MEJORA DE LA IMAGEN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA: TRANSFORMADA DE FOURIER

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1 MEJORA DE LA IMAGEN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA: TRANSFORMADA DE FOURIER M.C. CAROLINA ROCÍO SÁNCHEZ PÉREZ 01 DE ABRIL DE 2011

2 Operaciones en el dominio de la frecuencia Una imagen digital es una representación que se refiere directamente a la intensidad luminosa de puntos de un espacio. Se dice que una imagen es una representación en el dominio del espacio. Existen otras representaciones que no están en el dominio del espacio. Representaciones en el dominio de la frecuencia

3 Operaciones en el dominio de la frecuencia Las representaciones en el dominio de la frecuencia, detallan con cuánta frecuencia se repiten ciertos patrones en una imagen, consiguiendo representar la información de tal imagen. La representación puede ser útil, ya que teniendo la frecuencia de repetición de tales patrones se pueden detectar y alterar directamente elementos presentes en las imágenes, como el ruido, contornos o texturas.

4 Transformada de Fourier Fourier afirmó que: Cualquier función que se repita a si misma periódicamente puede ser expresada como la suma de senos y/o cosenos de diferentes frecuencias, cada uno multiplicado por un coeficiente distinto.

5 Transformada de Fourier Una imagen puede considerarse como una función de 2 variables. Las variables son las coordenadas x y y de un pixel dado, el valor de la función es el valor del pixel. El concepto de frecuencia se refiere a la frecuencia con la que una señal (la imagen) varía como una función de las coordenadas espaciales.

6 Transformada de Fourier En el caso de las imágenes, las señales corresponden a los niveles de gris o intensidad de las diferentes filas o columnas de la matriz de la imagen.

7 Transformada de Fourier Se inicia con una función f(x), donde x es una variable real representando tiempo o distancia en una dirección a través de una imagen. Es común referirse a esta función como una función en el dominio del tiempo o espacial, la transformada F es una función en el espacio de las frecuencias.

8 Transformada de Fourier El teorema de Fourier establece que es posible formar una función uni-dimensional f(x) como una sumatoria de series de términos seno y coseno de frecuencia creciente. La transformada de Fourier de la función f(x) se escribe F(u) y describe la cantidad de cada término de frecuencia que debe ser sumado para formar f(x). F( u) + = f 2πiux ( x) e dx donde i es -1. Y se tiene que e 2πiux = cos(2πux) i sin(2πux)

9 Transformada de Fourier Una de las principales características de la transformada, es que dada F(u) es posible recuperar la función en el dominio espacial f(x) de la misma manera + f ( x) = 2πiux F( u) e dx Las dos ecuaciones comprenden la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier.

10 Transformada de Fourier F(x) es generalmente una función real. F(u) es generalmente compleja, la suma de una parte real R y una parte imaginaria I F(u) = R(u)+iI(u) Es más conveniente expresarlo en su forma polar F( u) = F( u) e iφ( u) Donde F(u) es la magnitud y φ es llamada la fase. El cuadrado de la magnitud F(u) 2 es comúnmente llamado el espectro de potencia o densidad espectral de f(x)

11 Transformada de Fourier En la práctica las integrales serán reducidas a una sumatoria de términos de frecuencia creciente, limitada por el espacio finito de los puntos muestreados en la imagen. Lo cual se conoce como la T. de Fourier discreta F( u) = 1 N N 1 x= 0 f ( x) e i2πux / N Donde N depende del número de puntos muestreados a lo largo de la función f(x), que se asume está uniformemente espaciada.

12 Transformada de Fourier La transformada inversa es similar. f ( x) = N 1 u= 0 F( u) i2πux / N e Los valores de u desde 0 hasta N-1 representan los componentes de frecuencia discretos sumados para construir la función f(x).

13 Transformada de Fourier Para el caso de una imagen se requiere aplicar la transformación en 2D, se tendrían las funciones Transformada de Fourier F( u) + + = f ( x, [ i2π ( ux y) e + vy) dxdy Transformada Inversa de Fourier f ( x) + + [ i2π ( ux = F( u, v) e + vy)] dudv Transformada discreta F( u) = 1 MN M 1 N 1 x= 0 y= 0 f ( x, y) e [ i2π ( ux / M + vy / N ] Transformada Inversa discreta f ( x) = M 1 N 1 u= 0 v= 0 F( u, v) e [ i2π ( ux / M + vy / N ]

14 Transformada de Fourier La transformada resultante de la imagen original en el espacio de la frecuencia tiene valores complejos en cada pixel. Usualmente el despliegue del resultado es sólo la magnitud, ignorando la fase. Diferentes frecuencias se representan a diferentes distancias del origen, diferentes direcciones representan diferentes orientaciones en la imagen original. La magnitud dice «cuánto» de cierto componente de frecuencia está presente y la fase dice «dónde» está el componente de frecuencia.

15 Transformada de Fourier Transformada de Fourier Amplitud Amplitud Frecuencia Espacio o tiempo Transformada inversa de Fourier

16 Transformada de Fourier Trabajar con la T. de Fourier en una computadora involucra utilizar la transformada discreta de Fourier (DFT). Existen 2 razones principales: La entrada y salida de DFT son ambas discretas, lo cual lo hace conveniente para manipulación por computadora. Existe un algoritmo rápido para calcular la DFT conocido como transformada rápida de Fourier(FFT). Las funciones de matlab fft, fft2 y fftn implementan el algoritmo de la transformada rápida de Fourier. Las funciones ifft, ifft2 e ifftn calculan la transformada inversa.

17 Transformada de Fourier Hay un paralelismo entre una imagen y su espectro de frecuencias espaciales. Las imágenes que varían gradualmente tienen bajas frecuencias espaciales. Aquellas con mucho detalle y bordes nítidos tienen altas frecuencias espaciales.

18 Transformada de Fourier La representación gráfica de la T. de Fourier es un diagrama: el espectro de Fourier Representa la frecuencia y amplitud de cada una de las componentes sinusoidales determinadas. El espectro es la representación de las frecuencias que componen una señal No debe interpretarse como una imagen, sino como el desplegado en 2D de la amplitud de la imagen original.

19 Transformada de Fourier Por consiguiente, la T. de Fourier puede utilizarse para generar una nueva representación de la imagen basada en las frecuencias espaciales y manteniendo toda la información de la original. Si se construye una imagen cuyo nivel de gris sea proporcional a la magnitud de la transformada de Fourier se podrá representar gráficamente la transformada de Fourier. La forma del espectro revela información sobre la naturaleza de la imagen.

20 Transformada de Fourier Se tienen 2 imágenes, son componentes horizontales de 8 ciclos y de 32 ciclos. La T. de Fourier para cada uno tiene un solo componente, representado por 2 puntos brillantes simétricos ubicados sobre el centro de la imagen. El centro de la imagen es el origen del sistema de coordenadas de frecuencia. El eje u corre de izquierda a derecha a través del centro y representa el componente horizontal de frecuencia. El eje v corre de abajo a arriba a través del centro y representa el componente vertical de frecuencia. En ambos casos existe un punto en el centro que representa el término de frecuencia(0,0) o valor promedio de la imagen.

21 Transformada de Fourier Las imágenes usualmente tienen un valor promedio grande y mucha información de baja frecuencia, por lo que las imágenes usualmente tienen una «mancha» brillante de componentes cercanos al centro. Altas frecuencias en la dirección vertical causarán puntos brillantes lejos del centro en la dirección vertical. Altas frecuencias en la dirección horizontal causarán puntos brillantes lejos del centro de la dirección horizontal.

22 Transformada de Fourier de algunas imágenes En la mayoría de las implementaciones la T. de Fourier es desplazada para que el valor DC (el promedio de la imagen) F(0,0) se despliegue al centro de la imagen. Mientras más lejano esté un punto del centro de la imagen, más alta es su frecuencia correspondiente.

23 Transformada de Fourier de algunas imágenes

24 Transformada de Fourier

25 Transformada de Fourier

26 Transformada de Fourier Imágenes con componentes horizontales y verticales. La imagen de la izquierda tiene 4 ciclos horizontalmente y 16 verticalmente. La imagen a la derecha tiene 32 ciclos horizontalmente y 2 ciclos verticalmente. Se puede notar mucha simetría. Para todas las imágenes reales, la FT es simétrica respecto a su origen.

27 Transformada de Fourier de imágenes El valor DC es el componente más grande de la imagen, el que está en el centro. El rango dinámico de los coeficientes de Fourier(los valores de intensidad en la imagen de Fourier) es muy grande para desplegarse, por lo que aparecen en negro.

28 Transformada de Fourier de imágenes Se aplica una transformación logarítmica a la imagen. El resultado muestra que la imagen tiene componentes de todas las frecuencias, pero que su magnitud se vuelve pequeña para frecuencias altas. Las frecuencias bajas contienen mayor información. La imagen también dice que hay 2 direcciones dominantes en la imagen, una que pasa verticalmente y una horizontalmente a través del centro. Originado de patrones regulares en el fondo de la imagen original.

29 Transformada de Fourier de imágenes La fase de la transformada es la siguiente: El valor de cada punto determina la fase de la frecuencia correspondiente. Aunque no brinda mucha información nueva acerca de la estructura de la imagen en el dominio espacial.

30 Transformada de Fourier de imágenes Las imágenes tienen efecto de bordes evidenciadas por la línea vertical fuerte a través del centro. En la transformada de la imagen degradada las frecuencias altas en la dirección horizontal se han atenuado. La imagen degradada se obtuvo al suavizar sólo en la dirección horizontal. La imagen degradada tiene un nivel de ruido en el fondo en las altas frecuencias.

31 Transformada de Fourier de imágenes Para la imagen de los ladrillos se tiene un componente periódico fuerte en la dirección vertical. Los componentes horizontales aparecen más cercanos. En la imagen de bloques, se nota una línea brillante perpendicular de altas frecuencias de los bordes fuertes de la imagen. Cada vez que una imagen tiene un fuerte contraste, los valores de gris deben cambiar muy rápidamente. Se necesita gran cantidad de energía de alta frecuencia para seguir un borde, por lo que se suele tener una línea en su espectro.

32 Transformada de Fourier de imágenes Las letras tienen distintos espectros, especialmente en las bajas frecuencias. Los espectros tienden a tener líneas brillantes perpendiculares a las líneas en la letra original. Si la letra tiene segmentos circulares, de igual forma su espectro.

33 Transformada de Fourier de imágenes Se nota la estructura de anillo concéntrica en la imagen de píldoras. Esto se debe a cada píldora individual. Si se tomara el FT de una sola píldora, se obtendría este patrón. Recuérdese que se busca sólo el espectro de magnitud. El hecho de que hay muchas píldoras y la información sobre la ubicación de cada una está contenido en la fase.

34 Transformada de Fourier de imágenes En estas imágenes hay poca estructura. En la imagen de Lena se tiene una línea inclinada que va de izquierda superior a derecha inferior. Posiblemente debido al borde entre su sombrero y su cabello. La imagen del mandril parece tener energía de alta frecuencia. Posiblemente debido al cabello.

35 Transformada de Fourier Vista del «manto» de la transformada de Fourier de una discontinuidad en el eje X

36 Transformada de Fourier Transformada de Fourier en formato de manto

37 T. de Fourier para la mejora de la imagen

38 T. de Fourier para la mejora de la imagen Los filtros de frecuencia procesan una imagen trabajando sobre el dominio de la frecuencia en la T. de Fourier de la imagen. Para ello, ésta se modifica siguiendo el Teorema de la Convolución correspondiente: Se aplica la T. de Fourier Se multiplica por la función del filtro que se ha elegido. Para concluir, re-transformándola al dominio espacial empleando la T. inversa de Fourier

39 T. de Fourier para la mejora de la imagen Teorema de la Convolución (frecuencia): G(u,v) = F(u,v) * H(u,v) F(u,v): transformada de Fourier de la imagen original H(u,v): filtro atenuador de frecuencias.

40 T. de Fourier para la mejora de la imagen Se va a modificar la T. de Fourier de la imagen multiplicando por una cierta función H que hará atenuar las bajas o altas frecuencias, según sea el interés. G(u,v) = H(u,v) * F(u,v)

41 T. de Fourier para la mejora de la imagen Los FPB atenúan las componentes de medias-altas frecuencias y dejan intactas las bajas en función de la frecuencia de corte que se elija. Eliminan todo lo que no sean variaciones suaves de nivel de gris. El más sencillo es el filtro ideal de PB H ( u, v) = 1 0 si si D( u, v) D D( u, v) > D 0 0 D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias. Suprime las altas frecuencias mayores que un cierto valor D 0, (frecuencia de corte) deja las demás tal como están.

42 T. de Fourier para la mejora de la imagen FPB ideal Todas las frecuencias que no estén dentro del círculo son atenuadas.

43 T. de Fourier para la mejora de la imagen Para obtener la imagen original se aplica la transformada inversa de Fourier.

44 T. de Fourier para la mejora de la imagen

45 T. de Fourier para la mejora de la imagen Filtro de Butterworth de orden n Cae al 50% de su máximo en la frecuencia de corte (D(u,v)=D 0 ) Las transiciones a la frecuencia de corte D 0 no son bruscas.

46 T. de Fourier para la mejora de la imagen Los FPA atenúan las componentes de baja frecuencia y dejan intactas las medias-altas en función de la frecuencia de corte. Se usan para quedarse con las propiedades de la imagen donde los niveles varían bruscamente. Inversa de los filtros paso bajo, se puede representar como

47 T. de Fourier para la mejora de la imagen El filtro ideal de PA es H ( u, v) = 0 1 si si D( u, v) D D( u, v) > D 0 0 D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias. Suprime las frecuencias menores o iguales que un cierto valor D 0, que se denomina frecuencia de corte.

48 T. de Fourier para la mejora de la imagen

49 Referencias Gonzales R.C. & Woods R.E. Digital Image Processing Prentice Hall. John C. Russ. The Image Processing Handbook. Fourth Edition. CRC Press. Image Processing Toolbox. User s Guide. The Math Works. Inc. tm

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