UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID. Métodos numéricos para el análisis. de la propagación, observación y control de ondas
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- Elena Hidalgo Cordero
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1 i UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Métodos numéricos para el análisis de la propagación, observación y control de ondas Tesis en opción al Título de Doctor en Ciencias Matemáticas Presentada por: MIHAELA NEGREANU Dirigida por: ENRIQUE ZUAZUA IRIONDO Madrid, 3
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3 Índice general Introducción I. La ecuación de ondas continua 3. Formulación del problema El problema de control El método HUM: Hilbert Uniqueness Metod Descripción del HUM Propiedades de Λ Controlabilidad exacta Construcción del control II. Convergencia del algoritmo multi-malla. Resultados previos Semi-discretización con diferencias finitas Semi-discretización con elementos finitos Descripción del algoritmo multi-malla Aproximación con diferencias finitas en bi-malla Observabilidad uniforme Construcción del control Semi-discretizacion con elementos finitos en bi-malla Observabilidad uniforme Construcción del control Convergencia de las soluciones del problema sin control Convergencia de las soluciones del problema con control III. Discretización completa 73. Discretización por diferencias finitas centradas Convergencia del esquema numérico Propiedades del esquema numérico Estudio espectral Observabilidad uniforme del sistema discreto en el caso t = x El problema de controlabilidad exacta Convergencia del problema sin control Convergencia del problema con control Notaciones y resultados previos Convergencia débil de los controles Convergencia débil de las soluciones Convergencia fuerte de las soluciones iii
4 iv ÍNDICE GENERAL 6. Simulaciones numéricas IV. Desigualdades discretas de Ingam y aplicaciones. Bases de Riesz Teorema de Ingam Desigualdad de Ingam discreta Transformadas discretas de Fourier Demostración de la desigualdad discreta de Ingam Aplicación a la observabilidad uniforme Control uniforme de las soluciones filtradas del sistema discreto t < x) 4 8. Diagramas de dispersión V. Wavelets 5. Base de wavelets Descripción del algoritmo bi-malla con wavelets Algoritmo del gradiente conugado El algoritmo del gradiente conugado. Generalidades Aplicación del algoritmo del gradiente conugado al problema de control para la ecuación de ondas, vía solución de Λe = f Descripción del algoritmo del gradiente conugado para la solución del problema numérico utilizando la técnica de filtración bi-malla en la base wavelets erárquica Representación matricial de Λ en la base de wavelets Precondicionamiento multi-nivel de Λ Resultados numéricos Precondicionamiento y compresión de Λ Experimentos numéricos Controlabilidad exacta numérica Bibliografía 7
5 Introducción. Motivación general y presentación del problema En este trabao nos centraremos en el estudio de Problemas de Control para versiones discretas y semi-discretas de la ecuación de ondas unidimensional. Abordamos dos problemas íntimamente relacionados: la controlabilidad y la observabilidad de las soluciones de los esquemas numéricos. Estos problemas son relevantes en el contexto de la resolución numérica de problemas en Teoría del Control. Ambos problemas an sido ampliamente estudiados en el contexto continuo; recordaremos brevemente algunos aspectos de esta teoría que nos permitirán, por una parte, aclarar las motivaciones de emprender el estudio de su variante discreta y/o numérica, y, por otra, observar las profundas diferencias existentes entre ambas. El problema de control para la ecuación de ondas La Teoría Matemática del Control cuenta con una dilatada istoria cuyos orígenes se remontan a la revolución industrial del siglo XVIII veáse ], 57]). Buena parte de la investigación matemática que en la actualidad se desarrolla en esta disciplina está relacionada con modelos en dimensión infinita o, Ecuaciones en Derivadas Parciales. De manera general, el obetivo central de la Teoría del Control es proporcionar estrategias para conducir un proceso que nos ocupa a un obetivo deseado y/o prescrito. Para ello, tanto si adoptamos un punto de vista frecuencial como si optamos por modelizar el fenómeno en cuestión a través de ecuaciones diferenciales, el problema consiste en conducir el estado, la variable que nos interesa, al obetivo prefiado mediante la elección de un mecanismo de control adecuado. Los problemas de control admiten formulaciones y variantes diversas. En los problemas de controlabilidad nos interesa saber si el obetivo puede efectivamente alcanzarse y, cuando esta cuestión admite una respuesta afirmativa, cúal es el tiempo mínimo en el que esto es posible, cúal es el control menos costoso, etc. Cuando abordamos el problema de control desde el punto de vista de la Optimización o Control Optimo la cuestión se plantea desde otra perspectiva: con independencia de que el problema de la controlabilidad admita una respuesta afirmativa o negativa, buscamos un buen control, que nos aproxime lo más posible al obetivo prescrito manteniendo el control dentro de los márgenes de costo admisibles. En la práctica, este segundo planteamiento puede proporcionar resultados muy satisfactorios y ésto mediante técnicas matemáticas menos sofisticadas.
6 ÍNDICE GENERAL El problema de controlabilidad de un sistema de evolución, la ecuación de ondas, por eemplo), puede expresarse en un marco general de la siguiente forma: Consideramos un sistema a controlar, sobre el cual podemos actuar mediante un mecanismo dado a través de un subconunto de la frontera, en una parte interior del sistema o de cualquier otro modo. Dado un tiempo T >, el problema de la controlabilidad consiste en estudiar la posibilidad de conducir el sistema desde un estado inicial arbitrario a un estado final fiado previamente. La ecuación de ondas es un modelo que interviene en numerosos problemas de vibraciones y de acústica y que, además, es uno de los que caracteriza las EDP iperbólicas. Es por ello que la elección de la ecuación de ondas, como modelo de estudio en esta Tesis, no es casual. En el contexto de la ecuación de ondas es bien conocido que las vibraciones de una cuerda pueden pararse a través de una función control que actúa en uno de sus extremos. El modelo matemático más simple que describe estas vibraciones es u tt u xx =, < x <, < t < T, u, t) =, u, t) = vt), < t < T, ux, ) = u x), u t x, ) = u x), < x <. La primera ecuación de ) es la ecuación de ondas d clásica. El extremo de la cuerda correspondiente a x = está fio y sobre el extremo x = actúa la función control v. La última relación de ) indica que el desplazamiento y la velocidad de la cuerda se suponen conocidas en el instante t = ; el par u, u ) es el estado inicial del sistema. El sistema ) está bien puesto en un marco funcional apropiado y por ello, dado un estado inicial u, u ) y una condición de frontera v, ) admite una única solución u = ux, t). ) Para formular con exactitud el problema de controlabilidad para el sistema ) consideramos el conunto de sus estados alcanzables: RT ; u, u )) = {ut ), u t T )) : u solución de ) con v L, T )}. ) Pueden considerarse varias variantes de la noción de controlabilidad. Controlabilidad aproximada: Se dice que el sistema ) es aproximadamente controlable en tiempo T si para cada estado inicial u, u ) L, ) H, ) el conunto de estados alcanzables es denso en L, ) H, ). Controlabilidad exacta: Se dice que el sistema ) es exactamente controlable en tiempo T si para cada estado inicial u, u ) L, ) H, ) el conunto de estados alcanzables es L, ) H, ). La controlabilidad exacta implica la controlabilidad aproximada. En general en varias dimensiones espaciales, por eemplo), el recíproco no es cierto. Sin embargo, en el contexto de este problema particular ), ambas propiedades de controlabilidad tienen lugar simultáneamente. Además, la velocidad de propagación para la ecuación de ondas es finita y por ello no cabe esperar que se cumplan propiedades de controlabilidad salvo si el tiempo T es suficientemente grande ver 3]).
7 ÍNDICE GENERAL 3 La controlabilidad exacta del sistema ) en el espacio L, ) H, ) y tiempo T puede demostrarse directamente utilizando la fórmula de D Alembert ver, por eemplo, ], p. 78). También puede demostrarse usando el Método de los momentos que istóricamente fue el primero en producir resultados sobre la controlabilidad de sistemas descritos por ecuaciones en derivadas parciales. Este método resulta útil no sólo en el caso de la ecuación de ondas, sino también en el estudio de ecuaciones cuyas soluciones pueden calcularse por el método de separación de variables. En los trabaos ], 45] y 46] y en la bibliografía en ellos indicada puede encontrarse amplia información sobre este tema. Ambas técnicas, sin embargo, utilizan de manera esencial el carácter unidimensional del sistema ). En esta memoria utilizaremos esencialmente el método HUM Hilbert Uniqueness Metod) introducido por J. L. Lions en 986 3]), una erramienta sistemática que permite el estudio de problemas de control en el marco general multidimensional y para una amplia gama de ecuaciones. Este método se basa en el eco de que el problema de control para un sistema de evolución es equivalente a ciertas estimaciones a priori, llamadas desigualdades de observabilidad para el sistema adunto omogéneo correspondiente. Estas desigualdades pueden ser demostradas utilizando técnicas de multiplicadores, métodos de series no-armónicas de Fourier Komorni en 3], Lions en 3]), análisis microlocal Bardos et al. en 9], Burq y Gérard en ]), desigualdades de Ingam Lions en 3] y Young en 54]), entre otras. Una de las formulaciones más simples del método HUM para el caso particular de la ecuación de ondas d consiste en considerar el funcional cuadrático J definido por Jφ, φ ) = φ x, t) dt + u φ t )dx u, φ) H H, 3) donde φ = φx, t) es solución del sistema omogéneo φ tt φ xx =, < x <, < t < T, φ, t) = φ, t) =, < t < T, φx, T ) = φ x), φ t x, T ) = φ x), < x <, denominado sistema adunto de ). En vista de la reversibilidad en tiempo de la ecuación de ondas, los estados iniciales para un sistema adunto se pueden tomar también en t =. Si ˆφ, ˆφ ) es un minimizador del funcional J, entonces se verifica ˆφ x, t)φ x, t)dt = u, φ) H H u φ t )dx, 5) para toda solución φ del sistema omogéneo 4). La condición 5) resulta ser equivalente a que el control v = ˆφ x, t) lleve el estado inicial u, u ) al estado de equilibrio, ) en tiempo t = T. De esta manera el problema de controlabilidad se reduce a demostrar la existencia de un minimizador de J. Además, el control así obtenido es el de norma L, T ) mínima en la clase de controles admisibles. Observemos que J es convexo y continuo. Por ello, de acuerdo al Teorema Fundamental del Cálculo de Variaciones, basta probar la coercividad de J. La propiedad de coercividad equivale a la desigualdad E) CT ) 4) φ x, t) dt, 6)
8 4 ÍNDICE GENERAL donde E es la energía conservativa de las soluciones de 4) que se define por Et) = φx x, t) + φ t x, t) ) dx. 7) La desigualdad 6) garantiza que la energía total de las soluciones puede observarse o estimarse en función de la energía concentrada en el extremo x = de la cuerda durante el intervalo de tiempo, T ). Es por ello que esta desigualdad de conoce como desigualdad de observabilidad. En los textos especializados la constante CT ) en la desigualdad 6) se llama constante de observabilidad. Independientemente de las frecuencias de oscilación del estado inicial, las soluciones de 4) se propagan con velocidad y por ello, es necesario que el tiempo de control/observación sea al menos T = para que todos los estados iniciales puedan observarse desde el extremo x = de la cuerda. Por consiguiente, el tiempo de observabilidad es el doble de la longitud de la cuerda. Esto se debe al eco que una disturbación inicial concentrada cerca de x = puede propagarse acía la izquierda en la variable espacial) cuando el tiempo t aumenta y llega a alcanzar el extremo x = del intervalo, ) en tiempo T arbitrariamente próximo a T = después de rebotar del extremo x =. La condición T resulta ser necesaria y suficiente para que se verifique la desigualdad de observabilidad uniforme ver 55]). Aproximación numérica. La aproximación numérica de la ecuación de ondas aparece de manera natural en la implementación numérica de las propiedades de controlabilidad y observabilidad. Un procedimiento natural para la construcción del control numéricamente es aproximar el operador de ondas por sucesiones de operadores discretos o semi-discretos y obtener el control del sistema ) como límite de las sucesiones de controles correspondientes a las ecuaciones aproximadas. Sin embargo, para la mayoría de los esquemas numéricos, la velocidad de grupo es diferente a la del sistema continuo y las propiedades de observabilidad y controlabilidad uniformes pueden desvanecerse en las discretizaciones numéricas cuando el paso del mallado tiende a cero. Esto tiene un gran impacto a la ora de calcular numéricamente el control para el modelo continuo. Entre los remedios analizados en 55] para restablecer la convergencia de la aproximación del control cabe mencionar: la regularización de Tyconoff, filtración en Fourier, elementos finitos mixtos, métodos multi-malla... En la Sección 5 de esta introducción presentamos los principales resultados conocidos y analizados en detalle en 55], relativos a la observabilidad y controlabilidad uniformes del sistema semi-discreto. Los resultados clásicos de Análisis Numérico son, en general, insuficientes para el estudio de la convergencia de las sucesiones de los controles discretos. De eco, los métodos típicos convergentes estables + consistentes) producen sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, EDO, o puramente discretos) para los cuales los controles divergen cuando el tamaño del mallado discreto tiende a cero. Por ello, la Teoría clásica de Métodos Numéricos tiene que ser complementada con estudios adicionales para superar estas dificultades.
9 ÍNDICE GENERAL 5. Presentación de los problemas y principales resultados En este trabao nos proponemos aportar nuevos resultados sobre la aproximación numérica del control para la ecuación de ondas unidimensional ). Para ello analizamos tanto modelos semi-discretos como puramente discretos. A continuación describimos brevemente los problemas estudiados y los resultados obtenidos:. Estudio de la convergencia del algoritmo bi-malla de control de R. Glowini para aproximaciones semi-discretas de la ecuación de ondas con diferencias finitas y elementos finitos. De acuerdo al método HUM, la demostración de la convergencia del método bi-malla se reduce a probar una desigualdad de observabilidad uniforme respecto al paso del mallado discreto para todas las soluciones de los sistemas semi-discretos omogéneos con estados iniciales en un mallado fino que provienen por interpolación del mallado grueso. En los teoremas II. y II.4 probamos la uniformidad de dica desigualdad con respecto a utilizando técnicas de multiplicadores discretos y la caracterización en Fourier de los datos interpolados. La demostración que desarrollamos pone de manifiesto que el método bi-malla se comporta esencialmente como el método de filtración en Fourier con parámetro /.. Obtención de un análogo discreto de la desigualdad de Ingam para familias de exponenciales con separación uniforme. La desigualdad de Ingam 4], 54], p. 6) a ugado un papel fundamental para la demostración de desigualdades de observabilidad en los modelos continuos que satisfacen la propiedad de separación espectral uniforme. En el Teorema IV. demostramos una versión discreta de esta desigualdad, que permite, en particular, obtener resultados de observabilidad uniforme para las soluciones filtradas del sistema omogéneo completamente discreto en el caso t < x. La demostración sigue los pasos de la clásica de Ingam presentada en 54], p. 6) y utiliza un resultado de carácter técnico de Trefeten de 5] donde se estima la diferencia entre la transformada discreta y continua de Fourier. 3. Estudio de la controlabilidad exacta del sistema completamente discreto correspondiente a la discretización con diferencias finitas de la ecuación de ondas. Distinguimos aquí dos casos: t = x =:, es decir, los pasos temporal y espacial son iguales. Se obtiene la observabilidad/controlabilidad uniforme sin necesidad de filtración o remedio alguno. Esto es previsible pues cuando t = x el método numérico considerado es exacto. Las soluciones del sistema completamente discreto son de eco la restricción al mallado discreto de las soluciones del sistema continuo sin control que involucran un número finito de componentes. Desarrollamos la prueba de la observabilidad y la controlabilidad, indicando el paso al límite, con todo detalle, pues las técnicas desarrolladas son útiles en otros casos, en particular en el caso t < x estudiado a continuación. El resultado fundamental de observabilidad uniforme es el Teorema III..
10 6 ÍNDICE GENERAL La identidad de observabilidad obtenida en el tiempo óptimo de observación T = permite asegurar la controlabilidad de espacios de datos iniciales que se describen de manera explícita Teorema III.7). t < x. La desigualdad de observabilidad en este caso resulta ser uniforme respecto al paso del mallado sólo para una subclase de soluciones del sistema discreto omogéneo en la que las altas frecuencias an sido filtradas. La desigualdad de observabilidad uniforme implica resultados de controlabilidad uniforme para las proyecciones de las soluciones del sistema adunto controlado. En el límite, cuando t, x se pueden recuperar resultados de controlabilidad óptimos para la ecuación de ondas d. 4. Implementación numérica de un método bi-malla basado en wavelets. Introducimos una técnica de filtración en la base de wavelets erárquica para el estudio de la cotrolabilidad exacta de la ecuación de ondas d. Desarrollamos una presentación detallada del método y realizamos diversos experimentos numéricos que ilustran la eficacia del método que permite obtener una aproximación numérica de los controles en tiempo óptimo. La demostración de la convergencia del método aún no se a realizado. 3. Descripción del contenido de la memoria En el Capítulo I se introducen los elementos fundamentales del problema de control exacto desde un extremo de la ecuación de ondas unidimensional: notaciones, formulación de los problemas de control, el método HUM,... En el Capítulo II se describen primero, brevemente, los resultados obtenidos por Infante y Zuazua en 5] sobre la observabilidad uniforme del sistema semi-discreto omogéneo d en la variable espacial con diferencias finitas y elementos finitos. La técnica fundamental en 5] para la demostración de desigualdades de observabilidad uniforme y, en particular, por HUM, de controlabilidad exacta) se basa en el método de multiplicadores discretos y en la representación de las soluciones de la ecuación de ondas en series de Fourier. En este Capítulo II utilizamos estas técnicas generales en combinación con el método multi-malla de Glowinsi para obtener resultados de controlabilidad para el sistema semidiscreto con diferencias finitas y elementos finitos. Para ello estudiamos las propiedades del espacio constituido por funciones discretas definidas en un mallado fino que se obtienen interpolando funciones definidas sobre un mallado grueso. Este método resulta ser semeante al método de filtración en Fourier con parámetro de filtración /. El análisis del diagrama de dispersión correspondiente a las soluciones filtradas predice una velocidad de propagación igual a / en la clase de soluciones consideradas y confirma el tiempo de observabilidad T = 4, doble del necesario en el caso de la ecuación de ondas continua. El resultado fundamental de este capítulo consiste en demostrar la convergencia de los controles numéricos obtenidos con el método multi-malla en el caso de las aproximaciones semi-discretas de la ecuación de ondas con diferencias y elementos finitos. Este resultado proporciona la primera prueba rigurosa de la convergencia del método bi-malla propuesto por R. Glowinsi. El Capítulo III está dedicado al problema de control correspondiente a la discretización completa con diferencias finitas de la ecuación de ondas unidimensional con control en un extremo con pasos temporal y espacial iguales, t = x =:.
11 ÍNDICE GENERAL 7 La demostración de la desigualdad de observabilidad uniforme respecto al paso se basa en la representación de las soluciones en series de Fourier. La desigualdad de observabilidad obtenida en el tiempo óptimo de observación T =, que en este caso es de eco una identidad, permite asegurar la controlabilidad de espacios de datos iniciales que se describen de manera explícita. En este capítulo se estudia también la convergencia de la sucesión de controles discretos y se ilustra la validez de los resultados en una sección dedicada a las simulaciones numéricas. En el Capítulo IV se continúa el estudio de la ecuación de ondas unidimensional completamente discreta en el caso general t < x. El principal resultado novedoso de este capítulo es una versión discreta de la célebre desigualdad de Ingam 4]) para series de Fourier no-armónicas cuyos exponentes satisfacen una condición de separación espectral el llamado gap ). Uno de los puntos clave de la prueba es un resultado de carácter técnico de Trefeten de 5] donde se estima la diferencia entre la transformada discreta y continua de Fourier. La desigualdad de Ingam discreta demostrada en este capítulo permite obtener resultados de observabilidad uniforme para las soluciones filtradas del sistema omogéneo completamente discreto. La desigualdad de observabilidad uniforme implica resultados de controlabilidad uniforme para las proyecciones de las soluciones del sistema adunto controlado. En el límite, cuando t, x recuperamos resultados de controlabilidad óptimos para la ecuación de ondas d. Por último introducimos los diagramas de dispersión y la noción de velocidad de grupo para los casos discretos, semi-discretos y continuos. Se estudia tambien la optimalidad de del tiempo de control/observación en conexión con los diagramas de dispersión. En el Capítulo V proponemos un método numérico basado en wavelets para el estudio de la controlabilidad exacta de la ecuación de ondas d. Utilizamos espacios de elementos finitos cuyas bases están formadas por funciones spline de wavelets. El algoritmo para la construcción de los controles está basado en un método de gradiente conugado propuesto por R. Glowinsi ] y en una técnica de filtración bi-malla en la base wavelets erárquica. Se obtienen resultados numéricos positivos sobre la controlabilidad exacta y observemos numéricamente que el número de condición del operador HUM discreto, obtenido filtrando con wavelets, está uniformemente acotado con respecto al paso del mallado. Los experimentos numéricos ilustran nuestros resultados. Los resultados de este último capítulo son de carácter puramente computacional y an sido realizados en colaboración con A. M. Matace y C. Scwab durante mi visita al Seminar fur Angewandte Matemati, ETH Züric, Suiza en el marco del Proyecto Europeo Homogenization and Multiple Scale, HMS. 4. Problemas abiertos El estudio de la convergencia de los métodos numéricos para la solución de problemas de controlabilidad es un tema en el que se an realizado avances importantes recientemente pero que permanece en gran medida inexplorado. Para un listado exaustivo de problemas abiertos véase 55]. En esta sección presentamos los problemas abiertos más importantes relacionados con los temas y problemas abordados en esta Tesis. En primer lugar, conviene mencionar que sería muy útil obtener caracterizaciones generales de los esquemas numéricos eficaces para la aproximación numérica del control. Sin
12 8 ÍNDICE GENERAL embargo, las dificultades que se manifiestan en el caso d muestran que serán necesarias nuevas y poderosas erramientas para tratar este problema. De manera más concreta cabe mencionar los siguientes problemas: Combinando las propiedades de los estados iniciales obtenidos por interpolaciones en multi-malla del sistema semi-discreto y la desigualdad clásica de Ingam, probar las desigualdades de observabilidad sin utilizar técnicas de multiplicadores discretos. Una de las ventaas de este enfoque sería que podrían obtenerse resultados similares para los problemas completamente discretos gracias a la desigualdad de Ingam discreta que tenemos aora a nuestra disposición. Analizar la eficacia del método multi-malla para el control de la ecuación de ondas en varias dimensiones. Los resultados numéricos de ] y ] indican la eficacia computacional del método en el caso bidimensional en un cuadrado. Es previsible que las técnicas desarrolladas en el Capítulo II combinando multiplicadores discretos y la representación en Fourier de las soluciones permita extender los resultados al caso d. Demostrar la convergencia del método numérico multi-malla basado en wavelets desarrollado en el Capítulo V para el cual tenemos resultados numéricos satisfactorios. Extender esta técnica al caso multi-dimensional utilizando bases de wavelet clásicas y otras clases de wavelets C l, l, que, por los resultados obtenidos en esta línea de investigación, pueden producir resultados positivos, similares a los logrados con elementos finitos mixtos en 5]. Está pendiente el desarrollo de métodos multi-malla más sofisticados que permitan recuperar el tiempo de control T = de la ecuación de ondas. En efecto, una posible idea a explorar sería usar dos mallados con otros pasos relativos, no sólamente y, para ver si de este modo se puede conseguir meorar el tiempo de control T > 4. Otro problema sumamente interesante es el de adaptar los resultados existentes al caso de la ecuación de ondas con coeficientes variables, posiblemente discontinuos. 5. Antecedentes y resultados previos La interacción de las ondas con los mallados discretos produce fenómenos de dispersión numérica y oscilaciones de las de altas frecuencias espúreas 5], 5]). Más concretamente, a causa de la interacción no-física de las ondas con el medio discreto, la velocidad de propagación de las ondas numéricas, la llamada velocidad de grupo, puede converger a cero cuando la longitud de onda de las soluciones numéricas es del orden del tamaño del mallado discreto y este último tiende a cero. Como consecuencia de este eco, el tiempo necesario para observar uniformemente las ondas discretas desde la frontera del dominio donde se propagan tiende, en general, a infinito cuando el mallado se ace cada vez más fino. Esto tiene grandes consecuencias respecto a los problemas de controlabilidad. En particular, el cálculo de los controles de los modelos discretos no es necesariamente un buen método para obtener una buena aproximación del control para el problema continuo. Dado N N, sea = /N + ) y consideramos el caso más simple de la semidiscretización espacial con diferencias finitas del sistema ) en un mallado uniforme
13 ÍNDICE GENERAL 9 x = < x = <... < x N < x N+ =, con x =, =,..., N +, u t) = u +t) u t) + u t)] /, t >, =,..., N, u t) =, u N+ t) = v t) < t < T, 8) u ) = u, u ) = u, =,..., N. El cálculo efectivo del control numérico de norma L, T ) mínima del sistema 8) en la clase de controles admisibles se obtiene minimizando el funcional discreto J φ, φ ) = φ N t) dt + donde φ = φ,..., φ N ) es la solución del sistema semi-discreto u φ u φ ], 9) ) φ t) = φ +t) φ t) + φ t)]/, < t < T, =,..., N φ t) = φ N+ t) =, < t < T, φ ) = φ, φ ) = φ, =,..., N y ū, ū ) es el estado inicial de 8), la aproximación del estado inicial u, u ) de ). Conviene observar que φ N / es una aproximación natural de φ x, t) para la solución del sistema continuo 4). De eco, φ x, t) φ N+ t) φ N t)]/ y teniendo en cuenta la condición de Diriclet φ N+ t) = φ, t) = ), se tiene que φ x, t) φ N t)/. El funcional 9) es convexo y continuo. Por ello, de acuerdo al Teorema Fundamental del Cálculo de Variaciones, basta probar la coercividad de J. La propiedad de coercividad equivale a la desigualdad E ) C T ) φ N t) dt, ) donde E t) es la energía conservativa discreta de las soluciones del sistema semi-discreto omogéneo ), ] E t) := φ t) + φ +t) φ t). ) Conviene observar que E es una discretización natural de la energía continua 7). En 5] se demostró que independientemente del valor de T, en ausencia de una separación espectral cuando la velocidad de grupo es cero) la constante de observabilidad C T ) es por lo menos de orden /, y, por ello, el funcional J no es uniformemente coercivo respecto a. Para ello adaptaron las técnicas más abituales para la demostración de desigualdades de observabilidad ) basadas en multiplicadores discretos y en la representación de las soluciones de la ecuación de ondas en términos de series de Fourier. En contrapartido, se probó que truncando adecuadamente las altas frecuencias numéricas, o, en otras palabras, ignorando las componentes de la solución numérica con frecuencias altas se recuperan resultados de observabilidad uniforme ver 5]). Además, Infante y Zuazua en 5] analizaron también la semi-discretización clásica de la ecuación de ondas unidimensional en elementos finitos. En 55], se completó el estudio del comportamineto de las frecuencias altas en relación con la noción de velocidad de grupo que permiten detectar el tiempo óptimo de control/observación.
14 ÍNDICE GENERAL En el contexto de la computación numérica del control frontera para la ecuación de ondas, la necesidad de filtrar las altas frecuencias fue observada por R. Glovinsi en ]. Posteriormente, Zuazua en 56] extendió este análisis a la ecuación de ondas bi-dimensional. La técnica de filtración en Fourier propuesta y utilizada en 5] y 56] es muy natural pero es difícil de utilizar en las simulaciones numéricas. Se necesita primero calcular los coeficientes de Fourier de la solución y, una vez que se tienen, recalcular los valores nodales de la solución filtrada/truncada. Esto equivale a resolver el esquema de la solución semidiscreta en el espacio físico, acer la transformada de Fourier, truncar y volver nuevamente al espacio físico usanto la antitransformada de Fourier. Por ello, es conveniente analizar otros métodos que operen exclusivamente en el espacio físico. Con el obeto de completar esta sección de antecedentes, presentamos brevemente otros remedios que se an propuesto en la literatura para solventar las dificultades derivadas de las altas frecuencias espúreas para más detalles véase 55]).. En 99, Glowinsi, Lions y Li en 3] propusieron un método simple y eficaz basado en una técnica de regularización de Tyconoff que proporciona controles numéricos convergentes para las aproximaciones discretas de la ecuación de ondas al precio de añadir un control adicional que tiende a cero cuando. Para eliminar la falta de coercividad uniforme, al funcional 9) se le añade el término φ, φ H H, que es insignificante para las frecuencias baas y del orden de la energía para las frecuencias altas. Varios experimentos numéricos muestran la eficacia de este método en 3]. En 55] se da la prueba de la convergencia de los controles considerando una variante del funcional propuesto en 3]. El funcional a minimizar en este caso es J φ, φ ) = φ N t) N dt + 3 φ + φ ) dt + u φ u φ ]. Es coercivo cuando T > y aún más, uniformemente coercivo en. El término de la regularización de Tyconoff añadido en el funcional conduce a la controlabilidad uniforme del sistema con el precio de añadir un control interno que controla las oscilaciones de las altas frecuencias espúreas mientras que el control frontera, el que aparece de manera natural minimizando 9), controla las baas frecuencias. En el límite cuando, el control para el sistema semi-discreto converge en L, T ) al control v de ).. En 99, Glowinsi introduce en ] un algoritmo bi-malla para el cálculo del control para la ecuación de ondas discreta en dos dimensiones espaciales en un cuadrado y obtiene numéricamente resultados satisfactorios de convergencia de los controles utilizando métodos de elementos finitos para la discretización espacial y el método de gradiente conugado. El algoritmo bi-malla se basa en la idea de usar dos mallados: uno de paso y otro de paso. La importancia y el impacto del método bimalla se entiende fácilmente en el análisis del modelo semi-discreto unidimensional ver 55]). La idea central del método bi-malla utilizado en ] es la siguiente. Se consideran discretizaciones de los estados iniciales de la ecuación de ondas omogénea en un mallado de paso. Para eliminar las altas frecuencias de los estados iniciales discretos que pueden producir oscilaciones, se interpolan estos datos, es decir, se redefinen en un mallado fino, de paso. El control HUM se calcula minimizando el funcional 9) sobre el subespacio de estados iniciales del sistema semi-discreto 3)
15 ÍNDICE GENERAL omogéneo en el mallado fino que provienen, por interpolación, del mallado grueso. Los controles así obtenidos conducen al reposo una proyección sobre el mallado grueso de las soluciones obtenidas en el mallado fino. Como veremos más adelante, este subespacio contiene solamente funciones con oscilaciones lentas y esto implica la coercividad uniforme del funcional. Hasta aora, la convergencia de este método no abía sido probada. Este es uno de los resultados más importantes de esta memoria que presentamos en el Capítulo II. 3. En 998, Asc y Lebeau en ] adaptaron el método bi-malla de Glowinsi al marco de las diferencias finitas y lo utilizaron, en particular, para aproximar numéricamente las soluciones de la ecuación de ondas localizadas a lo largo de los rayos de la óptica geométrica y para analizar el coste del control como función continua en tiempo. 4. En 4] se propuso un método de elementos finitos mixtos para la discretización espacial de la ecuación de ondas unidimensional que consiste en considerar desarrollos del estado inicial posición y velocidad) en bases diferentes. En 5] se demuestra que el sistema semi-discreto es uniformemente controlable, resultado previsible a partir del esquema de dispersión que presenta este método. Los experimentos numéricos presentados muestran la eficacia de este método. 5. Recientemente, la interpretación de la técnica de filtrado de medidas discretas de Wigner y de los rayos bi-característicos a sido desarrollada en 34]). Sobre la controlabilidad de la ecuación de ondas semi-discreta, resumiendo, los resultados obtenidos recientemente, descritos en detalle en 55] y que constituyen los principales antecedentes de esta memoria muestran que: Una simple discretización en espacio no permite resolver el problema a causa de la existencia de altas frecuencias espúreas autovalores y autofunciones no físicos que el esquema numérico proporciona). Por la falta de la observabilidad uniforme, existen estados iniciales de la ecuación de ondas en L, ) H, ) tales que los controles de los sistemas semi-discretos divergen. Si las dinámicas discretas generan soluciones espúreas, que no existen al nivel continuo, entonces, para controlarlas el control requerido, necesariamente, tiene que ser diferente del control correspondiente al modelo continuo. Debilitando los requisitos del control, al nivel discreto este puede llegar a ignorar las oscilaciones espúreas y esto facilita su convergencia acía el control continuo esto ocurre efectivamente en los problemas de control aproximado y control óptimo, veáse 55]). Pueden controlarse uniformemente las proyecciones de los sistemas semi-discretos sobre subespacios donde an sido filtradas las frecuencias altas. El eco de que la propiedad de observabilidad sea uniforme cuando se filtran las frecuencias altas no implica la controlabilidad exacta uniforme para el estado inicial filtrado, pero sí la propiedad más débil de que las proyecciones de las soluciones pueden controlarse uniformemente en el tiempo final t = T. El tiempo de control depende en este caso del parámetro de filtración pero es independiente del paso del mallado. En el límite, se recupera la controlabilidad exacta para la ecuación de ondas continua ver 5], 55], 56]).
16 ÍNDICE GENERAL Las curvas de dispersión 5], 5], 55]) permiten detectar el tiempo óptimo de control/observación que cabe esperar obtener a través del filtrado. A pesar de la divergencia de la sucesión de controles, que aparece para algunos estados iniciales, ésta es dificil de observar en las simulaciones numéricas, aunque ay eemplos elocuentes en 55] y en 5]. Este eco a sido explicado recientemente por un resultado importante de Micu 35], del que resulta en particular, que si el estado inicial de la ecuación de ondas tiene sólamente un número finito de componentes de Fourier no nulas, los controles admisibles de los modelos semi-discretos están acotados cuando el paso del mallado discreto tiende a cero y convergen a un control para la ecuación de ondas continua. A pesar de ello, el eco de que existen datos para los que los controles divergen muesta la inestabilidad del método y lo ace inutilizable en la práctica sin la aplicación simultánea de algunos de los remedios antes mencionados.
17 Capítulo I La ecuación de ondas continua. Formulación del problema Consideramos el siguiente sistema unidimensional: u tt u xx =, < x <, < t < T, u, t) =, u, t) = vt), < t < T, ux, ) = u x), u t x, ) = u x), < x <..) El sistema.) está bien puesto en un marco funcional apropiado y por ello, dado un estado inicial u, u ) y una condición de frontera v,.) admite una única solución u = ux, t). Por eemplo, para todo T > el sistema.) está bien puesto para estados iniciales u, u ) L, ) H, ) y v L, T ); existe una única solución que satisface u C, T ]; L, )) C, T ]; H, )). Cuando v =, es decir, cuando no ay control en la frontera x =, el sistema está bien puesto para estados iniciales u, u ) H, ) L, ), existe una única solución que satisface u C, T ]; H, )) C, T ]; L, )). La energía de las soluciones de.) con v = se define por Et) = ux x, t) + u t x, t) ) dx.) y satisface det) dt Por tanto se conserva en tiempo, = E t) =, t, T ]. Et) = E), t, T ]. Esta ley de conservación de la energía implica, en particular, que una solución del sistema sin control cuyo estado inicial es no trivial, u, u ), ), nunca alcanza el estado de equilibrio, ), es decir ut), u t t)), ), t, T ]. 3
18 4 I. La ecuación de ondas continua. El problema de control El problema de control exacto consiste en averiguar para qué estados iniciales del sistema.), es posible seleccionar los controles v L, T ) de modo que el sistema alcance la posición de equilibrio, ) al cabo de un tiempo T dado. De manera más precisa: Definición I.. Sea T >. Diremos que el estado inicial u, u ) L, ) H, ) es exactamente controlable en tiempo T, si existe una función v L, T ) tal que la solución de.) con estado inicial u, u ) satisface ut ) = u t T ) =, < x <..3) Debido a que la velocidad de propagación de las soluciones de.) es finita, igual a en nuestro caso,.3) se puede alcanzar sólamente si T es suficientemente grande ver 3]). El problema de control en tiempo T consiste entonces en encontrar y caracterizar el conunto de los estados iniciales controlables. De manera más precisa, el problema de controlabilidad exacta para.) se puede reformular de la siguiente manera: Dado T >, encontrar un espacio de Hilbert H L, ) H, ) tal que, para cualquier estado inicial u, u ) H, existe un control v L, T ) tal que la solución u del sistema.) satisface.3). Como veremos en la siguiente sección, la técnica HUM 3]) nos permite construir para T es suficientemente grande, un espacio de Hilbert H denso en L, ) H, ) donde tiene lugar.3) para cualquier estado inicial u, u ) H y para algún control v L, T ). Por otro lado, los resultados de regularidad para la ecuación de ondas permiten demostrar que H satisface H L, ) H, ) con inclusión continua. Es natural preguntarse si podemos esperar que H = L, ) H, ) que es el espacio óptimo de control. 3. El método HUM: Hilbert Uniqueness Metod Esta sección está dedicada al desarrollo de la erramienta sistemática, la técnica HUM, para el estudio del problema de control que permitirá reducir el problema de control al estudio de propiedades de observabilidad de las soluciones de un sistema omogéneo. 3.. Descripción del HUM En el marco de la técnica HUM, el problema de control para el sistema.) se resuelve de la siguiente manera. Se considera el problema omogéneo φ tt φ xx =, < x <, < t < T, φ, t) = φ, t) =, < t < T, φx, ) = φ x), φ t x, ) = φ x), < x <. Como emos indicado antes, este sistema está bien puesto en H, ) L, )..4)
19 3. El método HUM: Hilbert Uniqueness Metod 5 Describimos aora los pasos fundamentales del algoritmo. Los detalles pueden encontrarse en 3], 33]. Sea E un espacio de Hilbert denso en H, ) L, ). Definimos el operador lineal Λ : E L, ) H, ) Λ{φ, φ } = {ψ t ), ψ)},.5) donde ψ) y ψ t ) son los valores en el instante inicial t = de la solución del sistema no omogéneo ψ tt ψ xx =, < x <, < t < T, ψ, t) =, ψ, t) = φ x, t), < t < T, ψx, T ) = ψ t x, T ) =, < x <,.6) y φ x, t) es la derivada espacial calculada en el extremo x = de la solución φ del sistema omogéneo.4). Observemos que Λ{φ, φ } nos da el estado inicial ψ), ψ t )) que es llevado a cero en tiempo T mediante el control v = φ x, t). Multiplicando.6) por la solución φ del sistema.4) obtenemos Definimos Λ{φ, φ }, {φ, φ } = φ x, t) dt..7) / {φ, φ } E = φ x, t) dt]..8) Aplicando la fórmula de D Alembert, para todo T, la única solución de.4) con φ x, t) = es φ. Esto implica que E define una norma en D, ) D, ). Definimos el espacio de Hilbert De.7) deducimos que E = completado de D, ) D, ) con respecto a E..9) donde E es el dual de E. Entonces, dado u, u ) tal que existe una única solución φ, φ ) E de Λ : E E es un isomorfismo,.) u, u ) E,.) Λ{φ, φ } = {u, u }..) Además,.) es equivalente a que la solución ψ = ψx, t) de.6) satisface ψ) = u, ψ t ) = u. Por consiguiente, el control v = φ x, t)
20 6 I. La ecuación de ondas continua donde φ = φx, t) es la solución de.4) con estado inicial φ, φ ) satisface.). Obsérvese que, por construcción, v L, T ). Así queda comprobada la controlabilidad exacta de un estado inicial u, u ) F. Si queremos obtener resultados de controlabilidad exacta en L, ) H, ) necesitamos que E = L, ) H, ).3) y esto equivale a E = H, ) L, )..4) Sin embargo, de la definición de E, esto equivale a la existencia de dos constantes positivas C, C tales que C φ, φ ) H,) L,) φ x, t) dt C φ, φ ) H,) L,).5) para todas las soluciónes φ de.4) con estado inicial φ, φ ) H, ) L, ). En vista de que E) = φ, φ ) H,) L,) = ] φ H,) + φ L,), las desigualdades.5) pueden escribirse como C E) φ x, t) dt C E)..6) Por consiguiente, el problema de controlabilidad exacta se reduce a un problema de observabilidad uniforme, es decir, demostrar una estimación de tipo.6) para todas las soluciones del sistema.4). Resumiendo, se tiene el siguiente criterio de controlabilidad: Teorema I.. Todos los estados iniciales u, u ) L, ) H, ) son exactamente controlables en tiempo T si, y sólo si, existen dos constantes positivas C, C > tales que se tiene una desigualdad de tipo.6) para toda solución φ de.4) con estado inicial φ, φ ) H, ) L, ). Observación I.. El método HUM nos proporciona un control v L, T ) que proviene de la solución de un sistema omogéneo, el sistema adunto. El control obtenido por el HUM tiene la propiedad de que su norma L es la mínima entre los controles admisibles. De manera sistemática, resumiendo y siguiendo 3], 3] y ], el opeardor Λ en el marco HUM para la implementación numérica) se define de la siguiente manera: Sea e = {φ, φ } E, se resulve el sistema.4), despues, se resuelve el sistema controlado de manera retrógrada.6), desde t = T a t =. Finalmente, se define Λ e = {ψ t ), ψ)}..7) La aplicación a la controlabilidad exacta para la ecuación de ondas.) con estado inicial u, u ) puede escribirse de la siguiente manera: Suponemos que u L, ), u H, ). Paso. Sea f = {u, u }. Paso. Se resuelve Λe = f.
21 3. El método HUM: Hilbert Uniqueness Metod 7 Paso 3. Se resuelve la ecuación de ondas.4) con estado inicial e. Paso 4. Se toma v = φ x, t). Paso 5. Se resulve la ecuación de ondas.6) en ψ. Se tiene entonces ψ tt ψ xx = en, ), T ), ψ, t) =, ψ, t) = v, en, T ) ψx, ) = u x), ψ t x, ) = u x), ψx, T ) = ψ t x, T ) = Tomando u = ψ, se encuentra, de esta manera el control v para el cual tenemos la propiedad de controlabilidad exacta. 3.. Propiedades de Λ Integrando por partes en tiempo y espacio, se obtiene la siguiente representación de Λ e, ě ver 3], Capítulo, Sección ): Λ e, ě = ψt x, ) ˇφx, ) ψx, ) ˇφ t x, ) ] dx = φx, t) ˇφ x, t) ] dt, e, ě E,.8) donde el símbolo se entiende como una extensión de la dualidad y {φ, ψ}, { ˇφ, ˇψ} son las soluciones de.4).6) correspondientes a e y ě, respectivamente. Podemos rescribir Λ e = f, para f E dado, en la siguente formulación variacional, ]): Encontrar e E tal que Λ e, ě = f, ě, ě E, donde, denota el par de dualidad entre E y E. Reunimos aquí algunas propiedades del operador Λ. Se a demostrado en 3] Capítulo, Sección ) que Λ es un operador lineal y continuo desde E en E ; además, si T es suficientemente grande T T mín = ), Λ es un isomorfismo de E sobre E. Si T T mín =, por.8) se obtiene que Λ es auto-adunto, continuo y fuertemente elíptico, es decir, existen constantes positivas C > y γ > tales que donde para e = {φ, φ } E Λe, ě C e E ě E e, ě E,.9) Λe, e γ e E, e E.) e E := φ + φ / ) dx)..) La combinación de la coercividad con la simetría del operador tiene una importancia fundamental, debido a que esto implica que.7) puede resolverse con un algoritmo de gradiente conugado operando sobre el espacio E.
22 8 I. La ecuación de ondas continua 4. Controlabilidad exacta El siguiente resultado de controlabilidad exacta para.) es bien conocido ver 3]) Teorema I.. Para todo T y u, u ) L, ) H, ) el sistema.) es exactamente controlable. Demostración. De acuerdo a los resultados descritos en la sección anterior, el resultado es equivalente a que existan C, C > tales que se verifica.6). Estas desigualdades pueden probarse utilizando técnicas de multiplicadores 3]), métodos de series de Fourier no-armónicas las desigualdades de Ingam, 54], p.6), etc.. En este caso basta con usar la fórmula de D Alembert. Podemos tambien proceder diréctamente: La solución del sistema.4) con datos iniciales φ = a ϕ, φ = b ϕ,.) N N es φx, t) = N a cosλ t) + b ] sinλ t) ϕ,.3) λ donde a, b R, ϕ es la base ortogonal del espacio L, ), definida por ϕ = sinπx) y λ = π son los autovalores correspondientes a las autofunciones ϕ. Si los datos iniciales se expresan en términos de series de Fourier en la forma.), se obtiene E) = λ 4 a + ] b.4) y N λ a + ] b..5) φ x, t) = N Resulta que, en el tiempo T = se tiene la identidad de observabilidad E) = 4 φ x, t) dt. Por consiguiente, para cualquier T se obtiene una desigualdad de observabilidad uniforme de tipo.6). 5. Construcción del control como mínimo de un funcional El siguiente lema nos da una condición necesaria y suficiente para la controlabilidad exacta de un dato inicial u, u ) L, ) H, ). Lema I.. El estado inicial u, u ) L, ) H, ) es exactamente controlable en un tiempo T si y sólamente si existe una función control v L, T ) tal que vt)φ x, t)dt = u, φ), u φ t )dx,.6)
23 5. Construcción del control 9 para toda solución φ del sistema omogéneo el adunto del sistema.)) φ tt φ xx =, < x <, < t < T, φ, t) = φ, t) =, < t < T, φx, T ) = φ x), φ t x, T ) = φ x), < x <,.7) con φ, φ ) H, ) L, ) La demostración del lema es sencilla: se multiplica la ecuación de u por una solución arbitraria φ de.7), se integra por partes y se obtiene por la definición por transposición de las soluciones de.) vt)φ x, t)dt = u t T )φ ut )φ ]dx + u, φ), u φ t )dx..8) La relación.6) sugiere un algoritmo para la construcción del control v. Si buscamos un control de la forma v = φ x, t), donde φ es una solución del sistema omogéneo.7), entonces la identidad.6) es la ecuación de Euler-Lagrange, J φ, φ ) =, correspondiente al funcional cuadratico J : H, ) L, ) R definido por Jφ, φ ) = φ x, t) dt + u φ t )dx u, φ) H H..9) Por tanto, si ˆφ, ˆφ ) H, ) L, ) es un minimizador del funcional J, entonces se verifica.6). El funcional es convexo. La continuidad del funcional J está garantizada por la propiedad de las soluciones φ del sistema omogéneo.7) que satisfacen la extra regularidad φ x, t) L, T ). Para garantizar la controlabilidad exacta del estado inicial u, u ) es suficiente asegurar que J es coercivo, que se reduce a la demostración de la desigualdad de observabilidad.5). Esta es, en esencia, la idea fundamental del método HUM, descrito en la sección previa. El método de construcción del control por minimización es muy versátil pues pequeñas variaciones del mismo permiten dar controles bang-bang, control aproximado, etc. y además es sumamente útil desde un punto de vista computacional.
24 I. La ecuación de ondas continua
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