APENDICE A. El Robot autónomo móvil RAM-1.

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1 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles APENDICE A. El Robot autónomo móvl RAM-1. A.1. Introduccón. El robot autónomo móvl RAM-1 fue dseñado y desarrollado en el Departamento de Ingenería de Sstemas y Automátca de la Unversdad de Málaga. El Departamento de Ingenería Mecánca de la menconada Unversdad fue el encargado de realzar el sstema mecánco del vehículo. La concepcón del RAM-1 responde a la de un banco de pruebas váldo para la nvestgacón sobre robots móvles en entornos ndustrales, tanto en navegacón en nterores como exterores (ver fgura A.1). Fgura A.1. El robot autónomo móvl RAM-1. El presente apéndce posee como objetvo mostrar sólo los aspectos del robot de utldad para mplantar el planfcador de trayectoras desarrollado en esta tess 1. De este modo, los sucesvos apartados descrben los modelos cnemátco y de ncertdumbre, así como las lmtacones de velocdad y el sstema de navegacón de a bordo. 1. La descrpcón detallada de los dferentes componentes que forman parte del RAM-1 se encuentra en la referenca (Martínez, 1.994). 179

2 El Robot Autónomo Móvl RAM-1 A.2. Modelo cnemátco. El modelo cnemátco drecto proporcona una relacón entre el sstema de coordenadas locales asocado al punto de guía del vehículo con respecto a otro global de trabajo. Para su representacón se utlza el jacobano, que expresa el cambo en la poscón y orentacón en térmnos de la velocdad lneal v y angular ω. S se consdera que el espaco recorrdo en un pequeño ntervalo de tempo resulta un segmento rectlíneo, los cambos producdos en la poscón actual se reflejan por la sguente expresón: q J( q)v ẋ ẏ θ snθ 0 cosθ v ω (A.1) Por tanto, la poscón actual del vehículo se defne como el resultado de realzar la ntegral defnda en el ntervalo [0,t] sobre la expresón matrcal (A.1): t 0 q q dτ x 0 y 0 θ 0 + t 0 vsnθdτ t 0 vcosθdτ t 0 ωdτ (A.2) recorrdo. Donde q 0 {x 0,y 0,q 0 } representa la poscón ncal del vehículo, y t el tempo de La restrccón de la no-holomcdad representada en las expresones (A.1) y (A.2) lmta la capacdad de movmento del vehículo, y depende, de modo fundamental, de la confguracón de éste. Así, como resultado del estudo del modelo cnemátco se obtene el rado de gro mínmo realzable, mprescndble para determnar la admsbldad de un camno desde el punto de vsta cnemátco. A contnuacón se descrbe el menconado arquetpo, en partcular, para el RAM-1. El robot móvl autónomo RAM-1 (fgura A.2) posee cuatro ruedas localzadas en los vértces de un rombo. Las ruedas delantera y trasera, stuadas sobre el eje longtudnal, conforman el sstema de dreccón y se orentan de modo smultáneo medante el uso de un motor de corrente contnua y una barra rígda de dreccón. Las ruedas paralelas stuadas sobre el eje axal conforman el sstema de traccón dferencal del vehículo, de suerte que son acconadas de modo ndependente. El sstema de coordenadas locales asocado se 180

3 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles encuentra stuado en el centro del rombo (sobre el punto de guía), de forma que las ordenadas concden con el eje longtudnal del vehículo y las abscsas con el axal. Para realzar el segumento se emplea un guado mxto basado en el uso de los sstema de dreccón y de traccón de modo conjunto. y α max h V I V D V α M max r mn d x α max Fgura A.2. Modelo cnemátco del RAM-1. En el caso de utlzar un modelo drecconal de guado del vehículo, el rado mínmo de gro r mn se determna por el máxmo ángulo α max de orentacón de las ruedas de drecconamento. Medante la aplcacón del modelo de la bccleta, se resuelve que el valor de éste se defne como sgue: r mn h tanα max (A.3) Sn embargo, el RAM-1 tambén posee un guado dferencal medante la mposcón de dstntas velocdades a las ruedas tractoras. El desarrollo de un gro de rado r mn, mplca que ambas ruedas posean la msma velocdad angular ω. Entonces, la velocdades lneales de cada una de ellas se defnen medante la sguentes expresones: d d V I ω r mn -- V 2 D ω r mn (A.4) 181

4 El Robot Autónomo Móvl RAM-1 De modo que la velocdad lneal V M del punto de guía se especfca como: V M ωr mn (A.5) Medante la combnacón de la expresón (A.5) con las relacones (A.4), se obtene las velocdades lneales V I y V D que deben desarrollar cada una de las ruedas para realzar el gro consderado: d d V I V M V 2r d V M mn 2 r mn (A.6) La substraccón entre las dos expresones de (A.6) defne la dferenca de velocdad necesara para la realzacón del gro requerdo. V V I V D V M d r mn (A.7) Partendo del supuesto de que el gro de rado mínmo se alcanza cuando una de las ruedas tractoras se encuentra en reposo (por ejemplo V D 0), la máxma curvatura que puede desarrollar el vehículo en este caso, según el esquema dferencal, se expresa por: r mn d -- 2 (A.8) De este modo, el rado mínmo se defne como la cota más restrctva entre las expresones (A.3) y (A.8). En el caso del RAM-1, tanto el sstema de dreccón como el de traccón permten un rado de gro nulo. Sn embargo, ésto se efectúa medante la aplcacón de una velocdad de gro negatva a una de las ruedas tractoras. Debdo a lo desaconsejable de esta accón en el segumento de trayectoras, se consdera como límte nferor del rado de gro al valor expresado en la relacón (A.8): r mn 0, 47 (A.9) 182

5 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles A.3. Modelo de ncertdumbre La navegacón a través de un entorno con obstáculos se basa en el conocmento de la poscón actual del robot móvl. Para realzar la estmacón de la poscón pueden emplearse dversos procedmentos: El sstema odométrco del vehículo: Realza una estmacón de la poscón rápda, lo que permte ser utlzado por el algortmo de segumento de trayectoras. Sn embargo, debdo a las mprecsones nherentes de procedmento la ncertdumbre en la poscón aumenta a medda que el vehículo recorre la trayectora. Medante el uso de sensores externos: Consume gran cantdad de tempo de cálculo, pero la precsón obtenda no depende de la dstanca vajada. Además, puede resultar necesaro detener el vehículo para realzar la estmacón de modo correcto. Entre las razones que provocan la aparcón de la ncertdumbre en la poscón en el robot RAM-1 dervada del uso de técncas odométrcas, cabe destacar: Las meddas que proporcona el sstema de odometría no son exactas, acarrean certos errores ntroducdos por la naturaleza del sensor (Wang, 1.988), y son realzadas a ntervalos de tempo dscretos. Los mcrodeslzamentos, provocados por la aparcón de fuerzas laterales, son dfícles de contemplar debdo a la complejdad de su naturaleza. El error ntroducdo al posconar el vehículo al comenzo de la trayectora para ncar el segumento. Los conflctos ntroducdos por el sstema de guado mxto, motvado por las dferentes dnámcas de los componentes drecconal y dferencal. Por tanto, surge la necesdad de construr un modelo de ncertdumbre espacal que garantce la navegacón segura del vehículo medante la eleccón de un adecuado factor de expansón del entorno (consultar capítulo 3). Asmsmo, la reduccón de la ncertdumbre de la poscón, medante el uso de sensores externos, puede llevarse a cabo sólo cuando sea requerdo, lo que descarga al sstema de navegacón de cálculos nnecesaros. 183

6 El Robot Autónomo Móvl RAM-1 A.3.1. Modelo de crecmento de la ncertdumbre. La ncertdumbre en poscón aumenta a medda que el vehículo sgue una trayectora según los factores menconados en la ntroduccón de este apartado. Esta es una crcunstanca que merece consderacón para realzar una planfcacón segura (fgura A.3). q trayectora q +1 q -1 W Fgura A.3. Crecmento de la ncertdumbre en poscón. El planfcador construye una trayectora medante el uso de una versón dlatada del entorno. Por tanto, un parámetro crítco consste en la eleccón del factor de expansón. Este se consttuye como resultado la funcón del rado del círculo que modela el robot, así como de certa dstanca de segurdad obtenda medante el uso del modelo de ncertdumbre. Según este esquema, resulta necesaro replanfcar el camno cuando el área que representa la ncertdumbre en poscón, la elpse sombreada de la fgura A.3, ntercepta algún polígono que modela un obstáculo real del entorno, como ocurre en la postura q +1 de la menconada fgura. Sea q +1 (x +1,y +1,θ +1 ) la próxma estmacón de la poscón, especfcada con respecto al sstema de coordenadas local asocado a la postura actual q ( x, y, θ ). S este últmo se encuentra determnado con respecto al sstema global de referencas W, entonces la expresón de la postura q +1 según el sstema global q +1, se defne como: x + 1 x y + 1 y θ θ + cos( ) x + 1 sn( ) y sn( θ) x cos( θ) y + 1 θ + 1 θ + θ + 1 (A.10) 184

7 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles Sn embargo, los vectores q +1 y q se ven afectados por los errores ntroducdos por la odometría, de forma que se consderan varables aleatoras dstrbudas de forma normal con medas precsadas por los vectores: qˆ ( xˆ, ŷ, θˆ ) qˆ 1 (,, ) + xˆ + 1 ŷ + 1 θˆ + 1 (A.11) La dspersón de la dstrbucón se especfca por: q ( x, y, θ ) q + 1 ( x + 1, y + 1, θ + 1 ) (A.12) Las matrces de covaranza asocadas se reflejan medante las expresones: C C 1 E( q T q ) T + E( q + 1 q + 1 ) (A.13) Donde E representa la esperanza matemátca y T la operacón de transposcón de matrces. La determnacón del área de ncertdumbre en la postura q +1 con respecto al sstema de referencas globales W, mplca el cálculo de los vectores qˆ y. El prmero de ellos puede conocerse de forma aproxmada, medante el uso de la expansón en fraccones de Taylor de la expresón (A.10) evaluada en las medas (Smth y Cheeseman, 1.986): + 1 q + 1 xˆ 1 + xˆ ŷ + 1 ŷ + cos( θˆ ) xˆ + 1 sn( θˆ ) ŷ sn( θˆ ) xˆ cos( θˆ ) ŷ + 1 θˆ 1 q θˆ J + θˆ + 1 ( q, q ) T + 1 (A.14) Donde J es el Jacobano y se representa como sgue: J 1 0 ŷ ŷ cos( θˆ ) + 1 sn( θˆ ) xˆ + 1 xˆ sn( θˆ ) cos( θˆ ) (A.15) 185

8 El Robot Autónomo Móvl RAM-1 S los vectores de error q +1 y q resultan ndependentes, entonces la matrz de covaranzas C +1, se calcula como sgue: C + 1 J C 0 J T 0 C + 1 (A.16) Este últma expresón modela el crecmento o propagacón de la ncertdumbre a lo largo de un camno. La elpse que defne la regón de ncertdumbre en la postura q +1 se halla centrada sobre el punto ( xˆ, ŷ ), obtendo a partr de la expresón (A.14), y su ecuacón se determna a partr de la matrz de covaranzas C +1 con el umbral del 90%: σ y + 1 x σx + 1 y 2 2 σxy + 1 x y σ x + 1 σ y + 1 σxy + 1 (A.17) 2 x y + 1 Los elementos σ, σ y σ son, de forma respectva, los componentes (1, 1), (2, 2) y (1, 2) de la matrz C +1. xy + 1 La representacón gráfca del área de ncertdumbre, ntroducdo por la ecuacón (A.17), se lustra en la fgura A.4. xˆ + 1 Rx +1 α +1 Ry +1 W ŷ + 1 Fgura A.4. Representacón gráfca del área de ncertdumbre. Como se puede observar en la menconada fgura, resulta oportuno el cálculo de los rados mayor y menor denotados por R y+1 y R x+1, así como el ángulo de orentacón α +1 que defne la nclnacón de la elpse con respecto al sstema global W. Dchos parámetros se deducen a partr de la ecuacón A.17, y sus expresones son las sguentes: 186

9 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles 1 α σxy + 1 atan σ σy + 1 x + 1 Rx 1 2 x 1 2 y ( σ + σ + σxy + 1 ) σ + T σx + 1 y (A.18) Ry 1 2 x 1 2 y ( σ + σ + σxy + 1 ) σ T σx + 1 y Donde el valor de T se señala a contnuacón: T 2 2 ( σ y + 1 σ x + 1 ) σ xy + 1 (A.19) A.3.2. Aplcacón al robot móvl autónomo RAM-1. La dfcultad de la aplcacón del modelo de crecmento de la ncertdumbre descrto resde en la caracterzacón de la matrz C +1 asocada a la estmacón de la poscón medante el uso de técncas odométrcas. La matrz de covaranzas ncal C 1 depende, de modo exclusvo, del método usado para localzar el robot en el plano (Watanabe y Yuta, 1.990). Para el cálculo de la matrz C +1 se consderan las sguentes suposcones: La dstanca recorrda entre dos estmacones consecutvas es lo sufcentemente pequeña. En vehículos que presentan una relacón adecuada entre la velocdad máxma de navegacón y el perodo de estmacón de la poscón, esta suposcón resulta certa. En el caso del RAM-1 los valores son de 1.7 m/sg y 20 msg respectvamente, por tanto, la dstanca máxma recorrda entre dos estmacones resulta de 3,4 cm. El robot móvl se desplaza en línea recta entre dos posturas correlatvas del camno. La certeza de esta hpótess es de aplcacón en pequeñas dstancas (Amd, 1.990). La propagacón de la ncertdumbre resulta proporconal a la dstanca recorrda. La expresón A.16 ndca, de manera clara, la carenca de lnealdad, pero esta suposcón puede consderarse certa para pequeñas dstancas. 187

10 El Robot Autónomo Móvl RAM-1 El sstema de locomocón se encuentra ben calbrado, lo que elmna la posbldad de errores sstemátcos. De este modo, los errores x +1, y +1 y θ +1 se suponen no correlados. En otras palabras, C +1 es una matrz dagonal. Sea C la matrz que representa la máxma ncertdumbre alcanzada al recorrer una dstanca ds. Según las consderacones efectuadas en los cuatro punto anterores, la matrz C +1 de covaranzas obtenda al recorrer la dstanca ds +1 se puede aproxmar medante la expresón: + C ds ds C 1 (A.20) la fgura A.5. La representacón gráfca del sgnfcado de la ecuacón A.20 aparece reflejado en C C +1 ds ds +1 Fgura A.5. Propagacón lneal de la ncertdumbre. La estmacón de la matrz de covaranzas C se realza medante el uso de un proceso teratvo, que trata de ajustar los autovalores de ésta con los de otra matrz C r obtenda medante la expermentacón real con el vehículo. La metodología utlzada para la caracterzacón de C r ha consstdo en el segumento de un camno rectlíneo a certa velocdad constante. La repetcón de dcho expermento con dferentes velocdades, y la medda del error cometdo entre la poscón estmada y la real proporconaron los datos estadístcos requerdos. 188

11 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles Sea Propagacón(C,Q) una funcón que proporcona la matrz de ncertdumbre como resultado de componer, de forma contnuada, la matrz C sobre cada postura del camno Q medante el uso de la expresón (A.16). El método teratvo de estmacón de la matrz C se presenta medante el uso del sguente algortmo: Funcón Estmacón Calcular la matrz de covaranzas real C r. Sea Q un camno lneal. Incalzar C con el resultado de emplear la expresón (A.20) con C r. Incalzar C f con la matrz nula. Mentas C f no relsulte smlar a C r hacer Ajustar los autovalores de C. C f Propagacón(C,Q). Fn Mentras Retornar C. Fn Estmacón En partcular, para el robot autónomo móvl RAM-1, el uso del procedmento descrto ha proporconado los valores de la matrz C mostrados a contnuacón: C (A.21) La fgura A.6 muestra, con marcas crculares, las poscones fnales alcanzadas por el robot RAM-1 al navegar un camno de trece metros de longtud a una velocdad constante de un metro por segundo. De este modo, se puede observar como en el transcurso de las ocho pruebas de navegacón, las poscones fnales se hallan en el nteror de la elpse de ncertdumbre que se obtuvo medante el uso del modelo de propagacón expuesto en la expresón (A.16) y los valores de C presentados en (A.21). 189

12 El Robot Autónomo Móvl RAM m 4 Camno segudo Camno Generado Elpse ncertdumbre m Fgura A.6. Propagacón de la ncertdumbre en el robot autónomo móvl RAM-1. La medda de las poscones fnales en cada uno de los expermentos se realzó con ayuda de procedmentos externos al vehículo. A.4. Lmtacones de velocdad En este apartado se exponen las lmtacones de velocdad y aceleracón que desde el punto de vsta de construccón y cnemátco afectan al robot autónomo móvl RAM-1, y que emplea el procedmento de planfcacón de velocdades. A.4.1. Lmtacones de construccón. ) Lmtacón mecánca de la velocdad: V < 1, 78 m sg ---- (A.22) 190

13 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles ) Lmtacones mecáncas de la aceleracón: Medante la estmacón empírca del coefcente de nerca de la masas en rotacón γ, se obtene el sguente rango de aceleracones permtdas: a [ 1,1, 0,8] m sg 2 (A.23) No obstante, debdo a que el proceso de planfcacón consdera un ntervalo smétrco de aceleracones, con respecto al valor nulo, se utlza [-0.8,0.8] en lugar del señalado en la relacón (A.23). A.4.2. Lmtacones cnemátcas. ) Lmtacón cnemátca de la velocdad: La relacón entre la velocdad de las ruedas tractoras con respecto a la del punto de guía del vehículo, cuando éste recorre un círculo de rado r mn se especfca en la expresones de (A.6). S una de las ruedas motrces se le mpone la máxma velocdad V max que puede desarrollar, la velocdad del punto de guía en un gro de curvatura κ se refleja en la sguente expresón: d V max V D V M κ 2 (A.24) Por lo tanto, se deduce que la lmtacón cnemátca de la velocdad resulta: 2V max V dκ m ---- sg (A.25) En el caso del RAM-1, d0 94 m y V max 1 7 m/sg. ) Lmtacón cnemátca de la aceleracón: Esta restrccón no se utlza en el procedmento de planfcacón, al ser un efecto de las lmtacones anterores. No obstante, los valores váldos de ésta se defnen medante el ntervalo: a 1,1 0, , ,47κ 1 + 0,47κ m sg 2 (A.26) 191

14 El Robot Autónomo Móvl RAM-1 A.5. Sstema de navegacón Los dstntos procedmentos desarrollados en esta tess para la planfcacón de trayectoras se hallan ntegrados en el nteror del sstema de navegacón de robot autónomo RAM-1, tal como se lustra en la fgura A.7. Especfcacón de Navegacón Usuaro Planfcador Global Entorno Modelos del RAM-1 Generador de Camnos Planfcador Local Constructor de Mapas y Estmacón de la Poscón Planfcador y Generador de Velocdades Interfase UNIX-VXWorks Segumento de Trayectoras Sstema Sensoral Fgura A.7. Sstema de navegacón del robot móvl autónomo RAM-1. La concepcón del RAM-1 como banco de pruebas en la nvestgacón sobre robots móvles, tende al carácter general del navegador. Por ello, no se muestra en la menconada fgura módulos como el encargado de realzar la planfcacón de alto nvel de la tarea o el planfcador temporal de los dstntos procesos. El objetvo consste en mostrar la nterrelacón entre cada uno de los módulos mplantados en el sstema. 192

15 Planfcacón de Trayectoras para Robots Móvles El sstema de navegacón se encuentra dvddo en dos bloques fundamentales, según los requermentos de tempo real de cada uno de los procesos. De este modo, la parte superor, menos restrctva desde el punto de vsta temporal y fundamentada en el sstema operatvo UNIX, contene los procedmentos de planfcacón, construccón de mapas y estmacón de poscón. La etapa nferor, realzada bajo el sstema operatvo de tempo real VxWork de Wnd Rver Systems Inc., comprende los procesos de segumento de trayectoras y gestón de sensores, los cuales precsan unas especfcacones más estrctas de tempo real. Medante el uso de las especfcacones mpuestas por el usuaro y de la poscón actual sumnstrada por el estmador de poscón, el planfcador global construye la ruta lbre de obstáculos, que defne la tarea que se llevará a cabo. El cálculo de la ruta ha requerdo en prmer lugar efectuar la dlatacón del entorno, según el factor de expansón defndo por los modelos geométrcos y de ncertdumbre del RAM-1, así como la construccón del grafo de vsbldad cnemátco con la nformacón proporconada por el correspondente arquetpo. La generacón del camno se lleva a cabo con el uso de la ruta planfcada; la posteror conversón a trayectora se realza en la etapa de planfcacón y generacón de velocdades. Realzar pequeños cambos en el entorno mplca la reconstruccón del grafo de vsbldad cnemátco. Sn embargo, esta operacón resulta costosa desde el punto de vsta computaconal. Para evtar obstáculos mprevstos, sn necesdad de recurrr a la menconada accón, el constructor de mapas nforma al planfcador local de la stuacón del objeto, para que éste defna un punto lbre del entorno por donde construr el camno local. 193

16 El Robot Autónomo Móvl RAM-1 194

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