Un Estudio Estadístico de la Distribución de la Volatilidad de los Mercados Financieros

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1 UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE FÍSICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL Un Estudio Estadístico de la Distribución de la Volatilidad de los Mercados Financieros TESIS Para obtener el grado de Licenciado en Física Presentada por Luis Amilca Andrade Morales Director de tesis: Dr. Alejandro Raúl Hernández Montoya Dr. Héctor Francisco Coronel Brizio Febrero 2013 Xalapa, Veracruz.

2 Índice general Introducción 1 1. Mercados Financieros Historia Funcionamiento Acciones Índice Bursátil La hipótesis de los Mercados Eficientes Algunos Términos Financieros Propiedades estadísticas de las series de tiempo financieras Datos El precio i

3 2.3. Series de Tiempo Retornos Función de Autocorrelación Hechos Estilizados (Stylized Facts) Propiedades estadísticas de los retornos de los activos Ausencia de autocorrelaciones en los retornos Agrupamiento de la volatilidad y dependencia no lineal Leyes de Potencia Stylized Fact y su analogía con la Física Estadística Cálculo de Observables Volatilidad Volatilidad como un promedio movible Distribución de la Volatilidad Análisis Antecedentes Distribuciones de Probabilidad Pruebas de bondad ii

4 Estadística de Anderson-Darling Nuestro Ajuste Resultados Conclusiones 38 Referencias y bibliografía 39 iii

5 Índice de figuras 1.1. Evolución diaria del precio de cierre del IPC del 2000 al Evolución diaria del precio de cierre del DJI del 2000 al Formato de los datos de un activo Financiero Serie de tiempo del precio de cierre del NASDAQ del 2000 al Serie de tiempo de los retornos del NASDAQ Serie de tiempo de los retornos del DJIA Serie de tiempo de los retornos del IPC Función de autocorrelación de los retornos y retornos absolutos Serie de tiempo de los retornos absolutos del IPC Volatilidad del IPC para una ventana de tiempo de 10 días Distribución de la volatilidad del IPC para una ventana de tiempo de 10 días iv

6 3.4. Distribución de la volatilidad del DJI para una ventana de tiempo de 10 días Distribución de la volatilidad del NASDAQ para una ventana de tiempo de 10 días Gauss y la distribución normal en un billete de 10 Marcos Alemanes Función de densidad de la volatilidad del IPC para una ventana de tiempo de 50 días v

7 Dedicatoria y Agradecimientos Esta tesis está dedicada a mis padres, J. Luis Andrade Díaz y M. del Carmen Morales Morales, a mi abuelita M. del Socorro Díaz Anell y a mis hermanos Alfredo y Michel. Gracias por todo su apoyo. Agradezco de manera especial al Dr. Alejandro Raúl Hernández Montoya y al Dr. Hector F. Coronel Brizio, quienes me asesoraron y ayudaron en la elaboración del presente trabajo. A mi compañero Hector R. Olivares, gracias por su ayuda. También agradezco el apoyo brindado por el CONACYT bajo el proyecto de ciencia básica Agradezco a todos mis amigos de la carrera por hacerla tan interesante y divertida, a todos los catedráticos de quienes recibí sus conocimientos y consejos a lo largo de mi Licenciatura. Gracias a mis demás amigos y familia, que de una u otra forma, son parte de esta tesis. Especialmente a ti Mariel, gracias por estar siempre conmigo. vi

8 Introducción En los últimos años, un número considerable de físicos han empezado a aplicar conceptos y métodos de la física para comprender los fenómenos económicos. El término Econofísica se utiliza a veces para describir esta línea de investigación [14]. Esta rama de la física surgió principalmente como consecuencia del estudio de los sistemas complejos, es decir, del estudio de sistemas formados por un número muy grande de componentes que interactúan no trivialmente entre sí. Los mercados financieros muestran varias de las propiedades que caracterizan a los sistemas complejos. Un tipo universal (presente en los diferentes mercados) de propiedades emergentes de estos sistemas, de caracter estadístico, conocidas con el nombre de Stylized Facts, atraen un amplio interés tanto de la comunidad de economistas, como de la de físicos. El interés de las ciencias exactas en algunos aspectos de la economía tienen una larga historia, siendo el ejemplo más conocido la tesis doctoral de Louis Bachelier, un alumno del famoso Henri Poincaré. En su tesis realizada en el año de 1900, cinco años antes de que Albert Einstein describiera el movimiento browniano y titulada, Teoría de la especulación [7, 24], analizó por primera vez un mercado especulativo, en su caso, la bolsa de París y propuso la caminata aleatoria como modelo para la evolución de los precios. Esta primera formulación teórica y empírica fue de gran importancia tanto para las finanzas, la física y de la mecánica estadística. En 1963, el matemático Frances Benoit Mandelbrot publicó un trabajo titulado La variación de ciertos precios especulativos [22], en el que por primera vez la hipótesis de variaciones de precios normalmente (distribución de Gauss) distribuida fué rec- 1

9 hazada. En su lugar Mandelbrot sugirió la llamada distribución de Levy o estable, que al igual que la distribución normal tiene la propiedad de estabilidad, pero asigna una probabilidad mucho más alta a los eventos extremos (una propiedad llamada Fat Tails [13, 26]) que representa un mejor modelo estadístico de los precios. Aun hoy, la distribución de Levy [7], es considerada como el mejor modelo para la parte extrema de la distribución que describe la variación de los precios. En 1973, Robert C. Merton publicó Theory of Rational Option Pricing [23], en él hacía referencia a un modelo matemático desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes. A este modelo lo denominó formula de Black-Scholes, el cual fue empleado para estimar el precio de una opción, asociando el movimiento Browniano a los movimientos de los precios. En 1997, Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel en Economía por su trabajo; Black, el otro creador de la fórmula no lo pudo recibir debido a haber fallecido en A finales de los años 80 y 90 no solo fuimos testigos de un enorme crecimiento de los mercados financieros en todo el mundo, sino que también condujo a una automatización mucho mayor y, en consecuencia al registro electrónico de enormes cantidades de datos financieros. En algunos mercados, prácticamente cada transacción se registra en la actualidad. Esto ha atraído cada vez más el interés de los físicos estadísticos, que vieron los mercados financieros como un laboratorio muy apropiado para sus métodos de extracción de información de datos, o para la verificación de modelos que describan un gran número de unidades independientes, que interactúan no linealmente. Los físicos han realizado analogías entre los mercados especulativos y algunos fenómenos físicos conocidos, como los conceptos de sistemas dinámicos, los sistemas de espin, los sistemas auto-organizados, los conceptos de la teoría de la información, etc; casi todos ellos relacionados con la mecánica estadística. Entre las áreas mas importantes de investigación en física tratando con sistemas económicos y financieros, se encuentra la caracterización estadística de los procesos estocásticos de cambios de precio de un activo financiero. Gran parte del trabajo reciente en Econofísica, se centra en la comprensión de las propiedades estadísticas de las fluctuaciones de precios en series de tiempo financieras. En esta tesis se pre- 2

10 senta un análisis estadístico de la distribución de la volatilidad de series de tiempo financiera que provienen de diferentes índices financieros. Estas series tiene ciertas peculiaridades que le han dado el carácter de complejas. Esto ha provocado que muchos de estos sistemas sean analizados indirectamente. Una forma de estudiar a estos sistemas es medir su volatilidad, que intenta ser una medida de la velocidad con la que cambian los precios de una acción o índice financiero. El objetivo de esta tesis es calcular la volatilidad de varios mercados financieros para diferentes ventanas de tiempo y proponer un modelo estadístico que la ajuste. En el primer capítulo se hace una breve introducción al lenguaje financiero y terminología que se utilizará a lo largo de la tesis. En el segundo capítulo se presentan algunas propiedades estadísticas de las series de tiempo financieras; tales series tienen propiedades estadísticas universales conocidas como stylized facts, que pueden ser consideradas como propiedades emergentes de los sistemas complejos financieros. En el tercer capítulo se explica el cálculo de nuestros observables (retornos, volatilidad). En el cuarto capítulo se presenta un análisis de la distribución de la volatilidad de cada uno de estos índices financieros y se propone un modelo estadístico que la ajuste. Se muestran los resultados principales que hemos obtenido; asimismo, se comenta el desarrollo y la utilidad de los programas que se usaron para efectuar el análisis. Se explica el funcionamiento y desempeño de estos programas y se presentan las gráficas obtenidas del estudio realizado. Finalmente se muestran las conclusiones que obtuvimos para cada una de las series de tiempo analizadas. Se comparan y se discuten los resultados obtenidos, su utilidad y el trabajo a realizar a futuro. 3

11 Capítulo 1 Mercados Financieros Los mercados financieros son sistemas organizados en los que un gran número de Traders 1 interactúan entre si y reaccionan a la información libre a fin de determinar el mejor precio para un instrumento financiero determinado, es decir son sistemas especializados para la compra/venta de acciones, divisas, opciones, bonos, derivados, etc. Algunos mercados están localizados en lugares específicos (New York, Tokio, Londres), mientras que otros (como el mercado de cambios extranjeros) están des-localizados y accesibles en todo el mundo. Algunos ejemplos de los mercados financieros más importantes en el mundo son: 1. NYSE (New York Stock Exchange). 2. AMEX (American Stock Exchange). 3. CBOE (Chicago Board Options Exchange). 4. BMV (Bolsa Mexicana de Valores). 1 Traders es un término usado en finanzas para referirse a alguien, que a diferencia de un inversionista, compra y vende instrumentos financieros con el objetivo de beneficiarse de las variaciones de los precios, sin importarle hacer una inversión o el valor de la compañia. Los traders realizan la mayoria de las transacciones de estos mercados. 4

12 5. FOREX (Foreing Exchange, Mercado Internacional de Divisas). 6. NASDAQ (National Association of Securities Dealers Automated Quotation). Los mercados financieros se componen de tres mercados fundamentales: Los mercados de valores, como el NYSE, AMEX, BMV; Los mercados de Derivados (futuros y opciones) como el CBOT y el CBOE, en los que se negocian materias primas (maíz, azúcar, ganado en pie, carne, soya, petroleo, etc) y los mercados de Divisas, tal como el FOREX Historia La historia de los mercados financieros es larga, pero desde la década de 1970, una serie de cambios significativos ha tenido lugar en el mundo de las finanzas. Con respecto al continente americano, la bolsa de New York se establece en 1792, sin embargo, es hasta 1865 después de la guerra civil que se forma la infraestructura monetaria, de empresas, intermediación e información que la regula. Solo hasta después de la segunda guerra mundial es cuando E.U. toma el liderazgo en lo económico, político y militar. En México el primer intento de formar la bolsa mercantil es en el año 1887, pero desgraciadamente no progresa. Con la llegada de la era del petróleo y la industria minera, se empieza a prosperar en este rubro. Este cambio permitió en enero de 1907, renacer la bolsa privada de México. Pero es hasta los años 70, después de una serie conflictos políticos y económicos, que surge lo que ahora es la Bolsa Mexicana de Valores (BMV), [17]. Un año clave fue 1973, cuando la tecnología de la información y la comunicación electrónica se convirtieron en elementos esenciales para el crecimiento y el desarrollo de los mercados financieros. Así, el mercado de divisas no está localizado y las transacciones se deciden gracias a la información suministrada por los proveedores de información financiera. Hoy en día, muchos mercados permiten realizar transacciones electrónicas y, en todas las bolsas, el comercio está apoyado completamente 5

13 en la tecnología de la información. Esto quiere decir que todas las transacciones, los Bid (órdenes de compra limitadas) y los Ask (órdenes de venta limitadas), se registran electrónicamente. Esta enorme cantidad de información permite realizar análisis estadísticos de una precisión sin precedentes. Desde entonces, el volumen del comercio de divisas ha estado creciendo a un ritmo impresionante. El volumen de transacciones en 1995 fue de 80 veces lo que era en Hoy en día los mercados financieros facilitan el comercio de grandes cantidades de dinero, bienes y mercancías en un entorno global Funcionamiento Los mercados financieros están muy bien definidos como sistemas complejos, que son continuamente monitoreados. Prácticamente todas las transacciones económicas se registran y están accesibles a investigadores interesados. Hechos como estos hacen que los mercados financieros sean extremadamente atractivos para los investigadores interesados en desarrollar una comprensión más profunda de la modelización de sistemas complejos. Los mercados financieros son sistemas complejos sociales y económicos en los cuales muchas subunidades o agentes, interactúan no linealmente entre si mediante el intercambio de información y dinero. Estos agentes pueden ser individuos, fondos de inversión, corporaciones e incluso países. Existen dos tipos de agentes en los Mercados Financieros: los compradores (Bulls) y los vendedores (Bears). Los Bulls creen que una acción 2 o valor subirá de precio mientras que los Bears creen que la acción bajara. Si un especulador piensa que una acción bajará de precio, pero no la posee, la toma prestada al Broker 3, la vende y la re-compra cuando su precio 2 Acción Termino usado en finanzas para referirse a los titulos adquiridos por un inversionista que lo acreditan como dueño de una fracción proporcional de la empresa. 3 Broker Compañia encargada de pasar las ordenes de compra/venta de los individuos al market maker. 6

14 baja, se la regresa a su dueño y obtiene una ganancia. Esta operación es de alto riesgo y se llama venta al descubierto (o short sale en inglés). Si el precio de la acción sube el especulador pierde dinero al re-comprar la acción. A la compra-venta de acciones se le conoce en teoría de juegos como un juego de suma cero, donde la ganancia o pérdida de un participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes. Otro elemento importante es el Market Maker, individuos encargados de empatar las órdenes de compra (Bid ) con las ordenes de venta (Ask ) en el libro de ordenes (Order Book). El Market Maker obtiene su ganancia aprovechando las diferencias de precio entre compradores y vendedores. Da liquidez al mercado operando con su propio dinero. Para que se realize una operación y así se forme un precio; es necesario que coincida el mejor Bid con el mejor Ask y es llamado tick. El precio de la acción se forma de este modo y varía con el tiempo a lo largo de cada día. Toda la evolución de los mercados es monitoreada y grabada Acciones Cuando una empresa necesita financiamiento puede hacer unas de las siguientes tres cosas: i)pedir préstamo a un banco. ii)pedir un préstamo al publico, es decir emitir bonos o títulos de deuda que compran los inversionistas. iii)hacerse empresa publica e ir a la bolsa para poder emitir acciones. Las acciones de una empresa publica se emiten en un numero fijo y quien las compra se vuelve dueño de una fracción representativa de la compañía. Para que la empresa cotice en la bolsa, toda la información sobre ella se hace publica (deudas, activos, contratos, etc.). Además cualquier individuo puede comprar o vender sus acciones en la bolsa. Una vez salida a la venta las acciones de una compañía, es el mercado quien determina su precio. Es decir, las acciones de la compañía cuestan lo que los traders, o especuladores estén dispuestos a pagar por ella. Es por eso que decimos que, el 7

15 valor bursátil 4 de la compañía es la suma del precio de todas sus acciones pero no necesariamente es igual al valor contable de la compañía. Sólo en un mundo en equilibrio podría darse dicha igualdad. Las acciones se compran y venden en un mercado secundario y organizado que es la bolsa de valores Índice Bursátil El índice bursátil de una Bolsa es el indicador que representa la evolución de la cotización de una selección de acciones representativa de cierto mercado financiero. El valor varia de acuerdo con la oferta y demanda de las mismas que se realiza en las sesiones diarias de remates, mediante la colocación de posturas de compra y venta por medio de la utilización de medios informáticos. En el citado índice no se consideran todas las acciones que se cotizan en la bolsa, tan solo las que mejor representan al mercado y cuyos precios se promedian con ciertos pesos para obtener el índice en cuestión. Cada Mercado posee su propio índice bursátil, por ejemplo, el DJIA (Dow Jones Industrial Average) es el índice que establece como evoluciona el NYSE. Para la Bolsa Mexicana, BMV, el principal indicador es el Índice de Precios y Cotizaciones (IPC). Las Figuras 1.1 y 1.2, muestran la evolución diaria del precio de cierre del IPC y DJIA del 2000 al La hipótesis de los Mercados Eficientes Los mercados financieros son sistemas complejos que incorporan información sobre un determinado activo en la serie de tiempo de su precio. El paradigma más aceptado entre los especialistas en finanzas es que el mercado es altamente eficiente en la determinación del precio más racional de los activos. Un mercado se dice que es eficiente si toda la información disponible es procesada instantaneamente por los 4 Bursatilidad, facilidad con que se puede comprar o vender una acción. 8

16 40000 IPC ( ) Closing Price Time (Days) Figura 1.1: Evolución diaria del precio de cierre del IPC del 2000 al agentes cuando alcanza el mercado, reflejándose esto inmediatamente en los nuevos valores de los precios de los valores que se comercian en él [25]. La hipótesis de los mercados eficientes fue formulada explícitamente en 1965 por Samuelson [27], quien bajo la hipótesis de que los agentes del mercado se comportan racionalmente demostró matemáticamente que. Si P t es el precio de un producto al tiempo t, este satisface: E{P t+1 P t, P t 1,..., P 1 } = P t 1 es decir, que el mejor pronostico del precio P al futuro inmediato, es el precio actual. Las series de tiempo que satisfacen dicha igualdad se dice que son producidas por un proceso estocástico llamado una Martingala 5. Según esta teoría, la HME afirma que los precios se mueven aleatoriamente y no hay manera de lograr una ganancia mediante el sólo uso de la historia pasada de las 5 Martingala El nombre Martingala (inglés: martingale) viene de una supuesta técnica para ganar apuestas conocida desde el siglo XIII, y que fue estudiada ya en el siglo XX por J. Ville, P. Lévi y J. Doob [10]. 9

17 14000 DJIA ( ) Closing Price Time (Days) Figura 1.2: Evolución diaria del precio de cierre del DJI del 2000 al fluctuaciones de los precios. Por lo tanto las oportunidades de arbitraje 6 no existen o si lo hacen desaparecen rápidamente. En su forma estricta, un mercado perfectamente eficiente es una idealización, así como lo son los sistemas sin fricción, sin pérdidas de energía, etc. El concepto de mercado eficiente es la piedra angular de la economía liberal y neoliberal. También es importante mencionar que la demostración de Samuelson se basa en el supuesto de que los agentes del mercado son racionales. Lo cual está muy lejos de la realidad Algunos Términos Financieros A continuación se definen algunos términos financieros importantes. 6 Arbitraje En economía y finanzas, es la práctica de tomar ventaja de una diferencia de precio entre dos o más mercados. 10

18 Valores: Son instrumentos financieros que normalmente se negocian en mercados organizados y pueden ser acciones,bonos, divisas, contratos a futuros y derivados. Derivados: Es un instrumento financiero cuyo valor depende de otras variables subyacentes. Muy a menudo, estas variables son los precios de otros valores (como acciones, bonos, monedas y materias primas). Expliquemos estos tres importantes derivados: 1. Forwad contract: Es un contrato entre dos partes (por lo general de un productor y un consumidor) para comprar o vender un producto en un momento determinado en el futuro a un precio acordado hoy. 2. Un contrato de futuros (Futuros): Es bastante similar a un forward contract, con la participación de la entrega de un activo en una fecha determinada en el futuro (vencimiento) a un precio fijo, pero que se realiza en un mercado organizado y especializado como el CBOT con contratos estandarizados. 3. Opciones: Las opciones son instrumentos financieros que dan el derecho, pero no la obligación de comprar o vender una cierta cantidad de acciones, bonos, o sus índices (los underlying securities) a cierto precio (strike price) hasta cierta fecha futura especifica (expiration date). Se compran y venden en un mercado especializado y especulativo, de igual forma que las acciones y contratos a futuros. Los especuladores o traders: Son los participantes del mercado que asumen riesgos para ganar dinero. Básicamente, apuestan a que los mercados harán ciertos movimientos. Hedgers: Por el contrario, invierten en derivados con el fin de eliminar el riesgo. Volumen diario: Con esto nos referimos al número de acciones que se compran y venden por día de determinado producto financiero. Precio de Apertura: Precio al que abre una acción al empezar el día de trading. 11

19 Precio de Cierre: Último precio del día que alcanza una acción. Precio Máximo: Máximo del día para una acción. Precio Mínimo: Mínimo precio alcanzado en el día por el precio de una acción. Volatilidad: Medida usada para medir la velocidad con la que cambian los precios de una acción o índice financiero. Liquidez: Un mercado con un volumen muy alto se dice que tiene liquidez. Blue Chip: Acciones de compañías bien establecidas (GE,IBM, etc). 12

20 Capítulo 2 Propiedades estadísticas de las series de tiempo financieras En la última década se ha producido, en prácticamente todos los campos del quehacer científico, una importante transformación conceptual y metodológica ligada íntimamente al estudio de los llamados fenómenos no-lineales, cuyo análisis se engloba, parcialmente, dentro de las llamadas ciencias de la complejidad o de los sistemas complejos. Como parte de estas nuevas investigaciones, se ha puesto en evidencia que diversas propiedades espacio temporales de los sistemas complejos surgen espontáneamente a partir de interacciones entre los elementos constituyentes, en escalas de tiempo y longitud considerablemente mayores que las escalas en las que ocurren dichas interacciones. A tales propiedades se les conoce como propiedades emergentes del sistema y han comenzado a ser estudiadas con una familia nueva de herramientas y conceptos originadas en la interacción interdisciplinaria de varios campos de la ciencia, desde la física, la biología, la química, la economía, la sociología, etcétera. 13

21 2.1. Datos Los datos del precio de cierre de IPC, DJI y NASDAQ, fueron obtenidos de la página de Yahoo Finanzas [29], que es una fuente gratuita y accesible para observar la evolución de algunos de los indicadores financieros mas importantes. Se cuenta con los datos diarios desde el 01 de febrero del 2000 hasta el 24 de agosto del 2011, siendo un total de 2899 datos a analizar. Se utiliza el software de análisis de datos llamado Root [28], para la elaboración de cada una de las gráficas mostradas. Los programas para efectuar los cálculos fueron elaborados bajo esta misma plataforma y también bajo el lenguaje de programación Python. Se analizaron los índices Dow Jones Industrial Average (DJIA), índice de Precios y Cotizaciones (IPC), y el National Association of Securities Dealers Automated Quotations (NASDAQ) El precio Los precios de los activos son las variables más importantes que exploran en las finanzas. Como ya se ha mencionado anteriormente, una cantidad gigantesca de la información financiera está siendo registrada y almacenada computacionalmente. La naturaleza y el formato de estos datos depende de un activo financiero en cuestión. Los registros muestran la fecha, el precio de apertura, el máximo y el precio mínimo durante el día, el precio de cierre, el volumen negociado durante el día, e información adicional sobre el registro. La Figura 2.1 muestra un ejemplo de la forma de la hoja de cálculo obtenida Series de Tiempo En su forma más simple, una serie de tiempo es una colección de observaciones numéricas dispuestas en un orden natural. Cada observación se relaciona con un 14

22 Figura 2.1: Formato de los datos de un activo Financiero. determinado instante de tiempo o intervalo de tiempo, y esto es lo que da el ordenamiento. Por lo general, se asume que los valores de tiempo están igualmente espaciados, pero este no es siempre el caso NASDAQ ( ) Closing Price Time (Days) Figura 2.2: Serie de tiempo del precio de cierre del NASDAQ del 2000 al

23 Una serie de tiempo es estacionaria en el sentido estricto, si su estructura no cambia en el tiempo, es decir, si sus propiedades estadísticas no dependen del tiempo en que se toman las medidas, por lo que su distribución de probabilidad no varía. En el caso de series de tiempo financieras, como se muestra en la Figura 2.2, es evidente que las series de tiempo son no estacionarias. Por mucho tiempo se ha supuesto que las series de tiempo financieras se comportan en forma de caminata aleatoria, es decir, de manera estocástica. Con la hipótesis de la caminata aleatoria se asume que el movimiento de los precios de los activos financieros es imprevisible y que no hay ninguna tendencia perceptible en el movimiento de los precios de los activos. Para la validez de nuestro análisis próximo, es importante definir una variable que será nuestro observable y que se pueda considerar suficientemente fija, o por lo menos estacionaria. Las variables relevantes elegidas por la mayoría de los autores para describir una serie de tiempo financieras son los llamados retornos. Las figuras 2.3, 2.4 y 2.5 muestra la evolución diaria de los retornos del NASDAQ, DJIA y del IPC respectivamente NASDAQ Returns Time (Days) Figura 2.3: Serie de tiempo de los retornos del NASDAQ

24 2.4. Retornos Como ya se ha mencionado, los retornos sirven como una medida del cambio en el precio y suelen ser una de las variables más adecuado para el análisis de los precios por varias razones; es la variable de interés para los traders, que la utilizan como una medida directa del éxito de una inversión, son datos de alta frecuencia 1, además de que su distribución es más simétrica y estacionaria en el tiempo que la distribución de los precios. Definimos los retornos, para cierta escala de tiempo t, como sigue: Si X(t) es el precio de cierre de un activo financiero al tiempo t y X(t + t) el precio de cierre a un tiempo t + t. Los retornos S(t), serán la diferencia logaritmica entre estos dos precios: S(t) = logx(t + t) logx(t), (2.1) 0.1 DJIA 0.05 Returns Time (Days) Figura 2.4: Serie de tiempo de los retornos del DJIA Realmente se está grabando una y cada una de las transacciones financieras realizadas cada segundo en cada mercado del mundo. Estos datos se les llama de alta frecuencia. 17

25 0.1 IPC 0.05 Returns Time (Days) Figura 2.5: Serie de tiempo de los retornos del IPC Función de Autocorrelación Dependiendo del campo de estudio se pueden definir diferentes tipos de autocorrelación sin que estas definiciones sean equivalentes. En algunos campos se utilizan indistintamente las funciones de autocorrelación y de autocovarianzas, dado que ambas sólo difieren entre sí en una constante de proporcionalidad que es la varianza. En estadística, para una serie de tiempo X t, con media µ y varianza σ conocidas, una estimación de su función de autocorrelación C(k), (ACF) por sus siglas en ingles, puede obtenerse mediante : C(k) = 1 n k (X (n k)σ 2 t µ)(x t+k µ), (2.2) t= Hechos Estilizados (Stylized Facts) El resultado de más de medio siglo de estudios sobre las series de tiempo financieras indica que estas poseen unas regularidades empíricas asombrosas de caracter es- 18

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