DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA
|
|
- Agustín Murillo Alarcón
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CADENAS DE MARKOV CADENAS DE MARKOV ERGODICAS CADENA REGULAR DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE MÉTODO ANALÍTICO CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA ) INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA ) CREDITOS
2 CADENAS DE MARKOV Cada proceso suceso individual se denomina un estado. Habrá tantos estados como procesos o sucesos posibles. Para propósitos de notación utilizaremos S i que significa el i-ésimo estado de un total de m estados posibles: α>m>=2. Cada vez que se produce un nuevo resultado, se dice que el proceso ha avanzado un paso, Utilizaremos una n para indicar el número de pasos: n=0 nos indica el presente; n=1 representa el suceso posible en la siguiente selección; n=2 representa 2 pasos después, etc. Cuando n α se dice que el proceso se ha estabilizado y se encuentra en condiciones de estado estable. Los periodos de tiempo que identifican a un paso, son diferentes de acuerdo al sistema de que se trate. EJEMPLO: Tres fabricantes de automóviles tienen los siguientes datos con respecto a las compras de los clientes: Estados posibles n=0 posee actualmente n=1 porcentajeen decimales de que compre un Ford N=1 porcentajeen decimales de que compre un Chevrolet N=2 porcentajeen decimales de que compre un Nissan S 1 Ford S 2 Chevrolet S 3 Nissan
3 Representación de la Matriz de Transición 1) Definir los estados: Por extensión (S 1, S 2, S 3 ) y por comprensión: S1=Comprara un Ford, S 2 =compra un Chevrolet, S 3 Compra un Nissan. 2) Definir los renglones y las columnas. La "componente permanente" o retenciones (grupos que no cambian) aparecen como valores en la diagonal principal y la " componente de intercambio" (grupos que si cambian) aparecen como pérdidas en valores de renglones y las ganancias en columnas Todo lo anterior se resume de la manera siguiente: S1 S2 S3 S Permanencia P= S y S Ganancia Permanencia y pérdida La permanencia, cambio o ganancia de clientes de cada marca puede observarse mediante la siguiente gráfica, donde los estados son nodos y los cambios son vectores: 0.50 S S S
4 Cual es la probabilidad de que el propietario de un Nissan compre un Ford en la siguiente ocasión? Esto es en n=0, el estado es S 3, y se desea saber en n=1 la probabilidad de compra de un Ford (S 1 ). Respuesta: La probabilidad es 0.25 Características de una matriz de transición: 1.- Cada elemento debe ser una probabilidad o sea que debe tener valores entre cero y uno inclusive. No puede haber probabilidades negativas ni mayores a uno. 2.- Los elementos de cada renglón deben sumar exactamente uno. 3.- La matriz de transición siempre es cuadrada. S 1 S 2...S m S 1 P 11 P 12...P 1m =1 donde 0<=P ij <=1 S 2 P 21 P 22...P 2m =1 n P=.... P ij =1 donde i=1,2,3,m.... J=1 S m P M1 P M2 P MN =1 Un renglón de la matriz de transición representa a un vector Vi cuyas dimensiones son 1 *m. V 1 = [ ] Habrá tantos vectores como estados existan, para el ejemplo anterior se tienen 3 vectores
5 Ejemplo: S 1 = V 1 = [ ] S 2 = V 2 = [ ] S 3 = V 3 = [ ] Para conocer las probabilidades de compra de una persona que posee ahora un Ford dos pasos después comprara un Chevrolet, lo ilustraremos por medio de un diagrama de árbol de probabilidades. 0.4 F Ford Chevrolet (%) 0.3 Ch 0.4*0.3= N 0.4 F 0.2 F Ford 0.3 Ch 0.5 Ch 0.3*0.5= N 0.3 N 0.2 F 0.25 Ch 0.3*0.25= N n=0 n=1 n= Por lo tanto, la probabilidad de que el propietario de un Ford (S 1 ) en n=0, compre un Chevrolet (S 2 ), 2 pasos después, es igual a
6 Utilizando la técnica facilitada por Cadenas de Markov, resolveremos el ejemplo anterior: La pregunta se escribe así: Vi 2 que al desglosarlo queda: V 2 1 = (V 1 1) (P 1 ) Para propósitos de notación general,el subíndice indica el vector Vi y el superíndice indica n pasos después S 1 S 2 S 3 V 12 = [ ] = [ ] = S 1 = Ford x 3 3 x 3 Ejemplo: Teniendo un Nissan (S 3 ) en n = 0, encontrar las probabilidades de comprar un Ford en n = 3. V 3 3 = (V 31 ) (P 2 ) = (V 32 ) (P 1 ) V 1 3 P S 1 S 2 S 3 V 3 3 = [ ] = [ ] Otra forma de resolverlo: V 3 3 = ( V 32 ) (P 1 ) Verificando Solución: Primero calculamos V 2 3
7 V 3 2 V 3 2 = [ ] = [ ] V 3 3 = (V 32 ) (P 1 ) V 3 3 =[ ] De acuerdo a la notación utilizada, queda demostrado lo siguiente: V i0 = [P i1 P i2 P i3 P im ], donde P ii =1 Lo anterior significa que en n = 0, se conoce exactamente cual es el estado, por lo tanto la probabilidad de que exista es igual a 1. V 1 0 = [S 1 ], V 2 0 = [S 2 ], V 3 0 = [S 3 ]. Demostración: Un paso después: n = 1 V i1 = V i 0 P 1 Dos pasos después: n = 2 V i2 = V i 1 P 1 = ( V i 0 P 1 ) P 1 = V i 0 P 2 Tres pasos después: n = 3 V i3 = V i 2 P 1 = ( V i 0 P 2 ) P 1 = V i 0 P 3 n pasos después V i n = V i n-1 P 1 = ( V i 1 P n-2 ) P 1 = V i 0 P n Donde cada igualdad es un método distinto de solución, (a, b y c) Por lo tanto, las probabilidades de los sucesos después de n pasos a partir de ahora, pueden determinarse utilizando el vector de probabilidad V i y alguna potencia de la matriz de transición P. En forma general n pasos, llamado también condiciones de estado estable o a largo plazo, se utiliza la siguiente expresión: V i n = P n Condiciones de estado estable ; V i 0 =1
8 CADENAS DE MARKOV ERGODICAS Para asegurar la obtención de condiciones de estado estable, la cadena debe ser ergodica (también llamada irreducible). Una cadena ergodica describe matemáticamente un proceso en el cual es posible avanzar desde un estado i hasta cualquier estado "j. No es necesario que esto se logre en un solo paso pero debe ser posible para que cualquier resultado sea logrado independientemente del estado presente. Por ejemplo: Analicemos un sector de la ciudad compuesto por nueve esquinas. Consideremos a una esquina como un estado, por lo tanto habrá nueve estados posibles Cada vez que el conductor llega a una esquina, 2,4, 6 y 8 puede dar vuelta a la izquierda o derecha ó seguir de frente con igual probabilidad de 1/3. Si se encuentra en la esquina 5 tiene 4 posibilidades de avanzar con probabilidad de ¼. Si esta en la esquina 1, 3, 7 o 9, solo tiene dos posibilidades con probabilidad de ½. Con la información anterior se elabora la matriz de transición:
9 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 1 0 ½ 0 ½ =1 S 2 1/3 0 1/3 0 1/ S 3 0 ½ ½ S 4 1/ /3 0 1/3 0 0 P = S 5 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 S / / /3 S ½ ½ 0 S /3 0 1/3 0 1/3 S ½ 0 ½ 0 La manera más sencilla de verificar si una matriz de transición es ergodica, es elaborando una gráfica, como se vio anteriormente. Nos colocamos en cualquier estado y si a partir de éste se puede llegar a todos los demás, no importa que sea en uno o más pasos, entonces es una matriz ergodica. Ejemplo: Verifique si la siguiente matriz de transición es ergodica. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 X X 0 X X S 2 0 X X 0 X P = S X X S 4 X 0 X 0 X S 5 X X 0 0 0
10 Sea X igual a algún valor positivo p entre 0 y 1. Por inspección se observa que puedo ir directamente desde S 1 a S 2, S 4 y S 5 pero no a S 3 Con lo anterior queda demostrado que es posible llegar desde cualquier estado hasta el estado S 1 y esto implica que es posible ir a los demás estados. Por lo que se concluye que es una matriz ergodica. CADENA REGULAR Un caso más restringido de cadena ergodica, es una cadena regular. Una cadena regular se define como una cadena que tiene una matriz de transición P, que contiene elementos igual a cero y para la cual alguna potencia de P, únicamente tendrá elementos positivos de probabilidad (diferentes a cero. Todas las cadenas regulares pueden ser ergodicas, pero no todas las ergodicas son regulares). Cuando desaparecen los ceros si elevo la matriz de transición a una potencia, es regular y si puedo ir de uno de los estados a todos los demás, es ergodica. Ejemplo: S 1 S 2 S 3 S 1 X X 0 X X X P = S 2 X 0 X P 3 = X X X S 3 0 X X X X X Al multiplicar la matriz se busca tener elementos únicamente positivos. Es una matriz regular, por que al elevar P al cuadrado desaparecen los ceros.
11 DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE La existencia de condiciones de estado estable en una cadena ergodica regular, se encuentran elevando la matriz de transición n veces, también se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones que se desprende de la matriz de transición. A esta cadena de Markov se le conoce como de alto orden y nos indica los cambios futuros en las preferencias de los clientes. A medida que aumenta el valor de n, los valores P ij tienden hacia un limite fijo y cada vector de probabilidad V tiende a ser igual para todos tos valores de j. 1)Para un valor de "n" suficientemente grande, el vector de probabilidad V i n se hace igual para todas las i-es y no cambia para otros valores mayores a n dados. 2)Puesto que V 1 n+1 = V i n P y V i n+1 = V in, existe un vector V* = (V*)(P) El vector asterisco contiene las probabilidades que existen en condiciones de estado estable. Utilizando la matriz de transición del ejemplo de los automóviles, se obtienen los siguientes resultados de P para diferentes valores de n: Valores de P P 3 = P 8 = V * =[ ] Los elementos de cada columna tienden a ser iguales, cuando esto sucede, se les llama condiciones de estado estable, donde V* es el vector de estado estable. (Considere un mínimo de 5 decimales con calculadora)
12 Siguiendo con el mismo ejemplo, la matriz de transición es: P 3 = Transformando renglones por columnas: 0.4 V V V 3 = V 1 V 1 + V 2 + V 3 = V V V 3 = V 2 Igualando a cero -0.6 V V V 3 = V V V 3 = V V V V 3 = 0 V 1 + V 2 + V 3 = V V V 3 = 0 Utilizando el método analítico para resolver el sistema de ecuaciones o utilizando un programa de calculadora, se llega a las probabilidades de estado estable. V 1 = V2 = V3 = MÉTODO ANALÍTICO Condiciones de estado estable o de equilibrio a largo plazo
13 CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES Los estados absorbentes describen procesos que terminan o finalizan después de alcanzar determinadas condiciones y dan como resultado un caso especial de cadenas de Markov, algunos ejemplos son: 1.- En control de calidad, después de encontrar un número predeterminado de partes que pueden ser aceptadas o rechazadas, se suspende la inspección secuencial. 2.- Después de x horas de funcionamiento, una máquina se detiene para repararla o reemplazarla. 3.- Después de que una persona ha trabajado en una empresa, puede jubilarse o recontratarse. 4.- Después del seguimiento que se hace a una cuenta bancaria esta se paga o se considera perdida CARACTERÍSTICAS. a) Un estado absorbente es aquel que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, o sea que una vez comenzado es imposible dejarlo y el proceso se detiene completamente o se detiene para luego comenzar a partir de algún otro estado. b) Una cadena de Markov es absorbente si: 1) Tiene por lo menos un estado absorbente. 2) Es posible ir desde cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es necesario efectuar esta transición en un paso; ni es necesario alcanzar cada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente.
14 EJEMPLO. 1 Los alumnos de una escuela técnica, cursan 4 años para terminar su carrera. De los que ingresan a primer año, 80% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los que están en segundo año, 85% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los de tercer año, 80% aprueba, 15% reprueba y resto deserta. Los que están en el último grado, 85% se gradúa, 5% deserta y el resto reprueba. a) Cuántos años se espera que un alumno pase como estudiante? b) Cual es la probabilidad de que un estudiante se gradúe? Solución: Encontrar cuántos y cuales son los estados y modelar la matriz de transición. S 0 =Ingreso S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 N S 1 =Primer año S S 2 =Segundo año S S 3 =Tercer año P = S S 4 =Cuarto año S S 5 =Deserta S O S 6 =Se gradúa S a=estados absorventes n=estados no absorventes n a m=a+n A I n a
15 Una vez alcanzados los estados absorbentes S 5 y S 6, la probabilidad de que el proceso permanezca en el respectivo estado es 1. Por lo tanto es imposible (probabilidad cero) ir desde cualquiera de estos estados hasta cualquier otro. En realidad esto se debe a que el alumno tomó la decisión de dejar la escuela voluntariamente o decidió graduarse. A partir del análisis de cadenas de Markov absorbentes, se obtiene la siguiente información: 1.- El número de pasos antes de que el proceso sea absorbido, utilizando (I N -1 ) Para el ejemplo los pasos serían años. 2.- El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado no absorbente. Para el ejemplo, sería el número de años que el alumno permanece en cada grado. 3.- La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado, por medio de la siguiente expresión (I-N) -1 *A. Para realizar los cálculos anteriores, la matriz de transición se subdivide en cuatro matrices y son los estados absorbentes los quedan la pauta para dicha subdivisión, (regresar al ejemplo) Donde N e I son opuestos por el vértice. Estas matrices más pequeñas contienen elementos de probabilidad que nos originan "a estados absorbentes y "n" no absorbentes que en total serían a + n = m estados. Matriz I: Es una matriz identidad de dimensiones a*a y representa las probabilidades de permanecer dentro de un estado absorbente. Matriz O: Es una matriz cero de a*n y nos indica las probabilidades de ir desde un estado absorbente hasta un estado absorbente. Matriz A: Es una matriz de n*a y contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta un estado absorbente.
16 Matriz N: Es una matriz de n*n que contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta un estado no absorbente. Continúa la solución.:calcular (I-N ) 1 NOTA: La matriz N que se utiliza en esta expresión, debe ser de las mismas dimensiones de I. I N I-N (I-N) = (I-N) 1 = Al número esperado de pasos antes de que el sistema o proceso se detenga (I-N) 1 A (I-N) 1 A = (I-N) 1 A = Probabilidad
17 La teoría de colas es la técnica de mayor aplicación potencial y sin embargo es quizás la más difícil aplicar debido a que el modelo utilizado, con frecuencia muy poco se ajusta a la realidad. Muchas de estas dificultades se pueden superar combinando la teoría con la experiencia del investigador. Toda clase de negocios, gobierno, industria, escuela y hospitales grandes y pequeños, todos en algún momento tienen problemas de "colas. Algunas veces las máquinas permanecen ociosas y en otros momentos, los clientes deben esperar. En algunas ocasiones los inventarios son excesivos y en otros momentos hay pedidos que no se satisfacen. A veces la industria funciona a media capacidad, los trabajadores sufren desempleo y los capitales permanecen ociosos. En otras ocasiones la capacidad de producción se aprovecha al máximo, la mano de obra escasea los abastecedores tienen grandes listas de pedidos en espera de ser atendidos. Ninguno de estos extremos es conveniente y hay una decisión administrativa básica que implica un equilibrio entre los recursos humanos, económicos y materiales. Para tomar decisiones al respecto, deben conocerse los siguientes puntos: Longitud de las colas. Porcentaje de utilización de las instalaciones de servicio Tiempo total que toma al usuario formarse y recibir el servicio. Disponibilidad de personal. Ejemplo: Lavado de autos Daytona TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA Para lavar cada auto en las instalaciones, se requieren dos minutos. Hay una sola maquina de lavar que es atendida por una sola persona y sólo se puede acomodar un auto a la vez. Si los clientes llegan exactamente a intervalos de dos minutos, el funcionamiento del negocio carecería de incertidumbre.
18 Si el sistema compuesto por la máquina de lavado y los clientes que esperan entrar a ella inician operaciones con seis clientes en su interior es posible que durante el día haya clientes siempre esperando. Si el sistema inicia las operaciones cuando esta vacío, el primer cliente que llega será atendido inmediatamente y no habrá automóviles en la cola. La mañana del día 1 de junio, cuando Pedro abrió las puertas a las 9:00 lloras, no había ningún cliente en el sistema de lavado. El primero llegó un minuto después de iniciadas las operaciones. Los tiempos de llagada de los primeros seis clientes se muestran a continuación: Número de cliente tiempo de tiempo desde la tiempo de entrada tiempo de salida tiempo total llegada llegada anterior a la máquina de en el sistema lavado 1 9:01 9;:0l 9:03 0:02 2 9:04 0:03 9:04 9:06 0:02 3 9:06 0;02 9:06 9:08 0:02 4 9:09 0:03 9:09 9: :10 0:01 9:11 9:13 0:03 6 9:11 0:01 9:13 9:15 0:04 =10 =15 Promedio de llegadas = 0:03 + 0:02 + 0:03 + 0:01 + 0: 01 = 0:10 10 min./5 eventos = promedio de llegada de 2 min. Promedio de tiempo total en el sistema = (0:02 + 0:02 + 0:02 + 0:03 + 0:04) / 6 = 2.5 min.
19 Tasa de Servicio (cuanto dura el servicio) = 2 min. Tasa de llegada en los primeros 11 minutos == 1 coche cada 2 minutos. Tasa de servicio en el sistema = 2.5 min. Tiempo ocioso en el sistema = 3 min. ELEMENTOS PRINCIPALES EN UNA LÍNEA DE ESPERA: Entrada (población infinita o finita). Fila (línea de espera). Servidores (unidad de servicio) Sistema Salida Entrada Finita Población Servidor Infinita Linea de Espera Unico o multiple CLIENTE: Unidad que llega requiriendo algún servicio. Pueden ser personas, máquinas, refacciones, etc. COLA (línea de espera) : Es el numero de clientes que esperan ser atendidos (la cola no incluye al cliente que esta siendo atendido). UNIDAD DE SERVICIO: Es el proceso, sistema o persona que esta efectuando el servicio al cliente, éste puede ser simple ó múltiple. Se identificará con la letra k.
20 EJEMPLOS: Los aficionados a un encuentro de fútbol son los clientes y el (los) empleado(s) que vende(n) los boletos son las unidades de servicio. En un estacionamiento los automóviles son los clientes y tos espacios de estacionamiento las unidades de servicio. Las tarjetas de crédito serían los clientes y las cajas automáticas de los bancos serian las unidades de servicio. TASA DE LLEGADA (clientes por periodo de tiempo). (λ): Es la tasa a la cual tos clientes llegan para ser atendidos. Se supondrá en la mayoría de los problemas que esta tasa corresponde a una distribución aleatoria de Poisson. TASA DE SERVICIO (clientes por período de tiempo) (µ): Es la tasa a la cual una unidad de servicio proporciona el servicio a un cliente y puede alcanzarse cuando la unidad de servicio está siempre ocupada. Supondremos que esta tasa está aleatoriamente distribuida según una distribución de Poisson. PRIORIDAD: Esta suposición consiste en que el primero que llega es el primero en ser atendido. Esta suposición afecta la deducción de las ecuaciones utilizada en el análisis. TAMAÑO DE LA POBLACIÓN: Cuando el número de clientes potenciales es mayor a 30 se considera una población es infinita; cuando es menor a 30, será una población finita. DISTRIBUCIÓN DE TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO: La suposición más frecuente para estos casos, es la distribución de Poisson, donde se considera que ambas tasas deban ser completamente independientes y que permanezcan constantes con el tiempo, aunque esto último puede no ser verdadero debido a un cambio temporal de la tasa de servicio.
21 POBLACIÓN INFINITA PARAMETRO K=1 K>1 Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado (P 0 ) Probabilidad de hallar ocupado o trabajando el sistema ( ρ ) Probabilidad de hallar k clientes o más en el sistema Probabilidad de que haya n clientes en la cola Número esperado de clientes en la cola.
22 POBLACIÓN INFINITA PARAMETRO K=1 K>1 Número esperado de clientes en el sistema Tiempo esperado en la cola Tiempo esperado en el sistema Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema Probabilidad de que un cliente permanezca mas t unidades de tiempo en la linea de espera
23 POBLACIÓN FINITA PARAMETRO K=1 K>1 Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado (P 0 ) Probabilidad de que haya n clientes en la cola Número esperado de clientes en la cola. Número esperado de clientes en el sistema
24 POBLACIÓN FINITA PARAMETRO K=1 K>1 Tasa de llegada promedio Tiempo esperado en la cola Tiempo esperado en el sistema
25 INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA ) Las empresas se enfrentan con frecuencia a problemas en los que se tiene esta sucesión de eventos: 1. La empresa decide cuántas unidades pedir. Sea q el número de unidades pedidas 2. Con una probabilidad p(d), se tiene una demanda de d unidades. En esta sección supondremos que d debe ser un entero no negativo. Sea D la variable aleatoria que representa la demanda. 3. Dependiendo de d y de q, se incurre en el Costo c (d,q). Los problemas que siguen esta secuencia se llaman problemas del vendedor de periódicos. Para ver por que es así, pensemos en un vendedor que debe decidir cuantos periódicos pedirá cada día a la editorial. Si el vendedor pide demasiados se quedará con muchos sin vender, al fina del día. Por otro lado, un vendedor que pide muy pocos periódicos perderá ganancias (y enojará a sus clientes) que podrían haber sido suyas si hubiera pedido periódicos suficientes para cumplir con la demanda. El vendedor debe pedir el número de periódicos que equilibre en forma adecuada a esos dos costos. En esta sección mostraremos como se puede emplear el análisis marginal, para resolver problemas de vendedor de periódicos. Cuando la demanda es una variable discreta y c (d,q) tiene la forma siguiente: c(d, q) = C o q + (términos sin q) (d <= q) (2) c(d,q) = -C u q + (términos sin q) (d >= q + I) (2.1) En la ecuación (2), C o es el costo unitario de comprar demasiado. Si d <= q, hemos pedido más de lo que es la demanda, esto es, estamos sobreabastecidos. Si el tamaño del pedido aumenta de q a q+í, la ecuación (2) muestra que el costo se incrementa en C o. Por lo tanto C o es el costo debido a tener 1 unidad de excedente. A Co se le llama costo de sobre abastecimiento. Igualmente, si d >= q + 1, tenemos faltantes hemos pedido una cantidad menor que la demanda.
26 Si d >= q +1, y aumentamos en 1 el tamaño del pedido, nuestro faltante será una unidad menor. Entonces (2.1) indica que el costo se reduce en Cu y. por tanto, Cu es el costo unitario de tener faltantes. A C u se le llama costo de sub abastecimiento. Para deducir la cantidad óptima de pedido por medio del análisis marginal, sea E(q ) el costo esperado si se hace un pedido de q unidades. Suponemos que la meta de quien toma las decisiones es encontrar el valor q* que minimiza a E(q). Si c(d,q) se puede describir mediante las ecuaciones (2) y (2.1) y si E(q) es función convexa de q, entonces se puede emplear el análisis marginal para determinar q*. Siguiendo con la ecuación (1),debemos determinar el valor mínimo de q para el cual E(q+1)-E(q)>= 0. Para calcular E(q+1) - E(q) debemos tener en cuenta dos posibilidades: Caso 1 d <= q. En este caso, si se piden q + 1 unidades en lugar de q, se hace que tengamos sobrante, o estemos sobreabastecidos en una unidad más. Esto aumenta en C o el costo. La probabilidad que se tenga el caso 1 es simplemente P( D <= q), donde D es la variable aleatoria que representa a la demanda. Caso 2 d >= q + 1. En este caso, pedir q + 1 unidades en lugar de q, hace que tengamos escasez de una unidad menos. Esto disminuirá C o nuestro costo. La probabilidad de tener el caso 2 es: P(D >= q + 1 = 1 P(D <= q) En resumen, una fracción P(D <= q) de las veces, pedir q + 1 unidades costara C o más que si se piden q unidades, y una fracción 1 - P(D <= q ) de las veces, pedir q + 1 unidades costara C u menos que si se piden q unidades. Así, en promedio, pedir q + 1 unidades cuesta: más que si se piden q unidades. C o P(D <= q) - C u - P(D <= q)
27 De modo mas formal, hemos demostrado que: Entonces E(q + 1) - E(q) >= O será valida si E(q+1)-E(q)=C o P(D<=q) - C u 1- P(D<=q) (C o + C u ) P(D <= q) >= O o sea P(D <= q) >= C u = (C o + C u ) P(D <= q) - C u (C o - C u ) Sea F(q) = P(D <= q) la distribución de la función de demanda. Como es aplicable el análisis marginal, acabarnos de demostrar que E(q) será reducida al mínimo por el valor mínimo de q (llamémosle q*) que satisface a: F(q*)>= C u (3) (C o - C u ) El ejemplo siguiente muestra el uso de la ecuación (3). EJEMPLO 1 Walton Bookstore debe decidir en agosto cuantos calendaros de la naturaleza pedir para el próximo año. Cada calendario le cuesta 2 dólares y los vende a 4.50 dólares. Después del 12 de enero, cualquier calendario no vendido se regresa al editor y se reciben 75 centavos por cada uno. Walton cree que el numero de calendarios vencidos al 12 de enero sigue la distribución de probabilidad mostrada en la Tabla 1. Walton desea maximizar la ganancia neta esperada debida a ventas de calendarios. Cuántos calendarios debe pedir en agosto? *Como p(d - q) aumenta al aumentar q. E(q +1) - E(q) aumentara al aumentar q. Por lo tanto, si C o + Cu >= 0 E(q) es función convexa de q, y se justifica el uso del análisis marginal. *Basado en Barron (1985).
28 Tabla 1 Función de masa de probabilidad para las ventas de calendarios Solución. Sean: No. de calendarios vendidos Probabilidad q = numero de calendarios que se piden en agosto d = numero de calendarios necesitados hasta el 1 de enero Si d <= q, se incurre en los costos de la Tabla 2. La ganancia es costo negativo. De acuerdo con la ecuación (2), C o = Si d >= q +1, se incurre en los costos que aparecen en la Tabla 3. De acuerdo con la ecuación (2), -C u = -2.5, o sea C u = 2.5. Entonces C u = = C o + C u De acuerdo con la ecuación (3); Walton debe pedir q* calendarios, donde q* es el menor número para el cual P(D <=q*) >= 2/3. Como función de q, P(D <= q) aumenta solo cuando q = 100,150, 200, 250 o 300. Nótese también que P(D <= 100) =0.30 P(D <= 150) =0.50, P(D <= 200 )= Como P(D <= 200) es mayor o igual que 2/3. Se debe pedir q* = 200 calendarios.
29 Tabla 2 Cálculo del costo total si d <= q COSTO Compra de q calendarios a 2 dólares c/u 2q Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u -4.5d Devolución de q - d calendarios a 75 centavos c/u (q - d) Costo total 1.25q-3.75d Tabla 3 Cálculo del costo total si d >= q + 1 COSTO Compra de q calendarios a 2 dólares c/u 2q Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u -4.5q Costo total -2.5q OBSERVACIONES 1. En términos del análisis marginal, la probabilidad de vender el 200 calendario que se pide es P(D >= 200) = 50. Esto significa que el 200 calendario vendido tiene probabilidad = 0.50 de no ser vendido. Así, el 200 calendario aumentará los costos esperados de Walton en 0.50(-2.50) (1.25) = dólares. En consecuencia, se debe pedir el 200 calendario. Por otro lado, la probabilidad de vender el 201 calendario es P(D >= 201) = 0.20 y la probabilidad de que no se venda es = Por lo tanto, el 201 calendario aumentará los costos esperados en 0.20(-2.50) (1.25) = 0.50 dólares. Así, el 201 calendario aumentará los costos esperados y no se debe pedir.
30 2. En el ejemplo 1 se podrían haber calculado fácilmente C o y C u sin recurrir a las ecuaciones (2) y (2.1). Por ejemplo, si hay una unidad mas que la demanda real, se aumentan los costos de Walton en = 1.25 dólares. Así, C o = 1.25 dólares. Igualmente, con una unidad menos qué la demanda real, le costara = 2.50 dólares a Walton, en términos de ganancias. Por lo tanto, C u = 2.50 dólares. Si podemos calcular C o y C u sin emplear las ecuaciones (2) y (2.1), lo deberíamos hacer. Sin embargo, en problemas más difíciles las ecuaciones pueden ser de mucha utilidad. INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA ) A continuación veremos el caso del vendedor de periódicos cuando la demanda D es variable aleatoria continua que tiene una función de densidad f(d). Al modificar el argumento de análisis marginal visto anteriormente o mediante la regla de Leibniz para diferenciar una integral se puede demostrar que el costo esperado por el tomador de decisiones se reduce al mínimo cuando pide q* unidades, donde q* es el número mínimo que satisface a: P ( D <= q*) >= C u (4) C o -C u Como la demanda es una variable aleatoria continua, podemos determinar un número q* para el cual la expresión (4) sea válida como igualdad. Por lo tanto en este caso, la cantidad óptima por pedir se puede obtener al determinar el valor de q* que satisfaga: C u C u P(D<=q')= C o + C u o P(D>=q*)>= C o + C u (5)
31 Según esta ecuación, vemos que lo óptimo es pedir unidades hasta el punto en el que la última que se pida tenga una probabilidad: C u de venderse. EJEMPLO 1 C o + C u La American Bar Association (ABA) efectúa su convención anual en Las Vegas. Seis meses antes de que inicie la convención, la ABA debe decidir cuantas habitaciones debe reservar en el hotel sede. En este momento, la ABA puede reservar habitaciones a un costo de 50 dólares cada una, pero seis meses antes de la convención, la ABA no sabe con certeza cuanta gente asistirá a la convención. La ABA cree, sin embargo, que el número de habitaciones necesarias tiene una distribución normal con promedio 5000 y desviación estándar Si el número necesario de habitaciones es mayor que el reservado en el hotel sede, se tendrán que pagar habitaciones en los hoteles cercanos a un costo de 80 dólares por habitación. Para los participantes en la convención es incomodo alojarse en hoteles vecinos. Se mide la incomodidad al estimar un costo adicional de 10 dólares por cada habitación ocupada en un hotel vecino. Si la meta es reducir al mínimo el costo esperado por la ABA y sus miembros, Cuántas habitaciones debe reservar la ABA en el hotel sede? Solución Definimos q = número de habitaciones reservadas d = número de habitaciones necesarias en realidad Si d <= q, entonces el costo en que se incurre es el costo de las habitaciones reservadas con anterioridad y, por lo tanto, el costo total es 50q. Así, C o = 50. Si d >= q + 1, se incurre en los siguientes costos:
32 Costo de reservación de q habitaciones = 50q. Costo de renta de d - q habitaciones en hoteles vecinos = 80(d- q). Costo de incomodidad a los participantes adicionales = 10(d -q) Costo total = 90d-40q y C u =40 Como C u / (C o + C u ) = 40/90 = 4/9, según la ecuación (5), el número óptimo de habitaciones que se debe reservar es el numero q* que satisfaga P(D <= q*) = 4/9 (6) Como D tiene distribución normal con promedio y desviación estándar 2000, podemos normalizar la ecuación (6) con respecto a la variable aleatoria D y obtener: P(D P (D-5000 <= q*-5000) = P (Z <= q* ) = En la Fig. 2 vemos que (q* ) / 2000 debe ser igual al número que tenga un área a la izquierda de él en las tablas de distribución normal estándar. Según esa tabla, vemos que P(Z <=- 0.14) = Entonces q*-5000 = q*= (0.14) =4720
33 Figura 2 Determinación de q* para el ejemplo de reservación de habitaciones en hotel = q* Por lo tanto, la ABA debe reservar habitaciones.
34 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE INGENIERIA APUNTES DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ELABORADOS POR: ING.RUFINO CRUZ SORIANO
Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1
Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 1 de agosto de 2003 1. Introducción Cualquier modelo de una situación es una simplificación de la situación real. Por lo tanto,
Más detallesUNIDAD 4 PROCESOS DE MARKOV
UNIDAD 4 PROCESOS DE MARKOV Anteriormente se han cubierto modelos estáticos, esto es, modelos cuyos parámetros permanecen sin cambio a través del tiempo. Con excepción de programación dinámica donde se
Más detallesLíneas de espera. Introducción.
Líneas de espera. Introducción. En este capítulo se aplica la teoría de colas. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detallesAmbas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.
1. Introducción. En este trabajo se aplica la teoría de colas. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares
Más detallesUnidad V: Líneas de Espera
Unidad V: Líneas de Espera 5.1 Definiciones, características y suposiciones El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detalles1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR
. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz
Más detallesLos números racionales
Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones
Más detallesEl modelo EOQ básico (Economic Order Quantity) es el más simple y fundamental de todos los modelos de inventarios.
Tema 7 Sistemas de Inventarios 7.1. Modelo EOQ básico El modelo EOQ básico (Economic Order Quantity) es el más simple y fundamental de todos los modelos de inventarios. 7.1.1. Hipótesis del modelo 1. Todos
Más detallesLección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones
Más detallesINTRODUCCIÓN A LA CONTABILIDAD DE COSTOS DEFINICIÓN
INTRODUCCIÓN A LA CONTABILIDAD DE COSTOS DEFINICIÓN Contabilidad de costos, en el sentido más general de la palabra, es cualquier procedimiento contable diseñado para calcular lo que cuesta hacer algo.
Más detallesLos estados financieros proporcionan a sus usuarios información útil para la toma de decisiones
El ABC de los estados financieros Importancia de los estados financieros: Aunque no lo creas, existen muchas personas relacionadas con tu empresa que necesitan de esta información para tomar decisiones
Más detallesTEMA 5. MUESTREO PARA LA ACEPTACIÓN.
TEMA 5. MUESTREO PARA LA ACEPTACIÓN. Introducción. Planes de muestreo por atributos simple, doble, múltiple y rectificativos Dodge-Romig, Norma militar 1000STD-105D. Pautas a seguir para el cambio de rigor
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detallesComente: Los bancos siempre deberían dar crédito a los proyectos rentables. Falso, hay que evaluar la capacidad de pago.
Explique Brevemente en que consiste el leasing y nombre los diferentes tipos existentes. Es un mecanismo de financiamiento de Activos el cual permite el uso del activo por un periodo determinado a cambio
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detallesCentro de Capacitación en Informática
Fórmulas y Funciones Las fórmulas constituyen el núcleo de cualquier hoja de cálculo, y por tanto de Excel. Mediante fórmulas, se llevan a cabo todos los cálculos que se necesitan en una hoja de cálculo.
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales) Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A.. Suponga que en una estación con un solo servidor
Más detallesUnidad 5 Utilización de Excel para la solución de problemas de programación lineal
Unidad 5 Utilización de Excel para la solución de problemas de programación lineal La solución del modelo de programación lineal (pl) es una adaptación de los métodos matriciales ya que el modelo tiene
Más detallesMatrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD GUÍA DE TRABAJO 2 Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre 2010 1. La dureza Rockwell de un metal
Más detallesDISEÑO DEL SOFTWARE TRAFFIC ANALYZER. Analyzer. En este capítulo se reporta el desarrollo que se llevó a cabo para realizar el software
3 Diseño del Software Traffic Analyzer En este capítulo se reporta el desarrollo que se llevó a cabo para realizar el software que analiza el tráfico en redes de telefonía y computadoras, denominado Traffic
Más detallesSelectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León ATEÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesTema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
Más detalles1.3 Números racionales
1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples
Más detallesSelectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009. Opción A
SEPTIEMBRE 2009 Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES,
Más detallesTeoría de Líneas de Espera
Teoría de Colas Teoría de Líneas de Espera COLAS: Líneas de espera que utiliza modelos matemáticos que describen sistemas de líneas particulares o Sistemas de Colas. Modelos presentan las siguientes características:
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos
Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesUN PROBLEMA CON INTERÉS Y CALCULADORA
UN PROBLEMA CON INTERÉS Y CALCULADORA José Antonio Mora Sánchez. Alacant Las calculadoras ofrecen la posibilidad de modificar la óptica desde la que se abordan ciertos problemas matemáticos, esto hace
Más detallesEl rincón de los problemas. Oportunidades para estimular el pensamiento matemático. Triángulos de área máxima o de área mínima Problema
www.fisem.org/web/union El rincón de los problemas ISSN: 1815-0640 Número 37. Marzo 2014 páginas 139-145 Pontificia Universidad Católica del Perú umalasp@pucp.edu.pe Oportunidades para estimular el pensamiento
Más detallesTABLA DE DECISION. Consideremos la siguiente tabla, expresada en forma genérica, como ejemplo y establezcamos la manera en que debe leerse.
TABLA DE DECISION La tabla de decisión es una herramienta que sintetiza procesos en los cuales se dan un conjunto de condiciones y un conjunto de acciones a tomar según el valor que toman las condiciones.
Más detallesMAYOR PRODUCTIVIDAD CON UNA MEJOR CALIDAD EN LOS COSTOS
MAYOR PRODUCTIVIDAD CON UNA MEJOR CALIDAD EN LOS COSTOS C.P. y M. A. Raúl Vivanco Florido Director de la Facultad de Contaduría Pública Universidad Tecnológica Americana Viaducto Pdte. Miguel Alemán Nº
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE COLAS. (M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio Exponenciales) Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. I. Suponga que en una estación con un solo servidor
Más detallesINSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES CÁRDENAS ESPINOSA CÉSAR OCTAVIO racsec_05@hotmail.com Boleta: 2009350122 CASTILLO GUTIÉRREZ
Más detallesHoja1!C4. Hoja1!$C$4. Fila
CAPÍTULO 6......... Cálculo y funciones con Excel 2000 6.1.- Referencias De Celdas Como vimos con anterioridad en Excel 2000 se referencian las celdas por la fila y la columna en la que están. Además como
Más detallesCONCEPTOS PREVIOS TEMA 2
1.PROPORCIONALIDAD 1.1 REPARTOS PROPORCIONALES CONCEPTOS PREVIOS TEMA 2 Cuando queremos repartir una cantidad entre varias personas, siempre dividimos el total por el número de personas que forman parte
Más detallesAdministración de Empresas. 11 Métodos dinámicos de evaluación de inversiones 11.1
Administración de Empresas. 11 Métodos dinámicos de evaluación de inversiones 11.1 TEMA 11: MÉTODOS DINÁMICOS DE SELECCIÓN DE INVERSIONES ESQUEMA DEL TEMA: 11.1. Valor actualizado neto. 11.2. Tasa interna
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesEn este PDF encontrará los siguientes temas que debe estudiar para la clase:
En este PDF encontrará los siguientes temas que debe estudiar para la clase: Función de oferta, superávit de consumidores y productores, análisis marginal: Costo marginal, Ingreso marginal, Utilidad marginal
Más detallesPROBLEMAS DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA
Problema 1 PROBLEMAS DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Hoja 2 Una población de 20 animales insectívoros se introduce en una zona donde el 14% de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada
Más detallesDiscriminación de precios y tarifa en dos etapas
Sloan School of Management 15.010/15.011 Massachusetts Institute of Technology CLASE DE REPASO Nº 6 Discriminación de precios y tarifa en dos etapas Viernes - 29 de octubre de 2004 RESUMEN DE LA CLASE
Más detallesWise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción.
Fracciones o Quebrados En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Las fracciones pueden ser representadas de
Más detallesGUÍA PARA LA FORMULACIÓN PROYECTOS
GUÍA PARA LA FORMULACIÓN PROYECTOS Un PROYECTO es un PLAN DE TRABAJO; un conjunto ordenado de actividades con el fin de satisfacer necesidades o resolver problemas. Por lo general, cualquier tipo de proyecto,
Más detallesEspacios generados, dependencia lineal y bases
Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................
Más detallesMODULO 2. 1.4.1 RAZONES DE LIQUIDEZ.
Razones de liquidez Definición. MODULO 2. 1.4.1 RAZONES DE LIQUIDEZ. La liquidez es la facilidad con la cual una inversión puede convertirse en dinero. Es decir, que tan fácil se podría vender un terreno,
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesMÉTODO DEL CAMBIO DE BASE PARA CÁLCULO MANUAL DE SUBREDES CON IP V4.0
MÉTODO DEL CAMBIO DE BASE PARA CÁLCULO MANUAL DE SUBREDES CON IP V4.0 José Antonio Guijarro Guijarro Profesor de Secundaria Especialidad de Informática Profesor Técnico de F.P. Especialidad de Sistemas
Más detalles_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas
Más detallesServicios Administrados al Cliente
Dell Administrados al Cliente Los servicios administrados le pueden ayudar. Al aplicar un proceso de administración consistente a través de los imprevistos en la vida de su computadora, usted puede minimizar
Más detallesProgramación Lineal Continua/ Investigación Operativa. EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1
EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1 1. Una empresa que fabrica vehículos quiere determinar un plan de producción semanal. Esta empresa dispone de 5 fábricas que producen distintos elementos del
Más detallesHOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES
HOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES Sucesión: Término general 1.- Calcula el término general de las sucesiones: a) -1, 2, 5, 8, 11, b) 3, 3/2, ¾, 3/8, c) 1, 4, 9, 16, 25, 2.- Halla el término general de cada
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesFINANZAS: Gestionando para el emprendimiento
FINANZAS: Gestionando para el emprendimiento El término Finanzas incorpora cualquiera de los siguientes significados: El estudio del dinero y otros recursos El management y el control de dichos recursos
Más detallesEduardo Kido 26-Mayo-2004 ANÁLISIS DE DATOS
ANÁLISIS DE DATOS Hoy día vamos a hablar de algunas medidas de resumen de datos: cómo resumir cuando tenemos una serie de datos numéricos, generalmente en variables intervalares. Cuando nosotros tenemos
Más detalles3. Equivalencia y congruencia de matrices.
3. Equivalencia y congruencia de matrices. 1 Transformaciones elementales. 1.1 Operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son: 1. H ij : Permuta la fila i con la fila j. 2. H
Más detalleshttp://www.dragodsm.com.ar
UBA-CS ECONOMICAS- PROF MIGUEL MARTIN. Página 1 04/05/11 U.B.A- UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES- FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS. Profesor: Materia: Cátedra: Licenciado Miguel O. Martin. Teoría de la Decisión.
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 7 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesOperación de Microsoft Excel. Guía del Usuario Página 79. Centro de Capacitación en Informática
Manejo básico de base de datos Unas de las capacidades de Excel es la de trabajar con listas o tablas de información: nombres, direcciones, teléfonos, etc. Excel puede trabajar con tablas de información
Más detallesManual de usuario. Modulo Configurador V.1.0.1
Manual de usuario Modulo Configurador V.1.0.1 Tabla De Contenido 1.) Modulo Configurador 3 1.1) Estructura del modulo configurador 3 1.2) Configuración de datos generales de la empresa 4 a) Ficha de datos
Más detalles1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B(1, p), donde
Soluciones de la relación del Tema 6. 1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B1, p), donde p = P X = 1) = P la persona presente síntomas)
Más detallesOperaciones con polinomios
Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)
Más detallesCAPITULO VI ESTRATEGIAS DE OUTSOURCING
CAPITULO VI ESTRATEGIAS DE OUTSOURCING Cuando una compañía decide llevar a cabo un proceso de outsourcing debe definir una estrategia que guíe todo el proceso. Hay dos tipos genéricos de estrategia de
Más detallesFUNDAMENTOS DE ADMINISTRACIÓN Y GESTIÓN Teoría y ejercicios
FUNDAMENTOS DE ADMINISTRACIÓN Y GESTIÓN Teoría y ejercicios 2ª edición JUAN PALOMERO con la colaboración de CONCEPCIÓN DELGADO Economistas Catedráticos de Secundaria ---------------------------------------------------
Más detallesLos polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x
Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesCálculo Simbólico también es posible con GeoGebra
www.fisem.org/web/union ISSN: 1815-0640 Número 34. Junio de 2013 páginas 151-167 Coordinado por Agustín Carrillo de Albornoz Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra Antes de exponer las posibilidades
Más detallesAnálisis de los datos
Universidad Complutense de Madrid CURSOS DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA Análisis de los datos Hojas de cálculo Tema 6 Análisis de los datos Una de las capacidades más interesantes de Excel es la actualización
Más detallesTema 4: Producción y Costes
Tema 4: Producción y Costes Introducción 1. Producción en el corto plazo 1. Productividad total, media y marginal 2. ey de rendimientos decrecientes 2. Producción en el largo plazo 1. Rendimientos a escala
Más detallesLección 4: Suma y resta de números racionales
GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()
Más detallesLa ventana de Microsoft Excel
Actividad N 1 Conceptos básicos de Planilla de Cálculo La ventana del Microsoft Excel y sus partes. Movimiento del cursor. Tipos de datos. Metodología de trabajo con planillas. La ventana de Microsoft
Más detallesV.4 Incertidumbre, Métodos Probabilísticos de Análisis de Alternativas
. Incertidumbre Nadie puede predecir el futuro. Sólo es posible formular hipótesis más o menos fundadas. Es un futuro que contiene un número indeterminado de resultados posibles, ninguno de los cuales
Más detallesUniversidad Católica los Ángeles de Chimbote / Sistema de Universidad Abierta 1
3.9. Caso de Aplicación Práctico (Presupuesto maestro) La información que ha sido brindada para la formulación del presupuesto está constituida por el Balance General 20XX, los ratios de consumo de materias
Más detallesANÁLISIS FINANCIERO VERTICAL
ANÁLISIS FINANCIERO VERTICAL El Análisis Vertical de los estados financieros es una de las técnicas más simple y se la considera como una evaluación estática, puesto que no analiza los cambios ocurridos
Más detallesSIIGO Dejando huella... SIIGO Windows. Versión 4.2 MODULO DE DISTRIBUCION DE COSTOS. Caminando hacia el futuro... www.siigo.com
SIIGO Windows Versión 4.2 MODULO DE DISTRIBUCION DE COSTOS TABLA DE CONTENIDO 1. Introducción... 2 2. Instalación... 4 3. Parámetros Generales... 6 a. Verificación del catalogo de productos... 6 b. Verificación
Más detallesTeoría de Colas o Fenómenos de Espera
Teoría de Colas o Fenómenos de Espera Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Febrero 2011 Introducción 2 Introducción............................................................
Más detallesHERRAMIENTAS DE EXCEL PARA EL ANALISIS Y VALORACION DE PROYECTOS DE INVERSION (I)
Revista de Dirección y Administración de Empresas. Número 10, diciembre 2002 págs. 59-76 Enpresen Zuzendaritza eta Administraziorako Aldizkaria. 10. zenbakia, 2002 abendua 59-76 orr. HERRAMIENTAS DE EXCEL
Más detallesEjercicios de Programación Lineal
Ejercicios de Programación Lineal Investigación Operativa Ingeniería Informática, UCM Curso 8/9 Una compañía de transporte dispone de camiones con capacidad de 4 libras y de 5 camiones con capacidad de
Más detallesDISEÑO DE INDICADORES DE DESIGUALDAD SOCIAL EN LAS CIUDADES.-
DISEÑO DE INDICADORES DE DESIGUALDAD SOCIAL EN LAS CIUDADES.- 1. Introducción. El presente documento es el referente metodológico para la selección inicial de los barrios deprimidos. Se recoge una propuesta
Más detallesCadenas de Markov. http://humberto-r-alvarez-a.webs.com
Cadenas de Markov http://humberto-r-alvarez-a.webs.com Definición Procesos estocásticos: procesos que evolucionan de forma no determinista a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados. Estos
Más detallesIntroducción a la Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería - Universidad de la República Oriental del Uruguay
Introducción a la Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería - Universidad de la República Oriental del Uruguay Procesos Estocásticos de Tiempo Contínuo Práctico Ejercicio 1 Sean X e Y variables
Más detallesInformación importante. 1. El potencial eléctrico. Preuniversitario Solidario. 1.1. Superficies equipotenciales.
1.1 Superficies equipotenciales. Preuniversitario Solidario Información importante. Aprendizajes esperados: Es guía constituye una herramienta que usted debe manejar para poder comprender los conceptos
Más detallesTema 3: Aplicaciones de la diagonalización
TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización 1 Ecuaciones en diferencias Estudiando la cría de conejos, Fibonacci llegó a las siguientes conclusiones:
Más detallesELABORACION DE ESTADOS FINANCIEROS CON DATOS INCOMPLETOS
CAPITULO I V ELABORACION DE ESTADOS FINANCIEROS CON DATOS INCOMPLETOS 4.1. LA ECUACION PATRIMONIAL La condición o posición financiera de un negocio está representada por la relación que existe entre los
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesTEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (parte II)
TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (parte II) Tema 6- Parte II 1 ANÁLISIS DE PROYECTOS En ambiente de incertidumbre Los flujos de caja a descontar no son ciertos Criterio a aplicar
Más detallesVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Tema 1.4 Licenciatura en Economía y Finanzas 7º semestre. Dr. José Luis Esparza A. Introducción En la empresa como en la vida personal, constantemente se deben tomar decisiones,
Más detallesAnálisis de Estados Financieros
Análisis de Estados Financieros ANÁLISIS DE ESTADOS FINANCIEROS 1 Sesión No. 3 Nombre: Análisis de la liquidez a corto plazo Contextualización El alumno identificará las principales forma de evaluación
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales
Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento
Más detallesLA TIR, UNA HERRAMIENTA DE CUIDADO MBA. Fernando Javier Moreno Brieva
LA TIR, UNA HERRAMIENTA DE CUIDADO Resumen El presente estudio tiene como principal objetivo demostrar, que la TIR no es una herramienta, que por sí sola, pueda determinar la conveniencia de realizar o
Más detallesLABORATORIO Nº 3 PRÁCTICA DE FUNCIONES EN MICROSOFT EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar funciones en Microsoft Excel 2010. 1) LA FUNCIÓN SI EN EXCEL La función SI en Excel es parte del grupo
Más detalles