MODELO ESTRATÉGICO DE OPERACIÓN DE CARGA EN SISTEMAS DE TRANSPORTE FERROVIARIO. Resumen

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1 1 MODELO ESTRATÉGICO DE OPERACIÓN DE CARGA EN SISTEMAS DE TRANSPORTE FERROVIARIO J. Enrique Fernández L., Joaquín de Cea Ch. Depto. Ingeniería de Tranporte, U. Católica de Chile Cailla 306, Santiago 22, CHILE FAX: (56-2) ; y Ricardo Gieen E. Fernández y De Cea Ingeniero Lota 2257, Of. 402, Santiago, Chile FAX: (56-2) ; Reumen En ete trabajo e preenta un nuevo modelo etratégico para itema de tranporte ferroviario de carga. El objetivo del modelo dearrollado e predecir lo flujo y nivele de ervicio para ditinto tipo de carga movilizado en el itema, dada la demanda Origen-Detino por tranporte de cada tipo de carga y la programación de ervicio e itinerario de trene. El modelo propueto poee lo iguiente elemento ditintivo: i) Lo ervicio ferroviario y u caracterítica operacionale on coniderado explícitamente. ii) La ditribución y aignación de carro vacío e tratada imultáneamente con la aignación de producto a la red ferroviaria, tomando en cuenta lo coto obre la red y la prioridade de tranporte. iii) Se aocian ditinta prioridade a lo carro a tranportar en función de lo producto que en ello e movilizan. iv) Se conideran retriccione de capacidad para el movimiento de cada tipo de producto dependiendo de la diponibilidad del tipo de carro neceario para tranportar cada tipo de carga y de la demanda por tranporte de producto que compiten por el uo de lo mimo tipo de carro. Eta retricción implica que alguno producto deban eperar má tiempo en el patio de origen o tranferencia de no exitir uficiente capacidad. También e preenta una formulación matemática del modelo, y a partir del análii de u caracterítica e dicuten ditinto enfoque de olución. 1. INTRODUCCIÓN En la actualidad, lo modelo etratégico de rede de tranporte interurbano coniderado etado del arte en la materia on el Modelo de Equilibrio de Rede de Tranporte de Carga (Freight Netork Equilibrium Model: FNEM) y el Modelo de Planificación Etratégica para Flujo Multiproducto de Carga (STAN). Una de la principale falencia de eto modelo, e relaciona con la incapacidad de coniderar la caracterítica y etrategia ditintiva de la operación del modo ferroviario, tale como: ervicio con

2 2 ditinta prioridade, diponibilidad de carro y locomotora, agrupación de carro en bloque, etc. (Fernández y De Cea, 1995). Eto, ha impedido repreentar adecuadamente la demora aociada al tranporte de ditinto producto obre la red ferroviaria, dato de epecial interé en la modelación del comportamiento de depachadore (elección de modo) y de operadore (ruteo de carga). (Fernández y De Cea, 1996). El objetivo de ete trabajo e el dearrollo de un modelo etratégico de operacione ferroviaria de tranporte de carga para una región, que permita er incorporado en un modelo etratégico de tranporte multimodal interurbano de carga (Fernández et al, 1998). Para tal efecto, e requiere que el modelo permita determinar nivele de ervicio (tiempo de viaje y epera, flujo de carga por tipo de producto y movimiento de carro para cada tipo de carro coniderado) como función de la demanda O-D, la capacidad de lo ditinto componente del itema (patio, línea, etc.) y la caracterítica operativa. La operacione de un itema ferroviario e dearrollan en una infraetructura fíica, que puede er conceptualizada como una compleja red, compueta de un conjunto de patio de claificación (grande terminale); un conjunto de pequeña etacione; un conjunto de línea principale y ecundaria; y un conjunto de punto de interconexión. Al conjunto de actividade realizada en patio, etacione y punto de interconexión e denomina operacione en patio, en tanto, a aquella dearrollada en la línea principale y ecundaria e le llama operacione en línea. Sobre eta red coexiten imultáneamente un gran número de carro (vacío y cargado), cada uno de lo cuale poee un objetivo particular e independiente de lo demá. Pee a ello, eto carro no e mueven en forma independiente obre la red, ino que en formacione denominada bloque. Eto bloque on agrupacione de carro, que pudiendo tener ditinto detino finale, on coniderado arbitrariamente como una unidad de tranporte dede el patio en que u carro on enamblado hata u patio de detino, donde u carro on eparado y reclaificado (pudiendo quedar allí como detino final o paando a formar parte de un nuevo bloque). A u vez, todo lo movimiento obre línea, que conectan ditinta etacione en la red ferroviaria, on efectuado por trene, cuya locomotora tranporta uno o má bloque. Eto trene poeen ruta predefinida, con itinerario y frecuencia epecífica, que en conjunto con otra caracterítica operacionale; tale como tipo de locomotora, tipo de carro que tranporta, velocidad y prioridad; definen el ervicio del tren. Lo carro que contituyen la unidad báica de tranporte en un itema ferroviario, en cada ciclo en que tranportan carga etán ujeto al iguiente conjunto de operacione, en primer lugar, el depachador o cliente envía una orden olicitando un carro vacío con la caracterítica o tecnología requerida para tranportar u carga. Poteriormente, el operador dede algún patio elecciona lo carro, que luego de er inpeccionado, on llevado y entregado en el punto donde el depachador carga u producto (en alguno cao eto punto etán ubicado al interior de la indutria del depachador). Una vez cargado, lo carro on llevado al patio de origen de u viaje, donde on claificado (ordenado) y agrupado en bloque. Luego lo bloque on pueto en trene, para aí comenzar el itinerario de lo ditinto carro hacia u detino. En lo patio que el tren e detiene lo carro y la máquina (locomotora) on normalmente inpeccionado. Adicionalmente, en eta parada, lo bloque de carro pueden er tranferido (deenganchado de un tren y pueto en otro); o, en el cao de llegar a u detino finale, on deenganchado del tren y u carro claificado. Lo carro que han llegado a u detino final on llevado a una etación de decarga, donde on

3 3 vaciado. Para luego, una vez que han ido limpiado e inpeccionado, er preparado para un nuevo viaje. Divero modelo han ido dearrollado en la literatura para repreentar operacione en patio ferroviario (Peteren y Fullerton, 1975; Aad, 1980; Crainic et al, 1984; Marín et al, 1993; Crainic, Florian y Léal, 1990). Lo trene al entrar a un patio de claificación iguen una ecuencia de proceo, que normalmente pueden agrupare en cuatro tarea, realizada en el iguiente orden:1º) Recepción, inpección y demantelamiento de trene; 2º) Claificación de carro y formación de bloque; 3º) Epera de conexión y formación de trene; 4º) Depacho e inpección de alida. De acuerdo a trabajo realizado por Folk (1972) y Reid et al (1972), para el itema ferroviario norteamericano, el proceo de claificación e la principal fuente de demora de un carro al paar por un patio. Otra concluión de eto trabajo e que la demora relacionada con el tercer proceo obedecen generalmente a la programación de trene (horario de alida de trene dede cada etación) má que a la capacidade limitada de formar trene. Eto permite, a un nivel general, detenere ólo en la demora por conexión, no coniderando que en alguno cao la alida de trene podría etar condicionada por la capacidad de la máquina de patio de armar trene. Por otra parte, una erie de trabajo efectuado por Peteren (1977a), muetran que la operacione de recepción, aí como de depacho no repreentan cuello de botella en la operación, por lo que pueden er modelada adecuadamente por tiempo fijo de ervicio. En lo modelo que actualmente correponden al etado del arte a nivel etratégico, lo patio ferroviario on repreentado por un olo arco (Crainic et al,1990), en el que el nodo inicial recibe todo el tráfico y el nodo final correponde al punto de depacho de trene. La capacidad y rendimiento de una línea ferroviaria puede er normalmente evaluada a travé de la demora que experimentan lo trene, bajo diferente upueto operacionale. En modelo de rede e han adoptado báicamente tre enfoque: i) demora contante, en ete cao la congetión en la línea no e coniderada (Payraud, 1981); ii) caja negra, en ete cao e utiliza un modelo de demora externo que e llamado cada vez que e requiere calcular demora (Peteren y Fullerton, 1975); iii) funcione de demora con parámetro aproximado, eta on funcione analítica con parámetro aproximado calibrado a partir de valore hitórico (Crainic, 1984). La conideración de vehículo vacío revite una importancia fundamental en la modelación de un itema ferroviario de carga, eta obedece a la neceidad de compenar lo naturale debalance en el flujo de carga, la epecialización de lo carro en carga epecífica, retriccione operacionale y regulacione (Dejax y Crainic, 1987). Mendiratta (1982) determinó que en el itema ferroviario norteamericano un carro en promedio viajaba el 40% del tiempo vacío. En general, para etimar la demanda por carro vacío, en cada punto de la red, e requiere conocer el número de carro neceario para movilizar la carga generada y la diponibilidad de carro vacío en dicho punto. STAN (Crainic et al, 1990) e el único modelo etratégico de tranporte de carga en el que e conidera explícitamente el movimiento de carro vacío en el modo ferroviario. En éte, lo carro vacío on coniderado como un producto ditinto que debe er tranportado para atifacer la

4 4 demanda O-D, in embargo, e conidera la exitencia de un ólo tipo de carro vacío con caracterítica equivalente al promedio de lo carro del itema. El preente trabajo e ha dividido en iete parte. Depué de eta introducción, en la egunda ección e preenta el enfoque de modelación propueto, analizando la variable del problema y u interaccione, aí como lo upueto generale de modelación aumido. Poteriormente, e preenta la red de ervicio utilizada en la modelación. Luego de ello, e proponen y analizan epecificacione de funcione de demora para lo ditinto arco de éta. En la quinta parte, e muetra la formulación matemática del problema. En la exta, e analizan algoritmo de olución para el problema propueto. Y, finalmente, e preentan concluione realizando un análii de lo principale aporte del trabajo y tema que requieren invetigación adicional. 2. ESTRUCTURA DEL MODELO, VARIABLES Y SUPUESTOS DE COMPORTAMIENTO 2.1 Notación Coniderando la red de ervicio GNA (, ), compueta de un conjunto N de nodo y A de arco. Donde el conjunto N eta compueto de do tipo de nodo: i) Centroide, que correponden a punto donde e upone concentrado el origen y/o detino de carga; y ii) otro nodo, que repreentan patio y cruce ferroviario de ditinto tipo. Por u parte, el conjunto de arco A eta compueto de tre tipo de arco: i) Arco de conolidación,co, que conectan un centroide con el patio que lo irve; ii) Arco de claificación, Cl, que repreentan la operacione de claificación efectuada en un patio; y iii) Seccione de ruta, SR, que repreentan la demora en línea y de conexión (una explicación má detallada e preenta en la ección 3.1 y 3.2). En eta red e definen adicionalmente lo iguiente elemento: W : Conjunto de pare origen-detino (O-D) en la red. : Un elemento del conjunto W. W : Conjunto de pare de patio en la red. : Un elemento del conjunto W. Cada par O-D, W, tiene aociado un único par de patio, W. R : Conjunto de ruta diponible en G( N, A) para viaje de carro. R : Conjunto de ruta factible diponible entre el par O-D. r : Un elemento del conjunto R. frec t : Frecuencia del ervicio ferroviario t, medido en número de trene durante el periodo de análii. k t : Capacidad del ervicio t en la ección, medido en Ton. frec : Frecuencia total de trene en la ección ( frec = frect) durante el periodo de análii. K : Capacidad total en la ección de ruta ( K = kt ) t t, medido en Ton.. Medido en número de trene

5 5 T, T, : Demanda de viaje, entre el par, de carro tipo v cargado con producto (al que e aocia una prioridad p ), medido en carro durante el periodo de análii. : Demanda de viaje, entre el par, de carro tipo v vacío (a lo que e aocia una prioridad p ), medido en carro durante el periodo de análii. C r, : Coto compueto (ver ecuación 1) obre una ruta r para carro cargado con producto, expreado en valore monetario. Cabe notar que a cada producto e aocia un tipo de carro v y una prioridad p. CCo a : Demora compueta de conolidación en el arco a, para un carro tipo v, cargado con algún producto al que e aocia una prioridad p. CCl a : Demora compueta de claificación en el arco a. CS : Demora compueta en la ección de ruta, para cada Ton de producto que tenga aociada una prioridad p y utilice carro tipo v. t : Demora media de viaje entre el par de patio, para carro tipo v con prioridad p, expreado en hora. h, r : Flujo en la ruta r, de carro tipo v, cargado con producto (a lo que e aocia una prioridad p ), medido en carro durante el periodo de análii. h r,, * U : Flujo en la ruta r de carro tipo v vacío (a lo que e aocia prioridad p ), medido en carro durante el periodo de análii. : Nivel de ervicio de equilibrio entre el par O-D, para carro tipo v que llevan producto con prioridad p, expreado en valore monetario. 2.2 Etructura del Modelo En la Figura 1 e muetra, un equema con la ditinta etapa que e deben reolver en el modelo y la variable relacionada. 2.3 Variable del Modelo y Supueto de Comportamiento En el modelo de operacione ferroviaria propueto lo ervicio y u frecuencia on un dato exógeno, y e conideran conocida de antemano. Aí, en el modelo ólo e deben determinar el flujo de cada tipo de carro, en cada uno de lo egmento de lo ervicio, y lo nivele de ervicio correpondiente. Para coniderar explícitamente la caracterítica de lo ditinto ervicio (o trene) de tranporte de carga ofrecido obre la red ferroviaria, e utiliza una red imilar a la propueta por Crainic et al (1984) para análii táctico, pero e aume como dado lo ditinto ervicio de tranporte de carga obre la red ferroviaria. Ademá, para repreentar la exitencia de patio en que alguno carro podrían er aignado a ditinto trene e utiliza el concepto de eccione de ruta. De eta forma, e modela la exitencia de má de un ervicio atractivo para un carro en un patio dado. Ete concepto e el mimo utilizado en la repreentación de rede de tranporte público para el cao urbano por De Cea y Fernández (1993).

6 6 Matrice O-D tipo de carga en FF.CC. (Exógena al modelo) Ton Calculo de Matrice O-D tipo de Carro Cargado Matrice O-D tipo de Carro Cargado T, Calculo de Oferta y Demanda tipo de Carro Vacío Vectore de Oferta y Demanda tipo de Carro Vacío O i, ; D j, Modelo de Ditribución de Viaje para Carro Vacío Matrice O-D tipo de Carro Vacío T, Modelo de Aignación a la Red de FF.CC. tipo de Carro Figura 1: Etapa del Modelo Etratégico de Tranporte Ferroviario de Carga Para coniderar la capacidad diponible en un ervicio, e hacen lo iguiente upueto: i) Lo carro cargado en etacione anteriore, a una determinada parada, poeen prioridad para eguir en el ervicio repecto a lo carro que eperen aquel ervicio en ee patio. Ete upueto e imilar al utilizado por Crainic y Gendreau (1986) para analizar la demora de conexión. ii) Entre lo ditinto carro que eperan un determinado ervicio, e conectarán primero aquello que poean carga con mayor prioridad. Siguiendo el enfoque de Fernández et al (1998), para evitar lo problema producido por una formulación imultánea de la diferente percepcione y valoracione de la mima variable por parte de lo ditinto agente del itema (operadore y depachadore), e upone que el coto compueto coniderado por lo operadore en u elección de ruta e compone de coto marginale privado CmgP, r (coto de operación, CO, r, má la propia percepción y valoración del tiempo

7 7 de viaje, φ θ t r,. v tmg r ), má lo coto de tiempo percibido y valorado por lo depachadore,,,, Cr = CmgPr + θ tr (1) con : CmgP, CO, φ tmg = + (2) r r v r Ademá, i e upone que el ruteo de carro e efectúa ólo en bae a demora, in coniderar coto de operación, la condicione de equilibrio de ruta de ete modelo etarán dada por:, *, *, * = U i hr > 0 Cr, *, * U i hr = 0 ; r R, W, v, p, (3) Donde: C, = θ t, + φ tmg (4) r r v r De eta forma, en el modelo la ruta efectivamente utilizada en la ituación de equilibrio de la red, preentarán toda la mima demora compueta ( C r, ), y menor demora compueta que aquella ruta no utilizada. 2.4 Modelación de la Demanda por Tranporte de Carro En el modelo, la demanda por tranporte de cada tipo de carga entre lo ditinto patio de la red, Ton, e un dato exógeno, epecificado en término de tonelada a tranportar para cada producto. En bae a la demanda de tranporte de carga, Ton, que recibe el modelo, y a la prioridade y tipo de carro aociado a cada producto, que on dato exógeno, e determinan la demanda por viaje de carro tipo v, cargado con producto, con prioridad p entre el par, T,, utilizando la iguiente relación: En la que: T δ, = δ = 1 0 Ton ( ϖv ϖv) Si el producto tiene aociada una prioridad p y e tranportado en carro tipo v. Si no. (5) ; v V, p, (6) ϖ y ϖ v v on repectivamente lo peo en tonelada de un carro tipo v vacío (tara del carro) y cargado con producto. ρ, Para etimar la demanda Origen-Detino de carro vacío, T = { T }, e utiliza un modelo de ditribución doblemente acotado, en el que la oferta y demanda de cada tipo de carro vacío, en lo ditinto patio de la red, e calcula como la diferencia entre el número de carro que llegan y alen de cada patio, e decir:

8 8 Oi,,, = δv p Max, T( ki, ) T(, ij) k O j D ; i,,, Dj = δv p Max, T( jk, ) T(, ij) k D i O ; j O, v V, p (7) D, v V, p (8) 1 Si a lo carro vacio tipo v, le correponde prioridad p. δ v p = ; v V, p (9) 0 Si no. A partir de eto valore, la ditribución de viaje de carro vacío en el itema e determina en bae a un modelo gravitacional doblemente acotado, como el iguiente: ( γ ) T = A O B D exp C (10),,,,,, * i i j j En éte e utiliza como medida de impedancia lo coto de tranporte de carro vacío C, entre lo ditinto pare,. Lo factore A,, i y B j on factore de balanceo que permiten aegurar que el total de viaje atraído y generado ean atifecho, para ello deben atifacer la iguiente relacione:, 1 Ai = (11),,, * B D exp γ C B, j = j 3. RED DE SERVICIOS i j j { ( )} { ( γ )} A O exp C i 1,,, * i 3.1 Repreentación de la Operación en Línea De acuerdo al enfoque de modelación eguido, en la red de ervicio ólo e requiere repreentar la caracterítica de lo ditinto ervicio ferroviario de carga. Cada uno de eto ervicio (o trene), queda completamente definido por: un origen, O( t) N ; un detino, D() t N ; una ruta, ecuencia de arco, dede O( t) hacia D( t) ; un conjunto de parada intermedia, p t, en lo que el tren o ervicio toma y/o deja carga; un conjunto de egmento 1 del ervicio, a t ; la epecificación del tipo de ervicio, en término de velocidad, prioridad, etc.; la frecuencia (número de vece que el ervicio e efectúa en el período de planificación); la capacidad, en término de tonelada, que pueden tranportare en cada uno de u egmento (producto de la capacidad de arratre de la() locomotora() uada en el ervicio, o de la condicione de la vía en ee tramo). De eta forma, para un ervicio t cualquiera, un tren e armado en el origen O( t) y mantiene u identidad a travé de toda u ruta hata u detino D( t). En u camino, el tren e detiene en lo patio perteneciente a p t, para dejar y/o tomar carro y/o bloque. (12) 1 Lo egmento de un ervicio correponden a una porción del itinerario entre do parada conecutiva.

9 9 En la Figura 2 e muetra una red codificada en término de ervicio ferroviario, GT = ( N, AT), en éta e epecifican ditinto ervicio obre la red fíica, donde cada arco repreenta un egmento de lo ditinto ervicio de tranporte de carga, imilar a la rede codificada en término de línea e itinerario para el cao de bue urbano (De Cea y Fernández, 1993). t 1 t 1 N 1 N 2 N t 3 5 t 2 t 6 t 3 t 4 Servicio e Itinarario : N 4 t 1 : N 1, N 2, N 3 t 2 : N 1, N 2 t 3 : N 1, N 4 t 4 : N 4, N 2 t 5 : N 2, N 3 t 6 : N 2, N 3 Figura 2: Red Codificada en Término de Servicio Ferroviario Para repreentar en la red ete conjunto de ervicio ferroviario, T, e utilizan arco virtuale denominado eccione de ruta que e contruyen eleccionando la eccione de ervicio atractiva 2, a partir del conjunto de eccione de ervicio 3 que unen ambo nodo (patio). Luego repitiendo ete procedimiento con la eccione de ervicio retante, e puede contruir toda la eccione de ruta que unen do patio de la red. Una reviión detallada de eto concepto, aí como del problema de determinación de ervicio que componen una ección de ruta e preenta en De Cea y Fernández (1993). En la Figura 3 e preenta un ejemplo en el que e han contruido eccione de ruta para la red de la Figura 2; en éte e ha coniderado que toda la eccione de ervicio on atractiva, por lo que la eccione de ruta reultante conideran todo lo ervicio que unen ambo nodo. Para el cao de pare de patio donde carro puedan er aignado a un ólo ervicio, la eccione de ruta equivalen a una ección de ervicio (por ejemplo, S 1, S 3 y S 4 en la Figura 3). 3.2 Repreentación de la Operación en Patio Repecto a la operacione en patio, que enfrentan lo ditinto carro, la que preentan mayor congetión y que parece má importante tomar en cuenta on la operacione de claificación y la demora por conexión. Ademá, dado que la diponibilidad de carro de un determinado tipo en el itema en alguno cao puede er inuficiente, parece conveniente coniderar adicionalmente la demora en la operación de conolidación de carga. En ete proceo e producirán demora 2 Se entiende por eccione de ervicio atractiva al ubconjunto de eccione de ervicio que, ademá de unir ambo patio, minimizan la demora total eperada de viaje (uma del tiempo eperado de conexión en el patio, in coniderar retriccione de capacidad en lo ervicio, y el tiempo de viaje en el ervicio). 3 La eccione de ervicio correponden a cualquier porción de un ervicio entre do nodo no neceariamente conecutivo de u itinerario.

10 10 adicionale al tiempo que demora el carro en er cargado, cada vez que no exita diponibilidad inmediata del tipo de carro requerido. S 1 ( t 1 ) N 1 S 2 ( t 1, t 2 ) N 2 S 5 ( t 1, t 5, t 6 ) N 3 S 3 ( t 3 ) S 4 ( t 4 ) N 4 Figura 3: Repreentación de Servicio mediante Seccione de Ruta También, en la ubred que repreenta un patio, e deben coniderar arco de acceo (o conectore), que unen lo centroide (punto en lo que e conidera concentrada la oferta de carga de una zona) con la red ferroviaria, y arco de egreo o tranferencia de modo. Como el análii de la caracterítica de eto arco ecapan al ámbito de la modelación del itema de tranporte ferroviario, en ete trabajo no e dearrollan funcione de coto para ello, in embargo, parece importante mencionarlo al definir la topología de la red. v v O 1p, 1 O 1p, 2 v A A O 2p, 3 v A O 3p, 4 v A O 3p, 5 v A O 4p, 6 A Arco de Acceo S 1 S 1 V 1 V 2 V 3 V 4 Conolidación de Carga egún tipo de Vagón A c Claifiación A c Demora por Conexión para cada Servicio S 2 S 3 S 2 S 3 Seccione de Ruta que llegan dede otro patio hacia el patio A Arco de Egreo o Tranferencia de Modo para carro cuyo detino en la red ferroviaria e el patio A S 4 S 4 S 5 S 5 D 1 D 2 D 3 D 4 Figura 4: Repreentación de un Patio de Claificación en la Red de Servicio

11 11 De eta forma, lo patio ferroviario de claificación e repreentan como pequeña ubrede como la que e preenta en la Figura 4. En el cao de patio imple la repreentación e imilar, pero e eliminan lo arco de claificación. Dado que la demora de conexión y la eccione de ruta poeen una relación una a una, e decir, cada ección de ruta (o ervicio) tiene aociado un único arco de epera por conexión y vicevera, eto do arco para efecto de análii pueden coniderare como uno olo. De eta forma, e upondrá que lo arco que repreenten eccione de ruta (o ervicio) repreentarán tanto la demora por conexión aociada a ee ervicio como el tiempo de viaje. 4. FUNCIONES DE COSTO EN LOS ARCOS DE LA RED DE SERVICIO 4.1 Demora de Conolidación de Carga La demora de conolidación de carga, repreenta el tiempo que trancurre dede que la carga llega al patio de origen de u viaje (en cualquier modo), hata que e completamente tranferida a vagone (o carro) con la tecnología requerida para er tranportada en la red ferroviaria. Conceptualmente ete proceo e puede entender, a nivel agregado, como una cola. En éta lo cliente correponden al flujo de carga que llega a er conolidada en lo ditinto patio, requiriendo carro de determinado tipo; y lo ervidore on lo viaje que e pueden efectuar en ee tipo de carro durante el período de planificación en el itema. A ete nivel de análii, e puede coniderar que eta demora poee una parte fija, que correponde al tiempo neceario para tranferir la carga al vagón que la tranportará; y otra parte variable, que correponde al tiempo que la carga debe eperar hata que exita un carro del tipo neceario diponible. Para efecto de análii, e conidera que para cada patio y tipo de producto exite una demora fija de tranferencia, que correponde al tiempo promedio en que e realiza eta operación en ee patio para ee tipo de producto. En tanto, la parte variable e una manera de coniderar la retricción de diponibilidad de carro. De tal forma, ete término deberá reflejar la diponibilidad inmediata de carro del tipo requerido para tranportar la carga, que depende de la oferta de ee tipo de carro en el itema, durante el período de planificación, y de la demanda durante el período para ee tipo de carro. Si bien, la epecificación de la forma funcional de la demora de conolidación podría derivare de la teoría de cola, dado que la ditribución de lo tiempo de ervicio no correponde a un cao limite encillo, la olución no preentaría caracterítica analíticamente tratable. Por tal efecto, e propone una epecificación BPR, para repreentar la demora media de conolidación en el patio a de un producto (al que e aocia una prioridad p ) en un carro de tipo v : vq D, v, DMeCona DFCona Cona v q p = + β v NC τ = donde : D T t W ncon a v (13) (14)

12 12, DMeCon a :Demora media de conolidación al cargar producto (que tiene aociada una prioridad p ) en un carro tipo v, en el patio a. v, DFCon a : Demora fija de conolidación al cargar producto en un carro tipo v, en el patio a. Éta depende de la tecnología exitente en el patio a para conolidar lo producto que uan carro tipo v. Para el cao de carro vacío (carro que tranporten el producto ) ete término tiene valor nulo. D : Demanda de carro tipo v (vacío y cargado) con prioridad p en el itema durante el período de planificación, medido en carro-hora. T : Demanda de viaje de carro tipo v (vacío y cargado) con prioridad p entre el par origendetino, durante el período de planificación. T T, T, = + t : Tiempo de viaje entre el par origen-detino para un carro tipo v con prioridad p, medido en hora. NC v : Número de carro de tipo v en el itema. τ : Largo del período de planificación, medido en hora. β Con v a ncon v a : Parámetro de calibración. Eta epecificación permite repreentar indirectamente retriccione en el número de carro de cada tipo exitente en el itema durante el período de planificación. E importante notar que en eta epecificación no e utiliza la diponibilidad de carro en cada punto, ino en toda la red, dado que lo carro pueden er relocalizado por el operador, de forma de favorecer el movimiento de carga prioritaria. 4.2 Demora por Claificación Para tratar la demora de claificación en patio, e igue el enfoque de Turnquit y Dakin (1982) y Crainic et al (1984), en el que el análii e lleva a cabo dede la perpectiva de lo carro individuale y no a nivel de trene, ya que eto permite mayor flexibilidad y preciión en la modelación de la demora experimentada por cada carro al er claificado. Ademá, para evitar lo problema de aintoticidad e inetabilidad de la funcione de demora derivada de la teoría de cola, e recurre a una epecificación del tipo BPR. De eta forma, e propone la iguiente epecificación: ncl a f a DMeCla = DFCla + β Cla CAPa (15) Donde: DMeCl a : Demora media de claificación en el patio a. DFCl a : Demora media de claificación en el patio a a flujo libre (i no exiten otro carro claificándoe). Éte e un parámetro propio del patio. f a : Flujo de carro a claificar en el patio a, expreado en carro durante el período de análii. f =,. a f a Cap a : Capacidad de claificación de carro en el patio a, medido en carro durante el período de análii.. β Cl a ncl a : Parámetro de calibración.

13 Demora en una Sección de Ruta La demora en una ección de ruta correponde a la uma del tiempo de viaje de la ección de ruta, má la demora por conexión, aociada al ervicio o conjunto de ervicio que componen la ección de ruta. El tiempo de viaje e compone de la demora en la iguiente operacione: enamble e inpección de alida en el patio de origen, viaje entre lo patio origen-detino, y recepción e inpección de llegada en el patio de detino. Como, generalmente, tanto la primera como la tercera operación no preentan congetión pueden coniderare como tiempo fijo (Peteren, 1977b). Por u parte, de acuerdo al enfoque de modelación eguido, el tiempo de viaje entre lo patio origen-detino también e una contante, determinada exógenamente baándoe en la programación de lo ervicio. Luego la única parte variable de eta función etará relacionada con la demora de conexión. Para modelar la demora de conexión e conidera indirectamente una retricción en el total de carga (peo) que puede tranportar cada ervicio, a travé de un aumento en la demora de conexión que experimenten lo carro cuando utilizan un ervicio que opera cercano a u capacidad. Para ello, e utilizan funcione polinomiale que permiten aproximar la forma funcional de la demora de conexión a la obtenida de teoría de cola (Crainic y Gendreau, 1986), como la utilizada para tranporte público por De Cea y Fernández (1993). De eta forma, e propone una epecificación como la iguiente para la demora media en una ección de ruta: p p nsr p V V DMeSR = DFSR + SR ~ α + + β (16) frec K ~ p donde: V V p p = + V ( (17) DMeSR p : Demora media en la ección de ruta para carro con prioridad p. DFSR : Demora fija en la ección de ruta. Éta correponde a la uma de la demora en la iguiente operacione: enamble e inpección de alida en el patio de origen; viaje entre lo patio origen-detino; y recepción e inpección de llegada en el patio de detino. frec : Frecuencia total de trene que operan en la ección de ruta. K : Capacidad de la ección de ruta, en término de máximo peo que puede er tranportado. α : Parámetro de calibración, aociado a la ditribucione de tiempo entre ervicio. β SR nsr :Parámetro de calibración. V p : Flujo en tonelada de carro con prioridad p, que eperan tomar la ección de ruta en el nodo origen de éta, i (). ~ V p : Flujo en tonelada complementario a V p, compueto de un flujo que compite por la mima capacidad, al que llamaremo flujo compitente, V p ; y otro que quita capacidad a la ección de ruta, al que denominaremo flujo prioritario, V ( p. V p : Flujo en tonelada compitente a V p, correponde a todo aquello flujo de carro con el mimo nodo origen, i (), e igual prioridad p, que uan otra eccione de ruta compueta de ( V p : trene (o ervicio) que también pertenecen a la ección de ruta. Flujo en tonelada prioritario a V p, compueto de: flujo que ya venían en lo trene de la ección de ruta y que no e bajan en i( ) ; y flujo con el mimo nodo origen, i (), y mayor prioridad que p, que uan eccione de ruta compueta de trene (o ervicio) que pertenecen a la ección de ruta.

14 14 De acuerdo al enfoque eguido, e conidera como prioritario a lo flujo que ya venían en el tren. De eta forma, lo carro que eperan una ección de ruta, en una determinada parada, utilizarán la capacidad remanente de acuerdo a u prioridade. Eto puede expreare, en la expreión de flujo complementario, como: p t V = ( v ) + t r Si( ) r p ( V = V + ( v ) q + ( v ) p q r t + q> p t r Si( ) q> p t r Si( ) q ~ V = V + ( v ) q + ( v ) p q r t + q> p t r Si( ) q p t r Si( ) q () 1 ( 2) ( 3) donde: t ( v ) p : Flujo en tonelada de carro con prioridad p que viajan obre la ección de ruta en el ervicio o tren t. + S i( ) : Conjunto de eccione de ruta con nodo de inicio i(). S i ( ) : Conjunto de eccione con nodo de inicial ante de i( ) y final depué de i( ), compueta de trene (o ervicio) perteneciente. En la ecuación (20) el término (1) repreenta a flujo prioritario (con mayor prioridad) que uan la mima ección de ruta ; (2) a flujo de igual (compitente) o mayor prioridad (prioritario) con origen en el mimo nodo, que uan ervicio perteneciente a la ección de ruta, en otra eccione de ruta; y (3) a lo flujo prioritario que utilizan ervicio perteneciente a la ección de ruta, en eccione de ruta con nodo origen anterior y detino poterior al origen de la ección de ruta. 5. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA A partir de la funcione de coto ante definida, y coniderando el modelo de ditribución definido por la ecuación (10), e puede formular el problema que reuelve el operador como la iguiente deigualdad variacional: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ T * * T * * C ( X ) ( X X ) G ( T ) ( T T ) ρ T En que C { CCoa CCla CSR } ρ ρ ρ * * * red de ervicio. X { F, V } r t r t q q (18) (19) (20) ρ ρ 0 ; XT, Ω (21) =,, e el vector trapueto de funcione de coto en lo arco de la ρ *, compueto de F = { f a } ρ *, la red, y V = { V } ρt e un vector de flujo factible. G = { g } = e el vector de flujo de equilibrio en lo arco de eta red, vector de flujo de carro en lo arco de conolidación y claificación de ρ ρ ρ vector de flujo de equilibrio en tonelada de la eccione de ruta. X = { F, V } de demanda por tranporte de carro vacío. { } carro vacío en el equilibrio. T = { T } ρ, e el vector trapueto de la invera de la funcione ρ*, * T = T e el vector de demanda de viaje de, e un vector factible de demanda por tranporte de carro

15 15 vacío. Ω e el conjunto que contiene todo lo vectore factible de flujo de todo tipo de carro y demanda de viaje de carro vacío. Ete conjunto Ω queda definido por el iguiente conjunto de retriccione (22) a (33): T T = hr ; W, v V, p (22) r R = hr ; W, v V, p, (23),,,, r R O D f = T,, i j D = T,, j i O a = ar hr, δ r R f = a ar h +,, δ r hr r R v p V = r h + r v h,, δ ϖ r ϖv r R,, V = ϖ f ϖ f v + v ; i O, v V, p (24) ; j D, v V, p (25) ; a Co, v V, p (26) ; a Cl (27) ; SR, v V, p (28) ; SR, v V, p (29) 1 i a r δ ar = 0 i a r ; a { Co Cl }, r R (30) 1 i r δ r = 0 i r ; SR, r R (31) T, 0 ; W, v V, p (32) h, r 0 ; W, v V, p (33) h, r 0 ; W, v V, p, (34) La retriccione (22) y (23) on la cláica retriccione de continuidad de flujo en ruta, en tanto, (24) y (25) repreentan la generación y atracción de carro vacío en cada uno de lo patio de la red. (26), (27), (28) y (29) compatibilizan lo flujo en ruta con lo flujo en arco, para: el flujo de carro de cada tipo en cada arco de conolidación; el flujo de carro a er claificado en cada patio; y el peo total tranportado en cada ección de ruta. Finalmente, (30) y (31) correponden a la matrice de incidencia arco-ruta, y (32), (33) y (34) on la retriccione de no negatividad. Tal como etá planteado, el modelo (21) no tiene un problema de optimización equivalente, ya que el ρ ρ * Jacobiano de la función de coto en lo arco denominado eccione de ruta, J( C( V )), e en general aimétrico (Florian y Spie, 1982). Se debe eñalar que, i bien lo reultado del modelo entregan ólo flujo en eccione de ruta, lo flujo en la ditinta eccione de ervicio que componen una ección de ruta e pueden calcular, en bae a la frecuencia nominale de lo ervicio, como:

16 16 v frect V t, = frec, donde: frec = frec t t ; t, SR, v V, p (35) Dede un punto de vita etricto lo correcto ería coniderar la frecuencia efectiva de lo ervicio (Fernández y De Cea, 1993), y por lo tanto (35) repreenta una implificación cuya relajación e deja para dearrollo futuro. 6. ALGORITMOS DE SOLUCIÓN Para reolver el modelo ante planteado e puede utilizar algún algoritmo capaz de reolver directamente deigualdade variacionale como la preentada en (21), como el algoritmo de plano cortante (Nguyen y Dupui, 1984) u otro método para reolver deigualdade variacionale (Harker y Pang, 1987). Un enfoque que ha ido exitoo en la reolución de problema de aignación a rede aimétrica correponde a la técnica de diagonalización (Florian, 1977; Abdulaal y LeBlanc,1979). Ete método correponde a un enfoque iterativo del método de Jacobi para reolver problema con ecuacione no lineale (Pang y Chan, 1982). Al interior de cada iteración (problema diagonalizado) e debe reolver un problema de programación matemática de ditribución aignación conjunta que puede ecribire de la iguiente forma: Min ρ ρ ρz = { F, V, T } + a Co v p 1 + γ SR v p f a 0 W v p CCo ˆ V 0 CSR ˆ T a, ( x) dx + ( x) dx a Cl 0, ( ln T 1) f a CCl ( x) dx a ρ ρ ρ.a. : F, V, T Ω En el que ^ obre lo arco de conolidación y eccione de ruta ignifican que eta variable e encuentran diagonalizada. El problema diagonalizado (35) puede reolvere efectivamente uando una adaptación del algoritmo de Franck-Wolfe. 7. CONCLUSIONES En el preente trabajo e dearrolló un modelo de tranporte ferroviario que conidera lo iguiente apecto novedoo: i) la ditribución de vehículo vacío e reuelve conjuntamente con la aignación coniderando lo coto de operación de la ruta; ii) e conideran prioridade, para lo ditinto carro en función de la carga que tranportan; iii) e conidera la retricción de cada tipo de carro en el itema, a travé de la demora experimentada en el depacho de carga, que requieren ee tipo de carro, a travé de un arco de conolidación, para ello e utiliza una tranformación epecial de la red. El problema de predecir lo flujo de equilibrio obre un itema de tranporte ferroviario con la caracterítica planteada e formula como una deigualdad variacional con retriccione lineale. Finalmente e propone un algoritmo de olución baado en el algoritmo de diagonalización (LeBlanc et al, 1975; Florian y Spie, 1982). (35)

17 17 8. REFERENCIAS Abdulaal, M. y LeBlanc, L.J. (1979) Method for Combining Modal Split and Equilibrium Aignment Model. Tranportation Reearch, 13, Aad, A.A.(1980) Model of Rail Netork: Toard a Routing/Makeup Model. Tranportation Reearch, 14B, Crainic, T.G., Ferland, J.A. y Roueau, J.M. (1984) A Tactical Planning Model for Rail Freight Tranportation. Tranportation Science, 18(2), Crainic, T.G., Florian, M. y Guélat, J. (1990) A Multimode Multiproduct Netork Aignment Model for Strategic Planning of Freight Flo. Tranportation Science 24(1), Crainic, T.G., Florian, M. y Léal, J.E. (1990) A Model for the Strategic Planning of National Freight Tranportation by Rail. Tranportation Science, 24(1), Crainic, T.G. y Gendreau, M. (1986) Approximate Formula for the Computation of Connection Delay under Capacity Retriction in Rail Freight Tranportation. Proceeding of the fourth World Conference on Tranport Reearch, May 1986, Vancouver, Canada. De Cea, J. y Fernández, J.E. (1993) Tranit Aignment for Congeted Public Tranport Sytem: An Equilibrium Model. Tranportation Science, 27(2), Dejax, P. y Crainic, T.G. (1987) A Revie of Empty Flo and Fleet Management Model in Freight Tranportation. Tranportation Science, 21(4), Fernández, J.E. y De Cea, J. (1995) Modelo de Rede de Tranporte Interurbano de Carga: Etado del Arte. Acta del VII Congreo Chileno de Ingeniería de Tranporte, Octubre 1995, Santiago, Chile. Fernández, J.E. y De Cea, J. (1996) Predicting Intercity Freight Flo: A Simultaneou Supply- Demand Netork Approach. Preentado en 4 th Meeting of the EURO Working Group on Tranportation, Univerity of Necatle, 9-11 Sept Fernández, J.E., J. De Cea y A. Soto (1998) Multimodal Equilibrium Model for Predicting Intercity Freight Flo. Preented to Tranportation Reearch for publication. Florian, M. (1977) A Traffic Equilibrium Model of Travel by Car and Public Tranit Mode. Tranportation Science, 8, Florian, M. y Spie, H. (1982) The Convergence of Diagonalization Algorithm for Aymmetric Netork Equilibrium Problem. Tranportation Reearch, 16B(2), Folk, J.F. (1972) Some Analyi of Railroad Data. Studie in Railroad Operation and Economic, Vol. 6, Report No. R72-41, Department of Civil Eng., MIT, Cambridge, MA. Friez, T.L., Gottfried, J.A. y Morlok E.K. (1986) A Sequential Shipper-Carrier Netork Model for Predicting Freight Flo. Tranportation Science, 20(2), Harker, P.T. y Pang, J. (1987) Finite-Dimenional Variational Inequalitie and Nonlinear Complementarity Problem: A Survey of Theory, Algorithm and Application. Department of Deciion Science, the Wharton School, Univerity of Pennylvania. LeBlanc, L.J., Morlok, E.K. y Pierkalla, W.P. (1975) An Efficient Approach to Solving the Road Netork Traffic Aignment Problem. Tranportation Reearch, 5,

18 18 Marín, A., Menéndez, A.L. y Salmerón, J. (1993) Planificación Táctica del Tranporte de Mercancía por Ferrocarril, Etudio de Tranporte y Comunicacione, Nº61, Oct-Dic 1993, Miniterio de Obra Pública, Tranporte y Medio Ambiente de Epaña. Mendiratta, V.B. (1982) A Dynamic Optimization Model of the Empty Car Ditribution Proce. Ph.D. Thei, Department of Civil Eng., Northetern Univerity. Nguyen, S. y Dupui, C. (1984) An Efficient Method for Computing Traffic Equilibria in Netork ith Aymmetric Tranportation Cot, Tranportation Science, 18, Pang, J.M. y Chan, D. (1982) Iterative Method for Variational and Complementarity Problem. Math. Program, 24, Payraud, R. (1981) La Modéliation du Tranport de Marchandie: Le Modèle MASUP. Revue Générale de Chemin de Fer, Peteren, E.R. (1977a), Railyard Modeling: Part I: Prediction of put-through Time, Tranportation Science, 11(1), Peteren, E.R. (1977b), Railyard Modeling: Part II: The Effect of Yard Facilitie on Congetion, Tranportation Science, 11(1), Peteren, E.R. y Fullerton, H.V. (1975) The Railcar Netork Model. Canadian Intitute of Guided Ground Tranport, Queen Univerity, Kington, Ontario, Canada. Reebie Aociate (1972) Toard an Effective Demurrage Sytem. prepared for the US Department of Tranportation, Federal Railroad Adminitration, Reid, R.M., O Doherty, J.D., Suman, J.M. y Lang, A.S. (1972) The Impact of Claification Yard Performance on Rail Trip Time Reliability, Studie in Railroad Operation and economic 4, Department of Civil Eng., MIT, Cambridge, MA. Turnquit, M.A. y Dakin, M.S. (1982), Queuing Model of Claification and Connection Delay in Railroad, Tranportation Science, 16(2), Wardrop, J.G. (1952), Some Theoretical Apect of Road Traffic Reearch, in Proceeding of the Intitute of Civil Engineering, Part II, pp

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