desembolso real p, se obiene que dicho pago queda deerminado por la fórmula: p = s ( + i ) S ( π ) n Observe que la expresión que se encuenra enre parénesis cuadrados es la fórmula que define la asa real de inerés de la economía, como se describió en la primera sección (fórmula (.2)). Eso quiere decir, que el desembolso del acrediado medido en érminos reales resula ser: p S = r s + n 0. Finalmene, al evaluar esa úlima expresión para el período en érminos nominales se obiene la expresión: P S = r S ( π ) + n ( π ), = o uilizando la expresión (3.3.) para la amorización se obiene: P = r S ( + π ) + A, (3.3.3) Con esa formulación para el desembolso periódico, es posible enconrar una versión alernaiva de la expresión (3.3.4), la cual se obiene al susiuir la expresión (3.3.3) en (3.3.4) para obener: S = S ( + π ) A. (3.3.4 ) Observe que la ecuación (3.3.) garaniza que el saldo real del crédio se decremene linealmene como en una economía sin inflación al liquidar un crédio bao el esquema radicional, lo cual se puede apreciar en el Cuadro 4. Por oro lado, el primer érmino de la fórmula (3.3.3) represenan los inereses reales del crédio en ese período, mienras que el segundo corresponde a la amorización real. Los comenarios aneriores conducen a la afirmación siguiene: la liquidación de un crédio con ese esquema de pagos cuando se mide en érminos reales, puede ser

20 20 inerpreada como la liquidación de un crédio con el esquema radicional en una economía en la que la moneda esa indizada a la inflación (ver Apéndice 2). CUADRO 4 SIMULACION DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA BAJO EL ESQUEMA DE PAGOS CON AMORTIZACION REAL CONSTANTE Daos y supuesos Principal N$ Tasa Real 3.0% Anual Plazo 0 Años Tasa inerés 64.8% Anual Inflación 60.0% anual Desembolsos al final de cada año () (2) (3) (4) (5) (6) (7) Saldo del Amoriza- Inereses Pago oal Pago oal Saldo real Año Crédio al ción del devengados del en del crédio inicio del Período en el acrediado érminos al inicio del año(s - ) (A ) año (I ) (P ) reales año, , , , , ,932.6, , ,242.88, , , , , , , , , , , , , , Se debe mencionar que cuando la asa nominal de inerés es igual a la asa de inflación, el primer érmino de (3.3.3) desaparece y la fórmula se reduce a la (3..) de los crédios con pagos consanes a valor presene. De lo anerior se concluye que para asas reales muy pequeñas las fórmulas (3.3.3) y (3..) producen resulados muy similares, sin embargo cuando la asa real es muy ala se obienen diferencias considerables. En la Gráfica 5 se muesra el comporamieno de los pagos de los acrediados, medidos en érminos reales, en los diferenes esquemas de pago para el crédio de 000 nuevos pesos, cuando la asa real es del 3.0 por cieno. Es posible que el esquema de pago descrio por las ecuaciones (3.3.) a (3.3.4) reciba críicas de indización, pueso que el pago se calcula uilizando la asa de inflación, sin embargo se debe hacer énfasis que el crédio sigue devengando inereses a la asa de mercado y que la inflación sólo se uiliza para calcular el valor del desembolso del acrediado. Ora venaa de uilizar ese esquema de pagos consise en el hecho de que el saldo nominal del crédio no crece desmesuradamene como en el caso de los crédios que se liquidan con el esquema de pagos consanes a valor presene.

21 2 GRAFICA 5 LOS DESEMBOLSOS DEL ACREDITADO EN TERMINOS REALES EN DIFERENTE ESQUEMAS DE LIQUIDACION DE CREDITOS Esquema de Pago(*) TRAD CTE VP AM CTE (*) TRAD:= Esquema radicional, CTE VP= Esquema de pagos consanes a valor presene, y M CTE= Esquema de pagos con amorización real consane. 4. Varianes de los esquema de pagos deerminados ex-ane Cuando se solicia un crédio bancario, o bien cuando se lleva a cabo una reesrucuración, es necesario realizar un análisis profundo de la siuación macroeconómica por la que araviesa la economía del país. En algunas ocasiones los esquemas de pagos descrios en la sección 3 no son los suficienemene aracivos a los poenciales usuarios del crédio, debido principalmene a la siuación prevaleciene en la economía.

22 22 En esas condiciones, es perinene inroducir algunas modificaciones a los esquemas de liquidación de crédios descrios en secciones aneriores. Precisamene, en esa sección se presenan algunas varianes de los esquemas presenados, las cuales pueden ser uilizadas en las reesrucuraciones de crédios, o por cualquier usuario del crédio con problemas de liquidez, para afronar sus compromisos. Curiosamene la fala de liquidez puede afecar a una economía como le sucedió a la mayoría de los países Lainoamericanos en la "década perdida", debido al fenómeno de la deuda exerna. Durane esa década, esudiosos del ema consideraban que la solución a ese problema requería de esquemas menos orodoxos que los que se habían uilizado por la comunidad financiera inernacional. Por esa razón, ambién se presena un esquema de pagos heerodoxo que puede ser uilizado para enfrenar renegociaciones de deuda exerna de la economía. A coninuación se presenan los esquemas mencionados. 4. Esquema de pagos consanes por ramos Al iniciar las operaciones del FICORCA, funcionarios de esa dependencia descubrieron que la fórmula del pago del crédio del esquema de pagos consanes a valor presene, (fórmula 3..), podía expresarse en érminos del saldo insoluo, (la expresión (3.. ) de la sección (3.), ver Apéndice ). Esa expresión para el desembolso fue muy úil para el desarrollo de los conraos especiales insrumenados por el fideicomiso, ales conraos uvieron su origen por de la fala de liquidez de los poenciales acrediados. Algunas empresas que inenaban ingresar al FICORCA argumenaban que a pesar de que el pago resulane, en un esquema de pagos consanes a valor presene, era reducido, en la siuación que aravesaban en ese momeno el desembolso referido resulaba ser muy grande para ellos. Lo anerior originó que se esudiaran algunas varianes de los esquemas de pagos consanes a valor presene. En paricular, se desarrolló una modificación que consise en reemplazar el plazo del crédio en la expresión (3.. ) por una serie de parámeros, llamados parámeros de escalonamieno. El obeivo de los parámeros de escalonamieno era reducir la carga financiera que afronaban las empresas por concepo del pago periódico. Eso permiió que con pocos parámeros se obuvieran pagos variables en valor presene pero consane por ramos. La fórmula que describe el desembolso del acrediado es: P = S k ( + i ), (4..) + A los parámeros k, =,..., m se les llama parámeros de escalonamieno. Observe que cuando m=, es decir sólo hay un parámero de escalonamieno, ése debe ser igual al plazo del crédio ( k = n ) y en ese caso la fórmula (4..) es idénica a la expresión (3..).

23 23 La descripción complea de esa modificación al esquema de pagos consanes a valor presene incluye las fórmulas para los inereses devengados, la amorización conenida en el pago y el saldo insoluo del crédio en cada período. Esas fórmulas son idénicas a las expresiones (3..2), (3..3) y (3..4), respecivamene. La idea uilizada para inroducir los conraos especiales del FICORCA fue que algunos parámeros de escalonamieno fueran mayores que el plazo del crédio a fin de reducir el mono del desembolso del acrediado, y con ello reducir la carga financiera para el acrediado por concepo del pago. Eso úlimo sucedía en aquellos períodos donde esuvieran vigenes los parámeros grandes. En general, los parámeros de escalonamieno deben de cumplir con dos condiciones: que el úlimo parámero sea igual al plazo(k = m n ) y que si k esa vigene en el período, enonces k. La primera condición garaniza que el crédio se liquida en el período > convenido, mienras que las oras condiciones simplemene garanizan que el crédio no se liquida anes de lo pacado. En el cuadro 5 se presena la simulación de un crédio que se liquida con ese esquema. Cuadro 5 SIMULACION DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA CON EL ESQUEMA DE PAGOS CONSTANTES POR TRAMOS A VALOR PRESENTE Daos y supuesos Principal N$ Plazo 0 Años Tasa de Inflación 30.0% Anual Tasa Real 3.0% Anual Tasa Nominal 33.9% Fecha de Pago de capial e inereses: al final de cada año Parámeros : k = 20, años a 5, y k 2 =0, años 6 a 0 () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Saldo del Pago oal Inereses Amoriza- Pago oal Saldo real Pago oal Año Crédio al del devengados ción del en del crédio A valor inicio del Acrediado en el año Período érminos al inicio del presene año(s - ) (P ) (I ) (A ) reales(p ) año, , , , , , , , ,458.08,57.59, ,472.77,550.0, , ,075.47,050.9, , , , Los pagos periódicos del esquema medidos a valor presene se encuenran en la columna (8) del Cuadro 5, y se puede observar que ésos son consanes por ramos, así para los

24 24 períodos del al 5 el pago medido en valor presene resula ser de 50.00, mienras que para el ramo del período del 6 al 0 el desembolso asciende a Eso quiere decir que el acrediado recibe un apoyo durane los primeros cinco años para afronar su problema de liquidez, a cambio de que compense la reducción del pago en ese período con un incremeno en sus pagos correspondienes a los úlimos cinco años de vigencia del crédio. 4.2 Esquema pagos con amorización real consane por ramos De igual manera, como se inrodueron los parámeros de escalonamieno a la fórmula que describe al desembolso nominal del esquema de pagos consanes a valor presene, es posible inroducir el mismo ipo de parámeros a la expresión que describe la amorización real consane en el esquema de pagos presenado en la sección (3.3). Si ese es el caso, la fórmula que describiría la amorización con parámeros de escalonamieno sería: A = S k ( + π ), (4.2.) Ese esquema cumple el mismo obeivo que el esquema de pagos consanes por ramos presenado en la sección 4., es decir los parámeros de escalonamieno son una herramiena que permie reducir durane los primeros períodos la amorización real que paga el acrediado. En el cuadro 6 se presena una simulación de un crédio que se liquida bao esa modalidad. Los daos y supuesos son iguales a los que se uilizaron en el cuadro 5. Cuadro 6 SIMULACION DE UN CREDITO QUE SE LIQUIDA CON EL ESQUEMA DE PAGOS QUE GARANTIZAN AMORTIZACIONES REALES Y CONSTANTES POR TRAMOS Saldo del Amoriza- Inereses Pago oal Pago oal Saldo real Año Crédio al ción del devengados del en del crédio inicio del Período en el acrediado érminos al inicio del año(s - ) (A ) año (I ) (P ) reales(p ) año, , , , , , , , , ,823.68, , ,447.9, , , , ,

25 Un esquema de pagos para la deuda exerna En esa sección se presena un esquema de pagos para el problema de la deuda exerna mediane ideas más heerodoxas que las que se han uilizado por la comunidad financiera inernacional. Denro de las ideas heerodoxas que se incorporan al esquema de pagos se pueden disinguir res concepos con amplio fundameno económico:. La necesidad de imponer un ope a las asas de inerés aplicables a la deuda. 2. Procurar que el período de amorización de la deuda se asocie al poencial exporador de la economía deudora. 3. Que se hagan depender los desembolsos por servicio de la deuda del marco que ofrezcan las economías acreedoras para una sana evolución del comercio inernacional. La siguiene propuesa, Zedillo(985) incorpora los res concepos aneriores. La noación adicional que será uilizada en esa sección es la siguiene: Π i' r' g g' asa represenaiva de la inflación inernacional. asa nominal de inerés ope, asa real de inerés ope, asa de crecimieno de la comunidad inernacional acreedora, asa obeivo de crecimieno de la comunidad inernacional. Para ese caso será necesario considerar las siguiene supuesos económicos: (+i ) =(+r )(+Π ), y (4.3.) (+i' ) =(+r' )(+Π ). (4.3.2) El plazo convenido para liquidar la deuda se puede deerminar en érminos de las exporaciones de la economía, es decir como el cociene del saldo de la deuda exerna y un porcenae de las exporaciones, el cual sería negociado con los acreedores. La fórmula para el plazo sería: n S ax = 0 0, (4.3.3) donde X 0 denoa el valor de las exporaciones de la economía al efecuarse la negociación y a denoa la porción de ellas dedicada al pago de la deuda exerna, porción negociada con los acreedores.

26 26 Los desembolsos periódicos a los acreedores se deerminarían con la fórmula: P = S ( + i' ) g, si se cumple que P < S ( + i n T + g' ), (4.3.4) en caso conrario, el desembolso será: P = S ( + i ), (4.3.5) donde la función de reesrucuración auomáica T, es una función en érminos de las asas de inerés y el produco, es decir: T = T(, i, i', g, g' ), =,..., N., Un eemplo de esa función se puede consruir generando los muliplicadores de la forma: α i = i' g g',y definiendo, T = α. (4.3.6) = Un caso paricular de esa ecuación sucede cuando α =, para odo, por eemplo cuando i = i', y además g = g'. Si ese es el caso, el desembolso a los acreedores (ecuación 4.3.5) se ransforma en la fórmula ya conocida del esquema de pagos uilizado por el FICORCA, es decir la expresión (3..): P = S ( + i' ). (4.3.7) n + En ese caso, el esquema resulane es exacamene igual al esquema de pagos descrio en la sección 3.. Las principales caracerísicas de ese esquema de pagos son: el inerés del crédio se devenga a una asa de mercado, lo cual haría más acepable el esquema a los acreedores; los desembolsos efecivos en cada año dependen no de la asa de mercado sino de la asa real de inerés ope; y el plazo de la amorización oal es, por lo ano, endógeno. Originalmene, exisiría un plazo inicial negociado, pero las pares deben acordar que desviaciones en las asas reales de inerés y en el crecimieno de la economía inernacional. respeco a las asas obeivo provocaría que el plazo efecivo se alargara o se reduera de acuerdo al signo y el amaño de las referidas desviaciones (ecuaciones (4.3.4) y (4.3.5)).

27 27 5. Un modelo General La esrucura del modelo del FOVI presenado en la sección 3.2 sugiere un modelo general para la liquidación de crédios. El modelo incluye sólo res concepos: el desembolso del acrediado, los inereses devengados y el saldo insoluo del crédio. El desembolso inicial que realiza el acrediado se encuenra deerminado por un facor de pago aplicado al mono del crédio. Para los períodos poseriores se acualiza dicho pago por la inflación, es decir el pago es: P = f S ( + π ), (5.) = 0 los inereses devengados siguen la fórmula radicional de asas de mercado: I = i S. (5.2) Finalmene, el saldo sigue la fórmula descria en odos los esquemas de pagos descrios en la secciones 3 y 4: S = S ( + i ) P. (5.3) Lo novedoso en ese modelo radica en la inroducción en la ecuación (5.) de los parámeros f, los cuales al ser definidos apropiadamene inducen implicaciones muy imporanes acerca de odos los esquemas de pagos descrios en ese rabao. Es posible afirmar en general que, cualquier esquema de pagos para la liquidación de crédios exisene en el mercado puede ser reproducido por esa formulación general. En paricular, es posible generar odos los esquemas de pago descrios en ese documeno. Lo anerior es una conclusión que emana de la liberad que oorga el modelo general para la deerminación de los facores f en la fórmula (5.), ya que haciendo uso de ese hecho sólo se necesia buscar la esrucura de los facores para cada uno de los esquemas. Precisamene, el Teorema A.2 esablece formalmene la esrucura de los facores de pago que, al ser uilizados en el esquema general, reproducen los principales esquemas de pago presenados en el presene rabao. A coninuación se resumen cada una de las afirmaciones del Teorema A.2 así como su inerpreación financiera: 9. 5 Si en el modelo general se usa el facor f = ( ) * ( + w ) para oda en la 000 = ecuación (5.), enonces los pagos generados por el esquema general son iguales a los pagos del esquema de pagos uilizado por el FOVI (ecuaciones (3.2.) a (3.2.4)).

28 28 Esa primera afirmación del Teorema A.2 surge de manera naural, pueso que la esrucura del esquema de pagos uilizado por el FOVI es usada como la esrucura del modelo general. La inerpreación de los facores de pago del modelo general es que 9. 5 represenan la capacidad de pago del acrediado, formulada como el facor f 0 = ( ), 000 acualizada por el poder salarial real del acrediado. La segunda afirmación del Teorema es la siguiene: Si en el modelo general se usa el facor f = r n ( + ), enonces se obiene el = esquema de los crédios que se liquidan con un esquema de pagos consanes a valor presene, descrio por las ecuaciones (3..) a (3..4). La inerpreación financiera del facor de pago para ese caso es ineresane. Recuerde que en el esquema de pagos consanes a valor presene, se esablece de anemano el plazo que iene el acrediado para liquidar el crédio. Ese hecho implica la acepación explícia del acrediado de que le es posible pagar, en cada período, la n-ésima pare del mono del crédio. Así, el facor de pago periódico es simplemene la capacidad de pago del acrediado al inicio del crédio, acualizada por las asas reales de inerés de la economía. Ora consecuencia de ese modelo es la siguiene: n + Si en el modelo general se usa el facor f = + r n n en cada período, enonces se obiene el esquema de pagos de amorizaciones reales consanes descrio por las ecuaciones (3.3.) a (3..4). La esrucura de los facores de pago para el esquema de pagos con amorizaciones reales consanes descria en la afirmación anerior, nos permie esablecer la diferencia fundamenal enre ese esquema con el de pagos consanes a valor presene. Observe que el facor de pago es la suma de la n-ésima pare del mono inicial y la porción del saldo que fala por amorizar muliplicado por la asa real. Así, se puede afirmar que en el esquema de amorizaciones reales se incluye el pago de los inereses reales aplicado sobre el saldo insoluo real del crédio, lo cual no sucede en el esquema de pagos consanes a valor presene. Finalmene, la úlima afirmación del Teorema A.2 se refiere al esquema radicional de pagos: Si en el modelo general se uiliza el facor f = = n i n + + n, ( + π ) enonces se obiene el esquema radicional de pagos descrio por las ecuaciones (2.) a (2.4). Observe que la inerpreación financiera de los facores de pago para el esquema radicional es el muliciado problema de la amorización acelerada de los crédios pueso

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