Filtrado en el Dominio de la Frecuencia

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1 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 Filtrado n l Dominio d la Frcncia En l apnt d Filtrado Espacial s prsntaron las difrnts técnicas sadas gnralmnt para l ralc d na imagn n l dominio spacial Ahora afrontarmos l problma dsd l dominio d la frcncia más prcisamnt con la transformada d Forir Introdcción a la Transformada d Forir al dominio d la frcncia La transformada d Forir F d na sola ariabl d na fnción contina f s dfin como F j π f d D la misma forma dada F podmos obtnr f a traés d la transformada inrsa d Forir j π f F d Las prsions antriors pdn trs fácilmnt a dos ariabls : F f j π dd Y similarmnt la transformada inrsa qda dfinida como f F j π dd Ahora bin n l procsaminto d imágns s trata con fncions discrtas Por sta razón prsntamos la transformada d Forir d na fnción discrta TDF d na ariabl f con -: F Para - Análogamnt dada F la transformada discrta d Forir inrsa stá dfinida como f Para - Cada no d los términos d F s llamado componnt d frcncia d la transformada Los alors d n los q la F stá dfinida s llama dominio d la frcncia Una propidad important d la TDF s inrsa s q a difrncia dl par contino aqéllas simpr istn Lo mismo scd con la TDF para na fnción d dos ariabls En algnos casos s connint prsar la TDF F n coordnadas polars: F F F jπ jφ f j π Filtrado n l dominio d la frcncia

2 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 Filtrado n l dominio d la frcncia dond s llamado magnitd d la transformada d Forir s dnomina fas o argmnto d la transformada d Forir R I son la part ral la imaginaria d F rspctiamnt Transformada discrta d Forir bidimnsional La transformada discrta d Forir d na fnción imagn f d tamaño stá dada por la sigint prsión: Similarmnt dada F obtnmos f a traés d la transformada d Forir inrsa dfinida por la sigint prsión: Para - - Las ariabls son las ariabls transformadas o d frcncia son las ariabls spacials o d imagn Como n la scción antrior dfinimos l spctro d Forir la fas la magnitd: dond R I son la part ral la imaginaria d F rspctiamnt En la práctica s común mltiplicar a fnción f imagn por - ants d calclar la transformada d Forir Dbido a las propidads d las ponncials s pd dmostrar q dond TDF rprsnta la transformada discrta d Forir Esta prsión coloca al o- rign d la TDF d f- [o sa F] n / / En otras palabras mltiplicando f por - s traslada l orign d F a las coordnadas // las cals coincidn con l cntro dl ára d ocpada por la transformada discrta d Forir bidimnsional El alor d la transformada n stá dado por la cación I R F tan R I φ j f F π j F f π I R F tan R I φ / / } { F f TDF

3 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 F f d la cal mos q s l promdiado d f En otras palabras si f s na imagn l alor d la transformada n l orign s promdiado d los nils d gris d la i- magn Dado q ambas frcncias son cro n l orign F s llamado a cs componnt contina dc dl spctro Si f s ral s fácil dmostrar q s TDF s hrmítica q la magnitd d ésta s simétrica La figra a mstra n rctánglo blanco d 4 píls sobr n fondo ngro d 55 La imagn f mltiplicada por - ants d aplicarl la TDF d manra q la frcncia cro qd n l cntro dl spctro figra b Ants d mostrar la TDF s l aplicó na transformación logarítmica F c*logf para ralzar l dtall n los nils d gris 3 a b Figra : a Imagn d n rctánglo d 4 sobr n fondo ngro b Espctro d Forir cntrado con la aplicación d na transformación logarítmica Algnas ddccions básicas dl dominio d la frcncia Como la frcncia stá dirctamnt rlacionada con la locidad d los cambios n l nil d gris s fácil asociar intitiamnt las frcncias n la TDF con patrons n las ariacions d la intnsidad dl nil d gris Como mncionamos la componnt d frcncia d ariación más lnta corrspond al promdiado d los nils d gris n la imagn A mdida q nos aljamos dl orign d la transformada la frcncia Filtrado n l dominio d la frcncia 3

4 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 d las componnts a amntando corrspondio a ariacions n la intnsidad cada z más rápidas Procdiminto para filtrar n l dominio d la frcncia Para filtrar n l dominio d la frcncia s dbn sgir los sigints pasos: i ltiplicar la imagn d ntrada por - para cntrar la transformada como lo indica la cación ii Calclar la TDF d la imagn F mdiant la cación iii ltiplicar F por na fnción H q actú como filtro i Calclar la TDF inrsa dl rsltado hallado n iii Obtnr la part ral dl rsltado d i i ltiplicar l rsltado d por - La razón por la q H actúa como filtro s q sta fnción limina o atnúa cirtas frcncias n la transformada dja a otras sin cambios Considrmos q f s la imagn d ntrada dl paso i dl procdiminto ants dscripto F s transformada d Forir Entoncs la transformada d Forir d la imagn filtrada stá dada por: G H F La mltiplicación d H F inolcra fncions bidimnsionals o sa s l rsltado d mltiplicar lmnto a lmnto dos matrics En gnral los lmntos d F son númros compljos pro los filtros H q s san frcntmnt son rals Estos filtros mltiplican d igal forma la part ral la imaginaria d los lmntos d F por lo tanto sólo modifican la magnitd d la transformada mantnio inariabl l argmnto La imagn filtrada s obtin aplicando la transformada inrsa d Forir a G mltiplicando l rsltado por - Cando la imagn f l filtro H son rals la transformada inrsa d Forir d G dbría sr ral pro n la práctica no s a- sí a q istn componnts compljos parásitos q aparcn como conscncia dl rror nmérico comptacional Estos componnts dbn sr ignorados son dsprciabls pro pdn inflir n cálclos postriors Algnos filtros básicos Filtro otch Spongamos q qrmos ponr a cro l nil d gris promdio d na imagn D acrdo con la cación 3 l nil d gris promdio d na imagn stá dado por F Si hacmos q sta componnt sa cro n l dominio d la frcncia calclamos la TDF inrsa ntoncs l nil d gris promdio d la imagn rsltant srá cro Considrmos ahora q hmos cntrado la transformada sgún la cación El procdiminto antrior d filtrado s raliza mltiplicando F por la sigint fnción filtro: Filtrado n l dominio d la frcncia 4

5 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 H / / Los filtros notch son hrramintas cpcionalmnt útils cando s posibl idntificar fctos spacials n la imagn casados por componnts d frcncias spcíficos localizados Como lo disctimos n l apnt d Filtrado Espacial las frcncias bajas n la TDF son rsponsabls dl nil d gris gnral d las áras sas n na imagn mintras q las frcncias altas son rsponsabls d los dtalls bords rido Un filtro q atnúa las altas frcncias mintras q dja pasar las bajas lo dnominábamos filtro pasa-bajos Un filtro q tin las caractrísticas opstas a las dl antrior lo dnominábamos pasa-altos La figra mstra los fctos dl filtrado con n pasa-bajos con n pasa-altos Ambos filtros H figra b d son circlarmnt simétricos Como ra d sprar la imagn filtrada con l pasa-bajos d la figra b q s hib n c s q stá saizada o borronada con rspcto a la original d la figra a D igal forma la i- magn filtrada con l pasa-altos d la figra d q s hib n mstra m poca ariación sa d nil d gris q la original F f forzada a cro pro con maor dtall n los bords las formas / / Figra : a Imagn original b Filtro pasa-bajos bidimnsional spctro cntrado c Rsltado d filtrar la imagn a con l pasa-bajos b d Filtro pasaaltos bidimnsional spctro cntrado Rsltado d filtrar la imagn a con l pasa-altos d a b c Filtrado n l dominio d la frcncia 5

6 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 d Corrspondncia ntr l filtrado n l dominio dl spacio d la frcncia Torma d la conolción En l apnt d Filtrado Espacial prsntamos na prsión q tilizaríamos para calclar la conolción ntr na imagn f d na máscara d h d mn Es la sigint: a b g f i jhij i a jb m n a b Ahora prsntarmos la prsión más formal para la conolción discrta ntr dos fncions f h d tamaño dnotada por f h: f h m n f m n h m n m n f h m n Con la cpción d los límits d la smatoria l signo mnos la constant sta prsión s similar a la dada n l apnt antrior En particlar l signo mnos lo q hac s rfljar f o h sobr s orign; s algo inhrnt n la dfinición d conolción Si F H dnotan la TDF d f h rspctiamnt na part dl torma d la conolción stablc q la conolción f h l prodcto FH son n par transformado d Forir sto s f h F H O sa q la conolción spacial d f con h pd obtnrs calclando la TDF inrsa dl prodcto FH La otra part dl torma stablc q l prodcto fh la conolción F H constitn también n par transformado d Forir sto s f h F H Filtrado n l dominio d la frcncia 6

7 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 Filtros Idals Pasa-bajos El filtro pasa-bajos más simpl q podmos imaginar s aql q limina todas las componnts d alta frcncia d la transformada d Forir q s ncntrn a na distancia D dl orign dl spctro cntrado Est filtro stá dado por D D D > D H D / / dond D s n númro no ngatio a cs llamado frcncia d cort D s la distancia dl pnto al cntro dl spctro Dbido a q como mncionamos antriormnt n st apnt s más práctico trabajar con n spctro cntrado la frcncia cro d la TDF n l cntro l cntro dl spctro stá dado por // El nombr d filtro idal s db a q todas las frcncias q s ncntran n l intrior dl círclo d radio D pasan sin atnación mintras q las q s ncntran fra dl círclo son compltamnt atnadas Como s sab los filtros idals no pdn ralizars físicamnt mdiant componnts lctrónicos pro sí pdn sr implmntados n na comptadora Pasa-altos El filtro pasa-altos idal s l opsto al pasa-bajos idal n l sntido d q l primro frza a cro todas aqllas frcncias intriors al círclo d radio D mintras dja pasar sin atnación a aqllas q s ncntrn afra S dfinición s la sigint: D D D > D H D / / Los filtros idals tinn caractrísticas q gnralmnt son contraprodcnts Un jmplo d sto son las oscilacions indsadas q aparcn n la imagn filtrada Estos fctos son conocidos como ringing n l idioma inglés La figra 3 ilstra lo comntado n st párrafo Figra 3: a Original b Rsltado d filtrar la imagn original con n pasa-bajos idal con D 3 Aqí s pd r l fcto conocido como ringing oscilacions a b Filtrado n l dominio d la frcncia 7

8 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 Filtro Bttrworth Pasa-bajos La fnción d transfrncia d n filtro Bttrworth pasa-bajos d ordn n con na frcncia d cort a na distancia D dl orign stá dfinida por D D H n D / / En la figra 4 a s pd r la forma d n filtro Bttrworth pasa-bajos n la 4 b s mstra al filtro como na imagn mintras q n la 4 c s prsnta l prfil dl filtro Bttrworth para distintos n a b c Figra 4: a Prspctia d n Bttrworth pasa-bajos b El filtro mostrado como na imagn c Prfil dl filtro para distintos n A difrncia dl filtro idal pasa-bajos la fnción d transfrncia dl filtro Bttrworth no tin na discontinidad idnt q stablzca na frcncia d cort bin dtrminada Para aqllos filtros q tinn na fnción transfrncia contina o saizada s común dfinir na frcncia d cort n n pnto tal q H sté por dbajo d na cirta fracción d s máimo En l caso dl filtro Bttrworth H5 5% d s máimo alor o sa cando DD Para n l filtro Bttrworth no prsnta oscilacions; para n las oscilacions son casi imprcptibls; mintras q para n> los filtros Bttrworth prsntan oscilacions indsadas Si bin s tilizan difrnts n para l cálclo dl filtro Bttrworth l d sgndo ordn n s l q gnralmnt s lig a q tin n bn compromiso ntr n filtrado pasa-bajos fctio oscilacions d intnsidad acptabl Pasa-altos La fnción d transfrncia d n filtro Bttrworth pasa-altos d ordn n con na frcncia d cort a na distancia D dl orign stá dfinida por H n D D / / D Filtrado n l dominio d la frcncia 8

9 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 Filtros basados n fncions Gassianas Est tipo d filtro s d particlar importancia a q s forma stá fácilmnt spcificada porq tanto s TDF como s TDF inrsa son fncions Gassianas rals Filtro Gassiano Pasa-bajos La forma d st filtro stá dada por: H D / σ D / / dond D s la distancia al orign dl pnto asmio q s ha cntrado la transformada Como mos st tipo d filtro tin s máimo n q s lgo s alor cominza a disminir sgún la fnción Gassiana ca disprsión o aprtra stá dada por la constant σ Una prsión más familiar dl filtro Gassiano s aqlla n dond aparc la frcncia d cort D : H D / D D / / Cando D>D los alors dl filtro stán por dbajo dl 67% d s máimo Otra d las particlaridads dl filtro Gassiano s q la TDF inrsa d st tipo d filtro no prsnta los fctos conocidos como ringing algo q sí scdía para l caso d los filtros Bttrworth para n> Filtro Gassiano Pasa-altos La fnción transfrncia dl filtro Gassiano pasa-altos con frcncia d cort bicada a na distancia D dl orign stá dada por la sigint prsión: H D / D D / / Filtrado Homomórfico Una imagn f pd prsars como l prodcto d la ilminación los componnts d rflctancia la rflctancia s na fnción q dp d las caractrísticas d rflión d n objto al para las sprficis totalmnt opacas para aqllas q rfljan toda la lz q incid sobr llas: f i r dond i dnota la ilminación r la rflctancia El modlo ilminación-rflctancia rcién dscripto pd sars para dsarrollar n procsaminto n l dominio d la frcncia q mjor la aparincia d na imagn por mdio d la comprsión dl nil d gris dl ralc dl contrast Filtrado n l dominio d la frcncia 9

10 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 La prsión antrior no s pd sar dirctamnt para oprar sparadamnt sobr los componnts d frcncia d la ilminación la rflctancia dbido a q la transformada d Forir d dos fncions no s sparabl Es dcir TDF{ f } TDF{ i } TDF{ r } Spongamos sin mbargo q dfinimos z ln f ln i ln r Entoncs TDF { z } TDF{ln f } TDF{ln i } TDF{ln r O dond F i F r son la transformada d Forir d ln [i] ln [r] rspctiamnt Si filtramos Z por mdio d na fnción H como lo níamos hacio ntoncs dond S s la transformada d Forir dl rsltado En l dominio spacial dond TDFI rprsnta la transformada discrta d Forir inrsa Si ahora sponmos q i' TDFI{ H F } r' TDFI{ H F } la cación 4 s pd prsar d la sigint forma Finalmnt dado q z s dfinió tomando l logaritmo d la imagn original f la opración inrsa o sa la ponncial nos dará como rsltado la imagn ralzada filtrada g; sto s dond [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} Z F F i S H Z H F H F son la componnt d ilminación rflctancia d la imagn rsltant rspctiamnt La componnt d ilminación d na imagn gnralmnt stá caractrizada por ariacions spacials lntas mintras q la componnt d rflctancia ti a ariar abrptamnt n particlar n las nions d objtos disímils Estas caractrísticas prmitn asociar las bajas frcncias d la transformada d Forir dl logaritmo d na i- magn con la ilminación las altas frcncias con la rflctancia Anq sta rlación s na aproimación pd tilizars como ntaja n l ralc d imagn Con n filtro homomórfico s pd ganar mcho control sobr la componnt d ilminación rflctancia Est control rqir la spcificación d n filtro H q afc- r i s TDFI{ S } TDFI{ H F } TDFI{ H F } i i s i' r' s i' r ' g i r i i' r r ' r r r 4 Filtrado n l dominio d la frcncia

11 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 t las bajas las altas frcncias d difrnt forma La figra 5 mstra la scción d n filtro homomórfico Si los parámtros γ L γ H s lign d manra q γ L < γ H > l filtro mostrado n la figra 5 ti a disminir la contribción hcha por las bajas frcncias ilminación a amntar la contribción hcha por las altas frcncias rflctancia El rsltado d sto s la comprsión dl rango dinámico l ralc dl contrast Figra 5: Prfil d n filtro circlarmnt simétrico D s la distancia al orign transformada cntrada La cra d la figra 5 pd aproimars sando la prsión básica d calqira d los filtros pasa-altos prsntados antriormnt Por jmplo sando na forma ligramnt modificada dl filtro Gassiano dada por H L c D D / γ L H γ γ dond D s la distancia al orign d la transformada cntrada la constant c f introdcida para controlar la pint dl filtro n la transición d γ L a γ H Rfrncias Digital Imag Procssing Scond Edition Rafal C Gonzalz Richard E Woods capítlo 4 Filtrado n l dominio d la frcncia

12 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 Apéndic A continación s prsntarán algnos algoritmos hchos n scripts d atlab para procsar na imagn n l dominio d la frcncia Comncmos mostrando cómo sría n algoritmo q calcl la transformada discrta d Forir Para llo sarmos na imagn d tamaño chico dado q l cálclo d la TDF para las imágns grands pd llar algnos mintos Afi55*rand; [fc]siza; for :f for :c FA; for :f for :c FAFA A*p -j**pi**/f */c ; FAfftshiftFA; % Colocamos la frcncia cro n l cntro dl spctro figr mshabslogfa titl'transformada Discrta d Forir algoritmo propio' Comparmos l rsltado obtnido con l q nos brinda la fnción fft d atlab: FA_matfftA; FA_matfftshiftFA_mat; % Colocamos la frcncia cro n l cntro dl % spctro figr mshabslogfa_mat titl'transformada Discrta d Forir fncion d atlab "fft"' Para cntrar la TDF hmos tilizado la fnción d atlab fftshift Esta misma tara s podría ralizar con n algoritmo propio d la sigint forma: for i:f for j:c AaijAij*-^ij; Los rsltados srían los mismos Vamos ahora na d las manras n q s pd procdr para filtrar na imagn con n pasa-bajos idal Adoblimrad'circittif''tif'; [fc]siza; Filtrado n l dominio d la frcncia

13 Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 % Calclo la transformada discrta d Forir DFT DFT_AfftA; % Cntro l spctro DFT_AfftshiftDFT_A; % Constro n filtro idal pasabajos Df//5; PasabajosIdalzrosfc; for i:f for j:c Dsqrti-f/^j-c/^;% Dtrmino la distancia al cntro dl % pnto ij if D<D PasabajosIdalij; % ltiplico la transfomada d la imagn por l filtro idal DFT_A_filtradaDFT_A*PasabajosIdal; % ltiplico lmnto a lmnto % Aplico la DFT inrsa A_filtradaifftDFT_A_filtrada; % Tomo l modlo para dscartar calqir rsido d tipo compljo A_filtradaabsA_filtrada; figr imshowint8a titl'imagn original' figr mshabslogdft_a titl'espctro d la imagn original' figr mshabslogdft_a_filtrada titl'espctro d la imagn filtrada' figr imshowint8a_filtrada titl'imagn filtrada' figr imshowpasabajosidal titl'filtro pasabajos idal' Filtrado n l dominio d la frcncia 3