Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 1 MÓDULO DE LOS ENTEROS. Por profesoras: Iris Mercado y Carmen Ivelisse Santiago GUÍA DE AUTO-AYUDA

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2 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 2 Módulo 3 Tema: Los Enteros Hasta el momento, hemos realizado operaciones con enteros positivos, localizados a la derecha del cero en la recta numérica. A dicha recta se le acostumbra dibujar horizontalmente y los puntos se identifican con números. Sin embargo, en el diario vivir se escuchan expresiones, como: 5 grados bajo cero, deuda de $15.00, y 13 pies bajo el nivel del mar. Estas expresiones se refieren a números menores que cero. En esta sección conoceremos a los enteros negativos que están localizados a la izquierda del cero en la recta numérica. Analiza la siguiente recta e identifica sus partes:

3 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 3 Algunas veces, los enteros positivos están precedidos por el símbolo + llamado signo positivo. Ejemplo: +3 = 3. Los enteros negativos siempre están precedidos por el símbolo -, llamado signo negativo. La expresión -5 se lee negativo cinco. El cero es el punto de partida y no se clasifica ni negativo, ni positivo. Así que, el conjunto de los números negativos + positivos + cero se conoce como el conjunto de Los Enteros. Si comparamos dos números en la recta numérica, aquel que esta a la derecha es en número mayor y el que esta a la izquierda es el número menor. Ejemplo: > 0, porque 1 está a la derecha del cero. Todos los números positivos son mayores que cero. Todos los números negativos son menores que cero y que todos los números positivos.

4 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 4 Ejercicio: I. Usa los símbolos >, <, ó =, para comparar cada entero. a. 8 ( ) 2 b. 0 ( ) 5 c. -3 ( ) 0 d. -7 ( ) 9 e. -5 ( ) -1 f. 10 ( ) -23 El Opuesto Dos números que están a distintos lados del cero y a igual distancia se les llaman opuestos El opuesto de un número entero es otro entero que está a igual distancia del cero. Es el mismo número, pero con el signo diferente.

5 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 5 Ejemplo: El opuesto de -3 es 3. Ejercicio: II. Halla el opuesto de los siguientes enteros: a. 9 b. -25 c. 0 d. (8) e. 10 f Valor Absoluto Para estudiar los números enteros, necesitamos introducir el concepto distancia. Sabemos que si se tiene un número entero cualquiera en la recta numérica, se puede hallar otro que esté a la misma distancia de cero. Por ejemplo: hay dos puntos que están a

6 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 6 dos unidades de distancia del cero, correspondientes a los números 2 y Esta distancia se llama valor absoluto. El valor absoluto de 2 es 2 y el valor absoluto de 2 también es 2. El valor absoluto se representa con barras: /2/ = 2. Ejemplos: a) /-3/ = 3 b) /7/ = 7 El valor absoluto de un número siempre es positivo c) /0/ = 0 d) /-135/ = 135 Ejercicio 3 III. Halla el valor absoluto de los siguientes enteros a) /14/ =

7 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 7 b) /-3/ = c) /-(-5)/ = d) - /13/ = e) /-10/ =

8 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 8 Prueba Corta Nombre Fecha Tema: Introducción de los Enteros I. Escribe el número Entero que corresponde a cada situación. 1. Deuda de $ metros bajo el nivel del mar 3. Ganó 30 puntos 4. Perdió 20 puntos del examen 5. Jaime ya mide 5 pies II. Halla el opuesto de los siguientes enteros

9 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 9 III. Halla el valor absoluto de los siguientes: 1. /-19/ = 2. /15/ = 3. -/-10/ = 4. -/-16/ = 5. /-17/ = 6. /0/ =

10 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 10 Módulo 4 Operaciones con Enteros I. Suma de Enteros Cuando poseemos dinero en el banco y hacemos un depósito, estamos sumando las cantidades. Imagina que tienes ahorrado $75.00 en el banco y depositamos $ Esto te suma lo siguiente: $ = $100 Sin embargo, si le debes a tu amigo $10.00 y le vuelves a pedir dinero prestado, esa deuda se sumará y tu deuda será mayor. Imagina que le debes a Nelson $10.00 (-10) y le vuelves a pedir $15.00 más (-15). Fíjate que ambas transacciones son negativas. Esto se sumaría de la siguiente manera: -$ = -$25 Ahora le debes a Nelson $25.00 (las deudas son signos negativos)

11 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 11 De ahí vemos una regla muy importante en la suma cuando tenemos signos iguales. Signos iguales, se suma y escribes el mismo signo que estás usando. Ejemplos: = = -26 Ejercicio 1: Halla la suma a = b = c = d = e = f =

12 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 12 g = h = Ahora bien, volvemos a los $ que tienes guardado en el banco y retiras $30.00 del banco. Entonces tienes la siguiente expresión: = 70 Con signos iguales efectuaste una resta, pero aún te quedan $70.00 y eso es positivo. Pero, qué sucede si a esos $70.00 quieres retirarle $ = Te faltarían $5.00, no? Eso significa que = -5. Restamos y su diferencia es negativa, lo que nos lleva a la siguiente regla: Números con signos diferentes, restas y escribes el signo del valor absoluto mayor.

13 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 13 Ejemplos: (recuerda; que signos diferentes se restan y escribes el signo del número mayor) a) = b) = c) = d) = e) = Ejercicio 2: Efectúa las siguientes operaciones. a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) =

14 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 14 h) = i) = j) = Ejercicio 3: Resuelve y contesta en una oración completa. a) Pedro tomó el ascensor en el vestíbulo y bajó 3 pisos para recoger cierto equipo. Luego subió 8 pisos para entregar el equipo. A cuál piso llegó? b) Un turista ganó $35.00 en el casino. Esa misma noche perdió $53.00 y luego ganó $31.00, cuánto dinero ganó esa noche?

15 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 15 c) Un submarino se encontraba a 50 pies bajo el nivel del mar y luego de dos horas se vio en la obligación de descender otros 20 pies. A cuántos pies de profundidad se encuentra el submarino? d) José tiene $ en su cuenta de cheques pero tuvo que girar un cheque por $ Cuánto dinero tendrá que reponerle el banco para que su cheque no se sobregire? e) Ana pesaba 145 libras, rebajó 9 en la primera semana. En la segunda semana rebajó 8 libras y aumentó 3 libras en la tercera semana. Cuánto pesó al final de las tres semanas?

16 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 16 II. Resta de Enteros La resta se define en términos de la suma. Se dice que 7 3 = y se aplican las reglas de la suma estudiadas anteriormente. Observa lo siguiente: -5 8 Pasos a) dejas el primer número tal y como está, cambia la resta a suma y el segundo número, cámbialo al opuesto. -13 b) aplica las reglas de la suma. Ejemplos: a) 9 4 = = 5 b) 15 8 = c) = d) 6 3 =

17 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 17 e) = f) 2 9 = De manera que, cuando se restan números enteros, se cambia el problema de resta a la suma de su opuesto. El número que está siendo restado se le llama sustraendo. El sustraendo es el número que le sigue al signo de resta. El signo de resta se reemplaza por el signo de suma, se procede con las reglas de suma de enteros. Ejemplo de aplicación: Un helicóptero está a 594 pies sobre el nivel del mar y un submarino a 245 pies bajo el nivel del mar. A qué distancia está el helicóptero del submarino? Consideramos el problema como una resta, la diferencia entre el punto más alto (el helicóptero) y el punto más bajo (el submarino). Representamos los 594 pies sobre el nivel del mar

18 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 18 como un entero positivo y los 245 pies bajo el nivel del mar como un entero negativo. Luego, = = 839. Por lo tanto, el helicóptero está a 839 pies de distancia del submarino. Ejercicio 4: a) 5 11 = b) 8 17 = c) 6 30 = d) 0 7 = e) 4 15 = f) = g) = h) = i) = j) = k) = l) =

19 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 19 m) = n) = o) = p) = q) = Resuelve: 1) Un frente frío hizo que la temperatura de un país bajara de 34 grados sobre cero a 11 grados bajo cero. Cuál fue el cambio de temperatura? 2) El punto más alto en el Desierto de Sahara tiene una altura de 11,000 pies y el punto más bajo es de 440 pies bajo el nivel del mar. Cuál es la diferencia entre estos puntos?

20 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 20 Multiplicación y división de Enteros Uniremos las reglas de multiplicación y división de enteros porque se aplican de igual manera en ambos casos. Siempre multiplicarás o dividirás como lo haces siempre y el signo que le asignarás se le dará con las siguientes condiciones: Signos iguales - positivo Ejemplos: (-2) (-3) = 6 (+3) (+2) = = = +3 signos diferentes - negativo (-3) (3) = -9 (2) (-8) = = = -4

21 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 21 Ejercicio 4: Multiplica o divide los enteros: a) 5 x 11 = b) 8 x -17 = c) 6 x 30 = d) 0 x 7 = e) 4 x 15 = f) 5 x -3 = g) 3 x -13 = h) 16 x -4 = i) 21-7 = j) 27-9 = k) 36-4 = l) ( 6)(-2)( 9) = m) (-6)(2)(-9) = n) (6) (-1) (-2) = o) (3) (5) 15 =

22 Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera 22 p) (2) (0) ( 9) = Prueba Corta Efectúa cada suma o diferencia. 1) = 2) = 3) 3 2 = 4) = 5) = 6) = Halla el producto o el cociente. 1) (9)(6) = 2) (-9)(-6) = 3) (-9) (3) = 4) (9) (-3) = 5) (-9)(0) =

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